MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abv1z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abv1z 20665
Description: The absolute value of one is one in a non-trivial ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
abv1.p 1 = (1rβ€˜π‘…)
abv1z.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
abv1z ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜ 1 ) = 1)

Proof of Theorem abv1z
StepHypRef Expression
1 abv0.a . . . . . . . 8 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
21abvrcl 20654 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 eqid 2724 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4 abv1.p . . . . . . . 8 1 = (1rβ€˜π‘…)
53, 4ringidcl 20155 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
62, 5syl 17 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
71, 3abvcl 20657 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜ 1 ) ∈ ℝ)
86, 7mpdan 684 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜ 1 ) ∈ ℝ)
98adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜ 1 ) ∈ ℝ)
109recnd 11239 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜ 1 ) ∈ β„‚)
11 simpl 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
126adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
13 simpr 484 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ 1 β‰  0 )
14 abv1z.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘…)
151, 3, 14abvne0 20660 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 1 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜ 1 ) β‰  0)
1611, 12, 13, 15syl3anc 1368 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜ 1 ) β‰  0)
1710, 10, 16divcan3d 11992 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ (((πΉβ€˜ 1 ) Β· (πΉβ€˜ 1 )) / (πΉβ€˜ 1 )) = (πΉβ€˜ 1 ))
18 eqid 2724 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
193, 18, 4ringlidm 20158 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 1 (.rβ€˜π‘…) 1 ) = 1 )
202, 12, 19syl2an2r 682 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ ( 1 (.rβ€˜π‘…) 1 ) = 1 )
2120fveq2d 6885 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜( 1 (.rβ€˜π‘…) 1 )) = (πΉβ€˜ 1 ))
221, 3, 18abvmul 20662 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜( 1 (.rβ€˜π‘…) 1 )) = ((πΉβ€˜ 1 ) Β· (πΉβ€˜ 1 )))
2311, 12, 12, 22syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜( 1 (.rβ€˜π‘…) 1 )) = ((πΉβ€˜ 1 ) Β· (πΉβ€˜ 1 )))
2421, 23eqtr3d 2766 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜ 1 ) = ((πΉβ€˜ 1 ) Β· (πΉβ€˜ 1 )))
2524oveq1d 7416 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ ((πΉβ€˜ 1 ) / (πΉβ€˜ 1 )) = (((πΉβ€˜ 1 ) Β· (πΉβ€˜ 1 )) / (πΉβ€˜ 1 )))
2610, 16dividd 11985 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ ((πΉβ€˜ 1 ) / (πΉβ€˜ 1 )) = 1)
2725, 26eqtr3d 2766 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ (((πΉβ€˜ 1 ) Β· (πΉβ€˜ 1 )) / (πΉβ€˜ 1 )) = 1)
2817, 27eqtr3d 2766 1 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜ 1 ) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111   / cdiv 11868  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  0gc0g 17384  1rcur 20076  Ringcrg 20128  AbsValcabv 20649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-ico 13327  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mgp 20030  df-ur 20077  df-ring 20130  df-abv 20650
This theorem is referenced by:  abv1  20666  abvneg  20667  nm1  24506  qabvle  27474  qabvexp  27475  ostthlem2  27477  ostth3  27487  ostth  27488
  Copyright terms: Public domain W3C validator