MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmlno0lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmlno0lem 28497
Description: Lemma for nmlno0i 28498. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmlno0.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmlno0.0 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
nmlno0.7 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
nmlno0lem.u 𝑈 ∈ NrmCVec
nmlno0lem.w 𝑊 ∈ NrmCVec
nmlno0lem.l 𝑇𝐿
nmlno0lem.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmlno0lem.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmlno0lem.r 𝑅 = ( ·𝑠OLD𝑈)
nmlno0lem.s 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑊)
nmlno0lem.p 𝑃 = (0vec𝑈)
nmlno0lem.q 𝑄 = (0vec𝑊)
nmlno0lem.k 𝐾 = (normCV𝑈)
nmlno0lem.m 𝑀 = (normCV𝑊)
Assertion
Ref Expression
nmlno0lem ((𝑁𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍)

Proof of Theorem nmlno0lem
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmlno0lem.u . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑈 ∈ NrmCVec
2 nmlno0lem.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 nmlno0lem.k . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐾 = (normCV𝑈)
42, 3nvcl 28365 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → (𝐾𝑥) ∈ ℝ)
51, 4mpan 686 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑋 → (𝐾𝑥) ∈ ℝ)
65recnd 10657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑋 → (𝐾𝑥) ∈ ℂ)
76adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝐾𝑥) ∈ ℂ)
8 nmlno0lem.p . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑃 = (0vec𝑈)
92, 8, 3nvz 28373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐾𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑃))
101, 9mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝑋 → ((𝐾𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑃))
11 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑃 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝑃))
12 nmlno0lem.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑊 ∈ NrmCVec
13 nmlno0lem.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇𝐿
14 nmlno0lem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
15 nmlno0lem.q . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑄 = (0vec𝑊)
16 nmlno0.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
172, 14, 8, 15, 16lno0 28460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇𝑃) = 𝑄)
181, 12, 13, 17mp3an 1452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇𝑃) = 𝑄
1911, 18syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑃 → (𝑇𝑥) = 𝑄)
2010, 19syl6bi 254 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑋 → ((𝐾𝑥) = 0 → (𝑇𝑥) = 𝑄))
2120necon3d 3034 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑋 → ((𝑇𝑥) ≠ 𝑄 → (𝐾𝑥) ≠ 0))
2221imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝐾𝑥) ≠ 0)
237, 22recne0d 11398 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (1 / (𝐾𝑥)) ≠ 0)
24 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑇𝑥) ≠ 𝑄)
257, 22reccld 11397 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ)
262, 14, 16lnof 28459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋𝑌)
271, 12, 13, 26mp3an 1452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇:𝑋𝑌
2827ffvelrni 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝑋 → (𝑇𝑥) ∈ 𝑌)
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑇𝑥) ∈ 𝑌)
30 nmlno0lem.s . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑊)
3114, 30, 15nvmul0or 28354 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑌) → (((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) = 𝑄 ↔ ((1 / (𝐾𝑥)) = 0 ∨ (𝑇𝑥) = 𝑄)))
3212, 31mp3an1 1439 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑌) → (((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) = 𝑄 ↔ ((1 / (𝐾𝑥)) = 0 ∨ (𝑇𝑥) = 𝑄)))
3325, 29, 32syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) = 𝑄 ↔ ((1 / (𝐾𝑥)) = 0 ∨ (𝑇𝑥) = 𝑄)))
3433necon3abid 3049 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ≠ 𝑄 ↔ ¬ ((1 / (𝐾𝑥)) = 0 ∨ (𝑇𝑥) = 𝑄)))
35 neanior 3106 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (𝐾𝑥)) ≠ 0 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) ↔ ¬ ((1 / (𝐾𝑥)) = 0 ∨ (𝑇𝑥) = 𝑄))
3634, 35syl6bbr 290 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ≠ 𝑄 ↔ ((1 / (𝐾𝑥)) ≠ 0 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄)))
3723, 24, 36mpbir2and 709 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ≠ 𝑄)
3814, 30nvscl 28330 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑌) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ∈ 𝑌)
3912, 38mp3an1 1439 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑌) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ∈ 𝑌)
4025, 29, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ∈ 𝑌)
41 nmlno0lem.m . . . . . . . . . . . 12 𝑀 = (normCV𝑊)
4214, 15, 41nvgt0 28378 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ∈ 𝑌) → (((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ≠ 𝑄 ↔ 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
4312, 40, 42sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ≠ 𝑄 ↔ 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
4437, 43mpbid 233 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))))
4544ex 413 . . . . . . . 8 (𝑥𝑋 → ((𝑇𝑥) ≠ 𝑄 → 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
4645adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑇𝑥) ≠ 𝑄 → 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
4714, 41nmosetre 28468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ)
4812, 27, 47mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ
49 ressxr 10673 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℝ*
5048, 49sstri 3973 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ*
51 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → 𝑥𝑋)
52 nmlno0lem.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑅 = ( ·𝑠OLD𝑈)
532, 52nvscl 28330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝑋) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) ∈ 𝑋)
541, 53mp3an1 1439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝑋) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) ∈ 𝑋)
5525, 51, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) ∈ 𝑋)
5619necon3i 3045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑇𝑥) ≠ 𝑄𝑥𝑃)
572, 52, 8, 3nv1 28379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋𝑥𝑃) → (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) = 1)
581, 57mp3an1 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑋𝑥𝑃) → (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) = 1)
5956, 58sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) = 1)
60 1re 10629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
6159, 60syl6eqel 2918 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) ∈ ℝ)
62 eqle 10730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) = 1) → (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) ≤ 1)
6361, 59, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) ≤ 1)
641, 12, 133pm3.2i 1331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿)
652, 52, 30, 16lnomul 28464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ ((1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝑋)) → (𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) = ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))
