Theorem 1nqenq 10921

Description: The equivalence class of ratio 1. (Contributed by NM, 4-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1nqenq	⊢ (𝐴 ∈ N → 1Q ~Q ⟨𝐴, 𝐴⟩)

Proof of Theorem 1nqenq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enqer 10880	. . 3 ⊢ ~Q Er (N × N)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → ~Q Er (N × N))
3		mulidpi 10845	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·N 1o) = 𝐴)
4	3, 3	opeq12d 4847	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ = ⟨𝐴, 𝐴⟩)
5		1pi 10842	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ N
6		mulcanenq 10919	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ ~Q ⟨1o, 1o⟩)
7	5, 5, 6	mp3an23 1455	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ ~Q ⟨1o, 1o⟩)
8		df-1nq 10875	. . . 4 ⊢ 1Q = ⟨1o, 1o⟩
9	7, 8	breqtrrdi 5151	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ ~Q 1Q)
10	4, 9	eqbrtrrd 5133	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨𝐴, 𝐴⟩ ~Q 1Q)
11	2, 10	ersym 8685	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → 1Q ~Q ⟨𝐴, 𝐴⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4597   class class class wbr 5109   × cxp 5638  (class class class)co 7389  1_oc1o 8429   Er wer 8670  Ncnpi 10803   ·_N cmi 10805   ~_Q ceq 10810  1_Qc1q 10812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-oadd 8440  df-omul 8441  df-er 8673  df-ni 10831  df-mi 10833  df-enq 10870  df-1nq 10875

This theorem is referenced by:  recmulnq  10923