Theorem 3oalem2 29535

Description: Lemma for 3OA (weak) orthoarguesian law. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
3oalem1.1	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3oalem1.2	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
3oalem1.3	⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
3oalem1.4	⊢ 𝑆 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
3oalem2	⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem 3oalem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 775	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
2		simpllr 776	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑦 ∈ 𝑅)
3		3oalem1.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4		3oalem1.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
5		3oalem1.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
6		3oalem1.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ Cℋ
7	3, 4, 5, 6	3oalem1 29534	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)))
8		hvaddsub12 28910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑤)) = (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)))
9	8	3anidm23 1419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑤)) = (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)))
10		hvsubid 28898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝑤 −ℎ 𝑤) = 0ℎ)
11	10	oveq2d 7164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝑦 +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑤)) = (𝑦 +ℎ 0ℎ))
12		ax-hvaddid 28876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 +ℎ 0ℎ) = 𝑦)
13	11, 12	sylan9eqr 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑤)) = 𝑦)
14	9, 13	eqtr3d 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = 𝑦)
15	14	ad2ant2l 746	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = 𝑦)
16	15	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = 𝑦)
17	7, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = 𝑦)
18		simprlr 780	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑤 ∈ 𝑆)
19		eqtr2 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
20	19	oveq1d 7163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)))
21	20	ad2ant2l 746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)))
22		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
23	22	anim1i 618	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
24		hvsub4 28909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = ((𝑥 −ℎ 𝑥) +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)))
25	23, 24	syldan 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = ((𝑥 −ℎ 𝑥) +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)))
26		hvsubid 28898	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 −ℎ 𝑥) = 0ℎ)
27	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ 𝑥) = 0ℎ)
28	27	oveq1d 7163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑥) +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = (0ℎ +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)))
29		hvsubcl 28889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ ℋ)
30		hvaddid2 28895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = (𝑦 −ℎ 𝑤))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (0ℎ +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = (𝑦 −ℎ 𝑤))
32	31	adantll 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (0ℎ +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = (𝑦 −ℎ 𝑤))
33	25, 28, 32	3eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = (𝑦 −ℎ 𝑤))
34	33	ad2ant2rl 749	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = (𝑦 −ℎ 𝑤))
35	7, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = (𝑦 −ℎ 𝑤))
36		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
37		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑤 ∈ ℋ)
38	37	anim2i 620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
39		hvsub4 28909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑤)))
40	36, 38, 39	syl2anc 588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑤)))
41	10	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑤 −ℎ 𝑤) = 0ℎ)
42	41	oveq2d 7164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑤)) = ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ 0ℎ))
43		hvsubcl 28889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
44		ax-hvaddid 28876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ ℋ → ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ 0ℎ) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ 0ℎ) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
46	45	ancoms 463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ 0ℎ) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
47	46	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ 0ℎ) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
48	40, 42, 47	3eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
49	48	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
50	49	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
51	7, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
52	21, 35, 51	3eqtr3d 2802	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑦 −ℎ 𝑤) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
53		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
54		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑧 ∈ 𝐶)
55	4	chshii 29099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
56	3	chshii 29099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
57	55, 56	shsvsi 29239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ (𝐶 +ℋ 𝐵))
58	57	ancoms 463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ (𝐶 +ℋ 𝐵))
59	56, 55	shscomi 29235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐶) = (𝐶 +ℋ 𝐵)
60	58, 59	eleqtrrdi 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐶))
61	53, 54, 60	syl2an 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐶))
62	52, 61	eqeltrd 2853	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐶))
63		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑅)
64		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝑆)
65	5	chshii 29099	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 ∈ Sℋ
66	6	chshii 29099	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ∈ Sℋ
67	65, 66	shsvsi 29239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ (𝑅 +ℋ 𝑆))
68	63, 64, 67	syl2an 599	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ (𝑅 +ℋ 𝑆))
69	62, 68	elind 4100	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))
70	56, 55	shscli 29189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐶) ∈ Sℋ
71	65, 66	shscli 29189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 +ℋ 𝑆) ∈ Sℋ
72	70, 71	shincli 29234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)) ∈ Sℋ
73	66, 72	shsvai 29236	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))) → (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) ∈ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))
74	18, 69, 73	syl2anc 588	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) ∈ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))
75	17, 74	eqeltrrd 2854	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑦 ∈ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))
76	2, 75	elind 4100	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑦 ∈ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))))
77	66, 72	shscli 29189	. . . . 5 ⊢ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))) ∈ Sℋ
78	65, 77	shincli 29234	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))) ∈ Sℋ
79	56, 78	shsvai 29236	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))
80	1, 76, 79	syl2anc 588	. 2 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))
81		eleq1 2840	. . 3 ⊢ (𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))) ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))))))
82	81	ad2antlr 727	. 2 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))) ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))))))
83	80, 82	mpbird 260	1 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ∩ cin 3858  (class class class)co 7148   ℋchba 28791   +_ℎ cva 28792  0_ℎc0v 28796   −_ℎ cmv 28797   C_ℋ cch 28801   +_ℋ cph 28803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7457  ax-cnex 10621  ax-resscn 10622  ax-1cn 10623  ax-icn 10624  ax-addcl 10625  ax-addrcl 10626  ax-mulcl 10627  ax-mulrcl 10628  ax-mulcom 10629  ax-addass 10630  ax-mulass 10631  ax-distr 10632  ax-i2m1 10633  ax-1ne0 10634  ax-1rid 10635  ax-rnegex 10636  ax-rrecex 10637  ax-cnre 10638  ax-pre-lttri 10639  ax-pre-lttrn 10640  ax-pre-ltadd 10641  ax-hilex 28871  ax-hfvadd 28872  ax-hvcom 28873  ax-hvass 28874  ax-hv0cl 28875  ax-hvaddid 28876  ax-hfvmul 28877  ax-hvmulid 28878  ax-hvdistr1 28880  ax-hvdistr2 28881  ax-hvmul0 28882

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4419  df-pw 4494  df-sn 4521  df-pr 4523  df-tp 4525  df-op 4527  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6292  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7578  df-wrecs 7955  df-recs 8016  df-rdg 8054  df-er 8297  df-map 8416  df-en 8526  df-dom 8527  df-sdom 8528  df-pnf 10705  df-mnf 10706  df-ltxr 10708  df-sub 10900  df-neg 10901  df-nn 11665  df-grpo 28365  df-ablo 28417  df-hvsub 28843  df-hlim 28844  df-sh 29079  df-ch 29093  df-shs 29180

This theorem is referenced by:  3oalem3  29536