Theorem 1nqenq 10764

Description: The equivalence class of ratio 1. (Contributed by NM, 4-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1nqenq	⊢ (𝐴 ∈ N → 1Q ~Q ⟨𝐴, 𝐴⟩)

Proof of Theorem 1nqenq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enqer 10723	. . 3 ⊢ ~Q Er (N × N)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → ~Q Er (N × N))
3		mulidpi 10688	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·N 1o) = 𝐴)
4	3, 3	opeq12d 4817	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ = ⟨𝐴, 𝐴⟩)
5		1pi 10685	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ N
6		mulcanenq 10762	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ ~Q ⟨1o, 1o⟩)
7	5, 5, 6	mp3an23 1453	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ ~Q ⟨1o, 1o⟩)
8		df-1nq 10718	. . . 4 ⊢ 1Q = ⟨1o, 1o⟩
9	7, 8	breqtrrdi 5123	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ ~Q 1Q)
10	4, 9	eqbrtrrd 5105	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨𝐴, 𝐴⟩ ~Q 1Q)
11	2, 10	ersym 8541	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → 1Q ~Q ⟨𝐴, 𝐴⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104  ⟨cop 4571   class class class wbr 5081   × cxp 5598  (class class class)co 7307  1_oc1o 8321   Er wer 8526  Ncnpi 10646   ·_N cmi 10648   ~_Q ceq 10653  1_Qc1q 10655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361  ax-un 7620

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-oadd 8332  df-omul 8333  df-er 8529  df-ni 10674  df-mi 10676  df-enq 10713  df-1nq 10718

This theorem is referenced by:  recmulnq  10766