Theorem nlt1pi 10946

Description: No positive integer is less than one. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nlt1pi	⊢ ¬ 𝐴 <N 1o

Proof of Theorem nlt1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elni 10916	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
2	1	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ≠ ∅)
3		noel 4338	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
4		1pi 10923	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ N
5		ltpiord 10927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (𝐴 <N 1o ↔ 𝐴 ∈ 1o))
6	4, 5	mpan2 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1o ↔ 𝐴 ∈ 1o))
7		df-1o 8506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = suc ∅
8	7	eleq2i 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 1o ↔ 𝐴 ∈ suc ∅)
9		elsucg 6452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ suc ∅ ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
10	8, 9	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ 1o ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
11	6, 10	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1o ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
12	11	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1o) → (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅))
13	12	ord 865	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1o) → (¬ 𝐴 ∈ ∅ → 𝐴 = ∅))
14	3, 13	mpi 20	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1o) → 𝐴 = ∅)
15	14	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1o → 𝐴 = ∅))
16	15	necon3ad 2953	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 <N 1o))
17	2, 16	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → ¬ 𝐴 <N 1o)
18		ltrelpi 10929	. . . . 5 ⊢ <N ⊆ (N × N)
19	18	brel 5750	. . . 4 ⊢ (𝐴 <N 1o → (𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N))
20	19	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝐴 <N 1o → 𝐴 ∈ N)
21	20	con3i 154	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ N → ¬ 𝐴 <N 1o)
22	17, 21	pm2.61i 182	1 ⊢ ¬ 𝐴 <N 1o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∅c0 4333   class class class wbr 5143  suc csuc 6386  ωcom 7887  1_oc1o 8499  Ncnpi 10884   <_N clti 10887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-om 7888  df-1o 8506  df-ni 10912  df-lti 10915

This theorem is referenced by:  indpi  10947  pinq  10967  archnq  11020