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Theorem nmlno0lem 30313
Description: Lemma for nmlno0i 30314. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmlno0.3 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
nmlno0.0 𝑍 = (π‘ˆ 0op π‘Š)
nmlno0.7 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
nmlno0lem.u π‘ˆ ∈ NrmCVec
nmlno0lem.w π‘Š ∈ NrmCVec
nmlno0lem.l 𝑇 ∈ 𝐿
nmlno0lem.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nmlno0lem.2 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
nmlno0lem.r 𝑅 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
nmlno0lem.s 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
nmlno0lem.p 𝑃 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
nmlno0lem.q 𝑄 = (0vecβ€˜π‘Š)
nmlno0lem.k 𝐾 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
nmlno0lem.m 𝑀 = (normCVβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
nmlno0lem ((π‘β€˜π‘‡) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍)
Proof of Theorem nmlno0lem
Dummy variables 𝑦 𝑧 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmlno0lem.u . . . . . . . . . . . . . . 15 π‘ˆ ∈ NrmCVec
2 nmlno0lem.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
3 nmlno0lem.k . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐾 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
42, 3nvcl 30181 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΎβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
51, 4mpan 686 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ (πΎβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
65recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ (πΎβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
76adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ (πΎβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
8 nmlno0lem.p . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑃 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
92, 8, 3nvz 30189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((πΎβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑃))
101, 9mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ ((πΎβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑃))
11 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑃 β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘ƒ))
12 nmlno0lem.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π‘Š ∈ NrmCVec
13 nmlno0lem.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 ∈ 𝐿
14 nmlno0lem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
15 nmlno0lem.q . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑄 = (0vecβ€˜π‘Š)
16 nmlno0.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
172, 14, 8, 15, 16lno0 30276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (π‘‡β€˜π‘ƒ) = 𝑄)
181, 12, 13, 17mp3an 1459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘‡β€˜π‘ƒ) = 𝑄
1911, 18eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑃 β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = 𝑄)
2010, 19syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ ((πΎβ€˜π‘₯) = 0 β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = 𝑄))
2120necon3d 2959 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄 β†’ (πΎβ€˜π‘₯) β‰  0))
2221imp 405 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ (πΎβ€˜π‘₯) β‰  0)
237, 22recne0d 11988 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ (1 / (πΎβ€˜π‘₯)) β‰  0)
24 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄)
257, 22reccld 11987 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ (1 / (πΎβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
262, 14, 16lnof 30275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
271, 12, 13, 26mp3an 1459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ
2827ffvelcdmi 7084 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ π‘Œ)
2928adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ π‘Œ)
30 nmlno0lem.s . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
3114, 30, 15nvmul0or 30170 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (1 / (πΎβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ π‘Œ) β†’ (((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯)) = 𝑄 ↔ ((1 / (πΎβ€˜π‘₯)) = 0 ∨ (π‘‡β€˜π‘₯) = 𝑄)))
3212, 31mp3an1 1446 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / (πΎβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ π‘Œ) β†’ (((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯)) = 𝑄 ↔ ((1 / (πΎβ€˜π‘₯)) = 0 ∨ (π‘‡β€˜π‘₯) = 𝑄)))
3325, 29, 32syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ (((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯)) = 𝑄 ↔ ((1 / (πΎβ€˜π‘₯)) = 0 ∨ (π‘‡β€˜π‘₯) = 𝑄)))
3433necon3abid 2975 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ (((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯)) β‰  𝑄 ↔ Β¬ ((1 / (πΎβ€˜π‘₯)) = 0 ∨ (π‘‡β€˜π‘₯) = 𝑄)))
35 neanior 3033 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (πΎβ€˜π‘₯)) β‰  0 ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) ↔ Β¬ ((1 / (πΎβ€˜π‘₯)) = 0 ∨ (π‘‡β€˜π‘₯) = 𝑄))
3634, 35bitr4di 288 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ (((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯)) β‰  𝑄 ↔ ((1 / (πΎβ€˜π‘₯)) β‰  0 ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄)))
3723, 24, 36mpbir2and 709 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ ((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯)) β‰  𝑄)
3814, 30nvscl 30146 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (1 / (πΎβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ π‘Œ) β†’ ((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ π‘Œ)
3912, 38mp3an1 1446 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (πΎβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ π‘Œ) β†’ ((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ π‘Œ)
4025, 29, 39syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ ((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ π‘Œ)
41 nmlno0lem.m . . . . . . . . . . . 12 𝑀 = (normCVβ€˜π‘Š)
4214, 15, 41nvgt0 30194 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ π‘Œ) β†’ (((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯)) β‰  𝑄 ↔ 0 < (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯)))))
4312, 40, 42sylancr 585 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ (((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯)) β‰  𝑄 ↔ 0 < (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯)))))
