Theorem 1pi 10781

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	⊢ 1o ∈ N

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8561	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 8409	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
3		elni 10774	. 2 ⊢ (1o ∈ N ↔ (1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 711	1 ⊢ 1o ∈ N

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∅c0 4282  ωcom 7802  1_oc1o 8384  Ncnpi 10742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-tr 5201  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-om 7803  df-1o 8391  df-ni 10770

This theorem is referenced by:  mulidpi  10784  1lt2pi  10803  nlt1pi  10804  indpi  10805  pinq  10825  1nq  10826  1nqenq  10860  mulidnq  10861  1lt2nq  10871  archnq  10878  prlem934  10931