MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvrcl 20831
Description: Reverse closure for the absolute value set. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
abvf.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvrcl (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem abvrcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-abv 20827 . . 3 AbsVal = (𝑟 ∈ Ring ↦ {𝑓 ∈ ((0[,)+∞) ↑m (Base‘𝑟)) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑟)(((𝑓𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g𝑟)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑟)((𝑓‘(𝑥(.r𝑟)𝑦)) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g𝑟)𝑦)) ≤ ((𝑓𝑥) + (𝑓𝑦))))})
21mptrcl 7025 . 2 (𝐹 ∈ (AbsVal‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
3 abvf.a . 2 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
42, 3eleq2s 2857 1 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  {crab 3433   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  0cc0 11153   + caddc 11156   · cmul 11158  +∞cpnf 11290  cle 11294  [,)cico 13386  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  0gc0g 17486  Ringcrg 20251  AbsValcabv 20826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fv 6571  df-abv 20827
This theorem is referenced by:  abvfge0  20832  abveq0  20836  abvmul  20839  abvtri  20840  abv0  20841  abv1z  20842  abvneg  20844  abvsubtri  20845  abvpropd  20853  abvmet  24604  nrgring  24700  tngnrg  24711  abvcxp  27674
  Copyright terms: Public domain W3C validator