Theorem 1pi 10638

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	⊢ 1o ∈ N

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8453	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 8307	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
3		elni 10631	. 2 ⊢ (1o ∈ N ↔ (1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 708	1 ⊢ 1o ∈ N

Syntax hints:   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  ∅c0 4262  ωcom 7704  1_oc1o 8279  Ncnpi 10599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-11 2158  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pr 5356  ax-un 7580

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-sb 2072  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-tr 5197  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-om 7705  df-1o 8286  df-ni 10627

This theorem is referenced by:  mulidpi  10641  1lt2pi  10660  nlt1pi  10661  indpi  10662  pinq  10682  1nq  10683  1nqenq  10717  mulidnq  10718  1lt2nq  10728  archnq  10735  prlem934  10788