MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abv0 20438
Description: The absolute value of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
abv0.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
abv0 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = 0)

Proof of Theorem abv0
StepHypRef Expression
1 abv0.a . . . 4 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
21abvrcl 20428 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4 abv0.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘…)
53, 4ring0cl 20083 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
62, 5syl 17 . 2 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7 eqid 2732 . . 3 0 = 0
81, 3, 4abveq0 20433 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜ 0 ) = 0 ↔ 0 = 0 ))
97, 8mpbiri 257 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = 0)
106, 9mpdan 685 1 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6543  0cc0 11109  Basecbs 17143  0gc0g 17384  Ringcrg 20055  AbsValcabv 20423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-map 8821  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-ring 20057  df-abv 20424
This theorem is referenced by:  abvdom  20445  abvres  20446  abvcxp  27115  qabvle  27125  ostthlem1  27127  ostth2lem2  27134  ostth3  27138
  Copyright terms: Public domain W3C validator