Theorem 1pi 10874

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	⊢ 1o ∈ N

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8635	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 8483	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
3		elni 10867	. 2 ⊢ (1o ∈ N ↔ (1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 708	1 ⊢ 1o ∈ N

Syntax hints:   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∅c0 4314  ωcom 7848  1_oc1o 8454  Ncnpi 10835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-tr 5256  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-om 7849  df-1o 8461  df-ni 10863

This theorem is referenced by:  mulidpi  10877  1lt2pi  10896  nlt1pi  10897  indpi  10898  pinq  10918  1nq  10919  1nqenq  10953  mulidnq  10954  1lt2nq  10964  archnq  10971  prlem934  11024