Theorem 0oo 31398

Description: The zero operator is an operator. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
0oo.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
0oo.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
0oo.0	⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
0oo	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem 0oo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6901	. . . . 5 ⊢ (0vec‘𝑊) ∈ V
2	1	fconst 6771	. . . 4 ⊢ (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶{(0vec‘𝑊)}
3		0oo.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
4		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
5	3, 4	nvzcl 31243	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑊) ∈ 𝑌)
6	5	snssd 4743	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → {(0vec‘𝑊)} ⊆ 𝑌)
7		fss 6729	. . . 4 ⊢ (((𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶{(0vec‘𝑊)} ∧ {(0vec‘𝑊)} ⊆ 𝑌) → (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶𝑌)
8	2, 6, 7	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶𝑌)
9	8	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶𝑌)
10		0oo.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
11		0oo.0	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
12	10, 4, 11	0ofval 31396	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}))
13	12	feq1d 6694	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑍:𝑋⟶𝑌 ↔ (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶𝑌))
14	9, 13	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍:𝑋⟶𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896  {csn 4584   × cxp 5648  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  NrmCVeccnv 31193  BaseSetcba 31195  0_veccn0v 31197   0_op c0o 31352

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-grpo 31102  df-gid 31103  df-ablo 31154  df-vc 31168  df-nv 31201  df-va 31204  df-ba 31205  df-sm 31206  df-0v 31207  df-nmcv 31209  df-0o 31356

This theorem is used by:  0lno  31399  nmoo0  31400  nmlno0lem  31402