MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abv0 20841
Description: The absolute value of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abv0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
abv0 (𝐹𝐴 → (𝐹0 ) = 0)

Proof of Theorem abv0
StepHypRef Expression
1 abv0.a . . . 4 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
21abvrcl 20831 . . 3 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)
3 eqid 2735 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 abv0.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
53, 4ring0cl 20281 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
62, 5syl 17 . 2 (𝐹𝐴0 ∈ (Base‘𝑅))
7 eqid 2735 . . 3 0 = 0
81, 3, 4abveq0 20836 . . 3 ((𝐹𝐴0 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹0 ) = 0 ↔ 0 = 0 ))
97, 8mpbiri 258 . 2 ((𝐹𝐴0 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹0 ) = 0)
106, 9mpdan 687 1 (𝐹𝐴 → (𝐹0 ) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  0cc0 11153  Basecbs 17245  0gc0g 17486  Ringcrg 20251  AbsValcabv 20826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-ring 20253  df-abv 20827
This theorem is referenced by:  abvdom  20848  abvres  20849  abvcxp  27674  qabvle  27684  ostthlem1  27686  ostth2lem2  27693  ostth3  27697  fiabv  42523
  Copyright terms: Public domain W3C validator