MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngnrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngnrg 24061
Description: Given any absolute value over a ring, augmenting the ring with the absolute value produces a normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngnrg.t 𝑇 = (𝑅 toNrmGrp 𝐹)
tngnrg.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
tngnrg (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑇 ∈ NrmRing)

Proof of Theorem tngnrg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngnrg.a . . . . 5 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
21abvrcl 20323 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 ringgrp 19977 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
42, 3syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Grp)
5 tngnrg.t . . . . 5 𝑇 = (𝑅 toNrmGrp 𝐹)
6 eqid 2733 . . . . 5 (-gβ€˜π‘…) = (-gβ€˜π‘…)
75, 6tngds 24034 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (𝐹 ∘ (-gβ€˜π‘…)) = (distβ€˜π‘‡))
8 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
98, 1, 6abvmet 23954 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (𝐹 ∘ (-gβ€˜π‘…)) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘…)))
107, 9eqeltrrd 2835 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (distβ€˜π‘‡) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘…)))
111, 8abvf 20325 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)βŸΆβ„)
12 eqid 2733 . . . . 5 (distβ€˜π‘‡) = (distβ€˜π‘‡)
135, 8, 12tngngp2 24039 . . . 4 (𝐹:(Baseβ€˜π‘…)βŸΆβ„ β†’ (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (distβ€˜π‘‡) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘…)))))
1411, 13syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (distβ€˜π‘‡) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘…)))))
154, 10, 14mpbir2and 712 . 2 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
16 reex 11150 . . . . . 6 ℝ ∈ V
175, 8, 16tngnm 24038 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)βŸΆβ„) β†’ 𝐹 = (normβ€˜π‘‡))
184, 11, 17syl2anc 585 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝐹 = (normβ€˜π‘‡))
19 eqidd 2734 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…))
205, 8tngbas 24021 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘‡))
21 eqid 2733 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
225, 21tngplusg 24023 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘‡))
2322oveqdr 7389 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π‘‡)𝑦))
24 eqid 2733 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
255, 24tngmulr 24026 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘‡))
2625oveqdr 7389 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜π‘‡)𝑦))
2719, 20, 23, 26abvpropd 20344 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (AbsValβ€˜π‘…) = (AbsValβ€˜π‘‡))
281, 27eqtrid 2785 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘‡))
2918, 28eleq12d 2828 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (normβ€˜π‘‡) ∈ (AbsValβ€˜π‘‡)))
3029ibi 267 . 2 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (normβ€˜π‘‡) ∈ (AbsValβ€˜π‘‡))
31 eqid 2733 . . 3 (normβ€˜π‘‡) = (normβ€˜π‘‡)
32 eqid 2733 . . 3 (AbsValβ€˜π‘‡) = (AbsValβ€˜π‘‡)
3331, 32isnrg 24047 . 2 (𝑇 ∈ NrmRing ↔ (𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (normβ€˜π‘‡) ∈ (AbsValβ€˜π‘‡)))
3415, 30, 33sylanbrc 584 1 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑇 ∈ NrmRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∘ ccom 5641  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  distcds 17150  Grpcgrp 18756  -gcsg 18758  Ringcrg 19972  AbsValcabv 20318  Metcmet 20805  normcnm 23955  NrmGrpcngp 23956   toNrmGrp ctng 23957  NrmRingcnrg 23958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ico 13279  df-seq 13916  df-exp 13977  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-tset 17160  df-ds 17163  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-topgen 17333  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-abv 20319  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-xms 23696  df-ms 23697  df-nm 23961  df-ngp 23962  df-tng 23963  df-nrg 23964
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator