HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  3oalem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3oalem2 30916
Description: Lemma for 3OA (weak) orthoarguesian law. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
3oalem1.1 𝐵C
3oalem1.2 𝐶C
3oalem1.3 𝑅C
3oalem1.4 𝑆C
Assertion
Ref Expression
3oalem2 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem 3oalem2
StepHypRef Expression
1 simplll 774 . . 3 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → 𝑥𝐵)
2 simpllr 775 . . . 4 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → 𝑦𝑅)
3 3oalem1.1 . . . . . . 7 𝐵C
4 3oalem1.2 . . . . . . 7 𝐶C
5 3oalem1.3 . . . . . . 7 𝑅C
6 3oalem1.4 . . . . . . 7 𝑆C
73, 4, 5, 63oalem1 30915 . . . . . 6 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)))
8 hvaddsub12 30291 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑦 + (𝑤 𝑤)) = (𝑤 + (𝑦 𝑤)))
983anidm23 1422 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑦 + (𝑤 𝑤)) = (𝑤 + (𝑦 𝑤)))
10 hvsubid 30279 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℋ → (𝑤 𝑤) = 0)
1110oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℋ → (𝑦 + (𝑤 𝑤)) = (𝑦 + 0))
12 ax-hvaddid 30257 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 + 0) = 𝑦)
1311, 12sylan9eqr 2795 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑦 + (𝑤 𝑤)) = 𝑦)
149, 13eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑤 + (𝑦 𝑤)) = 𝑦)
1514ad2ant2l 745 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑤 + (𝑦 𝑤)) = 𝑦)
1615adantlr 714 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑤 + (𝑦 𝑤)) = 𝑦)
177, 16syl 17 . . . . 5 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → (𝑤 + (𝑦 𝑤)) = 𝑦)
18 simprlr 779 . . . . . 6 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → 𝑤𝑆)
19 eqtr2 2757 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 = (𝑥 + 𝑦) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤))
2019oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 = (𝑥 + 𝑦) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑥 + 𝑤)) = ((𝑧 + 𝑤) − (𝑥 + 𝑤)))
2120ad2ant2l 745 . . . . . . . . 9 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑥 + 𝑤)) = ((𝑧 + 𝑤) − (𝑥 + 𝑤)))
22 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
2322anim1i 616 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
24 hvsub4 30290 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑥 + 𝑤)) = ((𝑥 𝑥) + (𝑦 𝑤)))
2523, 24syldan 592 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑥 + 𝑤)) = ((𝑥 𝑥) + (𝑦 𝑤)))
26 hvsubid 30279 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 𝑥) = 0)
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 𝑥) = 0)
2827oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑥) + (𝑦 𝑤)) = (0 + (𝑦 𝑤)))
29 hvsubcl 30270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑦 𝑤) ∈ ℋ)
30 hvaddlid 30276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 𝑤) ∈ ℋ → (0 + (𝑦 𝑤)) = (𝑦 𝑤))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (0 + (𝑦 𝑤)) = (𝑦 𝑤))
3231adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (0 + (𝑦 𝑤)) = (𝑦 𝑤))
3325, 28, 323eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑥 + 𝑤)) = (𝑦 𝑤))
3433ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑥 + 𝑤)) = (𝑦 𝑤))
357, 34syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑥 + 𝑤)) = (𝑦 𝑤))
36 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
37 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑤 ∈ ℋ)
3837anim2i 618 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
39 hvsub4 30290 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑥 + 𝑤)) = ((𝑧 𝑥) + (𝑤 𝑤)))
4036, 38, 39syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑥 + 𝑤)) = ((𝑧 𝑥) + (𝑤 𝑤)))
4110ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑤 𝑤) = 0)
4241oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 𝑥) + (𝑤 𝑤)) = ((𝑧 𝑥) + 0))
43 hvsubcl 30270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑧 𝑥) ∈ ℋ)
44 ax-hvaddid 30257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 𝑥) ∈ ℋ → ((𝑧 𝑥) + 0) = (𝑧 𝑥))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑧 𝑥) + 0) = (𝑧 𝑥))
4645ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑧 𝑥) + 0) = (𝑧 𝑥))
4746adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 𝑥) + 0) = (𝑧 𝑥))
4840, 42, 473eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑥 + 𝑤)) = (𝑧 𝑥))
4948adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑥 + 𝑤)) = (𝑧 𝑥))
5049adantlr 714 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑥 + 𝑤)) = (𝑧 𝑥))
517, 50syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑥 + 𝑤)) = (𝑧 𝑥))
5221, 35, 513eqtr3d 2781 . . . . . . . 8 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → (𝑦 𝑤) = (𝑧 𝑥))
53 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) → 𝑥𝐵)
54 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑧𝐶)
554chshii 30480 . . . . . . . . . . . 12 𝐶S
563chshii 30480 . . . . . . . . . . . 12 𝐵S
5755, 56shsvsi 30620 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐶𝑥𝐵) → (𝑧 𝑥) ∈ (𝐶 + 𝐵))
5857ancoms 460 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝑧𝐶) → (𝑧 𝑥) ∈ (𝐶 + 𝐵))
5956, 55shscomi 30616 . . . . . . . . . 10 (𝐵 + 𝐶) = (𝐶 + 𝐵)
6058, 59eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐵𝑧𝐶) → (𝑧 𝑥) ∈ (𝐵 + 𝐶))
6153, 54, 60syl2an 597 . . . . . . . 8 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → (𝑧 𝑥) ∈ (𝐵 + 𝐶))
6252, 61eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → (𝑦 𝑤) ∈ (𝐵 + 𝐶))
63 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) → 𝑦𝑅)
64 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑤𝑆)
655chshii 30480 . . . . . . . . 9 𝑅S
666chshii 30480 . . . . . . . . 9 𝑆S
6765, 66shsvsi 30620 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑅𝑤𝑆) → (𝑦 𝑤) ∈ (𝑅 + 𝑆))
6863, 64, 67syl2an 597 . . . . . . 7 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → (𝑦 𝑤) ∈ (𝑅 + 𝑆))
6962, 68elind 4195 . . . . . 6 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → (𝑦 𝑤) ∈ ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)))
7056, 55shscli 30570 . . . . . . . 8 (𝐵 + 𝐶) ∈ S
7165, 66shscli 30570 . . . . . . . 8 (𝑅 + 𝑆) ∈ S
7270, 71shincli 30615 . . . . . . 7 ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)) ∈ S
7366, 72shsvai 30617 . . . . . 6 ((𝑤𝑆 ∧ (𝑦 𝑤) ∈ ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))) → (𝑤 + (𝑦 𝑤)) ∈ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))
7418, 69, 73syl2anc 585 . . . . 5 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → (𝑤 + (𝑦 𝑤)) ∈ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))
7517, 74eqeltrrd 2835 . . . 4 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → 𝑦 ∈ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))
762, 75elind 4195 . . 3 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → 𝑦 ∈ (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)))))
7766, 72shscli 30570 . . . . 5 (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))) ∈ S
7865, 77shincli 30615 . . . 4 (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)))) ∈ S
7956, 78shsvai 30617 . . 3 ((𝑥𝐵𝑦 ∈ (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))))
801, 76, 79syl2anc 585 . 2 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))))
81 eleq1 2822 . . 3 (𝑣 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑣 ∈ (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))) ↔ (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)))))))
8281ad2antlr 726 . 2 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → (𝑣 ∈ (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))) ↔ (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)))))))
8380, 82mpbird 257 1 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cin 3948  (class class class)co 7409  chba 30172   + cva 30173  0c0v 30177   cmv 30178   C cch 30182   + cph 30184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvdistr1 30261  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-grpo 29746  df-ablo 29798  df-hvsub 30224  df-hlim 30225  df-sh 30460  df-ch 30474  df-shs 30561
This theorem is referenced by:  3oalem3  30917
  Copyright terms: Public domain W3C validator