MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlt1pi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlt1pi 10317
Description: No positive integer is less than one. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nlt1pi ¬ 𝐴 <N 1o

Proof of Theorem nlt1pi
StepHypRef Expression
1 elni 10287 . . . 4 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
21simprbi 497 . . 3 (𝐴N𝐴 ≠ ∅)
3 noel 4300 . . . . . 6 ¬ 𝐴 ∈ ∅
4 1pi 10294 . . . . . . . . . 10 1oN
5 ltpiord 10298 . . . . . . . . . 10 ((𝐴N ∧ 1oN) → (𝐴 <N 1o𝐴 ∈ 1o))
64, 5mpan2 687 . . . . . . . . 9 (𝐴N → (𝐴 <N 1o𝐴 ∈ 1o))
7 df-1o 8093 . . . . . . . . . . 11 1o = suc ∅
87eleq2i 2909 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 1o𝐴 ∈ suc ∅)
9 elsucg 6256 . . . . . . . . . 10 (𝐴N → (𝐴 ∈ suc ∅ ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
108, 9syl5bb 284 . . . . . . . . 9 (𝐴N → (𝐴 ∈ 1o ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
116, 10bitrd 280 . . . . . . . 8 (𝐴N → (𝐴 <N 1o ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
1211biimpa 477 . . . . . . 7 ((𝐴N𝐴 <N 1o) → (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅))
1312ord 860 . . . . . 6 ((𝐴N𝐴 <N 1o) → (¬ 𝐴 ∈ ∅ → 𝐴 = ∅))
143, 13mpi 20 . . . . 5 ((𝐴N𝐴 <N 1o) → 𝐴 = ∅)
1514ex 413 . . . 4 (𝐴N → (𝐴 <N 1o𝐴 = ∅))
1615necon3ad 3034 . . 3 (𝐴N → (𝐴 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 <N 1o))
172, 16mpd 15 . 2 (𝐴N → ¬ 𝐴 <N 1o)
18 ltrelpi 10300 . . . . 5 <N ⊆ (N × N)
1918brel 5616 . . . 4 (𝐴 <N 1o → (𝐴N ∧ 1oN))
2019simpld 495 . . 3 (𝐴 <N 1o𝐴N)
2120con3i 157 . 2 𝐴N → ¬ 𝐴 <N 1o)
2217, 21pm2.61i 183 1 ¬ 𝐴 <N 1o
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 207  wa 396  wo 843   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  c0 4295   class class class wbr 5063  suc csuc 6191  ωcom 7568  1oc1o 8086  Ncnpi 10255   <N clti 10258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pr 5326  ax-un 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-tr 5170  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-om 7569  df-1o 8093  df-ni 10283  df-lti 10286
This theorem is referenced by:  indpi  10318  pinq  10338  archnq  10391
  Copyright terms: Public domain W3C validator