HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  3oalem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3oalem2 31682
Description: Lemma for 3OA (weak) orthoarguesian law. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
3oalem1.1 𝐵C
3oalem1.2 𝐶C
3oalem1.3 𝑅C
3oalem1.4 𝑆C
Assertion
Ref Expression
3oalem2 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem 3oalem2
StepHypRef Expression
1 simplll 775 . . 3 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → 𝑥𝐵)
2 simpllr 776 . . . 4 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → 𝑦𝑅)
3 3oalem1.1 . . . . . . 7 𝐵C
4 3oalem1.2 . . . . . . 7 𝐶C
5 3oalem1.3 . . . . . . 7 𝑅C
6 3oalem1.4 . . . . . . 7 𝑆C
73, 4, 5, 63oalem1 31681 . . . . . 6 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)))
8 hvaddsub12 31057 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑦 + (𝑤 𝑤)) = (𝑤 + (𝑦 𝑤)))
983anidm23 1423 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑦 + (𝑤 𝑤)) = (𝑤 + (𝑦 𝑤)))
10 hvsubid 31045 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℋ → (𝑤 𝑤) = 0)
1110oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℋ → (𝑦 + (𝑤 𝑤)) = (𝑦 + 0))
12 ax-hvaddid 31023 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 + 0) = 𝑦)
1311, 12sylan9eqr 2799 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑦 + (𝑤 𝑤)) = 𝑦)
149, 13eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑤 + (𝑦 𝑤)) = 𝑦)
1514ad2ant2l 746 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑤 + (𝑦 𝑤)) = 𝑦)
1615adantlr 715 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑤 + (𝑦 𝑤)) = 𝑦)
177, 16syl 17 . . . . 5 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → (𝑤 + (𝑦 𝑤)) = 𝑦)
18 simprlr 780 . . . . . 6 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → 𝑤𝑆)
19 eqtr2 2761 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 = (𝑥 + 𝑦) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤))
2019oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 = (𝑥 + 𝑦) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑥 + 𝑤)) = ((𝑧 + 𝑤) − (𝑥 + 𝑤)))
2120ad2ant2l 746 . . . . . . . . 9 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑥 + 𝑤)) = ((𝑧 + 𝑤) − (𝑥 + 𝑤)))
22 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
2322anim1i 615 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
24 hvsub4 31056 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑥 + 𝑤)) = ((𝑥 𝑥) + (𝑦 𝑤)))
2523, 24syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑥 + 𝑤)) = ((𝑥 𝑥) + (𝑦 𝑤)))
26 hvsubid 31045 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 𝑥) = 0)
2726ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 𝑥) = 0)
2827oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑥) + (𝑦 𝑤)) = (0 + (𝑦 𝑤)))
29 hvsubcl 31036 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑦 𝑤) ∈ ℋ)
30 hvaddlid 31042 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 𝑤) ∈ ℋ → (0 + (𝑦 𝑤)) = (𝑦 𝑤))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (0 + (𝑦 𝑤)) = (𝑦 𝑤))
3231adantll 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (0 + (𝑦 𝑤)) = (𝑦 𝑤))
3325, 28, 323eqtrd 2781 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑥 + 𝑤)) = (𝑦 𝑤))
3433ad2ant2rl 749 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑥 + 𝑤)) = (𝑦 𝑤))
357, 34syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑥 + 𝑤)) = (𝑦 𝑤))
36 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
37 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑤 ∈ ℋ)
3837anim2i 617 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
39 hvsub4 31056 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑥 + 𝑤)) = ((𝑧 𝑥) + (𝑤 𝑤)))
4036, 38, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑥 + 𝑤)) = ((𝑧 𝑥) + (𝑤 𝑤)))
4110ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑤 𝑤) = 0)
4241oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 𝑥) + (𝑤 𝑤)) = ((𝑧 𝑥) + 0))
43 hvsubcl 31036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑧 𝑥) ∈ ℋ)
