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Theorem fmfnfm 23325
Description: A filter finer than an image filter is an image filter of the same function. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fmfnfm.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
fmfnfm.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
fmfnfm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
fmfnfm.fm (πœ‘ β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅) βŠ† 𝐿)
Assertion
Ref Expression
fmfnfm (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (Filβ€˜π‘Œ)(𝐡 βŠ† 𝑓 ∧ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π‘“)))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐿   𝑓,𝑋   𝑓,π‘Œ
Allowed substitution hint:   πœ‘(𝑓)

Proof of Theorem fmfnfm
Dummy variables 𝑠 𝑑 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmfnfm.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
2 fbsspw 23199 . . . . . 6 (𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐡 βŠ† 𝒫 π‘Œ)
31, 2syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝒫 π‘Œ)
4 elfvdm 6884 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ dom fBas)
51, 4syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ dom fBas)
6 fmfnfm.l . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
7 fmfnfm.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
8 fmfnfm.fm . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅) βŠ† 𝐿)
9 ffn 6673 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ β†’ 𝐹 Fn π‘Œ)
10 dffn4 6767 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn π‘Œ ↔ 𝐹:π‘Œβ€“ontoβ†’ran 𝐹)
119, 10sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ β†’ 𝐹:π‘Œβ€“ontoβ†’ran 𝐹)
12 foima 6766 . . . . . . . . . 10 (𝐹:π‘Œβ€“ontoβ†’ran 𝐹 β†’ (𝐹 β€œ π‘Œ) = ran 𝐹)
137, 11, 123syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ π‘Œ) = ran 𝐹)
14 filtop 23222 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐿)
156, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐿)
16 fgcl 23245 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) β†’ (π‘ŒfilGen𝐡) ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
17 filtop 23222 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ŒfilGen𝐡) ∈ (Filβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ (π‘ŒfilGen𝐡))
181, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘ŒfilGen𝐡))
19 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (π‘ŒfilGen𝐡) = (π‘ŒfilGen𝐡)
2019imaelfm 23318 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ 𝐿 ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (π‘ŒfilGen𝐡)) β†’ (𝐹 β€œ π‘Œ) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅))
2115, 1, 7, 18, 20syl31anc 1374 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ π‘Œ) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅))
2213, 21eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅))
238, 22sseldd 3950 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ 𝐿)
24 rnelfmlem 23319 . . . . . . 7 (((π‘Œ ∈ dom fBas ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ran 𝐹 ∈ 𝐿) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
255, 6, 7, 23, 24syl31anc 1374 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
26 fbsspw 23199 . . . . . 6 (ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝒫 π‘Œ)
2725, 26syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝒫 π‘Œ)
283, 27unssd 4151 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) βŠ† 𝒫 π‘Œ)
29 ssun1 4137 . . . . 5 𝐡 βŠ† (𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
30 fbasne0 23197 . . . . . 6 (𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)
311, 30syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)
32 ssn0 4365 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† (𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) β‰  βˆ…)
3329, 31, 32sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) β‰  βˆ…)
34 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))
3534elrnmpt 5916 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ V β†’ (𝑑 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 𝑑 = (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
3635elv 3454 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 𝑑 = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
37 0nelfil 23216 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ Β¬ βˆ… ∈ 𝐿)
386, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ… ∈ 𝐿)
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ Β¬ βˆ… ∈ 𝐿)
406adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
418adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅) βŠ† 𝐿)
4215, 1, 73jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐿 ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹))
4342adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ 𝐿 ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹))
44 ssfg 23239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐡 βŠ† (π‘ŒfilGen𝐡))
451, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (π‘ŒfilGen𝐡))
4645sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ 𝑠 ∈ (π‘ŒfilGen𝐡))
4719imaelfm 23318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 ∈ 𝐿 ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝑠 ∈ (π‘ŒfilGen𝐡)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑠) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅))
4843, 46, 47syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 β€œ 𝑠) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π΅))
4941, 48sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 β€œ 𝑠) ∈ 𝐿)
5040, 49jca 513 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ (𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 β€œ 𝑠) ∈ 𝐿))
51 filin 23221 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 β€œ 𝑠) ∈ 𝐿 ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑠) ∩ π‘₯) ∈ 𝐿)
52513expa 1119 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 β€œ 𝑠) ∈ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑠) ∩ π‘₯) ∈ 𝐿)
5350, 52sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑠) ∩ π‘₯) ∈ 𝐿)
54 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 β€œ 𝑠) ∩ π‘₯) = βˆ… β†’ (((𝐹 β€œ 𝑠) ∩ π‘₯) ∈ 𝐿 ↔ βˆ… ∈ 𝐿))
5553, 54syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ (((𝐹 β€œ 𝑠) ∩ π‘₯) = βˆ… β†’ βˆ… ∈ 𝐿))
5639, 55mtod 197 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ Β¬ ((𝐹 β€œ 𝑠) ∩ π‘₯) = βˆ…)
57 neq0 4310 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ ((𝐹 β€œ 𝑠) ∩ π‘₯) = βˆ… ↔ βˆƒπ‘‘ 𝑑 ∈ ((𝐹 β€œ 𝑠) ∩ π‘₯))
58 elin 3931 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ ((𝐹 β€œ 𝑠) ∩ π‘₯) ↔ (𝑑 ∈ (𝐹 β€œ 𝑠) ∧ 𝑑 ∈ π‘₯))
59 ffun 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ β†’ Fun 𝐹)
60 fvelima 6913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑑 ∈ (𝐹 β€œ 𝑠)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑠 (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑑)
6160ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Fun 𝐹 β†’ (𝑑 ∈ (𝐹 β€œ 𝑠) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑠 (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑑))
627, 59, 613syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐹 β€œ 𝑠) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑠 (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑑))
6362ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ (𝑑 ∈ (𝐹 β€œ 𝑠) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑠 (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑑))
647, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
6564ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ Fun 𝐹)
66 fbelss 23200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ 𝑠 βŠ† π‘Œ)
671, 66sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ 𝑠 βŠ† π‘Œ)
687fdmd 6684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = π‘Œ)
6968adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ dom 𝐹 = π‘Œ)
7067, 69sseqtrrd 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ 𝑠 βŠ† dom 𝐹)
7170adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ 𝑠 βŠ† dom 𝐹)
7271sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ 𝑦 ∈ dom 𝐹)
73 fvimacnv 7008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ↔ 𝑦 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
7465, 72, 73syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ↔ 𝑦 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
75 inelcm 4429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…)
7675ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ 𝑠 β†’ (𝑦 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘₯) β†’ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…))
7776adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ (𝑦 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘₯) β†’ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…))
7874, 77sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯ β†’ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…))
79 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πΉβ€˜π‘¦) = 𝑑 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ↔ 𝑑 ∈ π‘₯))
8079imbi1d 342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πΉβ€˜π‘¦) = 𝑑 β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯ β†’ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…) ↔ (𝑑 ∈ π‘₯ β†’ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…)))
8178, 80syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) = 𝑑 β†’ (𝑑 ∈ π‘₯ β†’ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…)))
8281rexlimdva 3153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑠 (πΉβ€˜π‘¦) = 𝑑 β†’ (𝑑 ∈ π‘₯ β†’ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…)))
8363, 82syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ (𝑑 ∈ (𝐹 β€œ 𝑠) β†’ (𝑑 ∈ π‘₯ β†’ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…)))
8483impd 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ ((𝑑 ∈ (𝐹 β€œ 𝑠) ∧ 𝑑 ∈ π‘₯) β†’ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…))
8558, 84biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ (𝑑 ∈ ((𝐹 β€œ 𝑠) ∩ π‘₯) β†’ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…))
8685exlimdv 1937 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ (βˆƒπ‘‘ 𝑑 ∈ ((𝐹 β€œ 𝑠) ∩ π‘₯) β†’ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…))
8757, 86biimtrid 241 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ (Β¬ ((𝐹 β€œ 𝑠) ∩ π‘₯) = βˆ… β†’ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…))
8856, 87mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…)
89 ineq2 4171 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (◑𝐹 β€œ π‘₯) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) = (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
9089neeq1d 3004 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (◑𝐹 β€œ π‘₯) β†’ ((𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ… ↔ (𝑠 ∩ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β‰  βˆ…))
9188, 90syl5ibrcom 247 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐿) β†’ (𝑑 = (◑𝐹 β€œ π‘₯) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))
9291rexlimdva 3153 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐿 𝑑 = (◑𝐹 β€œ π‘₯) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))
9336, 92biimtrid 241 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ (𝑑 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))
9493expimpd 455 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))
9594ralrimivv 3196 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))(𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)
96 fbunfip 23236 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ)) β†’ (Β¬ βˆ… ∈ (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))(𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))
