Theorem nlt1pi 10920

Description: No positive integer is less than one. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nlt1pi	⊢ ¬ 𝐴 <N 1o

Proof of Theorem nlt1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elni 10890	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
2	1	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ≠ ∅)
3		noel 4313	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
4		1pi 10897	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ N
5		ltpiord 10901	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (𝐴 <N 1o ↔ 𝐴 ∈ 1o))
6	4, 5	mpan2 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1o ↔ 𝐴 ∈ 1o))
7		df-1o 8480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = suc ∅
8	7	eleq2i 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 1o ↔ 𝐴 ∈ suc ∅)
9		elsucg 6422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ suc ∅ ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
10	8, 9	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ 1o ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
11	6, 10	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1o ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
12	11	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1o) → (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅))
13	12	ord 864	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1o) → (¬ 𝐴 ∈ ∅ → 𝐴 = ∅))
14	3, 13	mpi 20	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1o) → 𝐴 = ∅)
15	14	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1o → 𝐴 = ∅))
16	15	necon3ad 2945	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 <N 1o))
17	2, 16	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → ¬ 𝐴 <N 1o)
18		ltrelpi 10903	. . . . 5 ⊢ <N ⊆ (N × N)
19	18	brel 5719	. . . 4 ⊢ (𝐴 <N 1o → (𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N))
20	19	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝐴 <N 1o → 𝐴 ∈ N)
21	20	con3i 154	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ N → ¬ 𝐴 <N 1o)
22	17, 21	pm2.61i 182	1 ⊢ ¬ 𝐴 <N 1o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∅c0 4308   class class class wbr 5119  suc csuc 6354  ωcom 7861  1_oc1o 8473  Ncnpi 10858   <_N clti 10861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-tr 5230  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-om 7862  df-1o 8480  df-ni 10886  df-lti 10889

This theorem is referenced by:  indpi  10921  pinq  10941  archnq  10994