MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abv0 20333
Description: The absolute value of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
abv0.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
abv0 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = 0)

Proof of Theorem abv0
StepHypRef Expression
1 abv0.a . . . 4 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
21abvrcl 20323 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4 abv0.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘…)
53, 4ring0cl 19998 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
62, 5syl 17 . 2 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7 eqid 2733 . . 3 0 = 0
81, 3, 4abveq0 20328 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜ 0 ) = 0 ↔ 0 = 0 ))
97, 8mpbiri 258 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = 0)
106, 9mpdan 686 1 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6500  0cc0 11059  Basecbs 17091  0gc0g 17329  Ringcrg 19972  AbsValcabv 20318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-map 8773  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-ring 19974  df-abv 20319
This theorem is referenced by:  abvdom  20340  abvres  20341  abvcxp  26986  qabvle  26996  ostthlem1  26998  ostth2lem2  27005  ostth3  27009
  Copyright terms: Public domain W3C validator