Theorem 0oo 29151

Description: The zero operator is an operator. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
0oo.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
0oo.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
0oo.0	⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
0oo	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem 0oo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6787	. . . . 5 ⊢ (0vec‘𝑊) ∈ V
2	1	fconst 6660	. . . 4 ⊢ (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶{(0vec‘𝑊)}
3		0oo.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
4		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
5	3, 4	nvzcl 28996	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑊) ∈ 𝑌)
6	5	snssd 4742	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → {(0vec‘𝑊)} ⊆ 𝑌)
7		fss 6617	. . . 4 ⊢ (((𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶{(0vec‘𝑊)} ∧ {(0vec‘𝑊)} ⊆ 𝑌) → (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶𝑌)
8	2, 6, 7	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶𝑌)
9	8	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶𝑌)
10		0oo.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
11		0oo.0	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
12	10, 4, 11	0ofval 29149	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}))
13	12	feq1d 6585	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑍:𝑋⟶𝑌 ↔ (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}):𝑋⟶𝑌))
14	9, 13	mpbird 256	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  {csn 4561   × cxp 5587  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  NrmCVeccnv 28946  BaseSetcba 28948  0_veccn0v 28950   0_op c0o 29105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-grpo 28855  df-gid 28856  df-ablo 28907  df-vc 28921  df-nv 28954  df-va 28957  df-ba 28958  df-sm 28959  df-0v 28960  df-nmcv 28962  df-0o 29109

This theorem is referenced by:  0lno  29152  nmoo0  29153  nmlno0lem  29155