Theorem 3oalem1 31637

Description: Lemma for 3OA (weak) orthoarguesian law. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
3oalem1.1	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3oalem1.2	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
3oalem1.3	⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
3oalem1.4	⊢ 𝑆 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
3oalem1	⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem 3oalem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3oalem1.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
2	1	cheli 31207	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ ℋ)
3		3oalem1.3	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
4	3	cheli 31207	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑅 → 𝑦 ∈ ℋ)
5	2, 4	anim12i 613	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
6		hvaddcl 30987	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
7		eleq1 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝑣 ∈ ℋ ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ))
8	6, 7	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → 𝑣 ∈ ℋ))
9	8	imdistani 568	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ))
10	5, 9	sylan 580	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ))
11		3oalem1.2	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
12	11	cheli 31207	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ ℋ)
13		3oalem1.4	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ Cℋ
14	13	cheli 31207	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑆 → 𝑤 ∈ ℋ)
15	12, 14	anim12i 613	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
16	15	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
17	10, 16	anim12i 613	1 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346   ℋchba 30894   +_ℎ cva 30895   C_ℋ cch 30904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370  ax-hilex 30974  ax-hfvadd 30975

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-sh 31182  df-ch 31196

This theorem is referenced by:  3oalem2  31638