Theorem abv0 19601

Description: The absolute value of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abv0.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abv0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abv0	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘ 0 ) = 0)

Proof of Theorem abv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abv0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	abvrcl 19591	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
3		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		abv0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5	3, 4	ring0cl 19318	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
6	2, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
7		eqid 2821	. . 3 ⊢ 0 = 0
8	1, 3, 4	abveq0 19596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹‘ 0 ) = 0 ↔ 0 = 0 ))
9	7, 8	mpbiri 260	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘ 0 ) = 0)
10	6, 9	mpdan 685	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘ 0 ) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6354  0cc0 10536  Basecbs 16482  0_gc0g 16712  Ringcrg 19296  AbsValcabv 19586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-map 8407  df-0g 16714  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-ring 19298  df-abv 19587

This theorem is referenced by:  abvdom  19608  abvres  19609  abvcxp  26190  qabvle  26200  ostthlem1  26202  ostth2lem2  26209  ostth3  26213