MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0oo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0oo 28162
Description: The zero operator is an operator. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
0oo.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
0oo.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
0oo.0 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
Assertion
Ref Expression
0oo ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍:𝑋𝑌)

Proof of Theorem 0oo
StepHypRef Expression
1 fvex 6423 . . . . 5 (0vec𝑊) ∈ V
21fconst 6305 . . . 4 (𝑋 × {(0vec𝑊)}):𝑋⟶{(0vec𝑊)}
3 0oo.2 . . . . . 6 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
4 eqid 2798 . . . . . 6 (0vec𝑊) = (0vec𝑊)
53, 4nvzcl 28007 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmCVec → (0vec𝑊) ∈ 𝑌)
65snssd 4527 . . . 4 (𝑊 ∈ NrmCVec → {(0vec𝑊)} ⊆ 𝑌)
7 fss 6268 . . . 4 (((𝑋 × {(0vec𝑊)}):𝑋⟶{(0vec𝑊)} ∧ {(0vec𝑊)} ⊆ 𝑌) → (𝑋 × {(0vec𝑊)}):𝑋𝑌)
82, 6, 7sylancr 582 . . 3 (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑋 × {(0vec𝑊)}):𝑋𝑌)
98adantl 474 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑋 × {(0vec𝑊)}):𝑋𝑌)
10 0oo.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
11 0oo.0 . . . 4 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
1210, 4, 110ofval 28160 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍 = (𝑋 × {(0vec𝑊)}))
1312feq1d 6240 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑍:𝑋𝑌 ↔ (𝑋 × {(0vec𝑊)}):𝑋𝑌))
149, 13mpbird 249 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍:𝑋𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wss 3768  {csn 4367   × cxp 5309  wf 6096  cfv 6100  (class class class)co 6877  NrmCVeccnv 27957  BaseSetcba 27959  0veccn0v 27961   0op c0o 28116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-rep 4963  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-op 4374  df-uni 4628  df-iun 4711  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-id 5219  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-1st 7400  df-2nd 7401  df-grpo 27866  df-gid 27867  df-ablo 27918  df-vc 27932  df-nv 27965  df-va 27968  df-ba 27969  df-sm 27970  df-0v 27971  df-nmcv 27973  df-0o 28120
This theorem is referenced by:  0lno  28163  nmoo0  28164  nmlno0lem  28166
  Copyright terms: Public domain W3C validator