Theorem abvrcl 20893

Description: Reverse closure for the absolute value set. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
abvf.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvrcl	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem abvrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abv 20889	. . 3 ⊢ AbsVal = (𝑟 ∈ Ring ↦ {𝑓 ∈ ((0[,)+∞) ↑m (Base‘𝑟)) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑟)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝑟)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑟)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝑟)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))})
2	1	mptrcl 7000	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (AbsVal‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
3		abvf.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
4	2, 3	eleq2s 2887	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  {crab 3423   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8823  0cc0 11099   + caddc 11102   · cmul 11104  +∞cpnf 11239   ≤ cle 11243  [,)cico 13373  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  ._rcmulr 17310  0_gc0g 17491  Ringcrg 20314  AbsValcabv 20888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fv 6545  df-abv 20889

This theorem is referenced by:  abvfge0  20894  abveq0  20898  abvmul  20901  abvtri  20902  abv0  20903  abv1z  20904  abvneg  20906  abvsubtri  20907  abvpropd  20915  abvmet  24700  nrgring  24788  tngnrg  24799  abvcxp  27744