MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0lno Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 0lno 30081
Description: The zero operator is linear. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
0lno.0 𝑍 = (π‘ˆ 0op π‘Š)
0lno.7 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
Assertion
Ref Expression
0lno ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ 𝑍 ∈ 𝐿)
Proof of Theorem 0lno
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 eqid 2732 . . 3 (BaseSetβ€˜π‘Š) = (BaseSetβ€˜π‘Š)
3 0lno.0 . . 3 𝑍 = (π‘ˆ 0op π‘Š)
41, 2, 30oo 30080 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ 𝑍:(BaseSetβ€˜π‘ˆ)⟢(BaseSetβ€˜π‘Š))
5 simplll 773 . . . . . 6 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
6 simpllr 774 . . . . . 6 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
7 simplr 767 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
8 simprl 769 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
9 eqid 2732 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
101, 9nvscl 29917 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
115, 7, 8, 10syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (π‘₯( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
12 simprr 771 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
13 eqid 2732 . . . . . . . 8 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
141, 13nvgcl 29911 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
155, 11, 12, 14syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((π‘₯( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
16 eqid 2732 . . . . . . 7 (0vecβ€˜π‘Š) = (0vecβ€˜π‘Š)
171, 16, 30oval 30079 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ ((π‘₯( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜((π‘₯( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑧)) = (0vecβ€˜π‘Š))
185, 6, 15, 17syl3anc 1371 . . . . 5 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (π‘β€˜((π‘₯( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑧)) = (0vecβ€˜π‘Š))
191, 16, 30oval 30079 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π‘¦) = (0vecβ€˜π‘Š))
205, 6, 8, 19syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (π‘β€˜π‘¦) = (0vecβ€˜π‘Š))
2120oveq2d 7427 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (π‘₯( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘β€˜π‘¦)) = (π‘₯( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š)))
221, 16, 30oval 30079 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π‘§) = (0vecβ€˜π‘Š))
235, 6, 12, 22syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (π‘β€˜π‘§) = (0vecβ€˜π‘Š))
2421, 23oveq12d 7429 . . . . . 6 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((π‘₯( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘β€˜π‘¦))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘β€˜π‘§)) = ((π‘₯( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š))( +𝑣 β€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š)))
25 eqid 2732 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
2625, 16nvsz 29929 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š)) = (0vecβ€˜π‘Š))
276, 7, 26syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (π‘₯( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š)) = (0vecβ€˜π‘Š))
2827oveq1d 7426 . . . . . 6 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((π‘₯( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š))( +𝑣 β€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š)) = ((0vecβ€˜π‘Š)( +𝑣 β€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š)))
292, 16nvzcl 29925 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ (0vecβ€˜π‘Š) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
30 eqid 2732 . . . . . . . 8 ( +𝑣 β€˜π‘Š) = ( +𝑣 β€˜π‘Š)
312, 30, 16nv0rid 29926 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (0vecβ€˜π‘Š) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ ((0vecβ€˜π‘Š)( +𝑣 β€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š)) = (0vecβ€˜π‘Š))
326, 29, 31syl2anc2 585 . . . . . 6 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((0vecβ€˜π‘Š)( +𝑣 β€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š)) = (0vecβ€˜π‘Š))
3324, 28, 323eqtrd 2776 . . . . 5 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((π‘₯( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘β€˜π‘¦))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘β€˜π‘§)) = (0vecβ€˜π‘Š))
3418, 33eqtr4d 2775 . . . 4 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (π‘β€˜((π‘₯( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑧)) = ((π‘₯( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘β€˜π‘¦))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘β€˜π‘§)))
3534ralrimivva 3200 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜((π‘₯( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑧)) = ((π‘₯( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘β€˜π‘¦))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘β€˜π‘§)))
3635ralrimiva 3146 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜((π‘₯( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑧)) = ((π‘₯( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘β€˜π‘¦))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘β€˜π‘§)))
37 0lno.7 . . 3 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
381, 2, 13, 30, 9, 25, 37islno 30044 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ (𝑍 ∈ 𝐿 ↔ (𝑍:(BaseSetβ€˜π‘ˆ)⟢(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜((π‘₯( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑧)) = ((π‘₯( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘β€˜π‘¦))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘β€˜π‘§)))))
394, 36, 38mpbir2and 711 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ 𝑍 ∈ 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  NrmCVeccnv 29875   +𝑣 cpv 29876  BaseSetcba 29877   ·𝑠OLD cns 29878  0veccn0v 29879   LnOp clno 30031   0op c0o 30034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-ltxr 11255  df-grpo 29784  df-gid 29785  df-ginv 29786  df-ablo 29836  df-vc 29850  df-nv 29883  df-va 29886  df-ba 29887  df-sm 29888  df-0v 29889  df-nmcv 29891  df-lno 30035  df-0o 30038
This theorem is referenced by:  0blo  30083  nmlno0i  30085  blocn  30098
  Copyright terms: Public domain W3C validator