MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  archnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem archnq 10979
Description: For any fraction, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
archnq (๐ด โˆˆ Q โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ N ๐ด <Q โŸจ๐‘ฅ, 1oโŸฉ)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem archnq
StepHypRef Expression
1 elpqn 10924 . . . 4 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ๐ด โˆˆ (N ร— N))
2 xp1st 8011 . . . 4 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ด) โˆˆ N)
31, 2syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (1st โ€˜๐ด) โˆˆ N)
4 1pi 10882 . . 3 1o โˆˆ N
5 addclpi 10891 . . 3 (((1st โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง 1o โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โˆˆ N)
63, 4, 5sylancl 584 . 2 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โˆˆ N)
7 xp2nd 8012 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N)
81, 7syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N)
9 mulclpi 10892 . . . . 5 ((((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N) โ†’ (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โˆˆ N)
106, 8, 9syl2anc 582 . . . 4 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โˆˆ N)
11 eqid 2730 . . . . . . 7 ((1st โ€˜๐ด) +N 1o) = ((1st โ€˜๐ด) +N 1o)
12 oveq2 7421 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 1o โ†’ ((1st โ€˜๐ด) +N ๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐ด) +N 1o))
1312eqeq1d 2732 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 1o โ†’ (((1st โ€˜๐ด) +N ๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โ†” ((1st โ€˜๐ด) +N 1o) = ((1st โ€˜๐ด) +N 1o)))
1413rspcev 3613 . . . . . . 7 ((1o โˆˆ N โˆง ((1st โ€˜๐ด) +N 1o) = ((1st โ€˜๐ด) +N 1o)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ N ((1st โ€˜๐ด) +N ๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐ด) +N 1o))
154, 11, 14mp2an 688 . . . . . 6 โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ N ((1st โ€˜๐ด) +N ๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐ด) +N 1o)
16 ltexpi 10901 . . . . . 6 (((1st โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง ((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) <N ((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ N ((1st โ€˜๐ด) +N ๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐ด) +N 1o)))
1715, 16mpbiri 257 . . . . 5 (((1st โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง ((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โˆˆ N) โ†’ (1st โ€˜๐ด) <N ((1st โ€˜๐ด) +N 1o))
183, 6, 17syl2anc 582 . . . 4 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (1st โ€˜๐ด) <N ((1st โ€˜๐ด) +N 1o))
19 nlt1pi 10905 . . . . 5 ยฌ (2nd โ€˜๐ด) <N 1o
20 ltmpi 10903 . . . . . . 7 (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โˆˆ N โ†’ ((2nd โ€˜๐ด) <N 1o โ†” (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) <N (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN 1o)))
216, 20syl 17 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ((2nd โ€˜๐ด) <N 1o โ†” (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) <N (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN 1o)))
22 mulidpi 10885 . . . . . . . 8 (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โˆˆ N โ†’ (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN 1o) = ((1st โ€˜๐ด) +N 1o))
236, 22syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN 1o) = ((1st โ€˜๐ด) +N 1o))
2423breq2d 5161 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ((((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) <N (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN 1o) โ†” (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) <N ((1st โ€˜๐ด) +N 1o)))
2521, 24bitrd 278 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ((2nd โ€˜๐ด) <N 1o โ†” (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) <N ((1st โ€˜๐ด) +N 1o)))
2619, 25mtbii 325 . . . 4 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ยฌ (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) <N ((1st โ€˜๐ด) +N 1o))
27 ltsopi 10887 . . . . 5 <N Or N
28 ltrelpi 10888 . . . . 5 <N โŠ† (N ร— N)
2927, 28sotri3 6132 . . . 4 (((((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โˆˆ N โˆง (1st โ€˜๐ด) <N ((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โˆง ยฌ (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) <N ((1st โ€˜๐ด) +N 1o)) โ†’ (1st โ€˜๐ด) <N (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))
3010, 18, 26, 29syl3anc 1369 . . 3 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (1st โ€˜๐ด) <N (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))
31 pinq 10926 . . . . . 6 (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โˆˆ N โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ โˆˆ Q)
326, 31syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Q โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ โˆˆ Q)
33 ordpinq 10942 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ)) <N ((1st โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
3432, 33mpdan 683 . . . 4 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (๐ด <Q โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ)) <N ((1st โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
35 ovex 7446 . . . . . . . 8 ((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โˆˆ V
36 1oex 8480 . . . . . . . 8 1o โˆˆ V
3735, 36op2nd 7988 . . . . . . 7 (2nd โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ) = 1o
3837oveq2i 7424 . . . . . 6 ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ)) = ((1st โ€˜๐ด) ยทN 1o)
39 mulidpi 10885 . . . . . . 7 ((1st โ€˜๐ด) โˆˆ N โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN 1o) = (1st โ€˜๐ด))
403, 39syl 17 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN 1o) = (1st โ€˜๐ด))
4138, 40eqtrid 2782 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ)) = (1st โ€˜๐ด))
4235, 36op1st 7987 . . . . . . 7 (1st โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ) = ((1st โ€˜๐ด) +N 1o)
4342oveq1i 7423 . . . . . 6 ((1st โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) = (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด))
4443a1i 11 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ((1st โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) = (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))
4541, 44breq12d 5162 . . . 4 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ)) <N ((1st โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โ†” (1st โ€˜๐ด) <N (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
4634, 45bitrd 278 . . 3 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (๐ด <Q โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ โ†” (1st โ€˜๐ด) <N (((1st โ€˜๐ด) +N 1o) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
4730, 46mpbird 256 . 2 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ๐ด <Q โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ)
48 opeq1 4874 . . . 4 (๐‘ฅ = ((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โ†’ โŸจ๐‘ฅ, 1oโŸฉ = โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ)
4948breq2d 5161 . . 3 (๐‘ฅ = ((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โ†’ (๐ด <Q โŸจ๐‘ฅ, 1oโŸฉ โ†” ๐ด <Q โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ))
5049rspcev 3613 . 2 ((((1st โ€˜๐ด) +N 1o) โˆˆ N โˆง ๐ด <Q โŸจ((1st โ€˜๐ด) +N 1o), 1oโŸฉ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ N ๐ด <Q โŸจ๐‘ฅ, 1oโŸฉ)
516, 47, 50syl2anc 582 1 (๐ด โˆˆ Q โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ N ๐ด <Q โŸจ๐‘ฅ, 1oโŸฉ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆƒwrex 3068  โŸจcop 4635   class class class wbr 5149   ร— cxp 5675  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  1st c1st 7977  2nd c2nd 7978  1oc1o 8463  Ncnpi 10843   +N cpli 10844   ยทN cmi 10845   <N clti 10846  Qcnq 10851   <Q cltq 10857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-ni 10871  df-pli 10872  df-mi 10873  df-lti 10874  df-ltpq 10909  df-nq 10911  df-ltnq 10917
This theorem is referenced by:  prlem934  11032
  Copyright terms: Public domain W3C validator