MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abv1z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abv1z 20667
Description: The absolute value of one is one in a non-trivial ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abv1.p 1 = (1r𝑅)
abv1z.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
abv1z ((𝐹𝐴10 ) → (𝐹1 ) = 1)

Proof of Theorem abv1z
StepHypRef Expression
1 abv0.a . . . . . . . 8 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
21abvrcl 20656 . . . . . . 7 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)
3 eqid 2724 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 abv1.p . . . . . . . 8 1 = (1r𝑅)
53, 4ringidcl 20157 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
62, 5syl 17 . . . . . 6 (𝐹𝐴1 ∈ (Base‘𝑅))
71, 3abvcl 20659 . . . . . 6 ((𝐹𝐴1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹1 ) ∈ ℝ)
86, 7mpdan 684 . . . . 5 (𝐹𝐴 → (𝐹1 ) ∈ ℝ)
98adantr 480 . . . 4 ((𝐹𝐴10 ) → (𝐹1 ) ∈ ℝ)
109recnd 11240 . . 3 ((𝐹𝐴10 ) → (𝐹1 ) ∈ ℂ)
11 simpl 482 . . . 4 ((𝐹𝐴10 ) → 𝐹𝐴)
126adantr 480 . . . 4 ((𝐹𝐴10 ) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
13 simpr 484 . . . 4 ((𝐹𝐴10 ) → 10 )
14 abv1z.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
151, 3, 14abvne0 20662 . . . 4 ((𝐹𝐴1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 10 ) → (𝐹1 ) ≠ 0)
1611, 12, 13, 15syl3anc 1368 . . 3 ((𝐹𝐴10 ) → (𝐹1 ) ≠ 0)
1710, 10, 16divcan3d 11993 . 2 ((𝐹𝐴10 ) → (((𝐹1 ) · (𝐹1 )) / (𝐹1 )) = (𝐹1 ))
18 eqid 2724 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
193, 18, 4ringlidm 20160 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r𝑅) 1 ) = 1 )
202, 12, 19syl2an2r 682 . . . . . 6 ((𝐹𝐴10 ) → ( 1 (.r𝑅) 1 ) = 1 )
2120fveq2d 6886 . . . . 5 ((𝐹𝐴10 ) → (𝐹‘( 1 (.r𝑅) 1 )) = (𝐹1 ))
221, 3, 18abvmul 20664 . . . . . 6 ((𝐹𝐴1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘( 1 (.r𝑅) 1 )) = ((𝐹1 ) · (𝐹1 )))
2311, 12, 12, 22syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝐹𝐴10 ) → (𝐹‘( 1 (.r𝑅) 1 )) = ((𝐹1 ) · (𝐹1 )))
2421, 23eqtr3d 2766 . . . 4 ((𝐹𝐴10 ) → (𝐹1 ) = ((𝐹1 ) · (𝐹1 )))
2524oveq1d 7417 . . 3 ((𝐹𝐴10 ) → ((𝐹1 ) / (𝐹1 )) = (((𝐹1 ) · (𝐹1 )) / (𝐹1 )))
2610, 16dividd 11986 . . 3 ((𝐹𝐴10 ) → ((𝐹1 ) / (𝐹1 )) = 1)
2725, 26eqtr3d 2766 . 2 ((𝐹𝐴10 ) → (((𝐹1 ) · (𝐹1 )) / (𝐹1 )) = 1)
2817, 27eqtr3d 2766 1 ((𝐹𝐴10 ) → (𝐹1 ) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  cfv 6534  (class class class)co 7402  cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   · cmul 11112   / cdiv 11869  Basecbs 17145  .rcmulr 17199  0gc0g 17386  1rcur 20078  Ringcrg 20130  AbsValcabv 20651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-ico 13328  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-plusg 17211  df-0g 17388  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mgp 20032  df-ur 20079  df-ring 20132  df-abv 20652
This theorem is referenced by:  abv1  20668  abvneg  20669  nm1  24508  qabvle  27477  qabvexp  27478  ostthlem2  27480  ostth3  27490  ostth  27491
  Copyright terms: Public domain W3C validator