Theorem abv0 20760

Description: The absolute value of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abv0.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abv0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abv0	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘ 0 ) = 0)

Proof of Theorem abv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abv0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	abvrcl 20750	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		abv0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5	3, 4	ring0cl 20206	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
6	2, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
7		eqid 2737	. . 3 ⊢ 0 = 0
8	1, 3, 4	abveq0 20755	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹‘ 0 ) = 0 ↔ 0 = 0 ))
9	7, 8	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘ 0 ) = 0)
10	6, 9	mpdan 688	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘ 0 ) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  0cc0 11030  Basecbs 17140  0_gc0g 17363  Ringcrg 20172  AbsValcabv 20745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-map 8769  df-0g 17365  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18870  df-ring 20174  df-abv 20746

This theorem is referenced by:  abvdom  20767  abvres  20768  abvcxp  27586  qabvle  27596  ostthlem1  27598  ostth2lem2  27605  ostth3  27609  fiabv  42827