Theorem abv0 20824

Description: The absolute value of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abv0.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abv0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abv0	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘ 0 ) = 0)

Proof of Theorem abv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abv0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	abvrcl 20814	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		abv0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5	3, 4	ring0cl 20264	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
6	2, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
7		eqid 2737	. . 3 ⊢ 0 = 0
8	1, 3, 4	abveq0 20819	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹‘ 0 ) = 0 ↔ 0 = 0 ))
9	7, 8	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘ 0 ) = 0)
10	6, 9	mpdan 687	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘ 0 ) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  0cc0 11155  Basecbs 17247  0_gc0g 17484  Ringcrg 20230  AbsValcabv 20809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-ring 20232  df-abv 20810

This theorem is referenced by:  abvdom  20831  abvres  20832  abvcxp  27659  qabvle  27669  ostthlem1  27671  ostth2lem2  27678  ostth3  27682  fiabv  42546