Theorem abv1z 19605

Description: The absolute value of one is one in a non-trivial ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abv0.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abv1.p	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
abv1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abv1z	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) = 1)

Proof of Theorem abv1z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abv0.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	abvrcl 19594	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
3		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		abv1.p	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5	3, 4	ringidcl 19320	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
6	2, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
7	1, 3	abvcl 19597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘ 1 ) ∈ ℝ)
8	6, 7	mpdan 685	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘ 1 ) ∈ ℝ)
9	8	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) ∈ ℝ)
10	9	recnd 10671	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) ∈ ℂ)
11		simpl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ 𝐴)
12	6	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
13		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → 1 ≠ 0 )
14		abv1z.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
15	1, 3, 14	abvne0 19600	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) ≠ 0)
16	11, 12, 13, 15	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) ≠ 0)
17	10, 10, 16	divcan3d 11423	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )) / (𝐹‘ 1 )) = (𝐹‘ 1 ))
18		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	3, 18, 4	ringlidm 19323	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝑅) 1 ) = 1 )
20	2, 12, 19	syl2an2r 683	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅) 1 ) = 1 )
21	20	fveq2d 6676	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘( 1 (.r‘𝑅) 1 )) = (𝐹‘ 1 ))
22	1, 3, 18	abvmul 19602	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘( 1 (.r‘𝑅) 1 )) = ((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )))
23	11, 12, 12, 22	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘( 1 (.r‘𝑅) 1 )) = ((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )))
24	21, 23	eqtr3d 2860	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) = ((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )))
25	24	oveq1d 7173	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → ((𝐹‘ 1 ) / (𝐹‘ 1 )) = (((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )) / (𝐹‘ 1 )))
26	10, 16	dividd 11416	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → ((𝐹‘ 1 ) / (𝐹‘ 1 )) = 1)
27	25, 26	eqtr3d 2860	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )) / (𝐹‘ 1 )) = 1)
28	17, 27	eqtr3d 2860	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   · cmul 10544   / cdiv 11299  Basecbs 16485  ._rcmulr 16568  0_gc0g 16715  1_rcur 19253  Ringcrg 19299  AbsValcabv 19589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-ico 12747  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-plusg 16580  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-abv 19590

This theorem is referenced by:  abv1  19606  abvneg  19607  nm1  23278  qabvle  26203  qabvexp  26204  ostthlem2  26206  ostth3  26216  ostth  26217