Theorem tngnrg 24560

Description: Given any absolute value over a ring, augmenting the ring with the absolute value produces a normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngnrg.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 toNrmGrp 𝐹)
tngnrg.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
tngnrg	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ NrmRing)

Proof of Theorem tngnrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngnrg.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	abvrcl 20698	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
3		ringgrp 20123	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Grp)
5		tngnrg.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑅 toNrmGrp 𝐹)
6		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
7	5, 6	tngds 24534	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∘ (-g‘𝑅)) = (dist‘𝑇))
8		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	8, 1, 6	abvmet 24461	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∘ (-g‘𝑅)) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
10	7, 9	eqeltrrd 2829	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
11	1, 8	abvf 20700	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ)
12		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
13	5, 8, 12	tngngp2 24538	. . . 4 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))))
14	11, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))))
15	4, 10, 14	mpbir2and 713	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ NrmGrp)
16		reex 11100	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
17	5, 8, 16	tngnm 24537	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ) → 𝐹 = (norm‘𝑇))
18	4, 11, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹 = (norm‘𝑇))
19		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
20	5, 8	tngbas 24527	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑇))
21		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
22	5, 21	tngplusg 24528	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑇))
23	22	oveqdr 7377	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑇)𝑦))
24		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
25	5, 24	tngmulr 24530	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑇))
26	25	oveqdr 7377	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦))
27	19, 20, 23, 26	abvpropd 20720	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (AbsVal‘𝑅) = (AbsVal‘𝑇))
28	1, 27	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐴 = (AbsVal‘𝑇))
29	18, 28	eleq12d 2822	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (norm‘𝑇) ∈ (AbsVal‘𝑇)))
30	29	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (norm‘𝑇) ∈ (AbsVal‘𝑇))
31		eqid 2729	. . 3 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
32		eqid 2729	. . 3 ⊢ (AbsVal‘𝑇) = (AbsVal‘𝑇)
33	31, 32	isnrg 24546	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ NrmRing ↔ (𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) ∈ (AbsVal‘𝑇)))
34	15, 30, 33	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ NrmRing)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∘ ccom 5623  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  ._rcmulr 17162  distcds 17170  Grpcgrp 18812  -_gcsg 18814  Ringcrg 20118  AbsValcabv 20693  Metcmet 21247  normcnm 24462  NrmGrpcngp 24463   toNrmGrp ctng 24464  NrmRingcnrg 24465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ico 13254  df-seq 13909  df-exp 13969  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-tset 17180  df-ds 17183  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-topgen 17347  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-abv 20694  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-xms 24206  df-ms 24207  df-nm 24468  df-ngp 24469  df-tng 24470  df-nrg 24471

This theorem is referenced by: (None)