MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmlno0lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmlno0lem 28104
Description: Lemma for nmlno0i 28105. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmlno0.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmlno0.0 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
nmlno0.7 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
nmlno0lem.u 𝑈 ∈ NrmCVec
nmlno0lem.w 𝑊 ∈ NrmCVec
nmlno0lem.l 𝑇𝐿
nmlno0lem.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmlno0lem.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmlno0lem.r 𝑅 = ( ·𝑠OLD𝑈)
nmlno0lem.s 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑊)
nmlno0lem.p 𝑃 = (0vec𝑈)
nmlno0lem.q 𝑄 = (0vec𝑊)
nmlno0lem.k 𝐾 = (normCV𝑈)
nmlno0lem.m 𝑀 = (normCV𝑊)
Assertion
Ref Expression
nmlno0lem ((𝑁𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍)

Proof of Theorem nmlno0lem
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmlno0lem.u . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑈 ∈ NrmCVec
2 nmlno0lem.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 nmlno0lem.k . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐾 = (normCV𝑈)
42, 3nvcl 27972 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → (𝐾𝑥) ∈ ℝ)
51, 4mpan 681 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑋 → (𝐾𝑥) ∈ ℝ)
65recnd 10322 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑋 → (𝐾𝑥) ∈ ℂ)
76adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝐾𝑥) ∈ ℂ)
8 nmlno0lem.p . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑃 = (0vec𝑈)
92, 8, 3nvz 27980 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐾𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑃))
101, 9mpan 681 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝑋 → ((𝐾𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑃))
11 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑃 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝑃))
12 nmlno0lem.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑊 ∈ NrmCVec
13 nmlno0lem.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇𝐿
14 nmlno0lem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
15 nmlno0lem.q . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑄 = (0vec𝑊)
16 nmlno0.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
172, 14, 8, 15, 16lno0 28067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇𝑃) = 𝑄)
181, 12, 13, 17mp3an 1585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇𝑃) = 𝑄
1911, 18syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑃 → (𝑇𝑥) = 𝑄)
2010, 19syl6bi 244 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑋 → ((𝐾𝑥) = 0 → (𝑇𝑥) = 𝑄))
2120necon3d 2958 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑋 → ((𝑇𝑥) ≠ 𝑄 → (𝐾𝑥) ≠ 0))
2221imp 395 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝐾𝑥) ≠ 0)
237, 22recne0d 11049 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (1 / (𝐾𝑥)) ≠ 0)
24 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑇𝑥) ≠ 𝑄)
257, 22reccld 11048 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ)
262, 14, 16lnof 28066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋𝑌)
271, 12, 13, 26mp3an 1585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇:𝑋𝑌
2827ffvelrni 6548 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝑋 → (𝑇𝑥) ∈ 𝑌)
2928adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑇𝑥) ∈ 𝑌)
30 nmlno0lem.s . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑊)
3114, 30, 15nvmul0or 27961 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑌) → (((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) = 𝑄 ↔ ((1 / (𝐾𝑥)) = 0 ∨ (𝑇𝑥) = 𝑄)))
3212, 31mp3an1 1572 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑌) → (((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) = 𝑄 ↔ ((1 / (𝐾𝑥)) = 0 ∨ (𝑇𝑥) = 𝑄)))
3325, 29, 32syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) = 𝑄 ↔ ((1 / (𝐾𝑥)) = 0 ∨ (𝑇𝑥) = 𝑄)))
3433necon3abid 2973 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ≠ 𝑄 ↔ ¬ ((1 / (𝐾𝑥)) = 0 ∨ (𝑇𝑥) = 𝑄)))
35 neanior 3029 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (𝐾𝑥)) ≠ 0 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) ↔ ¬ ((1 / (𝐾𝑥)) = 0 ∨ (𝑇𝑥) = 𝑄))
3634, 35syl6bbr 280 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ≠ 𝑄 ↔ ((1 / (𝐾𝑥)) ≠ 0 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄)))
3723, 24, 36mpbir2and 704 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ≠ 𝑄)
3814, 30nvscl 27937 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑌) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ∈ 𝑌)
3912, 38mp3an1 1572 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑌) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ∈ 𝑌)
4025, 29, 39syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ∈ 𝑌)
41 nmlno0lem.m . . . . . . . . . . . 12 𝑀 = (normCV𝑊)
4214, 15, 41nvgt0 27985 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ∈ 𝑌) → (((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ≠ 𝑄 ↔ 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
4312, 40, 42sylancr 581 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ≠ 𝑄 ↔ 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
4437, 43mpbid 223 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))))
4544ex 401 . . . . . . . 8 (𝑥𝑋 → ((𝑇𝑥) ≠ 𝑄 → 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
4645adantl 473 . . . . . . 7 (((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑇𝑥) ≠ 𝑄 → 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
4714, 41nmosetre 28075 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ)
4812, 27, 47mp2an 683 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ
49 ressxr 10337 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℝ*
5048, 49sstri 3770 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ*
51 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → 𝑥𝑋)
52 nmlno0lem.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑅 = ( ·𝑠OLD𝑈)
532, 52nvscl 27937 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝑋) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) ∈ 𝑋)
541, 53mp3an1 1572 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝑋) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) ∈ 𝑋)
5525, 51, 54syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) ∈ 𝑋)
5619necon3i 2969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑇𝑥) ≠ 𝑄𝑥𝑃)
572, 52, 8, 3nv1 27986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋𝑥𝑃) → (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) = 1)
581, 57mp3an1 1572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑋𝑥𝑃) → (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) = 1)
5956, 58sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) = 1)
60 1re 10293 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
6159, 60syl6eqel 2852 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) ∈ ℝ)
62 eqle 10393 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) = 1) → (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) ≤ 1)
6361, 59, 62syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) ≤ 1)
641, 12, 133pm3.2i 1438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿)
652, 52, 30, 16lnomul 28071 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ ((1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝑋)) → (𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) = ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))
6664, 65mpan 681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝑋) → (𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) = ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))
6725, 51, 66syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) = ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))
6867eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) = (𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)))
6968fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥))))
70 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) → (𝐾𝑧) = (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)))
7170breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) → ((𝐾𝑧) ≤ 1 ↔ (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) ≤ 1))
72 2fveq3 6380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) → (𝑀‘(𝑇𝑧)) = (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥))))
7372eqeq2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) → ((𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧)) ↔ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)))))
7471, 73anbi12d 624 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) → (((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧))) ↔ ((𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥))))))
7574rspcev 3461 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥))))) → ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧))))
7655, 63, 69, 75syl12anc 865 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧))))
77 fvex 6388 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ∈ V
78 eqeq1 2769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) → (𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)) ↔ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧))))
7978anbi2d 622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) → (((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧))) ↔ ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧)))))
8079rexbidv 3199 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) → (∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧))) ↔ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧)))))
8177, 80elab 3504 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))} ↔ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧))))
8276, 81sylibr 225 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))})
83 supxrub 12356 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ* ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ≤ sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
8450, 82, 83sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ≤ sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
8584adantll 705 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ≤ sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
86 nmlno0.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
872, 14, 3, 41, 86nmooval 28074 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑁𝑇) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
881, 12, 27, 87mp3an 1585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁𝑇) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < )
8988eqeq1i 2770 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁𝑇) = 0 ↔ sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) = 0)
9089biimpi 207 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑇) = 0 → sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) = 0)
9190ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) = 0)
9285, 91breqtrd 4835 . . . . . . . . 9 ((((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ≤ 0)
9314, 41nvcl 27972 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ∈ 𝑌) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
9412, 40, 93sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
95 0re 10295 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
96 lenlt 10370 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
9794, 95, 96sylancl 580 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ((𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
9897adantll 705 . . . . . . . . 9 ((((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ((𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
9992, 98mpbid 223 . . . . . . . 8 ((((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ¬ 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))))
10099ex 401 . . . . . . 7 (((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑇𝑥) ≠ 𝑄 → ¬ 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
10146, 100pm2.65d 187 . . . . . 6 (((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) → ¬ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄)
102 nne 2941 . . . . . 6 (¬ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄 ↔ (𝑇𝑥) = 𝑄)
103101, 102sylib 209 . . . . 5 (((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) → (𝑇𝑥) = 𝑄)
104 nmlno0.0 . . . . . . . 8 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
1052, 15, 1040oval 28099 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → (𝑍𝑥) = 𝑄)
1061, 12, 105mp3an12 1575 . . . . . 6 (𝑥𝑋 → (𝑍𝑥) = 𝑄)
107106adantl 473 . . . . 5 (((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) → (𝑍𝑥) = 𝑄)
108103, 107eqtr4d 2802 . . . 4 (((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) → (𝑇𝑥) = (𝑍𝑥))
109108ralrimiva 3113 . . 3 ((𝑁𝑇) = 0 → ∀𝑥𝑋 (𝑇𝑥) = (𝑍𝑥))
110 ffn 6223 . . . . 5 (𝑇:𝑋𝑌𝑇 Fn 𝑋)
11127, 110ax-mp 5 . . . 4 𝑇 Fn 𝑋
1122, 14, 1040oo 28100 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍:𝑋𝑌)
1131, 12, 112mp2an 683 . . . . 5 𝑍:𝑋𝑌
114 ffn 6223 . . . . 5 (𝑍:𝑋𝑌𝑍 Fn 𝑋)
115113, 114ax-mp 5 . . . 4 𝑍 Fn 𝑋
116 eqfnfv 6501 . . . 4 ((𝑇 Fn 𝑋𝑍 Fn 𝑋) → (𝑇 = 𝑍 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑇𝑥) = (𝑍𝑥)))
117111, 115, 116mp2an 683 . . 3 (𝑇 = 𝑍 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑇𝑥) = (𝑍𝑥))
118109, 117sylibr 225 . 2 ((𝑁𝑇) = 0 → 𝑇 = 𝑍)
119 fveq2 6375 . . 3 (𝑇 = 𝑍 → (𝑁𝑇) = (𝑁𝑍))
12086, 104nmoo0 28102 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑁𝑍) = 0)
1211, 12, 120mp2an 683 . . 3 (𝑁𝑍) = 0
122119, 121syl6eq 2815 . 2 (𝑇 = 𝑍 → (𝑁𝑇) = 0)
123118, 122impbii 200 1 ((𝑁𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  {cab 2751  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  wss 3732   class class class wbr 4809   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  supcsup 8553  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329   / cdiv 10938  NrmCVeccnv 27895  BaseSetcba 27897   ·𝑠OLD cns 27898  0veccn0v 27899  normCVcnmcv 27901   LnOp clno 28051   normOpOLD cnmoo 28052   0op c0o 28054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-grpo 27804  df-gid 27805  df-ginv 27806  df-ablo 27856  df-vc 27870  df-nv 27903  df-va 27906  df-ba 27907  df-sm 27908  df-0v 27909  df-nmcv 27911  df-lno 28055  df-nmoo 28056  df-0o 28058
This theorem is referenced by:  nmlno0i  28105
  Copyright terms: Public domain W3C validator