MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmlno0lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmlno0lem 30479
Description: Lemma for nmlno0i 30480. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmlno0.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmlno0.0 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
nmlno0.7 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
nmlno0lem.u 𝑈 ∈ NrmCVec
nmlno0lem.w 𝑊 ∈ NrmCVec
nmlno0lem.l 𝑇𝐿
nmlno0lem.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmlno0lem.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmlno0lem.r 𝑅 = ( ·𝑠OLD𝑈)
nmlno0lem.s 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑊)
nmlno0lem.p 𝑃 = (0vec𝑈)
nmlno0lem.q 𝑄 = (0vec𝑊)
nmlno0lem.k 𝐾 = (normCV𝑈)
nmlno0lem.m 𝑀 = (normCV𝑊)
Assertion
Ref Expression
nmlno0lem ((𝑁𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍)

Proof of Theorem nmlno0lem
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmlno0lem.u . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑈 ∈ NrmCVec
2 nmlno0lem.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 nmlno0lem.k . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐾 = (normCV𝑈)
42, 3nvcl 30347 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → (𝐾𝑥) ∈ ℝ)
51, 4mpan 687 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑋 → (𝐾𝑥) ∈ ℝ)
65recnd 11249 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑋 → (𝐾𝑥) ∈ ℂ)
76adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝐾𝑥) ∈ ℂ)
8 nmlno0lem.p . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑃 = (0vec𝑈)
92, 8, 3nvz 30355 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐾𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑃))
101, 9mpan 687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝑋 → ((𝐾𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑃))
11 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑃 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝑃))
12 nmlno0lem.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑊 ∈ NrmCVec
13 nmlno0lem.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇𝐿
14 nmlno0lem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
15 nmlno0lem.q . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑄 = (0vec𝑊)
16 nmlno0.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
172, 14, 8, 15, 16lno0 30442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇𝑃) = 𝑄)
181, 12, 13, 17mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇𝑃) = 𝑄
1911, 18eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑃 → (𝑇𝑥) = 𝑄)
2010, 19syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑋 → ((𝐾𝑥) = 0 → (𝑇𝑥) = 𝑄))
2120necon3d 2960 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑋 → ((𝑇𝑥) ≠ 𝑄 → (𝐾𝑥) ≠ 0))
2221imp 406 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝐾𝑥) ≠ 0)
237, 22recne0d 11991 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (1 / (𝐾𝑥)) ≠ 0)
24 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑇𝑥) ≠ 𝑄)
257, 22reccld 11990 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ)
262, 14, 16lnof 30441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋𝑌)
271, 12, 13, 26mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇:𝑋𝑌
2827ffvelcdmi 7085 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝑋 → (𝑇𝑥) ∈ 𝑌)
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑇𝑥) ∈ 𝑌)
30 nmlno0lem.s . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑊)
3114, 30, 15nvmul0or 30336 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑌) → (((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) = 𝑄 ↔ ((1 / (𝐾𝑥)) = 0 ∨ (𝑇𝑥) = 𝑄)))
3212, 31mp3an1 1447 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑌) → (((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) = 𝑄 ↔ ((1 / (𝐾𝑥)) = 0 ∨ (𝑇𝑥) = 𝑄)))
3325, 29, 32syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) = 𝑄 ↔ ((1 / (𝐾𝑥)) = 0 ∨ (𝑇𝑥) = 𝑄)))
3433necon3abid 2976 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ≠ 𝑄 ↔ ¬ ((1 / (𝐾𝑥)) = 0 ∨ (𝑇𝑥) = 𝑄)))
35 neanior 3034 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (𝐾𝑥)) ≠ 0 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) ↔ ¬ ((1 / (𝐾𝑥)) = 0 ∨ (𝑇𝑥) = 𝑄))
3634, 35bitr4di 289 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ≠ 𝑄 ↔ ((1 / (𝐾𝑥)) ≠ 0 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄)))
3723, 24, 36mpbir2and 710 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ≠ 𝑄)
3814, 30nvscl 30312 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑌) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ∈ 𝑌)
3912, 38mp3an1 1447 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑌) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ∈ 𝑌)
4025, 29, 39syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ∈ 𝑌)
41 nmlno0lem.m . . . . . . . . . . . 12 𝑀 = (normCV𝑊)
4214, 15, 41nvgt0 30360 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ∈ 𝑌) → (((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ≠ 𝑄 ↔ 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
4312, 40, 42sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ≠ 𝑄 ↔ 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
4437, 43mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))))
4544ex 412 . . . . . . . 8 (𝑥𝑋 → ((𝑇𝑥) ≠ 𝑄 → 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
4645adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑇𝑥) ≠ 𝑄 → 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
4714, 41nmosetre 30450 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ)
4812, 27, 47mp2an 689 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ
49 ressxr 11265 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℝ*
5048, 49sstri 3991 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ*
51 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → 𝑥𝑋)
52 nmlno0lem.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑅 = ( ·𝑠OLD𝑈)
532, 52nvscl 30312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝑋) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) ∈ 𝑋)
541, 53mp3an1 1447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝑋) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) ∈ 𝑋)
5525, 51, 54syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) ∈ 𝑋)
5619necon3i 2972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑇𝑥) ≠ 𝑄𝑥𝑃)
572, 52, 8, 3nv1 30361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋𝑥𝑃) → (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) = 1)
581, 57mp3an1 1447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑋𝑥𝑃) → (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) = 1)
5956, 58sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) = 1)
60 1re 11221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
6159, 60eqeltrdi 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) ∈ ℝ)
62 eqle 11323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) = 1) → (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) ≤ 1)
6361, 59, 62syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) ≤ 1)
641, 12, 133pm3.2i 1338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿)
652, 52, 30, 16lnomul 30446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ ((1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝑋)) → (𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) = ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))
6664, 65mpan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝑋) → (𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) = ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))
6725, 51, 66syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) = ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))
6867eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) = (𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)))
6968fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥))))
70 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) → (𝐾𝑧) = (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)))
7170breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) → ((𝐾𝑧) ≤ 1 ↔ (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) ≤ 1))
72 2fveq3 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) → (𝑀‘(𝑇𝑧)) = (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥))))
7372eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) → ((𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧)) ↔ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)))))
7471, 73anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) → (((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧))) ↔ ((𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥))))))
7574rspcev 3612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥))))) → ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧))))
7655, 63, 69, 75syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧))))
77 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ∈ V
78 eqeq1 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) → (𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)) ↔ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧))))
7978anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) → (((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧))) ↔ ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧)))))
8079rexbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) → (∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧))) ↔ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧)))))
8177, 80elab 3668 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))} ↔ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧))))
8276, 81sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))})
83 supxrub 13310 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ* ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ≤ sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
8450, 82, 83sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ≤ sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
8584adantll 711 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ≤ sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
86 nmlno0.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
872, 14, 3, 41, 86nmooval 30449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑁𝑇) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
881, 12, 27, 87mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁𝑇) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < )
8988eqeq1i 2736 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁𝑇) = 0 ↔ sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) = 0)
9089biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑇) = 0 → sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) = 0)
9190ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) = 0)
9285, 91breqtrd 5174 . . . . . . . . 9 ((((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ≤ 0)
9314, 41nvcl 30347 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ∈ 𝑌) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
9412, 40, 93sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
95 0re 11223 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
96 lenlt 11299 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
9794, 95, 96sylancl 585 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ((𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
9897adantll 711 . . . . . . . . 9 ((((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ((𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
9992, 98mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ¬ 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))))
10099ex 412 . . . . . . 7 (((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑇𝑥) ≠ 𝑄 → ¬ 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
10146, 100pm2.65d 195 . . . . . 6 (((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) → ¬ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄)
102 nne 2943 . . . . . 6 (¬ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄 ↔ (𝑇𝑥) = 𝑄)
103101, 102sylib 217 . . . . 5 (((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) → (𝑇𝑥) = 𝑄)
104 nmlno0.0 . . . . . . . 8 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
1052, 15, 1040oval 30474 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → (𝑍𝑥) = 𝑄)
1061, 12, 105mp3an12 1450 . . . . . 6 (𝑥𝑋 → (𝑍𝑥) = 𝑄)
107106adantl 481 . . . . 5 (((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) → (𝑍𝑥) = 𝑄)
108103, 107eqtr4d 2774 . . . 4 (((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) → (𝑇𝑥) = (𝑍𝑥))
109108ralrimiva 3145 . . 3 ((𝑁𝑇) = 0 → ∀𝑥𝑋 (𝑇𝑥) = (𝑍𝑥))
110 ffn 6717 . . . . 5 (𝑇:𝑋𝑌𝑇 Fn 𝑋)
11127, 110ax-mp 5 . . . 4 𝑇 Fn 𝑋
1122, 14, 1040oo 30475 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍:𝑋𝑌)
1131, 12, 112mp2an 689 . . . . 5 𝑍:𝑋𝑌
114 ffn 6717 . . . . 5 (𝑍:𝑋𝑌𝑍 Fn 𝑋)
115113, 114ax-mp 5 . . . 4 𝑍 Fn 𝑋
116 eqfnfv 7032 . . . 4 ((𝑇 Fn 𝑋𝑍 Fn 𝑋) → (𝑇 = 𝑍 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑇𝑥) = (𝑍𝑥)))
117111, 115, 116mp2an 689 . . 3 (𝑇 = 𝑍 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑇𝑥) = (𝑍𝑥))
118109, 117sylibr 233 . 2 ((𝑁𝑇) = 0 → 𝑇 = 𝑍)
119 fveq2 6891 . . 3 (𝑇 = 𝑍 → (𝑁𝑇) = (𝑁𝑍))
12086, 104nmoo0 30477 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑁𝑍) = 0)
1211, 12, 120mp2an 689 . . 3 (𝑁𝑍) = 0
122119, 121eqtrdi 2787 . 2 (𝑇 = 𝑍 → (𝑁𝑇) = 0)
123118, 122impbii 208 1 ((𝑁𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  {cab 2708  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  wss 3948   class class class wbr 5148   Fn wfn 6538  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  supcsup 9441  cc 11114  cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117  *cxr 11254   < clt 11255  cle 11256   / cdiv 11878  NrmCVeccnv 30270  BaseSetcba 30272   ·𝑠OLD cns 30273  0veccn0v 30274  normCVcnmcv 30276   LnOp clno 30426   normOpOLD cnmoo 30427   0op c0o 30429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-grpo 30179  df-gid 30180  df-ginv 30181  df-ablo 30231  df-vc 30245  df-nv 30278  df-va 30281  df-ba 30282  df-sm 30283  df-0v 30284  df-nmcv 30286  df-lno 30430  df-nmoo 30431  df-0o 30433
This theorem is referenced by:  nmlno0i  30480
  Copyright terms: Public domain W3C validator