MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvrcl 20814
Description: Reverse closure for the absolute value set. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
abvf.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvrcl (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem abvrcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-abv 20810 . . 3 AbsVal = (𝑟 ∈ Ring ↦ {𝑓 ∈ ((0[,)+∞) ↑m (Base‘𝑟)) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑟)(((𝑓𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g𝑟)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑟)((𝑓‘(𝑥(.r𝑟)𝑦)) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g𝑟)𝑦)) ≤ ((𝑓𝑥) + (𝑓𝑦))))})
21mptrcl 7025 . 2 (𝐹 ∈ (AbsVal‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
3 abvf.a . 2 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
42, 3eleq2s 2859 1 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  cle 11296  [,)cico 13389  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  0gc0g 17484  Ringcrg 20230  AbsValcabv 20809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fv 6569  df-abv 20810
This theorem is referenced by:  abvfge0  20815  abveq0  20819  abvmul  20822  abvtri  20823  abv0  20824  abv1z  20825  abvneg  20827  abvsubtri  20828  abvpropd  20836  abvmet  24588  nrgring  24684  tngnrg  24695  abvcxp  27659
  Copyright terms: Public domain W3C validator