Theorem 0oo 31188

Description: The zero operator is an operator. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
0oo.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
0oo.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
0oo.0	⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
0oo	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem 0oo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6898	. . . . 5 ⊢ (0vec‘𝑊) ∈ V
2	1	fconst 6768	. . . 4 ⊢ (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶{(0vec‘𝑊)}
3		0oo.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
4		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
5	3, 4	nvzcl 31033	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑊) ∈ 𝑌)
6	5	snssd 4754	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → {(0vec‘𝑊)} ⊆ 𝑌)
7		fss 6726	. . . 4 ⊢ (((𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶{(0vec‘𝑊)} ∧ {(0vec‘𝑊)} ⊆ 𝑌) → (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶𝑌)
8	2, 6, 7	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶𝑌)
9	8	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶𝑌)
10		0oo.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
11		0oo.0	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
12	10, 4, 11	0ofval 31186	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}))
13	12	feq1d 6691	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑍:𝑋⟶𝑌 ↔ (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶𝑌))
14	9, 13	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍:𝑋⟶𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  {csn 4591   × cxp 5661  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  NrmCVeccnv 30983  BaseSetcba 30985  0_veccn0v 30987   0_op c0o 31142

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-grpo 30892  df-gid 30893  df-ablo 30944  df-vc 30958  df-nv 30991  df-va 30994  df-ba 30995  df-sm 30996  df-0v 30997  df-nmcv 30999  df-0o 31146

This theorem is used by:  0lno  31189  nmoo0  31190  nmlno0lem  31192