Theorem 0oo 30718

Description: The zero operator is an operator. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
0oo.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
0oo.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
0oo.0	⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
0oo	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem 0oo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6871	. . . . 5 ⊢ (0vec‘𝑊) ∈ V
2	1	fconst 6746	. . . 4 ⊢ (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶{(0vec‘𝑊)}
3		0oo.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
4		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
5	3, 4	nvzcl 30563	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑊) ∈ 𝑌)
6	5	snssd 4773	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → {(0vec‘𝑊)} ⊆ 𝑌)
7		fss 6704	. . . 4 ⊢ (((𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶{(0vec‘𝑊)} ∧ {(0vec‘𝑊)} ⊆ 𝑌) → (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶𝑌)
8	2, 6, 7	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶𝑌)
9	8	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶𝑌)
10		0oo.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
11		0oo.0	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
12	10, 4, 11	0ofval 30716	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}))
13	12	feq1d 6670	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑍:𝑋⟶𝑌 ↔ (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶𝑌))
14	9, 13	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  {csn 4589   × cxp 5636  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  NrmCVeccnv 30513  BaseSetcba 30515  0_veccn0v 30517   0_op c0o 30672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-grpo 30422  df-gid 30423  df-ablo 30474  df-vc 30488  df-nv 30521  df-va 30524  df-ba 30525  df-sm 30526  df-0v 30527  df-nmcv 30529  df-0o 30676

This theorem is referenced by:  0lno  30719  nmoo0  30720  nmlno0lem  30722