Theorem nmoo0 30735

Description: The operator norm of the zero operator. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoo0.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmoo0.0	⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
nmoo0	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑁‘𝑍) = 0)

Proof of Theorem nmoo0

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
3		nmoo0.0	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
4	1, 2, 3	0oo 30733	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊))
5		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
6		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (normCV‘𝑊) = (normCV‘𝑊)
7		nmoo0.3	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
8	1, 2, 5, 6, 7	nmooval 30707	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑍:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘𝑍) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)))}, ℝ*, < ))
9	4, 8	mpd3an3 1464	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑁‘𝑍) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)))}, ℝ*, < ))
10		df-sn 4578	. . . . 5 ⊢ {0} = {𝑥 ∣ 𝑥 = 0}
11		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
12	1, 11	nvzcl 30578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑈) ∈ (BaseSet‘𝑈))
13	11, 5	nvz0 30612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈)) = 0)
14		0le1 11643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
15	13, 14	eqbrtrdi 5131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈)) ≤ 1)
16		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (0vec‘𝑈) → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) = ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈)))
17	16	breq1d 5102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (0vec‘𝑈) → (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ↔ ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈)) ≤ 1))
18	17	rspcev 3577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0vec‘𝑈) ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈)) ≤ 1) → ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1)
19	12, 15, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1)
20	19	biantrurd 532	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 = 0 ↔ (∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0)))
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑥 = 0 ↔ (∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0)))
22		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
23	1, 22, 3	0oval 30732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑍‘𝑧) = (0vec‘𝑊))
24	23	3expa 1118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑍‘𝑧) = (0vec‘𝑊))
25	24	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)) = ((normCV‘𝑊)‘(0vec‘𝑊)))
26	22, 6	nvz0 30612	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → ((normCV‘𝑊)‘(0vec‘𝑊)) = 0)
27	26	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((normCV‘𝑊)‘(0vec‘𝑊)) = 0)
28	25, 27	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)) = 0)
29	28	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)) ↔ 𝑥 = 0))
30	29	anbi2d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧))) ↔ (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0)))
31	30	rexbidva 3151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧))) ↔ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0)))
32		r19.41v 3159	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ (∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0))
33	31, 32	bitr2di 288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → ((∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)))))
34	21, 33	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑥 = 0 ↔ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)))))
35	34	abbidv 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → {𝑥 ∣ 𝑥 = 0} = {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)))})
36	10, 35	eqtr2id 2777	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)))} = {0})
37	36	supeq1d 9336	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)))}, ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < ))
38	9, 37	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑁‘𝑍) = sup({0}, ℝ*, < ))
39		xrltso 13043	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
40		0xr 11162	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
41		supsn 9363	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
42	39, 40, 41	mp2an 692	. 2 ⊢ sup({0}, ℝ*, < ) = 0
43	38, 42	eqtrdi 2780	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑁‘𝑍) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∃wrex 3053  {csn 4577   class class class wbr 5092   Or wor 5526  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  supcsup 9330  0cc0 11009  1c1 11010  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   ≤ cle 11150  NrmCVeccnv 30528  BaseSetcba 30530  0_veccn0v 30532  norm_CVcnmcv 30534   normOp_OLD cnmoo 30685   0_op c0o 30687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-grpo 30437  df-gid 30438  df-ginv 30439  df-ablo 30489  df-vc 30503  df-nv 30536  df-va 30539  df-ba 30540  df-sm 30541  df-0v 30542  df-nmcv 30544  df-nmoo 30689  df-0o 30691

This theorem is referenced by:  0blo  30736  nmlno0lem  30737