MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngnrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngnrg 24695
Description: Given any absolute value over a ring, augmenting the ring with the absolute value produces a normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngnrg.t 𝑇 = (𝑅 toNrmGrp 𝐹)
tngnrg.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
tngnrg (𝐹𝐴𝑇 ∈ NrmRing)

Proof of Theorem tngnrg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngnrg.a . . . . 5 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
21abvrcl 20814 . . . 4 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)
3 ringgrp 20235 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
42, 3syl 17 . . 3 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Grp)
5 tngnrg.t . . . . 5 𝑇 = (𝑅 toNrmGrp 𝐹)
6 eqid 2737 . . . . 5 (-g𝑅) = (-g𝑅)
75, 6tngds 24668 . . . 4 (𝐹𝐴 → (𝐹 ∘ (-g𝑅)) = (dist‘𝑇))
8 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
98, 1, 6abvmet 24588 . . . 4 (𝐹𝐴 → (𝐹 ∘ (-g𝑅)) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
107, 9eqeltrrd 2842 . . 3 (𝐹𝐴 → (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
111, 8abvf 20816 . . . 4 (𝐹𝐴𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ)
12 eqid 2737 . . . . 5 (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
135, 8, 12tngngp2 24673 . . . 4 (𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))))
1411, 13syl 17 . . 3 (𝐹𝐴 → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))))
154, 10, 14mpbir2and 713 . 2 (𝐹𝐴𝑇 ∈ NrmGrp)
16 reex 11246 . . . . . 6 ℝ ∈ V
175, 8, 16tngnm 24672 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ) → 𝐹 = (norm‘𝑇))
184, 11, 17syl2anc 584 . . . 4 (𝐹𝐴𝐹 = (norm‘𝑇))
19 eqidd 2738 . . . . . 6 (𝐹𝐴 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
205, 8tngbas 24655 . . . . . 6 (𝐹𝐴 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑇))
21 eqid 2737 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
225, 21tngplusg 24657 . . . . . . 7 (𝐹𝐴 → (+g𝑅) = (+g𝑇))
2322oveqdr 7459 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑇)𝑦))
24 eqid 2737 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
255, 24tngmulr 24660 . . . . . . 7 (𝐹𝐴 → (.r𝑅) = (.r𝑇))
2625oveqdr 7459 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(.r𝑇)𝑦))
2719, 20, 23, 26abvpropd 20836 . . . . 5 (𝐹𝐴 → (AbsVal‘𝑅) = (AbsVal‘𝑇))
281, 27eqtrid 2789 . . . 4 (𝐹𝐴𝐴 = (AbsVal‘𝑇))
2918, 28eleq12d 2835 . . 3 (𝐹𝐴 → (𝐹𝐴 ↔ (norm‘𝑇) ∈ (AbsVal‘𝑇)))
3029ibi 267 . 2 (𝐹𝐴 → (norm‘𝑇) ∈ (AbsVal‘𝑇))
31 eqid 2737 . . 3 (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
32 eqid 2737 . . 3 (AbsVal‘𝑇) = (AbsVal‘𝑇)
3331, 32isnrg 24681 . 2 (𝑇 ∈ NrmRing ↔ (𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) ∈ (AbsVal‘𝑇)))
3415, 30, 33sylanbrc 583 1 (𝐹𝐴𝑇 ∈ NrmRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  distcds 17306  Grpcgrp 18951  -gcsg 18953  Ringcrg 20230  AbsValcabv 20809  Metcmet 21350  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590   toNrmGrp ctng 24591  NrmRingcnrg 24592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-seq 14043  df-exp 14103  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-tset 17316  df-ds 17319  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-abv 20810  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-tng 24597  df-nrg 24598
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator