Theorem 3oalem2 29926

Description: Lemma for 3OA (weak) orthoarguesian law. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
3oalem1.1	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3oalem1.2	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
3oalem1.3	⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
3oalem1.4	⊢ 𝑆 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
3oalem2	⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem 3oalem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 771	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
2		simpllr 772	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑦 ∈ 𝑅)
3		3oalem1.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4		3oalem1.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
5		3oalem1.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
6		3oalem1.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ Cℋ
7	3, 4, 5, 6	3oalem1 29925	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)))
8		hvaddsub12 29301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑤)) = (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)))
9	8	3anidm23 1419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑤)) = (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)))
10		hvsubid 29289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝑤 −ℎ 𝑤) = 0ℎ)
11	10	oveq2d 7271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝑦 +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑤)) = (𝑦 +ℎ 0ℎ))
12		ax-hvaddid 29267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 +ℎ 0ℎ) = 𝑦)
13	11, 12	sylan9eqr 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑤)) = 𝑦)
14	9, 13	eqtr3d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = 𝑦)
15	14	ad2ant2l 742	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = 𝑦)
16	15	adantlr 711	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = 𝑦)
17	7, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = 𝑦)
18		simprlr 776	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑤 ∈ 𝑆)
19		eqtr2 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
20	19	oveq1d 7270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)))
21	20	ad2ant2l 742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)))
22		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
23	22	anim1i 614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
24		hvsub4 29300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = ((𝑥 −ℎ 𝑥) +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)))
25	23, 24	syldan 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = ((𝑥 −ℎ 𝑥) +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)))
26		hvsubid 29289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 −ℎ 𝑥) = 0ℎ)
27	26	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ 𝑥) = 0ℎ)
28	27	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑥) +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = (0ℎ +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)))
29		hvsubcl 29280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ ℋ)
30		hvaddid2 29286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = (𝑦 −ℎ 𝑤))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (0ℎ +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = (𝑦 −ℎ 𝑤))
32	31	adantll 710	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (0ℎ +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) = (𝑦 −ℎ 𝑤))
33	25, 28, 32	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = (𝑦 −ℎ 𝑤))
34	33	ad2ant2rl 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = (𝑦 −ℎ 𝑤))
35	7, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = (𝑦 −ℎ 𝑤))
36		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
37		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑤 ∈ ℋ)
38	37	anim2i 616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
39		hvsub4 29300	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑤)))
40	36, 38, 39	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑤)))
41	10	ad2antll 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑤 −ℎ 𝑤) = 0ℎ)
42	41	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑤)) = ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ 0ℎ))
43		hvsubcl 29280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
44		ax-hvaddid 29267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ ℋ → ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ 0ℎ) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ 0ℎ) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
46	45	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ 0ℎ) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
47	46	adantrr 713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) +ℎ 0ℎ) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
48	40, 42, 47	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
49	48	adantlr 711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
50	49	adantlr 711	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
51	7, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑥 +ℎ 𝑤)) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
52	21, 35, 51	3eqtr3d 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑦 −ℎ 𝑤) = (𝑧 −ℎ 𝑥))
53		simpll 763	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
54		simpll 763	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑧 ∈ 𝐶)
55	4	chshii 29490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
56	3	chshii 29490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
57	55, 56	shsvsi 29630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ (𝐶 +ℋ 𝐵))
58	57	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ (𝐶 +ℋ 𝐵))
59	56, 55	shscomi 29626	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐶) = (𝐶 +ℋ 𝐵)
60	58, 59	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐶))
61	53, 54, 60	syl2an 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐶))
62	52, 61	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐶))
63		simplr 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑅)
64		simplr 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝑆)
65	5	chshii 29490	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 ∈ Sℋ
66	6	chshii 29490	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ∈ Sℋ
67	65, 66	shsvsi 29630	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ (𝑅 +ℋ 𝑆))
68	63, 64, 67	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ (𝑅 +ℋ 𝑆))
69	62, 68	elind 4124	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))
70	56, 55	shscli 29580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐶) ∈ Sℋ
71	65, 66	shscli 29580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 +ℋ 𝑆) ∈ Sℋ
72	70, 71	shincli 29625	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)) ∈ Sℋ
73	66, 72	shsvai 29627	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ (𝑦 −ℎ 𝑤) ∈ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))) → (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) ∈ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))
74	18, 69, 73	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑤 +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑤)) ∈ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))
75	17, 74	eqeltrrd 2840	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑦 ∈ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))
76	2, 75	elind 4124	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑦 ∈ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))))
77	66, 72	shscli 29580	. . . . 5 ⊢ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))) ∈ Sℋ
78	65, 77	shincli 29625	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))) ∈ Sℋ
79	56, 78	shsvai 29627	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))
80	1, 76, 79	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))
81		eleq1 2826	. . 3 ⊢ (𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))) ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))))))
82	81	ad2antlr 723	. 2 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → (𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))) ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))))))
83	80, 82	mpbird 256	1 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝑅 ∩ (𝑆 +ℋ ((𝐵 +ℋ 𝐶) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3882  (class class class)co 7255   ℋchba 29182   +_ℎ cva 29183  0_ℎc0v 29187   −_ℎ cmv 29188   C_ℋ cch 29192   +_ℋ cph 29194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-hilex 29262  ax-hfvadd 29263  ax-hvcom 29264  ax-hvass 29265  ax-hv0cl 29266  ax-hvaddid 29267  ax-hfvmul 29268  ax-hvmulid 29269  ax-hvdistr1 29271  ax-hvdistr2 29272  ax-hvmul0 29273

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-grpo 28756  df-ablo 28808  df-hvsub 29234  df-hlim 29235  df-sh 29470  df-ch 29484  df-shs 29571

This theorem is referenced by:  3oalem3  29927