MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abv0 20664
Description: The absolute value of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
abv0.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
abv0 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = 0)

Proof of Theorem abv0
StepHypRef Expression
1 abv0.a . . . 4 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
21abvrcl 20654 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 eqid 2724 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4 abv0.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘…)
53, 4ring0cl 20156 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
62, 5syl 17 . 2 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7 eqid 2724 . . 3 0 = 0
81, 3, 4abveq0 20659 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜ 0 ) = 0 ↔ 0 = 0 ))
97, 8mpbiri 258 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = 0)
106, 9mpdan 684 1 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6533  0cc0 11106  Basecbs 17143  0gc0g 17384  Ringcrg 20128  AbsValcabv 20649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-map 8818  df-0g 17386  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-ring 20130  df-abv 20650
This theorem is referenced by:  abvdom  20671  abvres  20672  abvcxp  27464  qabvle  27474  ostthlem1  27476  ostth2lem2  27483  ostth3  27487
  Copyright terms: Public domain W3C validator