Theorem abvsubtri 19725

Description: An absolute value satisfies the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abv0.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvsubtri.p	⊢ − = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvsubtri	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 − 𝑌)) ≤ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem abvsubtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvneg.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
4		abvsubtri.p	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 18267	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)))
6	5	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)))
7	6	fveq2d 6678	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌))))
8		abv0.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
9	8	abvrcl 19711	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
10	9	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
11		ringgrp 19421	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
13		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	1, 3	grpinvcl 18269	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
15	12, 13, 14	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
16	8, 1, 2	abvtri 19720	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌))) ≤ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘((invg‘𝑅)‘𝑌))))
17	15, 16	syld3an3 1410	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌))) ≤ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘((invg‘𝑅)‘𝑌))))
18	8, 1, 3	abvneg 19724	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝑅)‘𝑌)) = (𝐹‘𝑌))
19	18	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝑅)‘𝑌)) = (𝐹‘𝑌))
20	19	oveq2d 7186	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘((invg‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)))
21	17, 20	breqtrd 5056	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌))) ≤ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)))
22	7, 21	eqbrtrd 5052	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 − 𝑌)) ≤ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5030  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170   + caddc 10618   ≤ cle 10754  Basecbs 16586  +_gcplusg 16668  Grpcgrp 18219  inv_gcminusg 18220  -_gcsg 18221  Ringcrg 19416  AbsValcabv 19706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-ico 12827  df-seq 13461  df-exp 13522  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-plusg 16681  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-abv 19707

This theorem is referenced by:  abvmet  23328