971, 25, 96syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ βˆ… ∈ (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))(𝑠 ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))
9895, 97mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ… ∈ (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))
99 fsubbas 23234 . . . . 5 (π‘Œ ∈ dom fBas β†’ ((fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) βŠ† 𝒫 π‘Œ ∧ (𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) β‰  βˆ… ∧ Β¬ βˆ… ∈ (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))))
1001, 4, 993syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) βŠ† 𝒫 π‘Œ ∧ (𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) β‰  βˆ… ∧ Β¬ βˆ… ∈ (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))))
10128, 33, 98, 100mpbir3and 1343 . . 3 (πœ‘ β†’ (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
102 fgcl 23245 . . 3 ((fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) β†’ (π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))) ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
103101, 102syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))) ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
104 unexg 7688 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) ∈ V)
1051, 25, 104syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) ∈ V)
106 ssfii 9362 . . . . 5 ((𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) ∈ V β†’ (𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) βŠ† (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))
107105, 106syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))) βŠ† (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))
108107unssad 4152 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))
109 ssfg 23239 . . . 4 ((fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) β†’ (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))) βŠ† (π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))))
110101, 109syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))) βŠ† (π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))))
111108, 110sstrd 3959 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))))
1121, 6, 7, 8fmfnfmlem4 23324 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝐿 ↔ (𝑑 βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))(𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑑)))
113 elfm 23314 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐿 ∧ (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝑑 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))) ↔ (𝑑 βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))(𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑑)))
11415, 101, 7, 113syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))) ↔ (𝑑 βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))(𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑑)))
115112, 114bitr4d 282 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝐿 ↔ 𝑑 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))))
116115eqrdv 2735 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))))
117 eqid 2737 . . . . 5 (π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))) = (π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))
118117fmfg 23316 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐿 ∧ (fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))) = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))))
11915, 101, 7, 118syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))) = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))))
120116, 119eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))))
121 sseq2 3975 . . . 4 (𝑓 = (π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))) β†’ (𝐡 βŠ† 𝑓 ↔ 𝐡 βŠ† (π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))))
122 fveq2 6847 . . . . 5 (𝑓 = (π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))) β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π‘“) = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))))
123122eqeq2d 2748 . . . 4 (𝑓 = (π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))) β†’ (𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π‘“) ↔ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))))))
124121, 123anbi12d 632 . . 3 (𝑓 = (π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))) β†’ ((𝐡 βŠ† 𝑓 ∧ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π‘“)) ↔ (𝐡 βŠ† (π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))) ∧ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))))))
125124rspcev 3584 . 2 (((π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))) ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ (𝐡 βŠ† (π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯))))) ∧ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(π‘ŒfilGen(fiβ€˜(𝐡 βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐿 ↦ (◑𝐹 β€œ π‘₯)))))))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (Filβ€˜π‘Œ)(𝐡 βŠ† 𝑓 ∧ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π‘“)))
126103, 111, 120, 125syl12anc 836 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (Filβ€˜π‘Œ)(𝐡 βŠ† 𝑓 ∧ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜π‘“)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βˆͺ cun 3913   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  π’« cpw 4565   ↦ cmpt 5193  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   β€œ cima 5641  Fun wfun 6495   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€“ontoβ†’wfo 6499  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  ficfi 9353  fBascfbas 20800  filGencfg 20801  Filcfil 23212   FilMap cfm 23300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-fin 8894  df-fi 9354  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-fil 23213  df-fm 23305
This theorem is referenced by:  fmufil  23326  cnpfcf  23408
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