MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmlno0lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmlno0lem 28261
Description: Lemma for nmlno0i 28262. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmlno0.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmlno0.0 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
nmlno0.7 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
nmlno0lem.u 𝑈 ∈ NrmCVec
nmlno0lem.w 𝑊 ∈ NrmCVec
nmlno0lem.l 𝑇𝐿
nmlno0lem.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmlno0lem.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmlno0lem.r 𝑅 = ( ·𝑠OLD𝑈)
nmlno0lem.s 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑊)
nmlno0lem.p 𝑃 = (0vec𝑈)
nmlno0lem.q 𝑄 = (0vec𝑊)
nmlno0lem.k 𝐾 = (normCV𝑈)
nmlno0lem.m 𝑀 = (normCV𝑊)
Assertion
Ref Expression
nmlno0lem ((𝑁𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍)

Proof of Theorem nmlno0lem
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmlno0lem.u . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑈 ∈ NrmCVec
2 nmlno0lem.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 nmlno0lem.k . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐾 = (normCV𝑈)
42, 3nvcl 28129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → (𝐾𝑥) ∈ ℝ)
51, 4mpan 686 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑋 → (𝐾𝑥) ∈ ℝ)
65recnd 10515 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑋 → (𝐾𝑥) ∈ ℂ)
76adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝐾𝑥) ∈ ℂ)
8 nmlno0lem.p . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑃 = (0vec𝑈)
92, 8, 3nvz 28137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐾𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑃))
101, 9mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝑋 → ((𝐾𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑃))
11 fveq2 6538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑃 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝑃))
12 nmlno0lem.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑊 ∈ NrmCVec
13 nmlno0lem.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇𝐿
14 nmlno0lem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
15 nmlno0lem.q . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑄 = (0vec𝑊)
16 nmlno0.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
172, 14, 8, 15, 16lno0 28224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇𝑃) = 𝑄)
181, 12, 13, 17mp3an 1453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇𝑃) = 𝑄
1911, 18syl6eq 2847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑃 → (𝑇𝑥) = 𝑄)
2010, 19syl6bi 254 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑋 → ((𝐾𝑥) = 0 → (𝑇𝑥) = 𝑄))
2120necon3d 3005 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑋 → ((𝑇𝑥) ≠ 𝑄 → (𝐾𝑥) ≠ 0))
2221imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝐾𝑥) ≠ 0)
237, 22recne0d 11258 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (1 / (𝐾𝑥)) ≠ 0)
24 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑇𝑥) ≠ 𝑄)
257, 22reccld 11257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ)
262, 14, 16lnof 28223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋𝑌)
271, 12, 13, 26mp3an 1453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇:𝑋𝑌
2827ffvelrni 6715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝑋 → (𝑇𝑥) ∈ 𝑌)
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑇𝑥) ∈ 𝑌)
30 nmlno0lem.s . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑊)
3114, 30, 15nvmul0or 28118 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑌) → (((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) = 𝑄 ↔ ((1 / (𝐾𝑥)) = 0 ∨ (𝑇𝑥) = 𝑄)))
3212, 31mp3an1 1440 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑌) → (((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) = 𝑄 ↔ ((1 / (𝐾𝑥)) = 0 ∨ (𝑇𝑥) = 𝑄)))
3325, 29, 32syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) = 𝑄 ↔ ((1 / (𝐾𝑥)) = 0 ∨ (𝑇𝑥) = 𝑄)))
3433necon3abid 3020 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ≠ 𝑄 ↔ ¬ ((1 / (𝐾𝑥)) = 0 ∨ (𝑇𝑥) = 𝑄)))
35 neanior 3077 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (𝐾𝑥)) ≠ 0 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) ↔ ¬ ((1 / (𝐾𝑥)) = 0 ∨ (𝑇𝑥) = 𝑄))
3634, 35syl6bbr 290 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ≠ 𝑄 ↔ ((1 / (𝐾𝑥)) ≠ 0 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄)))
3723, 24, 36mpbir2and 709 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ≠ 𝑄)
3814, 30nvscl 28094 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑌) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ∈ 𝑌)
3912, 38mp3an1 1440 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑌) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ∈ 𝑌)
4025, 29, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ∈ 𝑌)
41 nmlno0lem.m . . . . . . . . . . . 12 𝑀 = (normCV𝑊)
4214, 15, 41nvgt0 28142 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ∈ 𝑌) → (((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ≠ 𝑄 ↔ 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
4312, 40, 42sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ≠ 𝑄 ↔ 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
4437, 43mpbid 233 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))))
4544ex 413 . . . . . . . 8 (𝑥𝑋 → ((𝑇𝑥) ≠ 𝑄 → 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
4645adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑇𝑥) ≠ 𝑄 → 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
4714, 41nmosetre 28232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ)
4812, 27, 47mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ
49 ressxr 10531 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℝ*
5048, 49sstri 3898 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ*
51 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → 𝑥𝑋)
52 nmlno0lem.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑅 = ( ·𝑠OLD𝑈)
532, 52nvscl 28094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝑋) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) ∈ 𝑋)
541, 53mp3an1 1440 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝑋) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) ∈ 𝑋)
5525, 51, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) ∈ 𝑋)
5619necon3i 3016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑇𝑥) ≠ 𝑄𝑥𝑃)
572, 52, 8, 3nv1 28143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋𝑥𝑃) → (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) = 1)
581, 57mp3an1 1440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑋𝑥𝑃) → (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) = 1)
5956, 58sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) = 1)
60 1re 10487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
6159, 60syl6eqel 2891 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) ∈ ℝ)
62 eqle 10589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) = 1) → (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) ≤ 1)
6361, 59, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) ≤ 1)
641, 12, 133pm3.2i 1332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿)
