MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngnrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngnrg 24604
Description: Given any absolute value over a ring, augmenting the ring with the absolute value produces a normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngnrg.t 𝑇 = (𝑅 toNrmGrp 𝐹)
tngnrg.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
tngnrg (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑇 ∈ NrmRing)

Proof of Theorem tngnrg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngnrg.a . . . . 5 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
21abvrcl 20701 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 ringgrp 20178 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
42, 3syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Grp)
5 tngnrg.t . . . . 5 𝑇 = (𝑅 toNrmGrp 𝐹)
6 eqid 2728 . . . . 5 (-gβ€˜π‘…) = (-gβ€˜π‘…)
75, 6tngds 24577 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (𝐹 ∘ (-gβ€˜π‘…)) = (distβ€˜π‘‡))
8 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
98, 1, 6abvmet 24497 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (𝐹 ∘ (-gβ€˜π‘…)) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘…)))
107, 9eqeltrrd 2830 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (distβ€˜π‘‡) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘…)))
111, 8abvf 20703 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)βŸΆβ„)
12 eqid 2728 . . . . 5 (distβ€˜π‘‡) = (distβ€˜π‘‡)
135, 8, 12tngngp2 24582 . . . 4 (𝐹:(Baseβ€˜π‘…)βŸΆβ„ β†’ (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (distβ€˜π‘‡) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘…)))))
1411, 13syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (distβ€˜π‘‡) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘…)))))
154, 10, 14mpbir2and 712 . 2 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
16 reex 11230 . . . . . 6 ℝ ∈ V
175, 8, 16tngnm 24581 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)βŸΆβ„) β†’ 𝐹 = (normβ€˜π‘‡))
184, 11, 17syl2anc 583 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝐹 = (normβ€˜π‘‡))
19 eqidd 2729 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…))
205, 8tngbas 24564 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘‡))
21 eqid 2728 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
225, 21tngplusg 24566 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘‡))
2322oveqdr 7448 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π‘‡)𝑦))
24 eqid 2728 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
255, 24tngmulr 24569 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘‡))
2625oveqdr 7448 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜π‘‡)𝑦))
2719, 20, 23, 26abvpropd 20722 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (AbsValβ€˜π‘…) = (AbsValβ€˜π‘‡))
281, 27eqtrid 2780 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘‡))
2918, 28eleq12d 2823 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (normβ€˜π‘‡) ∈ (AbsValβ€˜π‘‡)))
3029ibi 267 . 2 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (normβ€˜π‘‡) ∈ (AbsValβ€˜π‘‡))
31 eqid 2728 . . 3 (normβ€˜π‘‡) = (normβ€˜π‘‡)
32 eqid 2728 . . 3 (AbsValβ€˜π‘‡) = (AbsValβ€˜π‘‡)
3331, 32isnrg 24590 . 2 (𝑇 ∈ NrmRing ↔ (𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (normβ€˜π‘‡) ∈ (AbsValβ€˜π‘‡)))
3415, 30, 33sylanbrc 582 1 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑇 ∈ NrmRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∘ ccom 5682  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„cr 11138  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  .rcmulr 17234  distcds 17242  Grpcgrp 18890  -gcsg 18892  Ringcrg 20173  AbsValcabv 20696  Metcmet 21265  normcnm 24498  NrmGrpcngp 24499   toNrmGrp ctng 24500  NrmRingcnrg 24501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ico 13363  df-seq 14000  df-exp 14060  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-tset 17252  df-ds 17255  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-topgen 17425  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-abv 20697  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-xms 24239  df-ms 24240  df-nm 24504  df-ngp 24505  df-tng 24506  df-nrg 24507
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator