Theorem 3oalem1 31749

Description: Lemma for 3OA (weak) orthoarguesian law. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
3oalem1.1	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3oalem1.2	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
3oalem1.3	⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
3oalem1.4	⊢ 𝑆 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
3oalem1	⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem 3oalem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3oalem1.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
2	1	cheli 31319	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ ℋ)
3		3oalem1.3	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
4	3	cheli 31319	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑅 → 𝑦 ∈ ℋ)
5	2, 4	anim12i 614	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
6		hvaddcl 31099	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
7		eleq1 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝑣 ∈ ℋ ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ))
8	6, 7	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → 𝑣 ∈ ℋ))
9	8	imdistani 568	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ))
10	5, 9	sylan 581	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ))
11		3oalem1.2	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
12	11	cheli 31319	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ ℋ)
13		3oalem1.4	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ Cℋ
14	13	cheli 31319	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑆 → 𝑤 ∈ ℋ)
15	12, 14	anim12i 614	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
16	15	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
17	10, 16	anim12i 614	1 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368   ℋchba 31006   +_ℎ cva 31007   C_ℋ cch 31016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-hilex 31086  ax-hfvadd 31087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7371  df-sh 31294  df-ch 31308

This theorem is referenced by:  3oalem2  31750