Theorem 1pi 9911

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	⊢ 1𝑜 ∈ N

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 7877	. 2 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
2		1n0 7733	. 2 ⊢ 1𝑜 ≠ ∅
3		elni 9904	. 2 ⊢ (1𝑜 ∈ N ↔ (1𝑜 ∈ ω ∧ 1𝑜 ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 690	1 ⊢ 1𝑜 ∈ N

Syntax hints:   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∅c0 4063  ωcom 7216  1_𝑜c1o 7710  Ncnpi 9872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pr 5035  ax-un 7100

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-tr 4888  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-om 7217  df-1o 7717  df-ni 9900

This theorem is referenced by:  mulidpi  9914  1lt2pi  9933  nlt1pi  9934  indpi  9935  pinq  9955  1nq  9956  1nqenq  9990  mulidnq  9991  1lt2nq  10001  archnq  10008  prlem934  10061