Theorem nlt1pi 9930

Description: No positive integer is less than one. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nlt1pi	⊢ ¬ 𝐴 <N 1𝑜

Proof of Theorem nlt1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elni 9900	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
2	1	simprbi 484	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ≠ ∅)
3		noel 4067	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
4		1pi 9907	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1𝑜 ∈ N
5		ltpiord 9911	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → (𝐴 <N 1𝑜 ↔ 𝐴 ∈ 1𝑜))
6	4, 5	mpan2 671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1𝑜 ↔ 𝐴 ∈ 1𝑜))
7		df-1o 7713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1𝑜 = suc ∅
8	7	eleq2i 2842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 1𝑜 ↔ 𝐴 ∈ suc ∅)
9		elsucg 5935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ suc ∅ ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
10	8, 9	syl5bb 272	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ 1𝑜 ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
11	6, 10	bitrd 268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1𝑜 ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
12	11	biimpa 462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1𝑜) → (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅))
13	12	ord 853	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1𝑜) → (¬ 𝐴 ∈ ∅ → 𝐴 = ∅))
14	3, 13	mpi 20	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1𝑜) → 𝐴 = ∅)
15	14	ex 397	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1𝑜 → 𝐴 = ∅))
16	15	necon3ad 2956	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 <N 1𝑜))
17	2, 16	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → ¬ 𝐴 <N 1𝑜)
18		ltrelpi 9913	. . . . 5 ⊢ <N ⊆ (N × N)
19	18	brel 5308	. . . 4 ⊢ (𝐴 <N 1𝑜 → (𝐴 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N))
20	19	simpld 482	. . 3 ⊢ (𝐴 <N 1𝑜 → 𝐴 ∈ N)
21	20	con3i 151	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ N → ¬ 𝐴 <N 1𝑜)
22	17, 21	pm2.61i 176	1 ⊢ ¬ 𝐴 <N 1𝑜

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∨ wo 836   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∅c0 4063   class class class wbr 4786  suc csuc 5868  ωcom 7212  1_𝑜c1o 7706  Ncnpi 9868   <_N clti 9871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pr 5034  ax-un 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-tr 4887  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-om 7213  df-1o 7713  df-ni 9896  df-lti 9899

This theorem is referenced by:  indpi  9931  pinq  9951  archnq  10004