MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  archnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem archnq 10923
Description: For any fraction, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
archnq (๐ด โˆˆ Q โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ N ๐ด <Q โŸจ๐‘ฅ, 1oโŸฉ)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem archnq
StepHypRef Expression
1 elpqn 10868 . . . 4 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ๐ด โˆˆ (N ร— N))
2 xp1st 7958 . . . 4 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ด) โˆˆ N)
31, 2syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (1st โ€˜๐ด) โˆˆ N)
4 1pi 10826 . . 3 1o โˆˆ N
5 addclpi 10835 . . 3 (((1st โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง 1o โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โˆˆ N)
63, 4, 5sylancl 587 . 2 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โˆˆ N)
7 xp2nd 7959 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N)
81, 7syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N)
9 mulclpi 10836 . . . . 5 ((((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N) โ†’ (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โˆˆ N)
106, 8, 9syl2anc 585 . . . 4 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โˆˆ N)
11 eqid 2737 . . . . . . 7 ((1st โ€˜๐ด) +N 1o) = ((1st โ€˜๐ด) +N 1o)
12 oveq2 7370 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 1o โ†’ ((1st โ€˜๐ด) +N ๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐ด) +N 1o))
1312eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 1o โ†’ (((1st โ€˜๐ด) +N ๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โ†” ((1st โ€˜๐ด) +N 1o) = ((1st โ€˜๐ด) +N 1o)))
1413rspcev 3584 . . . . . . 7 ((1o โˆˆ N โˆง ((1st โ€˜๐ด) +N 1o) = ((1st โ€˜๐ด) +N 1o)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ N ((1st โ€˜๐ด) +N ๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐ด) +N 1o))
154, 11, 14mp2an 691 . . . . . 6 โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ N ((1st โ€˜๐ด) +N ๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐ด) +N 1o)
16 ltexpi 10845 . . . . . 6 (((1st โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง ((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) <N ((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ N ((1st โ€˜๐ด) +N ๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐ด) +N 1o)))
1715, 16mpbiri 258 . . . . 5 (((1st โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง ((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โˆˆ N) โ†’ (1st โ€˜๐ด) <N ((1st โ€˜๐ด) +N 1o))
183, 6, 17syl2anc 585 . . . 4 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (1st โ€˜๐ด) <N ((1st โ€˜๐ด) +N 1o))
19 nlt1pi 10849 . . . . 5 ยฌ (2nd โ€˜๐ด) <N 1o
20 ltmpi 10847 . . . . . . 7 (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โˆˆ N โ†’ ((2nd โ€˜๐ด) <N 1o โ†” (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) <N (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN 1o)))
216, 20syl 17 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ((2nd โ€˜๐ด) <N 1o โ†” (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) <N (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN 1o)))
22 mulidpi 10829 . . . . . . . 8 (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โˆˆ N โ†’ (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN 1o) = ((1st โ€˜๐ด) +N 1o))
236, 22syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN 1o) = ((1st โ€˜๐ด) +N 1o))
2423breq2d 5122 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ((((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) <N (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN 1o) โ†” (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) <N ((1st โ€˜๐ด) +N 1o)))
2521, 24bitrd 279 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ((2nd โ€˜๐ด) <N 1o โ†” (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) <N ((1st โ€˜๐ด) +N 1o)))
2619, 25mtbii 326 . . . 4 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ยฌ (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) <N ((1st โ€˜๐ด) +N 1o))
27 ltsopi 10831 . . . . 5 <N Or N
28 ltrelpi 10832 . . . . 5 <N โŠ† (N ร— N)
2927, 28sotri3 6089 . . . 4 (((((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โˆˆ N โˆง (1st โ€˜๐ด) <N ((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โˆง ยฌ (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) <N ((1st โ€˜๐ด) +N 1o)) โ†’ (1st โ€˜๐ด) <N (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))
3010, 18, 26, 29syl3anc 1372 . . 3 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (1st โ€˜๐ด) <N (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))
31 pinq 10870 . . . . . 6 (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โˆˆ N โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ โˆˆ Q)
326, 31syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Q โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ โˆˆ Q)
33 ordpinq 10886 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ)) <N ((1st โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
3432, 33mpdan 686 . . . 4 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (๐ด <Q โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ)) <N ((1st โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
35 ovex 7395 . . . . . . . 8 ((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โˆˆ V
36 1oex 8427 . . . . . . . 8 1o โˆˆ V
3735, 36op2nd 7935 . . . . . . 7 (2nd โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ) = 1o
3837oveq2i 7373 . . . . . 6 ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ)) = ((1st โ€˜๐ด) ยทN 1o)
39 mulidpi 10829 . . . . . . 7 ((1st โ€˜๐ด) โˆˆ N โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN 1o) = (1st โ€˜๐ด))
403, 39syl 17 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN 1o) = (1st โ€˜๐ด))
4138, 40eqtrid 2789 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ)) = (1st โ€˜๐ด))
4235, 36op1st 7934 . . . . . . 7 (1st โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ) = ((1st โ€˜๐ด) +N 1o)
4342oveq1i 7372 . . . . . 6 ((1st โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) = (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด))
4443a1i 11 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ((1st โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) = (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))
4541, 44breq12d 5123 . . . 4 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ)) <N ((1st โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โ†” (1st โ€˜๐ด) <N (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
4634, 45bitrd 279 . . 3 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (๐ด <Q โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ โ†” (1st โ€˜๐ด) <N (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
4730, 46mpbird 257 . 2 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ๐ด <Q โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ)
48 opeq1 4835 . . . 4 (๐‘ฅ = ((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โ†’ โŸจ๐‘ฅ, 1oโŸฉ = โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ)
4948breq2d 5122 . . 3 (๐‘ฅ = ((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โ†’ (๐ด <Q โŸจ๐‘ฅ, 1oโŸฉ โ†” ๐ด <Q โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ))
5049rspcev 3584 . 2 ((((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โˆˆ N โˆง ๐ด <Q โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ N ๐ด <Q โŸจ๐‘ฅ, 1oโŸฉ)
516, 47, 50syl2anc 585 1 (๐ด โˆˆ Q โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ N ๐ด <Q โŸจ๐‘ฅ, 1oโŸฉ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3074  โŸจcop 4597   class class class wbr 5110   ร— cxp 5636  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1st c1st 7924  2nd c2nd 7925  1oc1o 8410  Ncnpi 10787   +N cpli 10788   ยทN cmi 10789   <N clti 10790  Qcnq 10795   <Q cltq 10801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-ni 10815  df-pli 10816  df-mi 10817  df-lti 10818  df-ltpq 10853  df-nq 10855  df-ltnq 10861
This theorem is referenced by:  prlem934  10976
  Copyright terms: Public domain W3C validator