Theorem abvsubtri 20010

Description: An absolute value satisfies the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abv0.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvsubtri.p	⊢ − = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvsubtri	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 − 𝑌)) ≤ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem abvsubtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvneg.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
4		abvsubtri.p	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 18540	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)))
6	5	3adant1 1128	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)))
7	6	fveq2d 6760	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌))))
8		abv0.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
9	8	abvrcl 19996	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
10	9	3ad2ant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
11		ringgrp 19703	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
13		simp3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	1, 3	grpinvcl 18542	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
15	12, 13, 14	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
16	8, 1, 2	abvtri 20005	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌))) ≤ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘((invg‘𝑅)‘𝑌))))
17	15, 16	syld3an3 1407	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌))) ≤ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘((invg‘𝑅)‘𝑌))))
18	8, 1, 3	abvneg 20009	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝑅)‘𝑌)) = (𝐹‘𝑌))
19	18	3adant2 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝑅)‘𝑌)) = (𝐹‘𝑌))
20	19	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘((invg‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)))
21	17, 20	breqtrd 5096	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌))) ≤ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)))
22	7, 21	eqbrtrd 5092	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 − 𝑌)) ≤ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   + caddc 10805   ≤ cle 10941  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Grpcgrp 18492  inv_gcminusg 18493  -_gcsg 18494  Ringcrg 19698  AbsValcabv 19991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-ico 13014  df-seq 13650  df-exp 13711  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-abv 19992

This theorem is referenced by:  abvmet  23637