Theorem 1nqenq 10942

Description: The equivalence class of ratio 1. (Contributed by NM, 4-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1nqenq	⊢ (𝐴 ∈ N → 1Q ~Q ⟨𝐴, 𝐴⟩)

Proof of Theorem 1nqenq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enqer 10901	. . 3 ⊢ ~Q Er (N × N)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → ~Q Er (N × N))
3		mulidpi 10866	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·N 1o) = 𝐴)
4	3, 3	opeq12d 4846	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ = ⟨𝐴, 𝐴⟩)
5		1pi 10863	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ N
6		mulcanenq 10940	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ ~Q ⟨1o, 1o⟩)
7	5, 5, 6	mp3an23 1482	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ ~Q ⟨1o, 1o⟩)
8		df-1nq 10896	. . . 4 ⊢ 1Q = ⟨1o, 1o⟩
9	7, 8	breqtrrdi 5153	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ ~Q 1Q)
10	4, 9	eqbrtrrd 5135	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨𝐴, 𝐴⟩ ~Q 1Q)
11	2, 10	ersym 8703	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → 1Q ~Q ⟨𝐴, 𝐴⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  ⟨cop 4595   class class class wbr 5109   × cxp 5659  (class class class)co 7410  1_oc1o 8442   Er wer 8687  Ncnpi 10824   ·_N cmi 10826   ~_Q ceq 10831  1_Qc1q 10833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-ni 10852  df-mi 10854  df-enq 10891  df-1nq 10896

This theorem is referenced by:  recmulnq  10944