Theorem abvrcl 20773

Description: Reverse closure for the absolute value set. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
abvf.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvrcl	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem abvrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abv 20769	. . 3 ⊢ AbsVal = (𝑟 ∈ Ring ↦ {𝑓 ∈ ((0[,)+∞) ↑m (Base‘𝑟)) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑟)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝑟)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑟)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝑟)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))})
2	1	mptrcl 6995	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (AbsVal‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
3		abvf.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
4	2, 3	eleq2s 2852	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  {crab 3415   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8840  0cc0 11129   + caddc 11132   · cmul 11134  +∞cpnf 11266   ≤ cle 11270  [,)cico 13364  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  ._rcmulr 17272  0_gc0g 17453  Ringcrg 20193  AbsValcabv 20768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fv 6539  df-abv 20769

This theorem is referenced by:  abvfge0  20774  abveq0  20778  abvmul  20781  abvtri  20782  abv0  20783  abv1z  20784  abvneg  20786  abvsubtri  20787  abvpropd  20795  abvmet  24514  nrgring  24602  tngnrg  24613  abvcxp  27578