Theorem nlt1pi 10662

Description: No positive integer is less than one. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nlt1pi	⊢ ¬ 𝐴 <N 1o

Proof of Theorem nlt1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elni 10632	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
2	1	simprbi 497	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ≠ ∅)
3		noel 4264	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
4		1pi 10639	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ N
5		ltpiord 10643	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (𝐴 <N 1o ↔ 𝐴 ∈ 1o))
6	4, 5	mpan2 688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1o ↔ 𝐴 ∈ 1o))
7		df-1o 8297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = suc ∅
8	7	eleq2i 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 1o ↔ 𝐴 ∈ suc ∅)
9		elsucg 6333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ suc ∅ ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
10	8, 9	bitrid 282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ 1o ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
11	6, 10	bitrd 278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1o ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
12	11	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1o) → (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅))
13	12	ord 861	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1o) → (¬ 𝐴 ∈ ∅ → 𝐴 = ∅))
14	3, 13	mpi 20	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1o) → 𝐴 = ∅)
15	14	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1o → 𝐴 = ∅))
16	15	necon3ad 2956	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 <N 1o))
17	2, 16	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → ¬ 𝐴 <N 1o)
18		ltrelpi 10645	. . . . 5 ⊢ <N ⊆ (N × N)
19	18	brel 5652	. . . 4 ⊢ (𝐴 <N 1o → (𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N))
20	19	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝐴 <N 1o → 𝐴 ∈ N)
21	20	con3i 154	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ N → ¬ 𝐴 <N 1o)
22	17, 21	pm2.61i 182	1 ⊢ ¬ 𝐴 <N 1o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∅c0 4256   class class class wbr 5074  suc csuc 6268  ωcom 7712  1_oc1o 8290  Ncnpi 10600   <_N clti 10603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-11 2154  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-tr 5192  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-om 7713  df-1o 8297  df-ni 10628  df-lti 10631

This theorem is referenced by:  indpi  10663  pinq  10683  archnq  10736