MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0oo Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 0oo 30080
Description: The zero operator is an operator. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
0oo.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
0oo.2 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
0oo.0 𝑍 = (π‘ˆ 0op π‘Š)
Assertion
Ref Expression
0oo ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ 𝑍:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
Proof of Theorem 0oo
StepHypRef Expression
1 fvex 6904 . . . . 5 (0vecβ€˜π‘Š) ∈ V
21fconst 6777 . . . 4 (𝑋 Γ— {(0vecβ€˜π‘Š)}):π‘‹βŸΆ{(0vecβ€˜π‘Š)}
3 0oo.2 . . . . . 6 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
4 eqid 2732 . . . . . 6 (0vecβ€˜π‘Š) = (0vecβ€˜π‘Š)
53, 4nvzcl 29925 . . . . 5 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ (0vecβ€˜π‘Š) ∈ π‘Œ)
65snssd 4812 . . . 4 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ {(0vecβ€˜π‘Š)} βŠ† π‘Œ)
7 fss 6734 . . . 4 (((𝑋 Γ— {(0vecβ€˜π‘Š)}):π‘‹βŸΆ{(0vecβ€˜π‘Š)} ∧ {(0vecβ€˜π‘Š)} βŠ† π‘Œ) β†’ (𝑋 Γ— {(0vecβ€˜π‘Š)}):π‘‹βŸΆπ‘Œ)
82, 6, 7sylancr 587 . . 3 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ (𝑋 Γ— {(0vecβ€˜π‘Š)}):π‘‹βŸΆπ‘Œ)
98adantl 482 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ (𝑋 Γ— {(0vecβ€˜π‘Š)}):π‘‹βŸΆπ‘Œ)
10 0oo.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
11 0oo.0 . . . 4 𝑍 = (π‘ˆ 0op π‘Š)
1210, 4, 110ofval 30078 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ 𝑍 = (𝑋 Γ— {(0vecβ€˜π‘Š)}))
1312feq1d 6702 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ (𝑍:π‘‹βŸΆπ‘Œ ↔ (𝑋 Γ— {(0vecβ€˜π‘Š)}):π‘‹βŸΆπ‘Œ))
149, 13mpbird 256 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ 𝑍:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948  {csn 4628   Γ— cxp 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  NrmCVeccnv 29875  BaseSetcba 29877  0veccn0v 29879   0op c0o 30034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-grpo 29784  df-gid 29785  df-ablo 29836  df-vc 29850  df-nv 29883  df-va 29886  df-ba 29887  df-sm 29888  df-0v 29889  df-nmcv 29891  df-0o 30038
This theorem is referenced by:  0lno  30081  nmoo0  30082  nmlno0lem  30084
  Copyright terms: Public domain W3C validator