MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abv0 20824
Description: The absolute value of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abv0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
abv0 (𝐹𝐴 → (𝐹0 ) = 0)

Proof of Theorem abv0
StepHypRef Expression
1 abv0.a . . . 4 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
21abvrcl 20814 . . 3 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)
3 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 abv0.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
53, 4ring0cl 20264 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
62, 5syl 17 . 2 (𝐹𝐴0 ∈ (Base‘𝑅))
7 eqid 2737 . . 3 0 = 0
81, 3, 4abveq0 20819 . . 3 ((𝐹𝐴0 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹0 ) = 0 ↔ 0 = 0 ))
97, 8mpbiri 258 . 2 ((𝐹𝐴0 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹0 ) = 0)
106, 9mpdan 687 1 (𝐹𝐴 → (𝐹0 ) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  0cc0 11155  Basecbs 17247  0gc0g 17484  Ringcrg 20230  AbsValcabv 20809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-ring 20232  df-abv 20810
This theorem is referenced by:  abvdom  20831  abvres  20832  abvcxp  27659  qabvle  27669  ostthlem1  27671  ostth2lem2  27678  ostth3  27682  fiabv  42546
  Copyright terms: Public domain W3C validator