MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmfnfm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmfnfm 23966
Description: A filter finer than an image filter is an image filter of the same function. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fmfnfm.b (𝜑𝐵 ∈ (fBas‘𝑌))
fmfnfm.l (𝜑𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
fmfnfm.f (𝜑𝐹:𝑌𝑋)
fmfnfm.fm (𝜑 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ⊆ 𝐿)
Assertion
Ref Expression
fmfnfm (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)(𝐵𝑓𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑓)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐿   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem fmfnfm
Dummy variables 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmfnfm.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (fBas‘𝑌))
2 fbsspw 23840 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐵 ⊆ 𝒫 𝑌)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ 𝒫 𝑌)
4 elfvdm 6943 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom fBas)
51, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ dom fBas)
6 fmfnfm.l . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
7 fmfnfm.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑌𝑋)
8 fmfnfm.fm . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ⊆ 𝐿)
9 ffn 6736 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑌𝑋𝐹 Fn 𝑌)
10 dffn4 6826 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn 𝑌𝐹:𝑌onto→ran 𝐹)
119, 10sylib 218 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑌𝑋𝐹:𝑌onto→ran 𝐹)
12 foima 6825 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑌onto→ran 𝐹 → (𝐹𝑌) = ran 𝐹)
137, 11, 123syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑌) = ran 𝐹)
14 filtop 23863 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐿)
156, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐿)
16 fgcl 23886 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑌filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑌))
17 filtop 23863 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑌filGen𝐵))
181, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ (𝑌filGen𝐵))
19 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑌filGen𝐵) = (𝑌filGen𝐵)
2019imaelfm 23959 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝐿𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (𝑌filGen𝐵)) → (𝐹𝑌) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵))
2115, 1, 7, 18, 20syl31anc 1375 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑌) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵))
2213, 21eqeltrrd 2842 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵))
238, 22sseldd 3984 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝐹𝐿)
24 rnelfmlem 23960 . . . . . . 7 (((𝑌 ∈ dom fBas ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ ran 𝐹𝐿) → ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (fBas‘𝑌))
255, 6, 7, 23, 24syl31anc 1375 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (fBas‘𝑌))
26 fbsspw 23840 . . . . . 6 (ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (fBas‘𝑌) → ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ⊆ 𝒫 𝑌)
2725, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ⊆ 𝒫 𝑌)
283, 27unssd 4192 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝒫 𝑌)
29 ssun1 4178 . . . . 5 𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))
30 fbasne0 23838 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐵 ≠ ∅)
311, 30syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
32 ssn0 4404 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ≠ ∅)
3329, 31, 32sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ≠ ∅)
34 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))
3534elrnmpt 5969 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ V → (𝑡 ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ↔ ∃𝑥𝐿 𝑡 = (𝐹𝑥)))
3635elv 3485 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ↔ ∃𝑥𝐿 𝑡 = (𝐹𝑥))
37 0nelfil 23857 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ 𝐿)
386, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ ∅ ∈ 𝐿)
3938ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ 𝑥𝐿) → ¬ ∅ ∈ 𝐿)
406adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠𝐵) → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
418adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠𝐵) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ⊆ 𝐿)
4215, 1, 73jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑋𝐿𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋))
4342adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑠𝐵) → (𝑋𝐿𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋))
44 ssfg 23880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐵 ⊆ (𝑌filGen𝐵))
451, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ⊆ (𝑌filGen𝐵))
4645sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑠𝐵) → 𝑠 ∈ (𝑌filGen𝐵))
4719imaelfm 23959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋𝐿𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑠 ∈ (𝑌filGen𝐵)) → (𝐹𝑠) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵))
4843, 46, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠𝐵) → (𝐹𝑠) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵))
4941, 48sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠𝐵) → (𝐹𝑠) ∈ 𝐿)
5040, 49jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠𝐵) → (𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐹𝑠) ∈ 𝐿))
51 filin 23862 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐹𝑠) ∈ 𝐿𝑥𝐿) → ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ∈ 𝐿)
