Theorem 1pi 10908

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	⊢ 1o ∈ N

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8661	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 8509	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
3		elni 10901	. 2 ⊢ (1o ∈ N ↔ (1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 709	1 ⊢ 1o ∈ N

Syntax hints:   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∅c0 4322  ωcom 7871  1_oc1o 8480  Ncnpi 10869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-om 7872  df-1o 8487  df-ni 10897

This theorem is referenced by:  mulidpi  10911  1lt2pi  10930  nlt1pi  10931  indpi  10932  pinq  10952  1nq  10953  1nqenq  10987  mulidnq  10988  1lt2nq  10998  archnq  11005  prlem934  11058