Theorem 0oval 31151

Description: Value of the zero operator. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
0oval.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
0oval.6	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑊)
0oval.0	⊢ 𝑂 = (𝑈 0op 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
0oval	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) = 𝑍)

Proof of Theorem 0oval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0oval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		0oval.6	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑊)
3		0oval.0	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑈 0op 𝑊)
4	1, 2, 3	0ofval 31150	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑂 = (𝑋 × {𝑍}))
5	4	fveq1d 6883	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑋 × {𝑍})‘𝐴))
6	5	3adant3 1149	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑋 × {𝑍})‘𝐴))
7	2	fvexi 6895	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
8	7	fvconst2 7202	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑋 × {𝑍})‘𝐴) = 𝑍)
9	8	3ad2ant3 1152	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑋 × {𝑍})‘𝐴) = 𝑍)
10	6, 9	eqtrd 2797	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) = 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  {csn 4588   × cxp 5658  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  NrmCVeccnv 30947  BaseSetcba 30949  0_veccn0v 30951   0_op c0o 31106

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-0o 31110

This theorem is used by:  0lno  31153  nmoo0  31154  nmlno0lem  31156