Theorem abv1z 20784

Description: The absolute value of one is one in a non-trivial ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abv0.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abv1.p	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
abv1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abv1z	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) = 1)

Proof of Theorem abv1z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abv0.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	abvrcl 20773	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
3		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		abv1.p	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5	3, 4	ringidcl 20225	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
6	2, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
7	1, 3	abvcl 20776	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘ 1 ) ∈ ℝ)
8	6, 7	mpdan 687	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘ 1 ) ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11263	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) ∈ ℂ)
11		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ 𝐴)
12	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
13		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → 1 ≠ 0 )
14		abv1z.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
15	1, 3, 14	abvne0 20779	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) ≠ 0)
16	11, 12, 13, 15	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) ≠ 0)
17	10, 10, 16	divcan3d 12022	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )) / (𝐹‘ 1 )) = (𝐹‘ 1 ))
18		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	3, 18, 4	ringlidm 20229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝑅) 1 ) = 1 )
20	2, 12, 19	syl2an2r 685	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅) 1 ) = 1 )
21	20	fveq2d 6880	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘( 1 (.r‘𝑅) 1 )) = (𝐹‘ 1 ))
22	1, 3, 18	abvmul 20781	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘( 1 (.r‘𝑅) 1 )) = ((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )))
23	11, 12, 12, 22	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘( 1 (.r‘𝑅) 1 )) = ((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )))
24	21, 23	eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) = ((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )))
25	24	oveq1d 7420	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → ((𝐹‘ 1 ) / (𝐹‘ 1 )) = (((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )) / (𝐹‘ 1 )))
26	10, 16	dividd 12015	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → ((𝐹‘ 1 ) / (𝐹‘ 1 )) = 1)
27	25, 26	eqtr3d 2772	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (((𝐹‘ 1 ) · (𝐹‘ 1 )) / (𝐹‘ 1 )) = 1)
28	17, 27	eqtr3d 2772	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0 ) → (𝐹‘ 1 ) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   · cmul 11134   / cdiv 11894  Basecbs 17228  ._rcmulr 17272  0_gc0g 17453  1_rcur 20141  Ringcrg 20193  AbsValcabv 20768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-ico 13368  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mgp 20101  df-ur 20142  df-ring 20195  df-abv 20769

This theorem is referenced by:  abv1  20785  abvneg  20786  nm1  24606  qabvle  27588  qabvexp  27589  ostthlem2  27591  ostth3  27601  ostth  27602  abvexp  42555  fiabv  42559