MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1lt2pi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1lt2pi 10125
Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
1lt2pi 1o <N (1o +N 1o)

Proof of Theorem 1lt2pi
StepHypRef Expression
1 1onn 8066 . . . . 5 1o ∈ ω
2 nna0 8031 . . . . 5 (1o ∈ ω → (1o +o ∅) = 1o)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (1o +o ∅) = 1o
4 0lt1o 7931 . . . . 5 ∅ ∈ 1o
5 peano1 7416 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
6 nnaord 8046 . . . . . 6 ((∅ ∈ ω ∧ 1o ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → (∅ ∈ 1o ↔ (1o +o ∅) ∈ (1o +o 1o)))
75, 1, 1, 6mp3an 1440 . . . . 5 (∅ ∈ 1o ↔ (1o +o ∅) ∈ (1o +o 1o))
84, 7mpbi 222 . . . 4 (1o +o ∅) ∈ (1o +o 1o)
93, 8eqeltrri 2864 . . 3 1o ∈ (1o +o 1o)
10 1pi 10103 . . . 4 1oN
11 addpiord 10104 . . . 4 ((1oN ∧ 1oN) → (1o +N 1o) = (1o +o 1o))
1210, 10, 11mp2an 679 . . 3 (1o +N 1o) = (1o +o 1o)
139, 12eleqtrri 2866 . 2 1o ∈ (1o +N 1o)
14 addclpi 10112 . . . 4 ((1oN ∧ 1oN) → (1o +N 1o) ∈ N)
1510, 10, 14mp2an 679 . . 3 (1o +N 1o) ∈ N
16 ltpiord 10107 . . 3 ((1oN ∧ (1o +N 1o) ∈ N) → (1o <N (1o +N 1o) ↔ 1o ∈ (1o +N 1o)))
1710, 15, 16mp2an 679 . 2 (1o <N (1o +N 1o) ↔ 1o ∈ (1o +N 1o))
1813, 17mpbir 223 1 1o <N (1o +N 1o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198   = wceq 1507  wcel 2050  c0 4179   class class class wbr 4929  (class class class)co 6976  ωcom 7396  1oc1o 7898   +o coa 7902  Ncnpi 10064   +N cpli 10065   <N clti 10067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-ni 10092  df-pli 10093  df-lti 10095
This theorem is referenced by:  1lt2nq  10193
  Copyright terms: Public domain W3C validator