Theorem 0oo 30818

Description: The zero operator is an operator. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
0oo.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
0oo.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
0oo.0	⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
0oo	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem 0oo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6920	. . . . 5 ⊢ (0vec‘𝑊) ∈ V
2	1	fconst 6795	. . . 4 ⊢ (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶{(0vec‘𝑊)}
3		0oo.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
4		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
5	3, 4	nvzcl 30663	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑊) ∈ 𝑌)
6	5	snssd 4814	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → {(0vec‘𝑊)} ⊆ 𝑌)
7		fss 6753	. . . 4 ⊢ (((𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶{(0vec‘𝑊)} ∧ {(0vec‘𝑊)} ⊆ 𝑌) → (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶𝑌)
8	2, 6, 7	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶𝑌)
9	8	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶𝑌)
10		0oo.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
11		0oo.0	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
12	10, 4, 11	0ofval 30816	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}))
13	12	feq1d 6721	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑍:𝑋⟶𝑌 ↔ (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶𝑌))
14	9, 13	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963  {csn 4631   × cxp 5687  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  NrmCVeccnv 30613  BaseSetcba 30615  0_veccn0v 30617   0_op c0o 30772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-nmcv 30629  df-0o 30776

This theorem is referenced by:  0lno  30819  nmoo0  30820  nmlno0lem  30822