52513expa 1119 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐹𝑠) ∈ 𝐿) ∧ 𝑥𝐿) → ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ∈ 𝐿)
5350, 52sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ 𝑥𝐿) → ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ∈ 𝐿)
54 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) = ∅ → (((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ∈ 𝐿 ↔ ∅ ∈ 𝐿))
5553, 54syl5ibcom 245 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ 𝑥𝐿) → (((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) = ∅ → ∅ ∈ 𝐿))
5639, 55mtod 198 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ 𝑥𝐿) → ¬ ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) = ∅)
57 neq0 4352 . . . . . . . . . . . 12 (¬ ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑡 𝑡 ∈ ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥))
58 elin 3967 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ↔ (𝑡 ∈ (𝐹𝑠) ∧ 𝑡𝑥))
59 ffun 6739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:𝑌𝑋 → Fun 𝐹)
60 fvelima 6974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Fun 𝐹𝑡 ∈ (𝐹𝑠)) → ∃𝑦𝑠 (𝐹𝑦) = 𝑡)
6160ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Fun 𝐹 → (𝑡 ∈ (𝐹𝑠) → ∃𝑦𝑠 (𝐹𝑦) = 𝑡))
627, 59, 613syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐹𝑠) → ∃𝑦𝑠 (𝐹𝑦) = 𝑡))
6362ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ 𝑥𝐿) → (𝑡 ∈ (𝐹𝑠) → ∃𝑦𝑠 (𝐹𝑦) = 𝑡))
647, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → Fun 𝐹)
6564ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑠𝐵) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑦𝑠) → Fun 𝐹)
66 fbelss 23841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑠𝐵) → 𝑠𝑌)
671, 66sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑠𝐵) → 𝑠𝑌)
687fdmd 6746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑌)
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑠𝐵) → dom 𝐹 = 𝑌)
7067, 69sseqtrrd 4021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑠𝐵) → 𝑠 ⊆ dom 𝐹)
7170adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ 𝑥𝐿) → 𝑠 ⊆ dom 𝐹)
7271sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑠𝐵) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑦𝑠) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
73 fvimacnv 7073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝑦 ∈ (𝐹𝑥)))
7465, 72, 73syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑠𝐵) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑦𝑠) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝑦 ∈ (𝐹𝑥)))
75 inelcm 4465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦𝑠𝑦 ∈ (𝐹𝑥)) → (𝑠 ∩ (𝐹𝑥)) ≠ ∅)
7675ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦𝑠 → (𝑦 ∈ (𝐹𝑥) → (𝑠 ∩ (𝐹𝑥)) ≠ ∅))
7776adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑠𝐵) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑦𝑠) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑥) → (𝑠 ∩ (𝐹𝑥)) ≠ ∅))
7874, 77sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑠𝐵) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑦𝑠) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥 → (𝑠 ∩ (𝐹𝑥)) ≠ ∅))
79 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝑦) = 𝑡 → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝑡𝑥))
8079imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑦) = 𝑡 → (((𝐹𝑦) ∈ 𝑥 → (𝑠 ∩ (𝐹𝑥)) ≠ ∅) ↔ (𝑡𝑥 → (𝑠 ∩ (𝐹𝑥)) ≠ ∅)))
8178, 80syl5ibcom 245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑠𝐵) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑦𝑠) → ((𝐹𝑦) = 𝑡 → (𝑡𝑥 → (𝑠 ∩ (𝐹𝑥)) ≠ ∅)))
8281rexlimdva 3155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ 𝑥𝐿) → (∃𝑦𝑠 (𝐹𝑦) = 𝑡 → (𝑡𝑥 → (𝑠 ∩ (𝐹𝑥)) ≠ ∅)))
8363, 82syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ 𝑥𝐿) → (𝑡 ∈ (𝐹𝑠) → (𝑡𝑥 → (𝑠 ∩ (𝐹𝑥)) ≠ ∅)))
8483impd 410 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ 𝑥𝐿) → ((𝑡 ∈ (𝐹𝑠) ∧ 𝑡𝑥) → (𝑠 ∩ (𝐹𝑥)) ≠ ∅))
8558, 84biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ 𝑥𝐿) → (𝑡 ∈ ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) → (𝑠 ∩ (𝐹𝑥)) ≠ ∅))
8685exlimdv 1933 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ 𝑥𝐿) → (∃𝑡 𝑡 ∈ ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) → (𝑠 ∩ (𝐹𝑥)) ≠ ∅))
8757, 86biimtrid 242 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ 𝑥𝐿) → (¬ ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) = ∅ → (𝑠 ∩ (𝐹𝑥)) ≠ ∅))
8856, 87mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ 𝑥𝐿) → (𝑠 ∩ (𝐹𝑥)) ≠ ∅)
89 ineq2 4214 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (𝐹𝑥) → (𝑠𝑡) = (𝑠 ∩ (𝐹𝑥)))
9089neeq1d 3000 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (𝐹𝑥) → ((𝑠𝑡) ≠ ∅ ↔ (𝑠 ∩ (𝐹𝑥)) ≠ ∅))
9188, 90syl5ibrcom 247 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ 𝑥𝐿) → (𝑡 = (𝐹𝑥) → (𝑠𝑡) ≠ ∅))
9291rexlimdva 3155 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐵) → (∃𝑥𝐿 𝑡 = (𝐹𝑥) → (𝑠𝑡) ≠ ∅))
9336, 92biimtrid 242 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐵) → (𝑡 ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅))
9493expimpd 453 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑠𝐵𝑡 ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) → (𝑠𝑡) ≠ ∅))
9594ralrimivv 3200 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑠𝐵𝑡 ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))(𝑠𝑡) ≠ ∅)
96 fbunfip 23877 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (fBas‘𝑌)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))) ↔ ∀𝑠𝐵𝑡 ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))(𝑠𝑡) ≠ ∅))
971, 25, 96syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))) ↔ ∀𝑠𝐵𝑡 ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))(𝑠𝑡) ≠ ∅))
9895, 97mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))
