MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlt1pi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlt1pi 9985
Description: No positive integer is less than one. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nlt1pi ¬ 𝐴 <N 1𝑜

Proof of Theorem nlt1pi
StepHypRef Expression
1 elni 9955 . . . 4 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
21simprbi 490 . . 3 (𝐴N𝐴 ≠ ∅)
3 noel 4085 . . . . . 6 ¬ 𝐴 ∈ ∅
4 1pi 9962 . . . . . . . . . 10 1𝑜N
5 ltpiord 9966 . . . . . . . . . 10 ((𝐴N ∧ 1𝑜N) → (𝐴 <N 1𝑜𝐴 ∈ 1𝑜))
64, 5mpan2 682 . . . . . . . . 9 (𝐴N → (𝐴 <N 1𝑜𝐴 ∈ 1𝑜))
7 df-1o 7768 . . . . . . . . . . 11 1𝑜 = suc ∅
87eleq2i 2836 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 1𝑜𝐴 ∈ suc ∅)
9 elsucg 5977 . . . . . . . . . 10 (𝐴N → (𝐴 ∈ suc ∅ ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
108, 9syl5bb 274 . . . . . . . . 9 (𝐴N → (𝐴 ∈ 1𝑜 ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
116, 10bitrd 270 . . . . . . . 8 (𝐴N → (𝐴 <N 1𝑜 ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
1211biimpa 468 . . . . . . 7 ((𝐴N𝐴 <N 1𝑜) → (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅))
1312ord 890 . . . . . 6 ((𝐴N𝐴 <N 1𝑜) → (¬ 𝐴 ∈ ∅ → 𝐴 = ∅))
143, 13mpi 20 . . . . 5 ((𝐴N𝐴 <N 1𝑜) → 𝐴 = ∅)
1514ex 401 . . . 4 (𝐴N → (𝐴 <N 1𝑜𝐴 = ∅))
1615necon3ad 2950 . . 3 (𝐴N → (𝐴 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 <N 1𝑜))
172, 16mpd 15 . 2 (𝐴N → ¬ 𝐴 <N 1𝑜)
18 ltrelpi 9968 . . . . 5 <N ⊆ (N × N)
1918brel 5338 . . . 4 (𝐴 <N 1𝑜 → (𝐴N ∧ 1𝑜N))
2019simpld 488 . . 3 (𝐴 <N 1𝑜𝐴N)
2120con3i 151 . 2 𝐴N → ¬ 𝐴 <N 1𝑜)
2217, 21pm2.61i 176 1 ¬ 𝐴 <N 1𝑜
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 197  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  c0 4081   class class class wbr 4811  suc csuc 5912  ωcom 7267  1𝑜c1o 7761  Ncnpi 9923   <N clti 9926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pr 5064  ax-un 7151
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-br 4812  df-opab 4874  df-tr 4914  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-om 7268  df-1o 7768  df-ni 9951  df-lti 9954
This theorem is referenced by:  indpi  9986  pinq  10006  archnq  10059
  Copyright terms: Public domain W3C validator