4437, 43mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ 0 < (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))))
4544ex 411 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄 β†’ 0 < (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯)))))
4645adantl 480 . . . . . . 7 (((π‘β€˜π‘‡) = 0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄 β†’ 0 < (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯)))))
4714, 41nmosetre 30284 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 ((πΎβ€˜π‘§) ≀ 1 ∧ 𝑦 = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))} βŠ† ℝ)
4812, 27, 47mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑦 ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 ((πΎβ€˜π‘§) ≀ 1 ∧ 𝑦 = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))} βŠ† ℝ
49 ressxr 11262 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† ℝ*
5048, 49sstri 3990 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦 ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 ((πΎβ€˜π‘§) ≀ 1 ∧ 𝑦 = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))} βŠ† ℝ*
51 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
52 nmlno0lem.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑅 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
532, 52nvscl 30146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (1 / (πΎβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯) ∈ 𝑋)
541, 53mp3an1 1446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 / (πΎβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯) ∈ 𝑋)
5525, 51, 54syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ ((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯) ∈ 𝑋)
5619necon3i 2971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄 β†’ π‘₯ β‰  𝑃)
572, 52, 8, 3nv1 30195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ β‰  𝑃) β†’ (πΎβ€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯)) = 1)
581, 57mp3an1 1446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ β‰  𝑃) β†’ (πΎβ€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯)) = 1)
5956, 58sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ (πΎβ€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯)) = 1)
60 1re 11218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
6159, 60eqeltrdi 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ (πΎβ€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯)) ∈ ℝ)
62 eqle 11320 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΎβ€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (πΎβ€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯)) = 1) β†’ (πΎβ€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯)) ≀ 1)
6361, 59, 62syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ (πΎβ€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯)) ≀ 1)
641, 12, 133pm3.2i 1337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿)
652, 52, 30, 16lnomul 30280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ ((1 / (πΎβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯)) = ((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯)))
6664, 65mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / (πΎβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘‡β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯)) = ((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯)))
6725, 51, 66syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ (π‘‡β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯)) = ((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯)))
6867eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ ((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯)) = (π‘‡β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯)))
6968fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯))))
70 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯) β†’ (πΎβ€˜π‘§) = (πΎβ€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯)))
7170breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯) β†’ ((πΎβ€˜π‘§) ≀ 1 ↔ (πΎβ€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯)) ≀ 1))
72 2fveq3 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘§)) = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯))))
7372eqeq2d 2741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯) β†’ ((π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘§)) ↔ (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯)))))
7471, 73anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯) β†’ (((πΎβ€˜π‘§) ≀ 1 ∧ (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘§))) ↔ ((πΎβ€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯)) ≀ 1 ∧ (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯))))))
7574rspcev 3611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯) ∈ 𝑋 ∧ ((πΎβ€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯)) ≀ 1 ∧ (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑅π‘₯))))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 ((πΎβ€˜π‘§) ≀ 1 ∧ (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘§))))
7655, 63, 69, 75syl12anc 833 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 ((πΎβ€˜π‘§) ≀ 1 ∧ (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘§))))
77 fvex 6903 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) ∈ V
78 eqeq1 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) β†’ (𝑦 = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘§)) ↔ (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘§))))
7978anbi2d 627 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) β†’ (((πΎβ€˜π‘§) ≀ 1 ∧ 𝑦 = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘§))) ↔ ((πΎβ€˜π‘§) ≀ 1 ∧ (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))))
8079rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 ((πΎβ€˜π‘§) ≀ 1 ∧ 𝑦 = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘§))) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 ((πΎβ€˜π‘§) ≀ 1 ∧ (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))))
8177, 80elab 3667 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 ((πΎβ€˜π‘§) ≀ 1 ∧ 𝑦 = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))} ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 ((πΎβ€˜π‘§) ≀ 1 ∧ (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘§))))
