Theorem nmoo0 30879

Description: The operator norm of the zero operator. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoo0.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmoo0.0	⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
nmoo0	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑁‘𝑍) = 0)

Proof of Theorem nmoo0

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
3		nmoo0.0	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
4	1, 2, 3	0oo 30877	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊))
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (normCV‘𝑊) = (normCV‘𝑊)
7		nmoo0.3	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
8	1, 2, 5, 6, 7	nmooval 30851	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑍:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘𝑍) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)))}, ℝ*, < ))
9	4, 8	mpd3an3 1465	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑁‘𝑍) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)))}, ℝ*, < ))
10		df-sn 4583	. . . . 5 ⊢ {0} = {𝑥 ∣ 𝑥 = 0}
11		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
12	1, 11	nvzcl 30722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑈) ∈ (BaseSet‘𝑈))
13	11, 5	nvz0 30756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈)) = 0)
14		0le1 11672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
15	13, 14	eqbrtrdi 5139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈)) ≤ 1)
16		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (0vec‘𝑈) → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) = ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈)))
17	16	breq1d 5110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (0vec‘𝑈) → (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ↔ ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈)) ≤ 1))
18	17	rspcev 3578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0vec‘𝑈) ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈)) ≤ 1) → ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1)
19	12, 15, 18	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1)
20	19	biantrurd 532	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 = 0 ↔ (∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0)))
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑥 = 0 ↔ (∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0)))
22		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
23	1, 22, 3	0oval 30876	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑍‘𝑧) = (0vec‘𝑊))
24	23	3expa 1119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑍‘𝑧) = (0vec‘𝑊))
25	24	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)) = ((normCV‘𝑊)‘(0vec‘𝑊)))
26	22, 6	nvz0 30756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → ((normCV‘𝑊)‘(0vec‘𝑊)) = 0)
27	26	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((normCV‘𝑊)‘(0vec‘𝑊)) = 0)
28	25, 27	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)) = 0)
29	28	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)) ↔ 𝑥 = 0))
30	29	anbi2d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧))) ↔ (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0)))
31	30	rexbidva 3160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧))) ↔ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0)))
32		r19.41v 3168	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ (∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0))
33	31, 32	bitr2di 288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → ((∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)))))
34	21, 33	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑥 = 0 ↔ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)))))
35	34	abbidv 2803	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → {𝑥 ∣ 𝑥 = 0} = {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)))})
36	10, 35	eqtr2id 2785	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)))} = {0})
37	36	supeq1d 9361	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)))}, ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < ))
38	9, 37	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑁‘𝑍) = sup({0}, ℝ*, < ))
39		xrltso 13067	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
40		0xr 11191	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
41		supsn 9388	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
42	39, 40, 41	mp2an 693	. 2 ⊢ sup({0}, ℝ*, < ) = 0
43	38, 42	eqtrdi 2788	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑁‘𝑍) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715  ∃wrex 3062  {csn 4582   class class class wbr 5100   Or wor 5539  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  supcsup 9355  0cc0 11038  1c1 11039  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179  NrmCVeccnv 30672  BaseSetcba 30674  0_veccn0v 30676  norm_CVcnmcv 30678   normOp_OLD cnmoo 30829   0_op c0o 30831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-grpo 30581  df-gid 30582  df-ginv 30583  df-ablo 30633  df-vc 30647  df-nv 30680  df-va 30683  df-ba 30684  df-sm 30685  df-0v 30686  df-nmcv 30688  df-nmoo 30833  df-0o 30835

This theorem is referenced by:  0blo  30880  nmlno0lem  30881