Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngnrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngnrg 22855
 Description: Given any absolute value over a ring, augmenting the ring with the absolute value produces a normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngnrg.t 𝑇 = (𝑅 toNrmGrp 𝐹)
tngnrg.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
tngnrg (𝐹𝐴𝑇 ∈ NrmRing)

Proof of Theorem tngnrg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngnrg.a . . . . 5 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
21abvrcl 19184 . . . 4 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)
3 ringgrp 18913 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
42, 3syl 17 . . 3 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Grp)
5 tngnrg.t . . . . 5 𝑇 = (𝑅 toNrmGrp 𝐹)
6 eqid 2825 . . . . 5 (-g𝑅) = (-g𝑅)
75, 6tngds 22829 . . . 4 (𝐹𝐴 → (𝐹 ∘ (-g𝑅)) = (dist‘𝑇))
8 eqid 2825 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
98, 1, 6abvmet 22757 . . . 4 (𝐹𝐴 → (𝐹 ∘ (-g𝑅)) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
107, 9eqeltrrd 2907 . . 3 (𝐹𝐴 → (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
111, 8abvf 19186 . . . 4 (𝐹𝐴𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ)
12 eqid 2825 . . . . 5 (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
135, 8, 12tngngp2 22833 . . . 4 (𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))))
1411, 13syl 17 . . 3 (𝐹𝐴 → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))))
154, 10, 14mpbir2and 704 . 2 (𝐹𝐴𝑇 ∈ NrmGrp)
16 reex 10350 . . . . . 6 ℝ ∈ V
175, 8, 16tngnm 22832 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ) → 𝐹 = (norm‘𝑇))
184, 11, 17syl2anc 579 . . . 4 (𝐹𝐴𝐹 = (norm‘𝑇))
19 eqidd 2826 . . . . . 6 (𝐹𝐴 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
205, 8tngbas 22822 . . . . . 6 (𝐹𝐴 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑇))
21 eqid 2825 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
225, 21tngplusg 22823 . . . . . . 7 (𝐹𝐴 → (+g𝑅) = (+g𝑇))
2322oveqdr 6938 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑇)𝑦))
24 eqid 2825 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
255, 24tngmulr 22825 . . . . . . 7 (𝐹𝐴 → (.r𝑅) = (.r𝑇))
2625oveqdr 6938 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(.r𝑇)𝑦))
2719, 20, 23, 26abvpropd 19205 . . . . 5 (𝐹𝐴 → (AbsVal‘𝑅) = (AbsVal‘𝑇))
281, 27syl5eq 2873 . . . 4 (𝐹𝐴𝐴 = (AbsVal‘𝑇))
2918, 28eleq12d 2900 . . 3 (𝐹𝐴 → (𝐹𝐴 ↔ (norm‘𝑇) ∈ (AbsVal‘𝑇)))
3029ibi 259 . 2 (𝐹𝐴 → (norm‘𝑇) ∈ (AbsVal‘𝑇))
31 eqid 2825 . . 3 (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
32 eqid 2825 . . 3 (AbsVal‘𝑇) = (AbsVal‘𝑇)
3331, 32isnrg 22841 . 2 (𝑇 ∈ NrmRing ↔ (𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) ∈ (AbsVal‘𝑇)))
3415, 30, 33sylanbrc 578 1 (𝐹𝐴𝑇 ∈ NrmRing)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ∘ ccom 5350  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  ℝcr 10258  Basecbs 16229  +gcplusg 16312  .rcmulr 16313  distcds 16321  Grpcgrp 17783  -gcsg 17785  Ringcrg 18908  AbsValcabv 19179  Metcmet 20099  normcnm 22758  NrmGrpcngp 22759   toNrmGrp ctng 22760  NrmRingcnrg 22761 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-inf 8624  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ico 12476  df-seq 13103  df-exp 13162  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-tset 16331  df-ds 16334  df-rest 16443  df-topn 16444  df-0g 16462  df-topgen 16464  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-abv 19180  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-top 21076  df-topon 21093  df-topsp 21115  df-bases 21128  df-xms 22502  df-ms 22503  df-nm 22764  df-ngp 22765  df-tng 22766  df-nrg 22767 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator