MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvrcl 19031
Description: Reverse closure for the absolute value set. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
abvf.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvrcl (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem abvrcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-abv 19027 . . . 4 AbsVal = (𝑟 ∈ Ring ↦ {𝑓 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 (Base‘𝑟)) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑟)(((𝑓𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g𝑟)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑟)((𝑓‘(𝑥(.r𝑟)𝑦)) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g𝑟)𝑦)) ≤ ((𝑓𝑥) + (𝑓𝑦))))})
21dmmptss 5774 . . 3 dom AbsVal ⊆ Ring
3 elfvdm 6363 . . 3 (𝐹 ∈ (AbsVal‘𝑅) → 𝑅 ∈ dom AbsVal)
42, 3sseldi 3750 . 2 (𝐹 ∈ (AbsVal‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
5 abvf.a . 2 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
64, 5eleq2s 2868 1 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  {crab 3065   class class class wbr 4787  dom cdm 5250  cfv 6030  (class class class)co 6796  𝑚 cmap 8013  0cc0 10142   + caddc 10145   · cmul 10147  +∞cpnf 10277  cle 10281  [,)cico 12382  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  .rcmulr 16150  0gc0g 16308  Ringcrg 18755  AbsValcabv 19026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fv 6038  df-abv 19027
This theorem is referenced by:  abvfge0  19032  abveq0  19036  abvmul  19039  abvtri  19040  abv0  19041  abv1z  19042  abvneg  19044  abvsubtri  19045  abvpropd  19052  abvmet  22600  nrgring  22687  tngnrg  22698  abvcxp  25525
  Copyright terms: Public domain W3C validator