44 ax-hvaddid 31023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 𝑥) ∈ ℋ → ((𝑧 𝑥) + 0) = (𝑧 𝑥))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑧 𝑥) + 0) = (𝑧 𝑥))
4645ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑧 𝑥) + 0) = (𝑧 𝑥))
4746adantrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 𝑥) + 0) = (𝑧 𝑥))
4840, 42, 473eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑥 + 𝑤)) = (𝑧 𝑥))
4948adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑥 + 𝑤)) = (𝑧 𝑥))
5049adantlr 715 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑥 + 𝑤)) = (𝑧 𝑥))
517, 50syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑥 + 𝑤)) = (𝑧 𝑥))
5221, 35, 513eqtr3d 2785 . . . . . . . 8 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → (𝑦 𝑤) = (𝑧 𝑥))
53 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) → 𝑥𝐵)
54 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑧𝐶)
554chshii 31246 . . . . . . . . . . . 12 𝐶S
563chshii 31246 . . . . . . . . . . . 12 𝐵S
5755, 56shsvsi 31386 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐶𝑥𝐵) → (𝑧 𝑥) ∈ (𝐶 + 𝐵))
5857ancoms 458 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝑧𝐶) → (𝑧 𝑥) ∈ (𝐶 + 𝐵))
5956, 55shscomi 31382 . . . . . . . . . 10 (𝐵 + 𝐶) = (𝐶 + 𝐵)
6058, 59eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐵𝑧𝐶) → (𝑧 𝑥) ∈ (𝐵 + 𝐶))
6153, 54, 60syl2an 596 . . . . . . . 8 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → (𝑧 𝑥) ∈ (𝐵 + 𝐶))
6252, 61eqeltrd 2841 . . . . . . 7 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → (𝑦 𝑤) ∈ (𝐵 + 𝐶))
63 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) → 𝑦𝑅)
64 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑤𝑆)
655chshii 31246 . . . . . . . . 9 𝑅S
666chshii 31246 . . . . . . . . 9 𝑆S
6765, 66shsvsi 31386 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑅𝑤𝑆) → (𝑦 𝑤) ∈ (𝑅 + 𝑆))
6863, 64, 67syl2an 596 . . . . . . 7 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → (𝑦 𝑤) ∈ (𝑅 + 𝑆))
6962, 68elind 4200 . . . . . 6 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → (𝑦 𝑤) ∈ ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)))
7056, 55shscli 31336 . . . . . . . 8 (𝐵 + 𝐶) ∈ S
7165, 66shscli 31336 . . . . . . . 8 (𝑅 + 𝑆) ∈ S
7270, 71shincli 31381 . . . . . . 7 ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)) ∈ S
7366, 72shsvai 31383 . . . . . 6 ((𝑤𝑆 ∧ (𝑦 𝑤) ∈ ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))) → (𝑤 + (𝑦 𝑤)) ∈ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))
7418, 69, 73syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → (𝑤 + (𝑦 𝑤)) ∈ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))
7517, 74eqeltrrd 2842 . . . 4 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → 𝑦 ∈ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))
762, 75elind 4200 . . 3 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → 𝑦 ∈ (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)))))
7766, 72shscli 31336 . . . . 5 (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))) ∈ S
7865, 77shincli 31381 . . . 4 (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)))) ∈ S
7956, 78shsvai 31383 . . 3 ((𝑥𝐵𝑦 ∈ (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))))
801, 76, 79syl2anc 584 . 2 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))))
81 eleq1 2829 . . 3 (𝑣 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑣 ∈ (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))) ↔ (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)))))))
8281ad2antlr 727 . 2 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → (𝑣 ∈ (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))) ↔ (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)))))))
8380, 82mpbird 257 1 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  (class class class)co 7431  chba 30938   + cva 30939  0c0v 30943   cmv 30944   C cch 30948   + cph 30950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-grpo 30512  df-ablo 30564  df-hvsub 30990  df-hlim 30991  df-sh 31226  df-ch 31240  df-shs 31327
This theorem is referenced by:  3oalem3  31683
  Copyright terms: Public domain W3C validator