Theorem 1pi 10995

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	⊢ 1o ∈ N

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8677	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 8523	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
3		elni 10988	. 2 ⊢ (1o ∈ N ↔ (1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 724	1 ⊢ 1o ∈ N

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∅c0 4281  ωcom 7901  1_oc1o 8497  Ncnpi 10956

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-tr 5216  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-om 7902  df-1o 8504  df-ni 10984

This theorem is used by:  mulidpi  10998  1lt2pi  11017  nlt1pi  11018  indpi  11019  pinq  11039  1nq  11040  1nqenq  11074  mulidnq  11075  1lt2nq  11085  archnq  11092  prlem934  11145