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Theorem fmfnfm 23462
Description: A filter finer than an image filter is an image filter of the same function. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fmfnfm.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
fmfnfm.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
fmfnfm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
fmfnfm.fm (πœ‘ β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅) βŠ† 𝐿)
Assertion
Ref Expression
fmfnfm (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (Filβ€˜π‘Œ)(𝐡 βŠ† 𝑓 ∧ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π‘“)))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐿   𝑓,𝑋   𝑓,π‘Œ
Allowed substitution hint:   πœ‘(𝑓)

Proof of Theorem fmfnfm
Dummy variables 𝑠 𝑑 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmfnfm.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
2 fbsspw 23336 . . . . . 6 (𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐡 βŠ† 𝒫 π‘Œ)
31, 2syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝒫 π‘Œ)
4 elfvdm 6929 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ dom fBas)
51, 4syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ dom fBas)
6 fmfnfm.l . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
7 fmfnfm.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
8 fmfnfm.fm . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅) βŠ† 𝐿)
9 ffn 6718 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ β†’ 𝐹 Fn π‘Œ)
10 dffn4 6812 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn π‘Œ ↔ 𝐹:π‘Œβ€“ontoβ†’ran 𝐹)
119, 10sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ β†’ 𝐹:π‘Œβ€“ontoβ†’ran 𝐹)
12 foima 6811 . . . . . . . . . 10 (𝐹:π‘Œβ€“ontoβ†’ran 𝐹 β†’ (𝐹 β€œ π‘Œ) = ran 𝐹)
137, 11, 123syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ π‘Œ) = ran 𝐹)
14 filtop 23359 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐿)
156, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐿)
16 fgcl 23382 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) β†’ (π‘ŒfilGen𝐡) ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
17 filtop 23359 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ŒfilGen𝐡) ∈ (Filβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ (π‘ŒfilGen𝐡))
181, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘ŒfilGen𝐡))
19 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (π‘ŒfilGen𝐡) = (π‘ŒfilGen𝐡)
2019imaelfm 23455 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ 𝐿 ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (π‘ŒfilGen𝐡)) β†’ (𝐹 β€œ π‘Œ) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅))
2115, 1, 7, 18, 20syl31anc 1374 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ π‘Œ) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅))
2213, 21eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅))
238, 22sseldd 3984 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ 𝐿)
24 rnelfmlem 23456 . . . . . . 7 (((π‘Œ ∈ dom fBas ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ran 𝐹 ∈ 𝐿) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
255, 6, 7, 23, 24syl31anc 1374 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
26 fbsspw 23336 . . . . . 6 (ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝒫 π‘Œ)
2725, 26syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝒫 π‘Œ)
283, 27unssd 4187 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) βŠ† 𝒫 π‘Œ)
29 ssun1 4173 . . . . 5 𝐡 βŠ† (𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
30 fbasne0 23334 . . . . . 6 (𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)
311, 30syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)
32 ssn0 4401 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† (𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) β‰  βˆ…)
3329, 31, 32sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) β‰  βˆ…)
34 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))
3534elrnmpt 5956 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ V β†’ (𝑑 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 𝑑 = (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
3635elv 3481 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 𝑑 = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
37 0nelfil 23353 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ Β¬ βˆ… ∈ 𝐿)
386, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ… ∈ 𝐿)
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ Β¬ βˆ… ∈ 𝐿)
406adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
418adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅) βŠ† 𝐿)
4215, 1, 73jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐿 ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹))
4342adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ 𝐿 ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹))
44 ssfg 23376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐡 βŠ† (π‘ŒfilGen𝐡))
451, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (π‘ŒfilGen𝐡))
4645sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ 𝑠 ∈ (π‘ŒfilGen𝐡))
4719imaelfm 23455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 ∈ 𝐿 ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝑠 ∈ (π‘ŒfilGen𝐡)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑠) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅))
4843, 46, 47syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 β€œ 𝑠) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅))
4941, 48sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 β€œ 𝑠) ∈ 𝐿)
5040, 49jca 513 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ (𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 β€œ 𝑠) ∈ 𝐿))
