Theorem abvrcl 19031

Description: Reverse closure for the absolute value set. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
abvf.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvrcl	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem abvrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abv 19027	. . . 4 ⊢ AbsVal = (𝑟 ∈ Ring ↦ {𝑓 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 (Base‘𝑟)) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑟)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝑟)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑟)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝑟)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))})
2	1	dmmptss 5774	. . 3 ⊢ dom AbsVal ⊆ Ring
3		elfvdm 6363	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (AbsVal‘𝑅) → 𝑅 ∈ dom AbsVal)
4	2, 3	sseldi 3750	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (AbsVal‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
5		abvf.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
6	4, 5	eleq2s 2868	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  {crab 3065   class class class wbr 4787  dom cdm 5250  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796   ↑_𝑚 cmap 8013  0cc0 10142   + caddc 10145   · cmul 10147  +∞cpnf 10277   ≤ cle 10281  [,)cico 12382  Basecbs 16064  +_gcplusg 16149  ._rcmulr 16150  0_gc0g 16308  Ringcrg 18755  AbsValcabv 19026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fv 6038  df-abv 19027

This theorem is referenced by:  abvfge0  19032  abveq0  19036  abvmul  19039  abvtri  19040  abv0  19041  abv1z  19042  abvneg  19044  abvsubtri  19045  abvpropd  19052  abvmet  22600  nrgring  22687  tngnrg  22698  abvcxp  25525