Theorem 1lt2pi 10919

Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1lt2pi	⊢ 1o <N (1o +N 1o)

Proof of Theorem 1lt2pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8652	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ ω
2		nna0 8616	. . . . 5 ⊢ (1o ∈ ω → (1o +o ∅) = 1o)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1o +o ∅) = 1o
4		0lt1o 8516	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 1o
5		peano1 7884	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
6		nnaord 8631	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ 1o ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → (∅ ∈ 1o ↔ (1o +o ∅) ∈ (1o +o 1o)))
7	5, 1, 1, 6	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 1o ↔ (1o +o ∅) ∈ (1o +o 1o))
8	4, 7	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (1o +o ∅) ∈ (1o +o 1o)
9	3, 8	eqeltrri 2831	. . 3 ⊢ 1o ∈ (1o +o 1o)
10		1pi 10897	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
11		addpiord 10898	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (1o +N 1o) = (1o +o 1o))
12	10, 10, 11	mp2an 692	. . 3 ⊢ (1o +N 1o) = (1o +o 1o)
13	9, 12	eleqtrri 2833	. 2 ⊢ 1o ∈ (1o +N 1o)
14		addclpi 10906	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (1o +N 1o) ∈ N)
15	10, 10, 14	mp2an 692	. . 3 ⊢ (1o +N 1o) ∈ N
16		ltpiord 10901	. . 3 ⊢ ((1o ∈ N ∧ (1o +N 1o) ∈ N) → (1o <N (1o +N 1o) ↔ 1o ∈ (1o +N 1o)))
17	10, 15, 16	mp2an 692	. 2 ⊢ (1o <N (1o +N 1o) ↔ 1o ∈ (1o +N 1o))
18	13, 17	mpbir 231	1 ⊢ 1o <N (1o +N 1o)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∅c0 4308   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ωcom 7861  1_oc1o 8473   +_o coa 8477  Ncnpi 10858   +_N cpli 10859   <_N clti 10861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-ni 10886  df-pli 10887  df-lti 10889

This theorem is referenced by:  1lt2nq  10987