Theorem nmoo0 31084

Description: The operator norm of the zero operator. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoo0.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmoo0.0	⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
nmoo0	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑁‘𝑍) = 0)

Proof of Theorem nmoo0

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
3		nmoo0.0	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
4	1, 2, 3	0oo 31082	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊))
5		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
6		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (normCV‘𝑊) = (normCV‘𝑊)
7		nmoo0.3	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
8	1, 2, 5, 6, 7	nmooval 31056	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑍:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘𝑍) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)))}, ℝ*, < ))
9	4, 8	mpd3an3 1488	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑁‘𝑍) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)))}, ℝ*, < ))
10		df-sn 4595	. . . . 5 ⊢ {0} = {𝑥 ∣ 𝑥 = 0}
11		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
12	1, 11	nvzcl 30927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑈) ∈ (BaseSet‘𝑈))
13	11, 5	nvz0 30961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈)) = 0)
14		0le1 11737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
15	13, 14	eqbrtrdi 5154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈)) ≤ 1)
16		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (0vec‘𝑈) → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) = ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈)))
17	16	breq1d 5123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (0vec‘𝑈) → (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ↔ ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈)) ≤ 1))
18	17	rspcev 3590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0vec‘𝑈) ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈)) ≤ 1) → ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1)
19	12, 15, 18	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1)
20	19	biantrurd 541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 = 0 ↔ (∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0)))
21	20	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑥 = 0 ↔ (∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0)))
22		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
23	1, 22, 3	0oval 31081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑍‘𝑧) = (0vec‘𝑊))
24	23	3expa 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑍‘𝑧) = (0vec‘𝑊))
25	24	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)) = ((normCV‘𝑊)‘(0vec‘𝑊)))
26	22, 6	nvz0 30961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → ((normCV‘𝑊)‘(0vec‘𝑊)) = 0)
27	26	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((normCV‘𝑊)‘(0vec‘𝑊)) = 0)
28	25, 27	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)) = 0)
29	28	eqeq2d 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)) ↔ 𝑥 = 0))
30	29	anbi2d 641	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧))) ↔ (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0)))
31	30	rexbidva 3193	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧))) ↔ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0)))
32		r19.41v 3201	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ (∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0))
33	31, 32	bitr2di 291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → ((∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)))))
34	21, 33	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑥 = 0 ↔ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)))))
35	34	abbidv 2835	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → {𝑥 ∣ 𝑥 = 0} = {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)))})
36	10, 35	eqtr2id 2817	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)))} = {0})
37	36	supeq1d 9406	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)))}, ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < ))
38	9, 37	eqtrd 2804	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑁‘𝑍) = sup({0}, ℝ*, < ))
39		xrltso 13166	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
40		0xr 11256	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
41		supsn 9433	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
42	39, 40, 41	mp2an 704	. 2 ⊢ sup({0}, ℝ*, < ) = 0
43	38, 42	eqtrdi 2820	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑁‘𝑍) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {cab 2747  ∃wrex 3095  {csn 4594   class class class wbr 5113   Or wor 5569  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  supcsup 9400  0cc0 11100  1c1 11101  ℝ^*cxr 11242   < clt 11243   ≤ cle 11244  NrmCVeccnv 30877  BaseSetcba 30879  0_veccn0v 30881  norm_CVcnmcv 30883   normOp_OLD cnmoo 31034   0_op c0o 31036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-grpo 30786  df-gid 30787  df-ginv 30788  df-ablo 30838  df-vc 30852  df-nv 30885  df-va 30888  df-ba 30889  df-sm 30890  df-0v 30891  df-nmcv 30893  df-nmoo 31038  df-0o 31040

This theorem is referenced by:  0blo  31085  nmlno0lem  31086