MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvrcl 20572
Description: Reverse closure for the absolute value set. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
abvf.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
abvrcl (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem abvrcl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑓 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-abv 20568 . . 3 AbsVal = (π‘Ÿ ∈ Ring ↦ {𝑓 ∈ ((0[,)+∞) ↑m (Baseβ€˜π‘Ÿ)) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Ÿ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜π‘Ÿ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘Ÿ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘Ÿ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘Ÿ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))})
21mptrcl 7006 . 2 (𝐹 ∈ (AbsValβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 abvf.a . 2 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
42, 3eleq2s 2849 1 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  {crab 3430   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  0cc0 11112   + caddc 11115   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249   ≀ cle 11253  [,)cico 13330  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  .rcmulr 17202  0gc0g 17389  Ringcrg 20127  AbsValcabv 20567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fv 6550  df-abv 20568
This theorem is referenced by:  abvfge0  20573  abveq0  20577  abvmul  20580  abvtri  20581  abv0  20582  abv1z  20583  abvneg  20585  abvsubtri  20586  abvpropd  20593  abvmet  24304  nrgring  24400  tngnrg  24411  abvcxp  27354
  Copyright terms: Public domain W3C validator