Theorem 0nelfb 23722

Description: No filter base contains the empty set. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0nelfb	⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)

Proof of Theorem 0nelfb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6928	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom fBas)
2		isfbas 23720	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom fBas → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅))))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅))))
4	3	ibi 267	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)))
5		simpr2 1193	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)) → ∅ ∉ 𝐹)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ∅ ∉ 𝐹)
7		df-nel 3042	. 2 ⊢ (∅ ∉ 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐹)
8	6, 7	sylib 217	1 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935   ∉ wnel 3041  ∀wral 3056   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  ∅c0 4318  𝒫 cpw 4598  dom cdm 5672  ‘cfv 6542  fBascfbas 21254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-fbas 21263

This theorem is referenced by:  fbdmn0  23725  fbncp  23730  fbun  23731  fbfinnfr  23732  0nelfil  23740  fsubbas  23758  fbasfip  23759  fgcl  23769  fbasrn  23775  uzfbas  23789  ucnextcn  24196