Theorem 3oalem2 31607

Description: Lemma for 3OA (weak) orthoarguesian law. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
3oalem1.1	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3oalem1.2	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
3oalem1.3	⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
3oalem1.4	⊢ 𝑆 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
3oalem2	⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem 3oalem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 774	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
2		simpllr 775	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑦 ∈ 𝑅)
3		3oalem1.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4		3oalem1.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
5		3oalem1.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
6		3oalem1.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ Cℋ
7	3, 4, 5, 6	3oalem1 31606	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)))
8		hvaddsub12 30982	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑤)) = (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)))
9	8	3anidm23 1423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑤)) = (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)))
10		hvsubid 30970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝑤 −ℎ 𝑤) = 0ℎ)
11	10	oveq2d 7365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝑦 +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑤)) = (𝑦 +ℎ 0ℎ))
12		ax-hvaddid 30948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 +ℎ 0ℎ) = 𝑦)
13	11, 12	sylan9eqr 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑤)) = 𝑦)
14	9, 13	eqtr3d 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = 𝑦)
15	14	ad2ant2l 746	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = 𝑦)
16	15	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = 𝑦)
17	7, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = 𝑦)
18		simprlr 779	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑤 ∈ 𝑆)
19		eqtr2 2750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
20	19	oveq1d 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)))
21	20	ad2ant2l 746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)))
22		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
23	22	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
24		hvsub4 30981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = ((𝑥 −ℎ 𝑥) +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)))
25	23, 24	syldan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = ((𝑥 −ℎ 𝑥) +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)))
26		hvsubid 30970	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 −ℎ 𝑥) = 0ℎ)
27	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ 𝑥) = 0ℎ)
28	27	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑥) +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = (0ℎ +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)))
29		hvsubcl 30961	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ ℋ)
30		hvaddlid 30967	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = (𝑦 −ℎ 𝑤))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (0ℎ +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = (𝑦 −ℎ 𝑤))
32	31	adantll 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (0ℎ +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = (𝑦 −ℎ 𝑤))
33	25, 28, 32	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = (𝑦 −ℎ 𝑤))
34	33	ad2ant2rl 749	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = (𝑦 −ℎ 𝑤))
35	7, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = (𝑦 −ℎ 𝑤))
36		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
37		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑤 ∈ ℋ)
38	37	anim2i 617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
39		hvsub4 30981	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑤)))
40	36, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑤)))
41	10	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑤 −ℎ 𝑤) = 0ℎ)
42	41	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑤)) = ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ 0ℎ))
43		hvsubcl 30961	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
44		ax-hvaddid 30948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ ℋ → ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ 0ℎ) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ 0ℎ) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
46	45	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ 0ℎ) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
47	46	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ 0ℎ) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
48	40, 42, 47	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
49	48	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
50	49	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
51	7, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
52	21, 35, 51	3eqtr3d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑦 −ℎ 𝑤) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
53		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
54		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑧 ∈ 𝐶)
55	4	chshii 31171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
56	3	chshii 31171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
57	55, 56	shsvsi 31311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ (𝐶 +ℋ 𝐵))
58	57	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ (𝐶 +ℋ 𝐵))
59	56, 55	shscomi 31307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐶) = (𝐶 +ℋ 𝐵)
60	58, 59	eleqtrrdi 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐶))
61	53, 54, 60	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐶))
62	52, 61	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐶))
63		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑅)
64		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝑆)
65	5	chshii 31171	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 ∈ Sℋ
66	6	chshii 31171	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ∈ Sℋ
67	65, 66	shsvsi 31311	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ (𝑅 +ℋ 𝑆))
68	63, 64, 67	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ (𝑅 +ℋ 𝑆))
69	62, 68	elind 4151	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))
70	56, 55	shscli 31261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐶) ∈ Sℋ
71	65, 66	shscli 31261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 +ℋ 𝑆) ∈ Sℋ
72	70, 71	shincli 31306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)) ∈ Sℋ
73	66, 72	shsvai 31308	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))) → (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) ∈ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))
74	18, 69, 73	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) ∈ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))
75	17, 74	eqeltrrd 2829	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑦 ∈ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))
76	2, 75	elind 4151	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑦 ∈ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))))
77	66, 72	shscli 31261	. . . . 5 ⊢ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))) ∈ Sℋ
78	65, 77	shincli 31306	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))) ∈ Sℋ
79	56, 78	shsvai 31308	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))
80	1, 76, 79	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))
81		eleq1 2816	. . 3 ⊢ (𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))) ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))))))
82	81	ad2antlr 727	. 2 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))) ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))))))
83	80, 82	mpbird 257	1 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3902  (class class class)co 7349   ℋchba 30863   +_ℎ cva 30864  0_ℎc0v 30868   −_ℎ cmv 30869   C_ℋ cch 30873   +_ℋ cph 30875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-hilex 30943  ax-hfvadd 30944  ax-hvcom 30945  ax-hvass 30946  ax-hv0cl 30947  ax-hvaddid 30948  ax-hfvmul 30949  ax-hvmulid 30950  ax-hvdistr1 30952  ax-hvdistr2 30953  ax-hvmul0 30954

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-grpo 30437  df-ablo 30489  df-hvsub 30915  df-hlim 30916  df-sh 31151  df-ch 31165  df-shs 31252

This theorem is referenced by:  3oalem3  31608