6664, 65mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / (𝐾𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝑋) → (𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) = ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))
6725, 51, 66syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) = ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))
6867eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) = (𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)))
6968fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥))))
70 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) → (𝐾𝑧) = (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)))
7170breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) → ((𝐾𝑧) ≤ 1 ↔ (𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) ≤ 1))
72 2fveq3 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) → (𝑀‘(𝑇𝑧)) = (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥))))
7372eqeq2d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) → ((𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧)) ↔ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)))))
7471, 73anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) → (((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧))) ↔ ((𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥))))))
7574rspcev 3620 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐾‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥)) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐾𝑥))𝑅𝑥))))) → ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧))))
7655, 63, 69, 75syl12anc 832 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧))))
77 fvex 6676 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ∈ V
78 eqeq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) → (𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)) ↔ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧))))
7978anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) → (((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧))) ↔ ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧)))))
8079rexbidv 3294 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) → (∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧))) ↔ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧)))))
8177, 80elab 3664 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))} ↔ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) = (𝑀‘(𝑇𝑧))))
8276, 81sylibr 235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))})
83 supxrub 12705 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ* ∧ (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ≤ sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
8450, 82, 83sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ≤ sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
8584adantll 710 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ≤ sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
86 nmlno0.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
872, 14, 3, 41, 86nmooval 28467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑁𝑇) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
881, 12, 27, 87mp3an 1452 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁𝑇) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < )
8988eqeq1i 2823 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁𝑇) = 0 ↔ sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) = 0)
9089biimpi 217 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑇) = 0 → sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) = 0)
9190ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → sup({𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝐾𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (𝑀‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) = 0)
9285, 91breqtrd 5083 . . . . . . . . 9 ((((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ≤ 0)
9314, 41nvcl 28365 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)) ∈ 𝑌) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
9412, 40, 93sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
95 0re 10631 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
96 lenlt 10707 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
9794, 95, 96sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑋 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ((𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
9897adantll 710 . . . . . . . . 9 ((((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ((𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
9992, 98mpbid 233 . . . . . . . 8 ((((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄) → ¬ 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥))))
10099ex 413 . . . . . . 7 (((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑇𝑥) ≠ 𝑄 → ¬ 0 < (𝑀‘((1 / (𝐾𝑥))𝑆(𝑇𝑥)))))
10146, 100pm2.65d 197 . . . . . 6 (((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) → ¬ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄)
102 nne 3017 . . . . . 6 (¬ (𝑇𝑥) ≠ 𝑄 ↔ (𝑇𝑥) = 𝑄)
103101, 102sylib 219 . . . . 5 (((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) → (𝑇𝑥) = 𝑄)
104 nmlno0.0 . . . . . . . 8 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
1052, 15, 1040oval 28492 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → (𝑍𝑥) = 𝑄)
1061, 12, 105mp3an12 1442 . . . . . 6 (𝑥𝑋 → (𝑍𝑥) = 𝑄)
107106adantl 482 . . . . 5 (((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) → (𝑍𝑥) = 𝑄)
108103, 107eqtr4d 2856 . . . 4 (((𝑁𝑇) = 0 ∧ 𝑥𝑋) → (𝑇𝑥) = (𝑍𝑥))
109108ralrimiva 3179 . . 3 ((𝑁𝑇) = 0 → ∀𝑥𝑋 (𝑇𝑥) = (𝑍𝑥))
110 ffn 6507 . . . . 5 (𝑇:𝑋𝑌𝑇 Fn 𝑋)
11127, 110ax-mp 5 . . . 4 𝑇 Fn 𝑋
1122, 14, 1040oo 28493 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍:𝑋𝑌)
1131, 12, 112mp2an 688 . . . . 5 𝑍:𝑋𝑌
114 ffn 6507 . . . . 5 (𝑍:𝑋𝑌𝑍 Fn 𝑋)
115113, 114ax-mp 5 . . . 4 𝑍 Fn 𝑋
116 eqfnfv 6794 . . . 4 ((𝑇 Fn 𝑋𝑍 Fn 𝑋) → (𝑇 = 𝑍 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑇𝑥) = (𝑍𝑥)))
117111, 115, 116mp2an 688 . . 3 (𝑇 = 𝑍 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑇𝑥) = (𝑍𝑥))
118109, 117sylibr 235 . 2 ((𝑁𝑇) = 0 → 𝑇 = 𝑍)
119 fveq2 6663 . . 3 (𝑇 = 𝑍 → (𝑁𝑇) = (𝑁𝑍))
12086, 104nmoo0 28495 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑁𝑍) = 0)
1211, 12, 120mp2an 688 . . 3 (𝑁𝑍) = 0
122119, 121syl6eq 2869 . 2 (𝑇 = 𝑍 → (𝑁𝑇) = 0)
123118, 122impbii 210 1 ((𝑁𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  {cab 2796  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  wss 3933   class class class wbr 5057   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  supcsup 8892  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664   / cdiv 11285  NrmCVeccnv 28288  BaseSetcba 28290   ·𝑠OLD cns 28291  0veccn0v 28292  normCVcnmcv 28294   LnOp clno 28444   normOpOLD cnmoo 28445   0op c0o 28447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-grpo 28197  df-gid 28198  df-ginv 28199  df-ablo 28249  df-vc 28263  df-nv 28296  df-va 28299  df-ba 28300  df-sm 28301  df-0v 28302  df-nmcv 28304  df-lno 28448  df-nmoo 28449  df-0o 28451
This theorem is referenced by:  nmlno0i  28498
  Copyright terms: Public domain W3C validator