MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0oval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0oval 29793
Description: Value of the zero operator. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
0oval.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
0oval.6 𝑍 = (0vec𝑊)
0oval.0 𝑂 = (𝑈 0op 𝑊)
Assertion
Ref Expression
0oval ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) = 𝑍)

Proof of Theorem 0oval
StepHypRef Expression
1 0oval.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 0oval.6 . . . . 5 𝑍 = (0vec𝑊)
3 0oval.0 . . . . 5 𝑂 = (𝑈 0op 𝑊)
41, 2, 30ofval 29792 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑂 = (𝑋 × {𝑍}))
54fveq1d 6849 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑂𝐴) = ((𝑋 × {𝑍})‘𝐴))
653adant3 1132 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) = ((𝑋 × {𝑍})‘𝐴))
72fvexi 6861 . . . 4 𝑍 ∈ V
87fvconst2 7158 . . 3 (𝐴𝑋 → ((𝑋 × {𝑍})‘𝐴) = 𝑍)
983ad2ant3 1135 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑋 × {𝑍})‘𝐴) = 𝑍)
106, 9eqtrd 2771 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {csn 4591   × cxp 5636  cfv 6501  (class class class)co 7362  NrmCVeccnv 29589  BaseSetcba 29591  0veccn0v 29593   0op c0o 29748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-0o 29752
This theorem is referenced by:  0lno  29795  nmoo0  29796  nmlno0lem  29798
  Copyright terms: Public domain W3C validator