Theorem abvsubtri 20392

Description: An absolute value satisfies the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abv0.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvsubtri.p	⊢ − = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvsubtri	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 − 𝑌)) ≤ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem abvsubtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvneg.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
4		abvsubtri.p	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 18845	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)))
6	5	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)))
7	6	fveq2d 6882	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌))))
8		abv0.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
9	8	abvrcl 20378	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
10	9	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
11		ringgrp 20019	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
13		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	1, 3	grpinvcl 18847	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
15	12, 13, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
16	8, 1, 2	abvtri 20387	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌))) ≤ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘((invg‘𝑅)‘𝑌))))
17	15, 16	syld3an3 1409	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌))) ≤ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘((invg‘𝑅)‘𝑌))))
18	8, 1, 3	abvneg 20391	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝑅)‘𝑌)) = (𝐹‘𝑌))
19	18	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝑅)‘𝑌)) = (𝐹‘𝑌))
20	19	oveq2d 7409	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘((invg‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)))
21	17, 20	breqtrd 5167	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌))) ≤ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)))
22	7, 21	eqbrtrd 5163	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 − 𝑌)) ≤ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5141  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393   + caddc 11095   ≤ cle 11231  Basecbs 17126  +_gcplusg 17179  Grpcgrp 18794  inv_gcminusg 18795  -_gcsg 18796  Ringcrg 20014  AbsValcabv 20373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-ico 13312  df-seq 13949  df-exp 14010  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-plusg 17192  df-0g 17369  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-abv 20374

This theorem is referenced by:  abvmet  24013