MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoo0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmoo0 30044
Description: The operator norm of the zero operator. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoo0.3 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
nmoo0.0 𝑍 = (π‘ˆ 0op π‘Š)
Assertion
Ref Expression
nmoo0 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ (π‘β€˜π‘) = 0)
Proof of Theorem nmoo0
Dummy variables π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . 5 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 eqid 2733 . . . . 5 (BaseSetβ€˜π‘Š) = (BaseSetβ€˜π‘Š)
3 nmoo0.0 . . . . 5 𝑍 = (π‘ˆ 0op π‘Š)
41, 2, 30oo 30042 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ 𝑍:(BaseSetβ€˜π‘ˆ)⟢(BaseSetβ€˜π‘Š))
5 eqid 2733 . . . . 5 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
6 eqid 2733 . . . . 5 (normCVβ€˜π‘Š) = (normCVβ€˜π‘Š)
7 nmoo0.3 . . . . 5 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
81, 2, 5, 6, 7nmooval 30016 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑍:(BaseSetβ€˜π‘ˆ)⟢(BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜π‘) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ))
94, 8mpd3an3 1463 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ (π‘β€˜π‘) = sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ))
10 df-sn 4630 . . . . 5 {0} = {π‘₯ ∣ π‘₯ = 0}
11 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
121, 11nvzcl 29887 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (0vecβ€˜π‘ˆ) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
1311, 5nvz0 29921 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) = 0)
14 0le1 11737 . . . . . . . . . . 11 0 ≀ 1
1513, 14eqbrtrdi 5188 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) ≀ 1)
16 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)))
1716breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ↔ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) ≀ 1))
1817rspcev 3613 . . . . . . . . . 10 (((0vecβ€˜π‘ˆ) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1)
1912, 15, 18syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1)
2019biantrurd 534 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘₯ = 0 ↔ (βˆƒπ‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = 0)))
2120adantr 482 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ (π‘₯ = 0 ↔ (βˆƒπ‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = 0)))
22 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0vecβ€˜π‘Š) = (0vecβ€˜π‘Š)
231, 22, 30oval 30041 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π‘§) = (0vecβ€˜π‘Š))
24233expa 1119 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π‘§) = (0vecβ€˜π‘Š))
2524fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘β€˜π‘§)) = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(0vecβ€˜π‘Š)))
2622, 6nvz0 29921 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(0vecβ€˜π‘Š)) = 0)
2726ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(0vecβ€˜π‘Š)) = 0)
2825, 27eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘β€˜π‘§)) = 0)
2928eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘β€˜π‘§)) ↔ π‘₯ = 0))
3029anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘β€˜π‘§))) ↔ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = 0)))
3130rexbidva 3177 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘β€˜π‘§))) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = 0)))
32 r19.41v 3189 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = 0) ↔ (βˆƒπ‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = 0))
3331, 32bitr2di 288 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ ((βˆƒπ‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = 0) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘β€˜π‘§)))))
3421, 33bitrd 279 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ (π‘₯ = 0 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘β€˜π‘§)))))
3534abbidv 2802 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ {π‘₯ ∣ π‘₯ = 0} = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘β€˜π‘§)))})
3610, 35eqtr2id 2786 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘β€˜π‘§)))} = {0})
3736supeq1d 9441 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘§) ≀ 1 ∧ π‘₯ = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘β€˜π‘§)))}, ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < ))
389, 37eqtrd 2773 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ (π‘β€˜π‘) = sup({0}, ℝ*, < ))
39 xrltso 13120 . . 3 < Or ℝ*
40 0xr 11261 . . 3 0 ∈ ℝ*
41 supsn 9467 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
4239, 40, 41mp2an 691 . 2 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
4338, 42eqtrdi 2789 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ (π‘β€˜π‘) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆƒwrex 3071  {csn 4629   class class class wbr 5149   Or wor 5588  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  supcsup 9435  0cc0 11110  1c1 11111  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  NrmCVeccnv 29837  BaseSetcba 29839  0veccn0v 29841  normCVcnmcv 29843   normOpOLD cnmoo 29994   0op c0o 29996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-nmcv 29853  df-nmoo 29998  df-0o 30000
This theorem is referenced by:  0blo  30045  nmlno0lem  30046
  Copyright terms: Public domain W3C validator