Theorem abv1z 20896

Description: The absolute value of one is one in a non-trivial ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abv0.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abv1.p	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
abv1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abv1z	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) = 1)

Proof of Theorem abv1z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abv0.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	abvrcl 20885	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
3		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		abv1.p	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5	3, 4	ringidcl 20339	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
6	2, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
7	1, 3	abvcl 20888	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘ 1 ) ∈ ℝ)
8	6, 7	mpdan 699	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘ 1 ) ∈ ℝ)
9	8	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11225	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) ∈ ℂ)
11		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ 𝐴)
12	6	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
13		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → 1 ≠ 0 )
14		abv1z.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
15	1, 3, 14	abvne0 20891	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) ≠ 0)
16	11, 12, 13, 15	syl3anc 1394	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) ≠ 0)
17	10, 10, 16	divcan3d 11987	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )) / (𝐹‘ 1 )) = (𝐹‘ 1 ))
18		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	3, 18, 4	ringlidm 20343	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝑅) 1 ) = 1 )
20	2, 12, 19	syl2an2r 697	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅) 1 ) = 1 )
21	20	fveq2d 6875	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘( 1 (.r‘𝑅) 1 )) = (𝐹‘ 1 ))
22	1, 3, 18	abvmul 20893	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘( 1 (.r‘𝑅) 1 )) = ((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )))
23	11, 12, 12, 22	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘( 1 (.r‘𝑅) 1 )) = ((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )))
24	21, 23	eqtr3d 2802	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) = ((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )))
25	24	oveq1d 7415	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → ((𝐹‘ 1 ) / (𝐹‘ 1 )) = (((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )) / (𝐹‘ 1 )))
26	10, 16	dividd 11980	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → ((𝐹‘ 1 ) / (𝐹‘ 1 )) = 1)
27	25, 26	eqtr3d 2802	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )) / (𝐹‘ 1 )) = 1)
28	17, 27	eqtr3d 2802	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   · cmul 11093   / cdiv 11859  Basecbs 17259  ._rcmulr 17301  0_gc0g 17482  1_rcur 20254  Ringcrg 20306  AbsValcabv 20880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-ico 13369  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-plusg 17313  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-mgp 20208  df-ur 20255  df-ring 20308  df-abv 20881

This theorem is referenced by:  abv1  20897  abvneg  20898  nm1  24785  qabvle  27747  qabvexp  27748  ostthlem2  27750  ostth3  27760  ostth  27761  abvexp  43162  fiabv  43166