8276, 81sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 ((πΎβ€˜π‘§) ≀ 1 ∧ 𝑦 = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))})
83 supxrub 13307 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑦 ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 ((πΎβ€˜π‘§) ≀ 1 ∧ 𝑦 = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))} βŠ† ℝ* ∧ (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 ((πΎβ€˜π‘§) ≀ 1 ∧ 𝑦 = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}) β†’ (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) ≀ sup({𝑦 ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 ((πΎβ€˜π‘§) ≀ 1 ∧ 𝑦 = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ))
8450, 82, 83sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) ≀ sup({𝑦 ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 ((πΎβ€˜π‘§) ≀ 1 ∧ 𝑦 = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ))
8584adantll 710 . . . . . . . . . 10 ((((π‘β€˜π‘‡) = 0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) ≀ sup({𝑦 ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 ((πΎβ€˜π‘§) ≀ 1 ∧ 𝑦 = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ))
86 nmlno0.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
872, 14, 3, 41, 86nmooval 30283 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (π‘β€˜π‘‡) = sup({𝑦 ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 ((πΎβ€˜π‘§) ≀ 1 ∧ 𝑦 = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ))
881, 12, 27, 87mp3an 1459 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘β€˜π‘‡) = sup({𝑦 ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 ((πΎβ€˜π‘§) ≀ 1 ∧ 𝑦 = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < )
8988eqeq1i 2735 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘β€˜π‘‡) = 0 ↔ sup({𝑦 ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 ((πΎβ€˜π‘§) ≀ 1 ∧ 𝑦 = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ) = 0)
9089biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 ((π‘β€˜π‘‡) = 0 β†’ sup({𝑦 ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 ((πΎβ€˜π‘§) ≀ 1 ∧ 𝑦 = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ) = 0)
9190ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 ((((π‘β€˜π‘‡) = 0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ sup({𝑦 ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 ((πΎβ€˜π‘§) ≀ 1 ∧ 𝑦 = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ) = 0)
9285, 91breqtrd 5173 . . . . . . . . 9 ((((π‘β€˜π‘‡) = 0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) ≀ 0)
9314, 41nvcl 30181 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ π‘Œ) β†’ (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
9412, 40, 93sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
95 0re 11220 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
96 lenlt 11296 . . . . . . . . . . 11 (((π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ((π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) ≀ 0 ↔ Β¬ 0 < (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯)))))
9794, 95, 96sylancl 584 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ ((π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) ≀ 0 ↔ Β¬ 0 < (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯)))))
9897adantll 710 . . . . . . . . 9 ((((π‘β€˜π‘‡) = 0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ ((π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))) ≀ 0 ↔ Β¬ 0 < (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯)))))
9992, 98mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((π‘β€˜π‘‡) = 0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄) β†’ Β¬ 0 < (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯))))
10099ex 411 . . . . . . 7 (((π‘β€˜π‘‡) = 0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄 β†’ Β¬ 0 < (π‘€β€˜((1 / (πΎβ€˜π‘₯))𝑆(π‘‡β€˜π‘₯)))))
10146, 100pm2.65d 195 . . . . . 6 (((π‘β€˜π‘‡) = 0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Β¬ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄)
102 nne 2942 . . . . . 6 (Β¬ (π‘‡β€˜π‘₯) β‰  𝑄 ↔ (π‘‡β€˜π‘₯) = 𝑄)
103101, 102sylib 217 . . . . 5 (((π‘β€˜π‘‡) = 0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = 𝑄)
104 nmlno0.0 . . . . . . . 8 𝑍 = (π‘ˆ 0op π‘Š)
1052, 15, 1040oval 30308 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘₯) = 𝑄)
1061, 12, 105mp3an12 1449 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ (π‘β€˜π‘₯) = 𝑄)
107106adantl 480 . . . . 5 (((π‘β€˜π‘‡) = 0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘₯) = 𝑄)
108103, 107eqtr4d 2773 . . . 4 (((π‘β€˜π‘‡) = 0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘β€˜π‘₯))
109108ralrimiva 3144 . . 3 ((π‘β€˜π‘‡) = 0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘β€˜π‘₯))
110 ffn 6716 . . . . 5 (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ 𝑇 Fn 𝑋)
11127, 110ax-mp 5 . . . 4 𝑇 Fn 𝑋
1122, 14, 1040oo 30309 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ 𝑍:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
1131, 12, 112mp2an 688 . . . . 5 𝑍:π‘‹βŸΆπ‘Œ
114 ffn 6716 . . . . 5 (𝑍:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ 𝑍 Fn 𝑋)
115113, 114ax-mp 5 . . . 4 𝑍 Fn 𝑋
116 eqfnfv 7031 . . . 4 ((𝑇 Fn 𝑋 ∧ 𝑍 Fn 𝑋) β†’ (𝑇 = 𝑍 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘β€˜π‘₯)))
117111, 115, 116mp2an 688 . . 3 (𝑇 = 𝑍 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘β€˜π‘₯))
118109, 117sylibr 233 . 2 ((π‘β€˜π‘‡) = 0 β†’ 𝑇 = 𝑍)
119 fveq2 6890 . . 3 (𝑇 = 𝑍 β†’ (π‘β€˜π‘‡) = (π‘β€˜π‘))
12086, 104nmoo0 30311 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ (π‘β€˜π‘) = 0)
1211, 12, 120mp2an 688 . . 3 (π‘β€˜π‘) = 0
122119, 121eqtrdi 2786 . 2 (𝑇 = 𝑍 β†’ (π‘β€˜π‘‡) = 0)
123118, 122impbii 208 1 ((π‘β€˜π‘‡) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {cab 2707   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  supcsup 9437  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  NrmCVeccnv 30104  BaseSetcba 30106   ·𝑠OLD cns 30107  0veccn0v 30108  normCVcnmcv 30110   LnOp clno 30260   normOpOLD cnmoo 30261   0op c0o 30263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-grpo 30013  df-gid 30014  df-ginv 30015  df-ablo 30065  df-vc 30079  df-nv 30112  df-va 30115  df-ba 30116  df-sm 30117  df-0v 30118  df-nmcv 30120  df-lno 30264  df-nmoo 30265  df-0o 30267
This theorem is referenced by:  nmlno0i  30314
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