Theorem nlt1pi 10317

Description: No positive integer is less than one. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nlt1pi	⊢ ¬ 𝐴 <N 1o

Proof of Theorem nlt1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elni 10287	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
2	1	simprbi 500	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ≠ ∅)
3		noel 4247	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
4		1pi 10294	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ N
5		ltpiord 10298	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (𝐴 <N 1o ↔ 𝐴 ∈ 1o))
6	4, 5	mpan2 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1o ↔ 𝐴 ∈ 1o))
7		df-1o 8085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = suc ∅
8	7	eleq2i 2881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 1o ↔ 𝐴 ∈ suc ∅)
9		elsucg 6226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ suc ∅ ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
10	8, 9	syl5bb 286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ 1o ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
11	6, 10	bitrd 282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1o ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
12	11	biimpa 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1o) → (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅))
13	12	ord 861	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1o) → (¬ 𝐴 ∈ ∅ → 𝐴 = ∅))
14	3, 13	mpi 20	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1o) → 𝐴 = ∅)
15	14	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1o → 𝐴 = ∅))
16	15	necon3ad 3000	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 <N 1o))
17	2, 16	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → ¬ 𝐴 <N 1o)
18		ltrelpi 10300	. . . . 5 ⊢ <N ⊆ (N × N)
19	18	brel 5581	. . . 4 ⊢ (𝐴 <N 1o → (𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N))
20	19	simpld 498	. . 3 ⊢ (𝐴 <N 1o → 𝐴 ∈ N)
21	20	con3i 157	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ N → ¬ 𝐴 <N 1o)
22	17, 21	pm2.61i 185	1 ⊢ ¬ 𝐴 <N 1o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∅c0 4243   class class class wbr 5030  suc csuc 6161  ωcom 7560  1_oc1o 8078  Ncnpi 10255   <_N clti 10258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-tr 5137  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-om 7561  df-1o 8085  df-ni 10283  df-lti 10286

This theorem is referenced by:  indpi  10318  pinq  10338  archnq  10391