Theorem 1lt2pi 10484

Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1lt2pi	⊢ 1o <N (1o +N 1o)

Proof of Theorem 1lt2pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8345	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ ω
2		nna0 8310	. . . . 5 ⊢ (1o ∈ ω → (1o +o ∅) = 1o)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1o +o ∅) = 1o
4		0lt1o 8209	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 1o
5		peano1 7645	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
6		nnaord 8325	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ 1o ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → (∅ ∈ 1o ↔ (1o +o ∅) ∈ (1o +o 1o)))
7	5, 1, 1, 6	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 1o ↔ (1o +o ∅) ∈ (1o +o 1o))
8	4, 7	mpbi 233	. . . 4 ⊢ (1o +o ∅) ∈ (1o +o 1o)
9	3, 8	eqeltrri 2828	. . 3 ⊢ 1o ∈ (1o +o 1o)
10		1pi 10462	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
11		addpiord 10463	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (1o +N 1o) = (1o +o 1o))
12	10, 10, 11	mp2an 692	. . 3 ⊢ (1o +N 1o) = (1o +o 1o)
13	9, 12	eleqtrri 2830	. 2 ⊢ 1o ∈ (1o +N 1o)
14		addclpi 10471	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (1o +N 1o) ∈ N)
15	10, 10, 14	mp2an 692	. . 3 ⊢ (1o +N 1o) ∈ N
16		ltpiord 10466	. . 3 ⊢ ((1o ∈ N ∧ (1o +N 1o) ∈ N) → (1o <N (1o +N 1o) ↔ 1o ∈ (1o +N 1o)))
17	10, 15, 16	mp2an 692	. 2 ⊢ (1o <N (1o +N 1o) ↔ 1o ∈ (1o +N 1o))
18	13, 17	mpbir 234	1 ⊢ 1o <N (1o +N 1o)

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ∅c0 4223   class class class wbr 5039  (class class class)co 7191  ωcom 7622  1_oc1o 8173   +_o coa 8177  Ncnpi 10423   +_N cpli 10424   <_N clti 10426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-oadd 8184  df-ni 10451  df-pli 10452  df-lti 10454

This theorem is referenced by:  1lt2nq  10552