Theorem nlt1pi 10817

Description: No positive integer is less than one. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nlt1pi	⊢ ¬ 𝐴 <N 1o

Proof of Theorem nlt1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elni 10787	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
2	1	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ≠ ∅)
3		noel 4290	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
4		1pi 10794	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ N
5		ltpiord 10798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (𝐴 <N 1o ↔ 𝐴 ∈ 1o))
6	4, 5	mpan2 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1o ↔ 𝐴 ∈ 1o))
7		df-1o 8397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = suc ∅
8	7	eleq2i 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 1o ↔ 𝐴 ∈ suc ∅)
9		elsucg 6387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ suc ∅ ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
10	8, 9	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ 1o ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
11	6, 10	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1o ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
12	11	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1o) → (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅))
13	12	ord 864	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1o) → (¬ 𝐴 ∈ ∅ → 𝐴 = ∅))
14	3, 13	mpi 20	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1o) → 𝐴 = ∅)
15	14	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1o → 𝐴 = ∅))
16	15	necon3ad 2945	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 <N 1o))
17	2, 16	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → ¬ 𝐴 <N 1o)
18		ltrelpi 10800	. . . . 5 ⊢ <N ⊆ (N × N)
19	18	brel 5689	. . . 4 ⊢ (𝐴 <N 1o → (𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N))
20	19	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝐴 <N 1o → 𝐴 ∈ N)
21	20	con3i 154	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ N → ¬ 𝐴 <N 1o)
22	17, 21	pm2.61i 182	1 ⊢ ¬ 𝐴 <N 1o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∅c0 4285   class class class wbr 5098  suc csuc 6319  ωcom 7808  1_oc1o 8390  Ncnpi 10755   <_N clti 10758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-om 7809  df-1o 8397  df-ni 10783  df-lti 10786

This theorem is referenced by:  indpi  10818  pinq  10838  archnq  10891