51 filin 23358 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 β€œ 𝑠) ∈ 𝐿 ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑠) ∩ π‘₯) ∈ 𝐿)
52513expa 1119 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 β€œ 𝑠) ∈ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑠) ∩ π‘₯) ∈ 𝐿)
5350, 52sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑠) ∩ π‘₯) ∈ 𝐿)
54 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 β€œ 𝑠) ∩ π‘₯) = βˆ… β†’ (((𝐹 β€œ 𝑠) ∩ π‘₯) ∈ 𝐿 ↔ βˆ… ∈ 𝐿))
5553, 54syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ (((𝐹 β€œ 𝑠) ∩ π‘₯) = βˆ… β†’ βˆ… ∈ 𝐿))
5639, 55mtod 197 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ Β¬ ((𝐹 β€œ 𝑠) ∩ π‘₯) = βˆ…)
57 neq0 4346 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ ((𝐹 β€œ 𝑠) ∩ π‘₯) = βˆ… ↔ βˆƒπ‘‘ 𝑑 ∈ ((𝐹 β€œ 𝑠) ∩ π‘₯))
58 elin 3965 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ ((𝐹 β€œ 𝑠) ∩ π‘₯) ↔ (𝑑 ∈ (𝐹 β€œ 𝑠) ∧ 𝑑 ∈ π‘₯))
59 ffun 6721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ β†’ Fun 𝐹)
60 fvelima 6958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑑 ∈ (𝐹 β€œ 𝑠)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑠 (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑑)
6160ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Fun 𝐹 β†’ (𝑑 ∈ (𝐹 β€œ 𝑠) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑠 (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑑))
627, 59, 613syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐹 β€œ 𝑠) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑠 (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑑))
6362ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ (𝑑 ∈ (𝐹 β€œ 𝑠) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑠 (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑑))
647, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
6564ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ Fun 𝐹)
66 fbelss 23337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ 𝑠 βŠ† π‘Œ)
671, 66sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ 𝑠 βŠ† π‘Œ)
687fdmd 6729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = π‘Œ)
6968adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ dom 𝐹 = π‘Œ)
7067, 69sseqtrrd 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ 𝑠 βŠ† dom 𝐹)
7170adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ 𝑠 βŠ† dom 𝐹)
7271sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ 𝑦 ∈ dom 𝐹)
73 fvimacnv 7055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ↔ 𝑦 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
7465, 72, 73syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ↔ 𝑦 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
75 inelcm 4465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…)
7675ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ 𝑠 β†’ (𝑦 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘₯) β†’ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…))
7776adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ (𝑦 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘₯) β†’ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…))
7874, 77sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯ β†’ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…))
79 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πΉβ€˜π‘¦) = 𝑑 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ↔ 𝑑 ∈ π‘₯))
8079imbi1d 342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πΉβ€˜π‘¦) = 𝑑 β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯ β†’ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…) ↔ (𝑑 ∈ π‘₯ β†’ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…)))
8178, 80syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) = 𝑑 β†’ (𝑑 ∈ π‘₯ β†’ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…)))
8281rexlimdva 3156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑠 (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑑 β†’ (𝑑 ∈ π‘₯ β†’ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…)))
8363, 82syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ (𝑑 ∈ (𝐹 β€œ 𝑠) β†’ (𝑑 ∈ π‘₯ β†’ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…)))
8483impd 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ ((𝑑 ∈ (𝐹 β€œ 𝑠) ∧ 𝑑 ∈ π‘₯) β†’ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…))
8558, 84biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ (𝑑 ∈ ((𝐹 β€œ 𝑠) ∩ π‘₯) β†’ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…))
8685exlimdv 1937 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ (βˆƒπ‘‘ 𝑑 ∈ ((𝐹 β€œ 𝑠) ∩ π‘₯) β†’ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…))
8757, 86biimtrid 241 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ (Β¬ ((𝐹 β€œ 𝑠) ∩ π‘₯) = βˆ… β†’ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…))
8856, 87mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…)
89 ineq2 4207 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (◑𝐹 β€œ π‘₯) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) = (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
9089neeq1d 3001 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (◑𝐹 β€œ π‘₯) β†’ ((𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ… ↔ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…))
9188, 90syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ (𝑑 = (◑𝐹 β€œ π‘₯) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))
9291rexlimdva 3156 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 𝑑 = (◑𝐹 β€œ π‘₯) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))
9336, 92biimtrid 241 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ (𝑑 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))
9493expimpd 455 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))
9594ralrimivv 3199 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))(𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)
96 fbunfip 23373 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ)) β†’ (Β¬ βˆ… ∈ (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))(𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))
971, 25, 96syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ βˆ… ∈ (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))(𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))
9895, 97mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ… ∈ (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))
99 fsubbas 23371 . . . . 5 (π‘Œ ∈ dom fBas β†’ ((fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) βŠ† 𝒫 π‘Œ ∧ (𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) β‰  βˆ… ∧ Β¬ βˆ… ∈ (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))))
1001, 4, 993syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) βŠ† 𝒫 π‘Œ ∧ (𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) β‰  βˆ… ∧ Β¬ βˆ… ∈ (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))))
10128, 33, 98, 100mpbir3and 1343 . . 3 (πœ‘ β†’ (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
102 fgcl 23382 . . 3 ((fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) β†’ (π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))) ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
103101, 102syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))) ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
104 unexg 7736 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) ∈ V)
1051, 25, 104syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) ∈ V)
106 ssfii 9414 . . . . 5 ((𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) ∈ V β†’ (𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) βŠ† (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))
107105, 106syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) βŠ† (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))
108107unssad 4188 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))
109 ssfg 23376 . . . 4 ((fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) β†’ (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))) βŠ† (π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))))
110101, 109syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))) βŠ† (π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))))
111108, 110sstrd 3993 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))))
1121, 6, 7, 8fmfnfmlem4 23461 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝐿 ↔ (𝑑 βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))(𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑑)))
113 elfm 23451 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐿 ∧ (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝑑 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))) ↔ (𝑑 βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))(𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑑)))
11415, 101, 7, 113syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))) ↔ (𝑑 βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))(𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑑)))
115112, 114bitr4d 282 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝐿 ↔ 𝑑 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))))
116115eqrdv 2731 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))))
117 eqid 2733 . . . . 5 (π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))) = (π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))
118117fmfg 23453 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐿 ∧ (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))) = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))))
11915, 101, 7, 118syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))) = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))))
120116, 119eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))))
121 sseq2 4009 . . . 4 (𝑓 = (π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))) β†’ (𝐡 βŠ† 𝑓 ↔ 𝐡 βŠ† (π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))))
122 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑓 = (π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))) β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π‘“) = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))))
123122eqeq2d 2744 . . . 4 (𝑓 = (π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))) β†’ (𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π‘“) ↔ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))))))
124121, 123anbi12d 632 . . 3 (𝑓 = (π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))) β†’ ((𝐡 βŠ† 𝑓 ∧ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π‘“)) ↔ (𝐡 βŠ† (π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))) ∧ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))))))
125124rspcev 3613 . 2 (((π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))) ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ (𝐡 βŠ† (π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))) ∧ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (Filβ€˜π‘Œ)(𝐡 βŠ† 𝑓 ∧ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π‘“)))
126103, 111, 120, 125syl12anc 836 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (Filβ€˜π‘Œ)(𝐡 βŠ† 𝑓 ∧ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π‘“)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  ficfi 9405  fBascfbas 20932  filGencfg 20933  Filcfil 23349   FilMap cfm 23437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-fin 8943  df-fi 9406  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-fil 23350  df-fm 23442
This theorem is referenced by:  fmufil  23463  cnpfcf  23545
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