99 fsubbas 23875 . . . . 5 (𝑌 ∈ dom fBas → ((fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))) ∈ (fBas‘𝑌) ↔ ((𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝒫 𝑌 ∧ (𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))))
1001, 4, 993syl 18 . . . 4 (𝜑 → ((fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))) ∈ (fBas‘𝑌) ↔ ((𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝒫 𝑌 ∧ (𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))))
10128, 33, 98, 100mpbir3and 1343 . . 3 (𝜑 → (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))) ∈ (fBas‘𝑌))
102 fgcl 23886 . . 3 ((fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))) ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑌filGen(fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))) ∈ (Fil‘𝑌))
103101, 102syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑌filGen(fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))) ∈ (Fil‘𝑌))
104 unexg 7763 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (fBas‘𝑌)) → (𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ V)
1051, 25, 104syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ V)
106 ssfii 9459 . . . . 5 ((𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ V → (𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))
107105, 106syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))
108107unssad 4193 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))
109 ssfg 23880 . . . 4 ((fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))) ∈ (fBas‘𝑌) → (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))) ⊆ (𝑌filGen(fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))))
110101, 109syl 17 . . 3 (𝜑 → (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))) ⊆ (𝑌filGen(fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))))
111108, 110sstrd 3994 . 2 (𝜑𝐵 ⊆ (𝑌filGen(fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))))
1121, 6, 7, 8fmfnfmlem4 23965 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡𝐿 ↔ (𝑡𝑋 ∧ ∃𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))(𝐹𝑠) ⊆ 𝑡)))
113 elfm 23955 . . . . . 6 ((𝑋𝐿 ∧ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))) ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝑡 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))) ↔ (𝑡𝑋 ∧ ∃𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))(𝐹𝑠) ⊆ 𝑡)))
11415, 101, 7, 113syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))) ↔ (𝑡𝑋 ∧ ∃𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))(𝐹𝑠) ⊆ 𝑡)))
115112, 114bitr4d 282 . . . 4 (𝜑 → (𝑡𝐿𝑡 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))))
116115eqrdv 2735 . . 3 (𝜑𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))))
117 eqid 2737 . . . . 5 (𝑌filGen(fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))) = (𝑌filGen(fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))
118117fmfg 23957 . . . 4 ((𝑋𝐿 ∧ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))) ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))) = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(𝑌filGen(fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))))
11915, 101, 7, 118syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))) = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(𝑌filGen(fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))))
120116, 119eqtrd 2777 . 2 (𝜑𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(𝑌filGen(fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))))
121 sseq2 4010 . . . 4 (𝑓 = (𝑌filGen(fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))) → (𝐵𝑓𝐵 ⊆ (𝑌filGen(fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))))
122 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑓 = (𝑌filGen(fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑓) = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(𝑌filGen(fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))))
123122eqeq2d 2748 . . . 4 (𝑓 = (𝑌filGen(fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))) → (𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑓) ↔ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(𝑌filGen(fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))))))
124121, 123anbi12d 632 . . 3 (𝑓 = (𝑌filGen(fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))) → ((𝐵𝑓𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑓)) ↔ (𝐵 ⊆ (𝑌filGen(fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))) ∧ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(𝑌filGen(fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))))))
125124rspcev 3622 . 2 (((𝑌filGen(fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))) ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐵 ⊆ (𝑌filGen(fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))) ∧ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(𝑌filGen(fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))))) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)(𝐵𝑓𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑓)))
126103, 111, 120, 125syl12anc 837 1 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑌)(𝐵𝑓𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600  cmpt 5225  ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686  cima 5688  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  wf 6557  ontowfo 6559  cfv 6561  (class class class)co 7431  ficfi 9450  fBascfbas 21352  filGencfg 21353  Filcfil 23853   FilMap cfm 23941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1o 8506  df-2o 8507  df-en 8986  df-fin 8989  df-fi 9451  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-fil 23854  df-fm 23946
This theorem is referenced by:  fmufil  23967  cnpfcf  24049
  Copyright terms: Public domain W3C validator