Theorem 1lt2pi 10945

Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1lt2pi	⊢ 1o <N (1o +N 1o)

Proof of Theorem 1lt2pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8678	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ ω
2		nna0 8642	. . . . 5 ⊢ (1o ∈ ω → (1o +o ∅) = 1o)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1o +o ∅) = 1o
4		0lt1o 8542	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 1o
5		peano1 7910	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
6		nnaord 8657	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ 1o ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → (∅ ∈ 1o ↔ (1o +o ∅) ∈ (1o +o 1o)))
7	5, 1, 1, 6	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 1o ↔ (1o +o ∅) ∈ (1o +o 1o))
8	4, 7	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (1o +o ∅) ∈ (1o +o 1o)
9	3, 8	eqeltrri 2838	. . 3 ⊢ 1o ∈ (1o +o 1o)
10		1pi 10923	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
11		addpiord 10924	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (1o +N 1o) = (1o +o 1o))
12	10, 10, 11	mp2an 692	. . 3 ⊢ (1o +N 1o) = (1o +o 1o)
13	9, 12	eleqtrri 2840	. 2 ⊢ 1o ∈ (1o +N 1o)
14		addclpi 10932	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (1o +N 1o) ∈ N)
15	10, 10, 14	mp2an 692	. . 3 ⊢ (1o +N 1o) ∈ N
16		ltpiord 10927	. . 3 ⊢ ((1o ∈ N ∧ (1o +N 1o) ∈ N) → (1o <N (1o +N 1o) ↔ 1o ∈ (1o +N 1o)))
17	10, 15, 16	mp2an 692	. 2 ⊢ (1o <N (1o +N 1o) ↔ 1o ∈ (1o +N 1o))
18	13, 17	mpbir 231	1 ⊢ 1o <N (1o +N 1o)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∅c0 4333   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ωcom 7887  1_oc1o 8499   +_o coa 8503  Ncnpi 10884   +_N cpli 10885   <_N clti 10887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-ni 10912  df-pli 10913  df-lti 10915

This theorem is referenced by:  1lt2nq  11013