MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abv1z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abv1z 20334
Description: The absolute value of one is one in a non-trivial ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
abv1.p 1 = (1rβ€˜π‘…)
abv1z.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
abv1z ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜ 1 ) = 1)

Proof of Theorem abv1z
StepHypRef Expression
1 abv0.a . . . . . . . 8 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
21abvrcl 20323 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4 abv1.p . . . . . . . 8 1 = (1rβ€˜π‘…)
53, 4ringidcl 19997 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
62, 5syl 17 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
71, 3abvcl 20326 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜ 1 ) ∈ ℝ)
86, 7mpdan 686 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜ 1 ) ∈ ℝ)
98adantr 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜ 1 ) ∈ ℝ)
109recnd 11191 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜ 1 ) ∈ β„‚)
11 simpl 484 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
126adantr 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
13 simpr 486 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ 1 β‰  0 )
14 abv1z.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘…)
151, 3, 14abvne0 20329 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 1 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜ 1 ) β‰  0)
1611, 12, 13, 15syl3anc 1372 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜ 1 ) β‰  0)
1710, 10, 16divcan3d 11944 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ (((πΉβ€˜ 1 ) Β· (πΉβ€˜ 1 )) / (πΉβ€˜ 1 )) = (πΉβ€˜ 1 ))
18 eqid 2733 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
193, 18, 4ringlidm 20000 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 1 (.rβ€˜π‘…) 1 ) = 1 )
202, 12, 19syl2an2r 684 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ ( 1 (.rβ€˜π‘…) 1 ) = 1 )
2120fveq2d 6850 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜( 1 (.rβ€˜π‘…) 1 )) = (πΉβ€˜ 1 ))
221, 3, 18abvmul 20331 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜( 1 (.rβ€˜π‘…) 1 )) = ((πΉβ€˜ 1 ) Β· (πΉβ€˜ 1 )))
2311, 12, 12, 22syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜( 1 (.rβ€˜π‘…) 1 )) = ((πΉβ€˜ 1 ) Β· (πΉβ€˜ 1 )))
2421, 23eqtr3d 2775 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜ 1 ) = ((πΉβ€˜ 1 ) Β· (πΉβ€˜ 1 )))
2524oveq1d 7376 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ ((πΉβ€˜ 1 ) / (πΉβ€˜ 1 )) = (((πΉβ€˜ 1 ) Β· (πΉβ€˜ 1 )) / (πΉβ€˜ 1 )))
2610, 16dividd 11937 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ ((πΉβ€˜ 1 ) / (πΉβ€˜ 1 )) = 1)
2725, 26eqtr3d 2775 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ (((πΉβ€˜ 1 ) Β· (πΉβ€˜ 1 )) / (πΉβ€˜ 1 )) = 1)
2817, 27eqtr3d 2775 1 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜ 1 ) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   Β· cmul 11064   / cdiv 11820  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  0gc0g 17329  1rcur 19921  Ringcrg 19972  AbsValcabv 20318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-ico 13279  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-abv 20319
This theorem is referenced by:  abv1  20335  abvneg  20336  nm1  24054  qabvle  26996  qabvexp  26997  ostthlem2  26999  ostth3  27009  ostth  27010
  Copyright terms: Public domain W3C validator