Theorem nlt1pi 9985

Description: No positive integer is less than one. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nlt1pi	⊢ ¬ 𝐴 <N 1𝑜

Proof of Theorem nlt1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elni 9955	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
2	1	simprbi 490	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ≠ ∅)
3		noel 4085	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
4		1pi 9962	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1𝑜 ∈ N
5		ltpiord 9966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → (𝐴 <N 1𝑜 ↔ 𝐴 ∈ 1𝑜))
6	4, 5	mpan2 682	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1𝑜 ↔ 𝐴 ∈ 1𝑜))
7		df-1o 7768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1𝑜 = suc ∅
8	7	eleq2i 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 1𝑜 ↔ 𝐴 ∈ suc ∅)
9		elsucg 5977	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ suc ∅ ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
10	8, 9	syl5bb 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ 1𝑜 ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
11	6, 10	bitrd 270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1𝑜 ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
12	11	biimpa 468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1𝑜) → (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅))
13	12	ord 890	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1𝑜) → (¬ 𝐴 ∈ ∅ → 𝐴 = ∅))
14	3, 13	mpi 20	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1𝑜) → 𝐴 = ∅)
15	14	ex 401	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1𝑜 → 𝐴 = ∅))
16	15	necon3ad 2950	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 <N 1𝑜))
17	2, 16	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → ¬ 𝐴 <N 1𝑜)
18		ltrelpi 9968	. . . . 5 ⊢ <N ⊆ (N × N)
19	18	brel 5338	. . . 4 ⊢ (𝐴 <N 1𝑜 → (𝐴 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N))
20	19	simpld 488	. . 3 ⊢ (𝐴 <N 1𝑜 → 𝐴 ∈ N)
21	20	con3i 151	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ N → ¬ 𝐴 <N 1𝑜)
22	17, 21	pm2.61i 176	1 ⊢ ¬ 𝐴 <N 1𝑜

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 197   ∧ wa 384   ∨ wo 873   = wceq 1652   ∈ wcel 2155   ≠ wne 2937  ∅c0 4081   class class class wbr 4811  suc csuc 5912  ωcom 7267  1_𝑜c1o 7761  Ncnpi 9923   <_N clti 9926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pr 5064  ax-un 7151

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-br 4812  df-opab 4874  df-tr 4914  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-om 7268  df-1o 7768  df-ni 9951  df-lti 9954

This theorem is referenced by:  indpi  9986  pinq  10006  archnq  10059