MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngnrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngnrg 24535
Description: Given any absolute value over a ring, augmenting the ring with the absolute value produces a normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngnrg.t 𝑇 = (𝑅 toNrmGrp 𝐹)
tngnrg.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
tngnrg (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑇 ∈ NrmRing)

Proof of Theorem tngnrg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngnrg.a . . . . 5 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
21abvrcl 20660 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 ringgrp 20139 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
42, 3syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Grp)
5 tngnrg.t . . . . 5 𝑇 = (𝑅 toNrmGrp 𝐹)
6 eqid 2724 . . . . 5 (-gβ€˜π‘…) = (-gβ€˜π‘…)
75, 6tngds 24508 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (𝐹 ∘ (-gβ€˜π‘…)) = (distβ€˜π‘‡))
8 eqid 2724 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
98, 1, 6abvmet 24428 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (𝐹 ∘ (-gβ€˜π‘…)) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘…)))
107, 9eqeltrrd 2826 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (distβ€˜π‘‡) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘…)))
111, 8abvf 20662 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)βŸΆβ„)
12 eqid 2724 . . . . 5 (distβ€˜π‘‡) = (distβ€˜π‘‡)
135, 8, 12tngngp2 24513 . . . 4 (𝐹:(Baseβ€˜π‘…)βŸΆβ„ β†’ (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (distβ€˜π‘‡) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘…)))))
1411, 13syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (distβ€˜π‘‡) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘…)))))
154, 10, 14mpbir2and 710 . 2 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
16 reex 11198 . . . . . 6 ℝ ∈ V
175, 8, 16tngnm 24512 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)βŸΆβ„) β†’ 𝐹 = (normβ€˜π‘‡))
184, 11, 17syl2anc 583 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝐹 = (normβ€˜π‘‡))
19 eqidd 2725 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…))
205, 8tngbas 24495 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘‡))
21 eqid 2724 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
225, 21tngplusg 24497 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘‡))
2322oveqdr 7430 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π‘‡)𝑦))
24 eqid 2724 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
255, 24tngmulr 24500 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘‡))
2625oveqdr 7430 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜π‘‡)𝑦))
2719, 20, 23, 26abvpropd 20681 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (AbsValβ€˜π‘…) = (AbsValβ€˜π‘‡))
281, 27eqtrid 2776 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘‡))
2918, 28eleq12d 2819 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (normβ€˜π‘‡) ∈ (AbsValβ€˜π‘‡)))
3029ibi 267 . 2 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (normβ€˜π‘‡) ∈ (AbsValβ€˜π‘‡))
31 eqid 2724 . . 3 (normβ€˜π‘‡) = (normβ€˜π‘‡)
32 eqid 2724 . . 3 (AbsValβ€˜π‘‡) = (AbsValβ€˜π‘‡)
3331, 32isnrg 24521 . 2 (𝑇 ∈ NrmRing ↔ (𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (normβ€˜π‘‡) ∈ (AbsValβ€˜π‘‡)))
3415, 30, 33sylanbrc 582 1 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑇 ∈ NrmRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∘ ccom 5671  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„cr 11106  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  .rcmulr 17203  distcds 17211  Grpcgrp 18859  -gcsg 18861  Ringcrg 20134  AbsValcabv 20655  Metcmet 21220  normcnm 24429  NrmGrpcngp 24430   toNrmGrp ctng 24431  NrmRingcnrg 24432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ico 13331  df-seq 13968  df-exp 14029  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-tset 17221  df-ds 17224  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-topgen 17394  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-abv 20656  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-xms 24170  df-ms 24171  df-nm 24435  df-ngp 24436  df-tng 24437  df-nrg 24438
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator