MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abv0 20700
Description: The absolute value of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
abv0.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
abv0 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = 0)

Proof of Theorem abv0
StepHypRef Expression
1 abv0.a . . . 4 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
21abvrcl 20690 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 eqid 2727 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4 abv0.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘…)
53, 4ring0cl 20192 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
62, 5syl 17 . 2 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7 eqid 2727 . . 3 0 = 0
81, 3, 4abveq0 20695 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜ 0 ) = 0 ↔ 0 = 0 ))
97, 8mpbiri 258 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = 0)
106, 9mpdan 686 1 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6542  0cc0 11130  Basecbs 17171  0gc0g 17412  Ringcrg 20164  AbsValcabv 20685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-map 8838  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-ring 20166  df-abv 20686
This theorem is referenced by:  abvdom  20707  abvres  20708  abvcxp  27535  qabvle  27545  ostthlem1  27547  ostth2lem2  27554  ostth3  27558
  Copyright terms: Public domain W3C validator