Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1nqenq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1nqenq 10375
 Description: The equivalence class of ratio 1. (Contributed by NM, 4-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
1nqenq (𝐴N → 1Q ~Q𝐴, 𝐴⟩)

Proof of Theorem 1nqenq
StepHypRef Expression
1 enqer 10334 . . 3 ~Q Er (N × N)
21a1i 11 . 2 (𝐴N → ~Q Er (N × N))
3 mulidpi 10299 . . . 4 (𝐴N → (𝐴 ·N 1o) = 𝐴)
43, 3opeq12d 4773 . . 3 (𝐴N → ⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ = ⟨𝐴, 𝐴⟩)
5 1pi 10296 . . . . 5 1oN
6 mulcanenq 10373 . . . . 5 ((𝐴N ∧ 1oN ∧ 1oN) → ⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ ~Q ⟨1o, 1o⟩)
75, 5, 6mp3an23 1450 . . . 4 (𝐴N → ⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ ~Q ⟨1o, 1o⟩)
8 df-1nq 10329 . . . 4 1Q = ⟨1o, 1o
97, 8breqtrrdi 5072 . . 3 (𝐴N → ⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ ~Q 1Q)
104, 9eqbrtrrd 5054 . 2 (𝐴N → ⟨𝐴, 𝐴⟩ ~Q 1Q)
112, 10ersym 8286 1 (𝐴N → 1Q ~Q𝐴, 𝐴⟩)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4531   class class class wbr 5030   × cxp 5517  (class class class)co 7135  1oc1o 8080   Er wer 8271  Ncnpi 10257   ·N cmi 10259   ~Q ceq 10264  1Qc1q 10266 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-omul 8092  df-er 8274  df-ni 10285  df-mi 10287  df-enq 10324  df-1nq 10329 This theorem is referenced by:  recmulnq  10377
 Copyright terms: Public domain W3C validator