MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvsubtri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvsubtri 19725
Description: An absolute value satisfies the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvsubtri.p = (-g𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvsubtri ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐹‘(𝑋 𝑌)) ≤ ((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)))

Proof of Theorem abvsubtri
StepHypRef Expression
1 abvneg.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2738 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3 eqid 2738 . . . . 5 (invg𝑅) = (invg𝑅)
4 abvsubtri.p . . . . 5 = (-g𝑅)
51, 2, 3, 4grpsubval 18267 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌)))
653adant1 1131 . . 3 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌)))
76fveq2d 6678 . 2 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐹‘(𝑋 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌))))
8 abv0.a . . . . . . . 8 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
98abvrcl 19711 . . . . . . 7 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)
1093ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
11 ringgrp 19421 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
1210, 11syl 17 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
13 simp3 1139 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
141, 3grpinvcl 18269 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → ((invg𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
1512, 13, 14syl2anc 587 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((invg𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
168, 1, 2abvtri 19720 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑋𝐵 ∧ ((invg𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌))) ≤ ((𝐹𝑋) + (𝐹‘((invg𝑅)‘𝑌))))
1715, 16syld3an3 1410 . . 3 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐹‘(𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌))) ≤ ((𝐹𝑋) + (𝐹‘((invg𝑅)‘𝑌))))
188, 1, 3abvneg 19724 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑌𝐵) → (𝐹‘((invg𝑅)‘𝑌)) = (𝐹𝑌))
19183adant2 1132 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐹‘((invg𝑅)‘𝑌)) = (𝐹𝑌))
2019oveq2d 7186 . . 3 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝐹𝑋) + (𝐹‘((invg𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)))
2117, 20breqtrd 5056 . 2 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐹‘(𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌))) ≤ ((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)))
227, 21eqbrtrd 5052 1 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐹‘(𝑋 𝑌)) ≤ ((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114   class class class wbr 5030  cfv 6339  (class class class)co 7170   + caddc 10618  cle 10754  Basecbs 16586  +gcplusg 16668  Grpcgrp 18219  invgcminusg 18220  -gcsg 18221  Ringcrg 19416  AbsValcabv 19706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-ico 12827  df-seq 13461  df-exp 13522  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-plusg 16681  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-abv 19707
This theorem is referenced by:  abvmet  23328
  Copyright terms: Public domain W3C validator