Theorem abv0 20956

Description: The absolute value of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abv0.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abv0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abv0	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘ 0 ) = 0)

Proof of Theorem abv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abv0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	abvrcl 20946	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
3		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		abv0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5	3, 4	ring0cl 20376	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
6	2, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
7		eqid 2766	. . 3 ⊢ 0 = 0
8	1, 3, 4	abveq0 20951	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹‘ 0 ) = 0 ↔ 0 = 0 ))
9	7, 8	mpbiri 261	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘ 0 ) = 0)
10	6, 9	mpdan 700	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘ 0 ) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  0cc0 11118  Basecbs 17294  0_gc0g 17517  Ringcrg 20340  AbsValcabv 20941

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-map 8835  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18802  df-mnd 18818  df-grp 19028  df-ring 20342  df-abv 20942

This theorem is used by:  abvdom  20963  abvres  20964  abvcxp  27809  qabvle  27819  ostthlem1  27821  ostth2lem2  27828  ostth3  27832  fiabv  43337