Theorem tngnrg 24710

Description: Given any absolute value over a ring, augmenting the ring with the absolute value produces a normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngnrg.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 toNrmGrp 𝐹)
tngnrg.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
tngnrg	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ NrmRing)

Proof of Theorem tngnrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngnrg.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	abvrcl 20830	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
3		ringgrp 20255	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Grp)
5		tngnrg.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑅 toNrmGrp 𝐹)
6		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
7	5, 6	tngds 24683	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∘ (-g‘𝑅)) = (dist‘𝑇))
8		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	8, 1, 6	abvmet 24603	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∘ (-g‘𝑅)) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
10	7, 9	eqeltrrd 2839	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
11	1, 8	abvf 20832	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ)
12		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
13	5, 8, 12	tngngp2 24688	. . . 4 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))))
14	11, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))))
15	4, 10, 14	mpbir2and 713	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ NrmGrp)
16		reex 11243	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
17	5, 8, 16	tngnm 24687	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ) → 𝐹 = (norm‘𝑇))
18	4, 11, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹 = (norm‘𝑇))
19		eqidd 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
20	5, 8	tngbas 24670	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑇))
21		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
22	5, 21	tngplusg 24672	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑇))
23	22	oveqdr 7458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑇)𝑦))
24		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
25	5, 24	tngmulr 24675	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑇))
26	25	oveqdr 7458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦))
27	19, 20, 23, 26	abvpropd 20852	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (AbsVal‘𝑅) = (AbsVal‘𝑇))
28	1, 27	eqtrid 2786	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐴 = (AbsVal‘𝑇))
29	18, 28	eleq12d 2832	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (norm‘𝑇) ∈ (AbsVal‘𝑇)))
30	29	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (norm‘𝑇) ∈ (AbsVal‘𝑇))
31		eqid 2734	. . 3 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
32		eqid 2734	. . 3 ⊢ (AbsVal‘𝑇) = (AbsVal‘𝑇)
33	31, 32	isnrg 24696	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ NrmRing ↔ (𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) ∈ (AbsVal‘𝑇)))
34	15, 30, 33	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ NrmRing)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ∘ ccom 5692  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  Basecbs 17244  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  distcds 17306  Grpcgrp 18963  -_gcsg 18965  Ringcrg 20250  AbsValcabv 20825  Metcmet 21367  normcnm 24604  NrmGrpcngp 24605   toNrmGrp ctng 24606  NrmRingcnrg 24607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ico 13389  df-seq 14039  df-exp 14099  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-tset 17316  df-ds 17319  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-topgen 17489  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-abv 20826  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-xms 24345  df-ms 24346  df-nm 24610  df-ngp 24611  df-tng 24612  df-nrg 24613

This theorem is referenced by: (None)