MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfil2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfil2 23880
Description: Derive the standard axioms of a filter. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfil2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ ((𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem isfil2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filsspw 23875 . . . 4 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
2 0nelfil 23873 . . . 4 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
3 filtop 23879 . . . 4 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐹)
41, 2, 33jca 1127 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹))
5 elpwi 4612 . . . . 5 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
6 filss 23877 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑦𝐹𝑥𝑋𝑦𝑥)) → 𝑥𝐹)
763exp2 1353 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑦𝐹 → (𝑥𝑋 → (𝑦𝑥𝑥𝐹))))
87com23 86 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥𝑋 → (𝑦𝐹 → (𝑦𝑥𝑥𝐹))))
98imp 406 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦𝐹 → (𝑦𝑥𝑥𝐹)))
109rexlimdv 3151 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹))
115, 10sylan2 593 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹))
1211ralrimiva 3144 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹))
13 filin 23878 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹𝑦𝐹) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐹)
14133expb 1119 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐹)
1514ralrimivva 3200 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹)
164, 12, 153jca 1127 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ((𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹))
17 simp11 1202 . . . 4 (((𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
18 simp13 1204 . . . . . 6 (((𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹) → 𝑋𝐹)
1918ne0d 4348 . . . . 5 (((𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)
20 simp12 1203 . . . . . 6 (((𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
21 df-nel 3045 . . . . . 6 (∅ ∉ 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐹)
2220, 21sylibr 234 . . . . 5 (((𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹) → ∅ ∉ 𝐹)
23 ssid 4018 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦)
24 sseq1 4021 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑥𝑦) → (𝑧 ⊆ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦)))
2524rspcev 3622 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑦) ∈ 𝐹 ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦)) → ∃𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
2623, 25mpan2 691 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦) ∈ 𝐹 → ∃𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
2726ralimi 3081 . . . . . . 7 (∀𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹 → ∀𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
2827ralimi 3081 . . . . . 6 (∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹 → ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
29283ad2ant3 1134 . . . . 5 (((𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹) → ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
3019, 22, 293jca 1127 . . . 4 (((𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹) → (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))
31 isfbas2 23859 . . . . 5 (𝑋𝐹 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))))
3218, 31syl 17 . . . 4 (((𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹) → (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))))
3317, 30, 32mpbir2and 713 . . 3 (((𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
34 n0 4359 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑥))
35 elin 3979 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ↔ (𝑦𝐹𝑦 ∈ 𝒫 𝑥))
36 elpwi 4612 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑥𝑦𝑥)
3736anim2i 617 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐹𝑦 ∈ 𝒫 𝑥) → (𝑦𝐹𝑦𝑥))
3835, 37sylbi 217 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) → (𝑦𝐹𝑦𝑥))
3938eximi 1832 . . . . . . . 8 (∃𝑦 𝑦 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) → ∃𝑦(𝑦𝐹𝑦𝑥))
4034, 39sylbi 217 . . . . . . 7 ((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → ∃𝑦(𝑦𝐹𝑦𝑥))
41 df-rex 3069 . . . . . . 7 (∃𝑦𝐹 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑦(𝑦𝐹𝑦𝑥))
4240, 41sylibr 234 . . . . . 6 ((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → ∃𝑦𝐹 𝑦𝑥)
4342imim1i 63 . . . . 5 ((∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) → ((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥𝐹))
4443ralimi 3081 . . . 4 (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥𝐹))
45443ad2ant2 1133 . . 3 (((𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥𝐹))
46 isfil 23871 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥𝐹)))
4733, 45, 46sylanbrc 583 . 2 (((𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
4816, 47impbii 209 1 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ ((𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝑋𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(∃𝑦𝐹 𝑦𝑥𝑥𝐹) ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝑥𝑦) ∈ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wnel 3044  wral 3059  wrex 3068  cin 3962  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605  cfv 6563  fBascfbas 21370  Filcfil 23869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-fbas 21379  df-fil 23870
This theorem is referenced by:  isfild  23882  infil  23887  neifil  23904  trfil2  23911
  Copyright terms: Public domain W3C validator