Theorem 3oalem2 31642

Description: Lemma for 3OA (weak) orthoarguesian law. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
3oalem1.1	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3oalem1.2	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
3oalem1.3	⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
3oalem1.4	⊢ 𝑆 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
3oalem2	⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem 3oalem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 774	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
2		simpllr 775	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑦 ∈ 𝑅)
3		3oalem1.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4		3oalem1.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
5		3oalem1.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
6		3oalem1.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ Cℋ
7	3, 4, 5, 6	3oalem1 31641	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)))
8		hvaddsub12 31017	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑤)) = (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)))
9	8	3anidm23 1423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑤)) = (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)))
10		hvsubid 31005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝑤 −ℎ 𝑤) = 0ℎ)
11	10	oveq2d 7385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝑦 +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑤)) = (𝑦 +ℎ 0ℎ))
12		ax-hvaddid 30983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 +ℎ 0ℎ) = 𝑦)
13	11, 12	sylan9eqr 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑤)) = 𝑦)
14	9, 13	eqtr3d 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = 𝑦)
15	14	ad2ant2l 746	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = 𝑦)
16	15	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = 𝑦)
17	7, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = 𝑦)
18		simprlr 779	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑤 ∈ 𝑆)
19		eqtr2 2750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
20	19	oveq1d 7384	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)))
21	20	ad2ant2l 746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)))
22		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
23	22	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
24		hvsub4 31016	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = ((𝑥 −ℎ 𝑥) +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)))
25	23, 24	syldan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = ((𝑥 −ℎ 𝑥) +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)))
26		hvsubid 31005	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 −ℎ 𝑥) = 0ℎ)
27	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ 𝑥) = 0ℎ)
28	27	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑥) +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = (0ℎ +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)))
29		hvsubcl 30996	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ ℋ)
30		hvaddlid 31002	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = (𝑦 −ℎ 𝑤))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (0ℎ +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = (𝑦 −ℎ 𝑤))
32	31	adantll 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (0ℎ +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = (𝑦 −ℎ 𝑤))
33	25, 28, 32	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = (𝑦 −ℎ 𝑤))
34	33	ad2ant2rl 749	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = (𝑦 −ℎ 𝑤))
35	7, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = (𝑦 −ℎ 𝑤))
36		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
37		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑤 ∈ ℋ)
38	37	anim2i 617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
39		hvsub4 31016	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑤)))
40	36, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑤)))
41	10	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑤 −ℎ 𝑤) = 0ℎ)
42	41	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑤)) = ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ 0ℎ))
43		hvsubcl 30996	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
44		ax-hvaddid 30983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ ℋ → ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ 0ℎ) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ 0ℎ) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
46	45	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ 0ℎ) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
47	46	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ 0ℎ) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
48	40, 42, 47	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
49	48	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
50	49	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
51	7, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
52	21, 35, 51	3eqtr3d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑦 −ℎ 𝑤) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
53		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
54		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑧 ∈ 𝐶)
55	4	chshii 31206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
56	3	chshii 31206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
57	55, 56	shsvsi 31346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ (𝐶 +ℋ 𝐵))
58	57	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ (𝐶 +ℋ 𝐵))
59	56, 55	shscomi 31342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐶) = (𝐶 +ℋ 𝐵)
60	58, 59	eleqtrrdi 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐶))
61	53, 54, 60	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐶))
62	52, 61	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐶))
63		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑅)
64		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝑆)
65	5	chshii 31206	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 ∈ Sℋ
66	6	chshii 31206	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ∈ Sℋ
67	65, 66	shsvsi 31346	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ (𝑅 +ℋ 𝑆))
68	63, 64, 67	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ (𝑅 +ℋ 𝑆))
69	62, 68	elind 4159	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))
70	56, 55	shscli 31296	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐶) ∈ Sℋ
71	65, 66	shscli 31296	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 +ℋ 𝑆) ∈ Sℋ
72	70, 71	shincli 31341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)) ∈ Sℋ
73	66, 72	shsvai 31343	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))) → (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) ∈ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))
74	18, 69, 73	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) ∈ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))
75	17, 74	eqeltrrd 2829	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑦 ∈ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))
76	2, 75	elind 4159	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑦 ∈ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))))
77	66, 72	shscli 31296	. . . . 5 ⊢ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))) ∈ Sℋ
78	65, 77	shincli 31341	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))) ∈ Sℋ
79	56, 78	shsvai 31343	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))
80	1, 76, 79	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))
81		eleq1 2816	. . 3 ⊢ (𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))) ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))))))
82	81	ad2antlr 727	. 2 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))) ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))))))
83	80, 82	mpbird 257	1 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3910  (class class class)co 7369   ℋchba 30898   +_ℎ cva 30899  0_ℎc0v 30903   −_ℎ cmv 30904   C_ℋ cch 30908   +_ℋ cph 30910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-hilex 30978  ax-hfvadd 30979  ax-hvcom 30980  ax-hvass 30981  ax-hv0cl 30982  ax-hvaddid 30983  ax-hfvmul 30984  ax-hvmulid 30985  ax-hvdistr1 30987  ax-hvdistr2 30988  ax-hvmul0 30989

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-grpo 30472  df-ablo 30524  df-hvsub 30950  df-hlim 30951  df-sh 31186  df-ch 31200  df-shs 31287

This theorem is referenced by:  3oalem3  31643