Theorem abv1z 20853

Description: The absolute value of one is one in a non-trivial ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abv0.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abv1.p	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
abv1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abv1z	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) = 1)

Proof of Theorem abv1z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abv0.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	abvrcl 20842	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
3		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		abv1.p	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5	3, 4	ringidcl 20294	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
6	2, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
7	1, 3	abvcl 20845	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘ 1 ) ∈ ℝ)
8	6, 7	mpdan 697	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘ 1 ) ∈ ℝ)
9	8	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11207	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) ∈ ℂ)
11		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ 𝐴)
12	6	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
13		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → 1 ≠ 0 )
14		abv1z.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
15	1, 3, 14	abvne0 20848	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) ≠ 0)
16	11, 12, 13, 15	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) ≠ 0)
17	10, 10, 16	divcan3d 11969	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )) / (𝐹‘ 1 )) = (𝐹‘ 1 ))
18		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	3, 18, 4	ringlidm 20298	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝑅) 1 ) = 1 )
20	2, 12, 19	syl2an2r 695	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅) 1 ) = 1 )
21	20	fveq2d 6867	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘( 1 (.r‘𝑅) 1 )) = (𝐹‘ 1 ))
22	1, 3, 18	abvmul 20850	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘( 1 (.r‘𝑅) 1 )) = ((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )))
23	11, 12, 12, 22	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘( 1 (.r‘𝑅) 1 )) = ((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )))
24	21, 23	eqtr3d 2798	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) = ((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )))
25	24	oveq1d 7407	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → ((𝐹‘ 1 ) / (𝐹‘ 1 )) = (((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )) / (𝐹‘ 1 )))
26	10, 16	dividd 11962	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → ((𝐹‘ 1 ) / (𝐹‘ 1 )) = 1)
27	25, 26	eqtr3d 2798	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )) / (𝐹‘ 1 )) = 1)
28	17, 27	eqtr3d 2798	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   · cmul 11075   / cdiv 11841  Basecbs 17228  ._rcmulr 17270  0_gc0g 17451  1_rcur 20210  Ringcrg 20262  AbsValcabv 20837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-ico 13352  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17282  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-mgp 20170  df-ur 20211  df-ring 20264  df-abv 20838

This theorem is referenced by:  abv1  20854  abvneg  20855  nm1  24707  qabvle  27666  qabvexp  27667  ostthlem2  27669  ostth3  27679  ostth  27680  abvexp  43114  fiabv  43118