MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlt1pi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlt1pi 10946
Description: No positive integer is less than one. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nlt1pi ¬ 𝐴 <N 1o

Proof of Theorem nlt1pi
StepHypRef Expression
1 elni 10916 . . . 4 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
21simprbi 496 . . 3 (𝐴N𝐴 ≠ ∅)
3 noel 4338 . . . . . 6 ¬ 𝐴 ∈ ∅
4 1pi 10923 . . . . . . . . . 10 1oN
5 ltpiord 10927 . . . . . . . . . 10 ((𝐴N ∧ 1oN) → (𝐴 <N 1o𝐴 ∈ 1o))
64, 5mpan2 691 . . . . . . . . 9 (𝐴N → (𝐴 <N 1o𝐴 ∈ 1o))
7 df-1o 8506 . . . . . . . . . . 11 1o = suc ∅
87eleq2i 2833 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 1o𝐴 ∈ suc ∅)
9 elsucg 6452 . . . . . . . . . 10 (𝐴N → (𝐴 ∈ suc ∅ ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
108, 9bitrid 283 . . . . . . . . 9 (𝐴N → (𝐴 ∈ 1o ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
116, 10bitrd 279 . . . . . . . 8 (𝐴N → (𝐴 <N 1o ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
1211biimpa 476 . . . . . . 7 ((𝐴N𝐴 <N 1o) → (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅))
1312ord 865 . . . . . 6 ((𝐴N𝐴 <N 1o) → (¬ 𝐴 ∈ ∅ → 𝐴 = ∅))
143, 13mpi 20 . . . . 5 ((𝐴N𝐴 <N 1o) → 𝐴 = ∅)
1514ex 412 . . . 4 (𝐴N → (𝐴 <N 1o𝐴 = ∅))
1615necon3ad 2953 . . 3 (𝐴N → (𝐴 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 <N 1o))
172, 16mpd 15 . 2 (𝐴N → ¬ 𝐴 <N 1o)
18 ltrelpi 10929 . . . . 5 <N ⊆ (N × N)
1918brel 5750 . . . 4 (𝐴 <N 1o → (𝐴N ∧ 1oN))
2019simpld 494 . . 3 (𝐴 <N 1o𝐴N)
2120con3i 154 . 2 𝐴N → ¬ 𝐴 <N 1o)
2217, 21pm2.61i 182 1 ¬ 𝐴 <N 1o
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  c0 4333   class class class wbr 5143  suc csuc 6386  ωcom 7887  1oc1o 8499  Ncnpi 10884   <N clti 10887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-om 7888  df-1o 8506  df-ni 10912  df-lti 10915
This theorem is referenced by:  indpi  10947  pinq  10967  archnq  11020
  Copyright terms: Public domain W3C validator