MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfil2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfil2 23804
Description: Derive the standard axioms of a filter. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfil2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ ((𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem isfil2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filsspw 23799 . . . 4 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
2 0nelfil 23797 . . . 4 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
3 filtop 23803 . . . 4 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐹)
41, 2, 33jca 1125 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹))
5 elpwi 4611 . . . . 5 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
6 filss 23801 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑦𝐹𝑥𝑋𝑦𝑥)) → 𝑥𝐹)
763exp2 1351 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑦𝐹 → (𝑥𝑋 → (𝑦𝑥𝑥𝐹))))
87com23 86 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥𝑋 → (𝑦𝐹 → (𝑦𝑥𝑥𝐹))))
98imp 405 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦𝐹 → (𝑦𝑥𝑥𝐹)))
109rexlimdv 3142 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹))
115, 10sylan2 591 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹))
1211ralrimiva 3135 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹))
13 filin 23802 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹𝑦𝐹) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐹)
14133expb 1117 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐹)
1514ralrimivva 3190 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹)
164, 12, 153jca 1125 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ((𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹))
17 simp11 1200 . . . 4 (((𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
18 simp13 1202 . . . . . 6 (((𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹) → 𝑋𝐹)
1918ne0d 4335 . . . . 5 (((𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)
20 simp12 1201 . . . . . 6 (((𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
21 df-nel 3036 . . . . . 6 (∅ ∉ 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐹)
2220, 21sylibr 233 . . . . 5 (((𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹) → ∅ ∉ 𝐹)
23 ssid 3999 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦)
24 sseq1 4002 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑥𝑦) → (𝑧 ⊆ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦)))
2524rspcev 3606 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑦) ∈ 𝐹 ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦)) → ∃𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
2623, 25mpan2 689 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦) ∈ 𝐹 → ∃𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
2726ralimi 3072 . . . . . . 7 (∀𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹 → ∀𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
2827ralimi 3072 . . . . . 6 (∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹 → ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
29283ad2ant3 1132 . . . . 5 (((𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹) → ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
3019, 22, 293jca 1125 . . . 4 (((𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹) → (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))
31 isfbas2 23783 . . . . 5 (𝑋𝐹 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))))
3218, 31syl 17 . . . 4 (((𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹) → (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))))
3317, 30, 32mpbir2and 711 . . 3 (((𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
34 n0 4346 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑥))
35 elin 3960 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ↔ (𝑦𝐹𝑦 ∈ 𝒫 𝑥))
36 elpwi 4611 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑥𝑦𝑥)
3736anim2i 615 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐹𝑦 ∈ 𝒫 𝑥) → (𝑦𝐹𝑦𝑥))
3835, 37sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) → (𝑦𝐹𝑦𝑥))
3938eximi 1829 . . . . . . . 8 (∃𝑦 𝑦 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) → ∃𝑦(𝑦𝐹𝑦𝑥))
4034, 39sylbi 216 . . . . . . 7 ((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → ∃𝑦(𝑦𝐹𝑦𝑥))
41 df-rex 3060 . . . . . . 7 (∃𝑦𝐹 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑦(𝑦𝐹𝑦𝑥))
4240, 41sylibr 233 . . . . . 6 ((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → ∃𝑦𝐹 𝑦𝑥)
4342imim1i 63 . . . . 5 ((∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) → ((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥𝐹))
4443ralimi 3072 . . . 4 (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥𝐹))
45443ad2ant2 1131 . . 3 (((𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥𝐹))
46 isfil 23795 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥𝐹)))
4733, 45, 46sylanbrc 581 . 2 (((𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
4816, 47impbii 208 1 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ ((𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084  wex 1773  wcel 2098  wne 2929  wnel 3035  wral 3050  wrex 3059  cin 3943  wss 3944  c0 4322  𝒫 cpw 4604  cfv 6549  fBascfbas 21284  Filcfil 23793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fv 6557  df-fbas 21293  df-fil 23794
This theorem is referenced by:  isfild  23806  infil  23811  neifil  23828  trfil2  23835
  Copyright terms: Public domain W3C validator