652, 52, 30, 16lnomul 28228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ ((1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝑋)) → (𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) = ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))
6664, 65mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝑋) → (𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) = ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))
6725, 51, 66syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) = ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))
6867eqcomd 2801 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) = (𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)))
6968fveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥))))
70 fveq2 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) → (𝐾𝑧) = (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)))
7170breq1d 4972 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) → ((𝐾𝑧) ≤ 1 ↔ (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) ≤ 1))
72 2fveq3 6543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) → (𝑀‘(𝑇𝑧)) = (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥))))
7372eqeq2d 2805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) → ((𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧)) ↔ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)))))
7471, 73anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) → (((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧))) ↔ ((𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥))))))
7574rspcev 3559 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥))))) → ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧))))
7655, 63, 69, 75syl12anc 833 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧))))
77 fvex 6551 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ∈ V
78 eqeq1 2799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) → (𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)) ↔ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧))))
7978anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) → (((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧))) ↔ ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧)))))
8079rexbidv 3260 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) → (∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧))) ↔ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧)))))
8177, 80elab 3605 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))} ↔ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧))))
8276, 81sylibr 235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))})
83 supxrub 12567 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ* ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ≤ sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
8450, 82, 83sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ≤ sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
8584adantll 710 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ≤ sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
86 nmlno0.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
872, 14, 3, 41, 86nmooval 28231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑁𝑇) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
881, 12, 27, 87mp3an 1453 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁𝑇) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < )
8988eqeq1i 2800 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁𝑇) = 0 ↔ sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) = 0)
9089biimpi 217 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑇) = 0 → sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) = 0)
9190ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) = 0)
9285, 91breqtrd 4988 . . . . . . . . 9 ((((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ≤ 0)
9314, 41nvcl 28129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ∈ 𝑌) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
9412, 40, 93sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
95 0re 10489 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
96 lenlt 10566 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
9794, 95, 96sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ((𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
9897adantll 710 . . . . . . . . 9 ((((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ((𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
9992, 98mpbid 233 . . . . . . . 8 ((((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ¬ 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))))
10099ex 413 . . . . . . 7 (((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑇𝑥) ≠ 𝑄 → ¬ 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
10146, 100pm2.65d 197 . . . . . 6 (((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) → ¬ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄)
102 nne 2988 . . . . . 6 (¬ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄 ↔ (𝑇𝑥) = 𝑄)
103101, 102sylib 219 . . . . 5 (((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) → (𝑇𝑥) = 𝑄)
104 nmlno0.0 . . . . . . . 8 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
1052, 15, 1040oval 28256 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → (𝑍𝑥) = 𝑄)
1061, 12, 105mp3an12 1443 . . . . . 6 (𝑥𝑋 → (𝑍𝑥) = 𝑄)
107106adantl 482 . . . . 5 (((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) → (𝑍𝑥) = 𝑄)
108103, 107eqtr4d 2834 . . . 4 (((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) → (𝑇𝑥) = (𝑍𝑥))
109108ralrimiva 3149 . . 3 ((𝑁𝑇) = 0 → ∀𝑥𝑋 (𝑇𝑥) = (𝑍𝑥))
110 ffn 6382 . . . . 5 (𝑇:𝑋𝑌𝑇 Fn 𝑋)
11127, 110ax-mp 5 . . . 4 𝑇 Fn 𝑋
1122, 14, 1040oo 28257 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍:𝑋𝑌)
1131, 12, 112mp2an 688 . . . . 5 𝑍:𝑋𝑌
114 ffn 6382 . . . . 5 (𝑍:𝑋𝑌𝑍 Fn 𝑋)
115113, 114ax-mp 5 . . . 4 𝑍 Fn 𝑋
116 eqfnfv 6667 . . . 4 ((𝑇 Fn 𝑋𝑍 Fn 𝑋) → (𝑇 = 𝑍 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑇𝑥) = (𝑍𝑥)))
117111, 115, 116mp2an 688 . . 3 (𝑇 = 𝑍 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑇𝑥) = (𝑍𝑥))
118109, 117sylibr 235 . 2 ((𝑁𝑇) = 0 → 𝑇 = 𝑍)
119 fveq2 6538 . . 3 (𝑇 = 𝑍 → (𝑁𝑇) = (𝑁𝑍))
12086, 104nmoo0 28259 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑁𝑍) = 0)
1211, 12, 120mp2an 688 . . 3 (𝑁𝑍) = 0
122119, 121syl6eq 2847 . 2 (𝑇 = 𝑍 → (𝑁𝑇) = 0)
123118, 122impbii 210 1 ((𝑁𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  {cab 2775  wne 2984  wral 3105  wrex 3106  wss 3859   class class class wbr 4962   Fn wfn 6220  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  supcsup 8750  cc 10381  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384  *cxr 10520   < clt 10521  cle 10522   / cdiv 11145  NrmCVeccnv 28052  BaseSetcba 28054   ·𝑠OLD cns 28055  0veccn0v 28056  normCVcnmcv 28058   LnOp clno 28208   normOpOLD cnmoo 28209   0op c0o 28211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-grpo 27961  df-gid 27962  df-ginv 27963  df-ablo 28013  df-vc 28027  df-nv 28060  df-va 28063  df-ba 28064  df-sm 28065  df-0v 28066  df-nmcv 28068  df-lno 28212  df-nmoo 28213  df-0o 28215
This theorem is referenced by:  nmlno0i  28262
  Copyright terms: Public domain W3C validator