MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0oo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0oo 29731
Description: The zero operator is an operator. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
0oo.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
0oo.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
0oo.0 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
Assertion
Ref Expression
0oo ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍:𝑋𝑌)

Proof of Theorem 0oo
StepHypRef Expression
1 fvex 6855 . . . . 5 (0vec𝑊) ∈ V
21fconst 6728 . . . 4 (𝑋 × {(0vec𝑊)}):𝑋⟶{(0vec𝑊)}
3 0oo.2 . . . . . 6 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
4 eqid 2736 . . . . . 6 (0vec𝑊) = (0vec𝑊)
53, 4nvzcl 29576 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmCVec → (0vec𝑊) ∈ 𝑌)
65snssd 4769 . . . 4 (𝑊 ∈ NrmCVec → {(0vec𝑊)} ⊆ 𝑌)
7 fss 6685 . . . 4 (((𝑋 × {(0vec𝑊)}):𝑋⟶{(0vec𝑊)} ∧ {(0vec𝑊)} ⊆ 𝑌) → (𝑋 × {(0vec𝑊)}):𝑋𝑌)
82, 6, 7sylancr 587 . . 3 (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑋 × {(0vec𝑊)}):𝑋𝑌)
98adantl 482 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑋 × {(0vec𝑊)}):𝑋𝑌)
10 0oo.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
11 0oo.0 . . . 4 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
1210, 4, 110ofval 29729 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍 = (𝑋 × {(0vec𝑊)}))
1312feq1d 6653 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑍:𝑋𝑌 ↔ (𝑋 × {(0vec𝑊)}):𝑋𝑌))
149, 13mpbird 256 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍:𝑋𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3910  {csn 4586   × cxp 5631  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  NrmCVeccnv 29526  BaseSetcba 29528  0veccn0v 29530   0op c0o 29685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-nmcv 29542  df-0o 29689
This theorem is referenced by:  0lno  29732  nmoo0  29733  nmlno0lem  29735
  Copyright terms: Public domain W3C validator