Theorem tngnrg 24620

Description: Given any absolute value over a ring, augmenting the ring with the absolute value produces a normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngnrg.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 toNrmGrp 𝐹)
tngnrg.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
tngnrg	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ NrmRing)

Proof of Theorem tngnrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngnrg.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	abvrcl 20748	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
3		ringgrp 20175	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Grp)
5		tngnrg.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑅 toNrmGrp 𝐹)
6		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
7	5, 6	tngds 24594	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∘ (-g‘𝑅)) = (dist‘𝑇))
8		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	8, 1, 6	abvmet 24521	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∘ (-g‘𝑅)) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
10	7, 9	eqeltrrd 2836	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
11	1, 8	abvf 20750	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ)
12		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
13	5, 8, 12	tngngp2 24598	. . . 4 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))))
14	11, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))))
15	4, 10, 14	mpbir2and 714	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ NrmGrp)
16		reex 11119	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
17	5, 8, 16	tngnm 24597	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ) → 𝐹 = (norm‘𝑇))
18	4, 11, 17	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹 = (norm‘𝑇))
19		eqidd 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
20	5, 8	tngbas 24587	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑇))
21		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
22	5, 21	tngplusg 24588	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑇))
23	22	oveqdr 7386	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑇)𝑦))
24		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
25	5, 24	tngmulr 24590	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑇))
26	25	oveqdr 7386	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦))
27	19, 20, 23, 26	abvpropd 20770	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (AbsVal‘𝑅) = (AbsVal‘𝑇))
28	1, 27	eqtrid 2782	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐴 = (AbsVal‘𝑇))
29	18, 28	eleq12d 2829	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (norm‘𝑇) ∈ (AbsVal‘𝑇)))
30	29	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (norm‘𝑇) ∈ (AbsVal‘𝑇))
31		eqid 2735	. . 3 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
32		eqid 2735	. . 3 ⊢ (AbsVal‘𝑇) = (AbsVal‘𝑇)
33	31, 32	isnrg 24606	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ NrmRing ↔ (𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) ∈ (AbsVal‘𝑇)))
34	15, 30, 33	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ NrmRing)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∘ ccom 5627  ⟶wf 6487  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  ℝcr 11027  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  ._rcmulr 17180  distcds 17188  Grpcgrp 18865  -_gcsg 18867  Ringcrg 20170  AbsValcabv 20743  Metcmet 21297  normcnm 24522  NrmGrpcngp 24523   toNrmGrp ctng 24524  NrmRingcnrg 24525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-sup 9347  df-inf 9348  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-ico 13269  df-seq 13927  df-exp 13987  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-tset 17198  df-ds 17201  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-topgen 17365  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-ring 20172  df-abv 20744  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22892  df-xms 24266  df-ms 24267  df-nm 24528  df-ngp 24529  df-tng 24530  df-nrg 24531

This theorem is referenced by: (None)