Theorem tngnrg 24589

Description: Given any absolute value over a ring, augmenting the ring with the absolute value produces a normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngnrg.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 toNrmGrp 𝐹)
tngnrg.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
tngnrg	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ NrmRing)

Proof of Theorem tngnrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngnrg.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	abvrcl 20728	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
3		ringgrp 20156	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Grp)
5		tngnrg.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑅 toNrmGrp 𝐹)
6		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
7	5, 6	tngds 24563	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∘ (-g‘𝑅)) = (dist‘𝑇))
8		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	8, 1, 6	abvmet 24490	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∘ (-g‘𝑅)) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
10	7, 9	eqeltrrd 2832	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
11	1, 8	abvf 20730	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ)
12		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
13	5, 8, 12	tngngp2 24567	. . . 4 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))))
14	11, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))))
15	4, 10, 14	mpbir2and 713	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ NrmGrp)
16		reex 11097	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
17	5, 8, 16	tngnm 24566	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ) → 𝐹 = (norm‘𝑇))
18	4, 11, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹 = (norm‘𝑇))
19		eqidd 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
20	5, 8	tngbas 24556	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑇))
21		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
22	5, 21	tngplusg 24557	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑇))
23	22	oveqdr 7374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑇)𝑦))
24		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
25	5, 24	tngmulr 24559	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑇))
26	25	oveqdr 7374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦))
27	19, 20, 23, 26	abvpropd 20750	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (AbsVal‘𝑅) = (AbsVal‘𝑇))
28	1, 27	eqtrid 2778	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐴 = (AbsVal‘𝑇))
29	18, 28	eleq12d 2825	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (norm‘𝑇) ∈ (AbsVal‘𝑇)))
30	29	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (norm‘𝑇) ∈ (AbsVal‘𝑇))
31		eqid 2731	. . 3 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
32		eqid 2731	. . 3 ⊢ (AbsVal‘𝑇) = (AbsVal‘𝑇)
33	31, 32	isnrg 24575	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ NrmRing ↔ (𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) ∈ (AbsVal‘𝑇)))
34	15, 30, 33	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ NrmRing)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∘ ccom 5618  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  ._rcmulr 17162  distcds 17170  Grpcgrp 18846  -_gcsg 18848  Ringcrg 20151  AbsValcabv 20723  Metcmet 21277  normcnm 24491  NrmGrpcngp 24492   toNrmGrp ctng 24493  NrmRingcnrg 24494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ico 13251  df-seq 13909  df-exp 13969  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-tset 17180  df-ds 17183  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-topgen 17347  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-abv 20724  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-xms 24235  df-ms 24236  df-nm 24497  df-ngp 24498  df-tng 24499  df-nrg 24500

This theorem is referenced by: (None)