Theorem 1pi 10856

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	⊢ 1o ∈ N

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8614	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 8460	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
3		elni 10849	. 2 ⊢ (1o ∈ N ↔ (1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 723	1 ⊢ 1o ∈ N

Syntax hints:   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∅c0 4288  ωcom 7850  1_oc1o 8434  Ncnpi 10817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-tr 5213  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-om 7851  df-1o 8441  df-ni 10845

This theorem is referenced by:  mulidpi  10859  1lt2pi  10878  nlt1pi  10879  indpi  10880  pinq  10900  1nq  10901  1nqenq  10935  mulidnq  10936  1lt2nq  10946  archnq  10953  prlem934  11006