Theorem 1nqenq 10853

Description: The equivalence class of ratio 1. (Contributed by NM, 4-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1nqenq	⊢ (𝐴 ∈ N → 1Q ~Q ⟨𝐴, 𝐴⟩)

Proof of Theorem 1nqenq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enqer 10812	. . 3 ⊢ ~Q Er (N × N)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → ~Q Er (N × N))
3		mulidpi 10777	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·N 1o) = 𝐴)
4	3, 3	opeq12d 4830	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ = ⟨𝐴, 𝐴⟩)
5		1pi 10774	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ N
6		mulcanenq 10851	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ ~Q ⟨1o, 1o⟩)
7	5, 5, 6	mp3an23 1455	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ ~Q ⟨1o, 1o⟩)
8		df-1nq 10807	. . . 4 ⊢ 1Q = ⟨1o, 1o⟩
9	7, 8	breqtrrdi 5131	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ ~Q 1Q)
10	4, 9	eqbrtrrd 5113	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨𝐴, 𝐴⟩ ~Q 1Q)
11	2, 10	ersym 8634	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → 1Q ~Q ⟨𝐴, 𝐴⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4579   class class class wbr 5089   × cxp 5612  (class class class)co 7346  1_oc1o 8378   Er wer 8619  Ncnpi 10735   ·_N cmi 10737   ~_Q ceq 10742  1_Qc1q 10744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-er 8622  df-ni 10763  df-mi 10765  df-enq 10802  df-1nq 10807

This theorem is referenced by:  recmulnq  10855