Theorem abv0 20850

Description: The absolute value of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abv0.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abv0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abv0	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘ 0 ) = 0)

Proof of Theorem abv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abv0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	abvrcl 20840	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		abv0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5	3, 4	ring0cl 20294	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
6	2, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
7		eqid 2761	. . 3 ⊢ 0 = 0
8	1, 3, 4	abveq0 20845	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹‘ 0 ) = 0 ↔ 0 = 0 ))
9	7, 8	mpbiri 260	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘ 0 ) = 0)
10	6, 9	mpdan 697	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘ 0 ) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6515  0cc0 11068  Basecbs 17226  0_gc0g 17449  Ringcrg 20260  AbsValcabv 20835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-map 8803  df-0g 17451  df-mgm 18655  df-sgrp 18734  df-mnd 18750  df-grp 18959  df-ring 20262  df-abv 20836

This theorem is referenced by:  abvdom  20857  abvres  20858  abvcxp  27654  qabvle  27664  ostthlem1  27666  ostth2lem2  27673  ostth3  27677  fiabv  43107