Theorem abv1z 20667

Description: The absolute value of one is one in a non-trivial ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abv0.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abv1.p	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
abv1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abv1z	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) = 1)

Proof of Theorem abv1z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abv0.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	abvrcl 20656	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
3		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		abv1.p	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5	3, 4	ringidcl 20157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
6	2, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
7	1, 3	abvcl 20659	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘ 1 ) ∈ ℝ)
8	6, 7	mpdan 684	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘ 1 ) ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11240	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) ∈ ℂ)
11		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ 𝐴)
12	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
13		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → 1 ≠ 0 )
14		abv1z.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
15	1, 3, 14	abvne0 20662	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) ≠ 0)
16	11, 12, 13, 15	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) ≠ 0)
17	10, 10, 16	divcan3d 11993	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )) / (𝐹‘ 1 )) = (𝐹‘ 1 ))
18		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	3, 18, 4	ringlidm 20160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝑅) 1 ) = 1 )
20	2, 12, 19	syl2an2r 682	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅) 1 ) = 1 )
21	20	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘( 1 (.r‘𝑅) 1 )) = (𝐹‘ 1 ))
22	1, 3, 18	abvmul 20664	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘( 1 (.r‘𝑅) 1 )) = ((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )))
23	11, 12, 12, 22	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘( 1 (.r‘𝑅) 1 )) = ((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )))
24	21, 23	eqtr3d 2766	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) = ((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )))
25	24	oveq1d 7417	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → ((𝐹‘ 1 ) / (𝐹‘ 1 )) = (((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )) / (𝐹‘ 1 )))
26	10, 16	dividd 11986	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → ((𝐹‘ 1 ) / (𝐹‘ 1 )) = 1)
27	25, 26	eqtr3d 2766	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )) / (𝐹‘ 1 )) = 1)
28	17, 27	eqtr3d 2766	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ℝcr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   · cmul 11112   / cdiv 11869  Basecbs 17145  ._rcmulr 17199  0_gc0g 17386  1_rcur 20078  Ringcrg 20130  AbsValcabv 20651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-ico 13328  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-plusg 17211  df-0g 17388  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mgp 20032  df-ur 20079  df-ring 20132  df-abv 20652

This theorem is referenced by:  abv1  20668  abvneg  20669  nm1  24508  qabvle  27477  qabvexp  27478  ostthlem2  27480  ostth3  27490  ostth  27491