Theorem abvrcl 20862

Description: Reverse closure for the absolute value set. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
abvf.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvrcl	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem abvrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abv 20858	. . 3 ⊢ AbsVal = (𝑟 ∈ Ring ↦ {𝑓 ∈ ((0[,)+∞) ↑m (Base‘𝑟)) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑟)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝑟)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑟)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝑟)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))})
2	1	mptrcl 6985	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (AbsVal‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
3		abvf.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
4	2, 3	eleq2s 2880	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  {crab 3414   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ↑_m cmap 8808  0cc0 11073   + caddc 11076   · cmul 11078  +∞cpnf 11213   ≤ cle 11217  [,)cico 13351  Basecbs 17245  +_gcplusg 17286  ._rcmulr 17287  0_gc0g 17468  Ringcrg 20283  AbsValcabv 20857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fv 6529  df-abv 20858

This theorem is referenced by:  abvfge0  20863  abveq0  20867  abvmul  20870  abvtri  20871  abv0  20872  abv1z  20873  abvneg  20875  abvsubtri  20876  abvpropd  20884  abvmet  24635  nrgring  24723  tngnrg  24734  abvcxp  27679