Theorem tngnrg 25020

Description: Given any absolute value over a ring, augmenting the ring with the absolute value produces a normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngnrg.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 toNrmGrp 𝐹)
tngnrg.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
tngnrg	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ NrmRing)

Proof of Theorem tngnrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngnrg.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	abvrcl 21097	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
3		ringgrp 20491	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Grp)
5		tngnrg.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑅 toNrmGrp 𝐹)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
7	5, 6	tngds 24994	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∘ (-g‘𝑅)) = (dist‘𝑇))
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	8, 1, 6	abvmet 24921	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∘ (-g‘𝑅)) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
10	7, 9	eqeltrrd 2865	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
11	1, 8	abvf 21099	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ)
12		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
13	5, 8, 12	tngngp2 24998	. . . 4 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))))
14	11, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))))
15	4, 10, 14	mpbir2and 726	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ NrmGrp)
16		reex 11315	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
17	5, 8, 16	tngnm 24997	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ) → 𝐹 = (norm‘𝑇))
18	4, 11, 17	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹 = (norm‘𝑇))
19		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
20	5, 8	tngbas 24987	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑇))
21		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
22	5, 21	tngplusg 24988	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑇))
23	22	oveqdr 7468	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑇)𝑦))
24		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
25	5, 24	tngmulr 24990	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑇))
26	25	oveqdr 7468	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦))
27	19, 20, 23, 26	abvpropd 21119	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (AbsVal‘𝑅) = (AbsVal‘𝑇))
28	1, 27	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐴 = (AbsVal‘𝑇))
29	18, 28	eleq12d 2858	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (norm‘𝑇) ∈ (AbsVal‘𝑇)))
30	29	ibi 270	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (norm‘𝑇) ∈ (AbsVal‘𝑇))
31		eqid 2763	. . 3 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
32		eqid 2763	. . 3 ⊢ (AbsVal‘𝑇) = (AbsVal‘𝑇)
33	31, 32	isnrg 25006	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ NrmRing ↔ (𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) ∈ (AbsVal‘𝑇)))
34	15, 30, 33	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ NrmRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℝcr 11223  Basecbs 17413  +_gcplusg 17454  ._rcmulr 17455  distcds 17463  Grpcgrp 19170  -_gcsg 19172  Ringcrg 20486  AbsValcabv 21092  Metcmet 21691  normcnm 24922  NrmGrpcngp 24923   toNrmGrp ctng 24924  NrmRingcnrg 24925

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-sup 9458  df-inf 9459  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ico 13506  df-seq 14169  df-exp 14229  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-tset 17473  df-ds 17476  df-rest 17619  df-topn 17620  df-0g 17638  df-topgen 17640  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-abv 21093  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-xms 24666  df-ms 24667  df-nm 24928  df-ngp 24929  df-tng 24930  df-nrg 24931

This theorem is used by: (None)