MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvsubtri Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem abvsubtri 20587
Description: An absolute value satisfies the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
abvneg.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
abvsubtri.p βˆ’ = (-gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
abvsubtri ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) ≀ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem abvsubtri
StepHypRef Expression
1 abvneg.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2731 . . . . 5 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
3 eqid 2731 . . . . 5 (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜π‘…)
4 abvsubtri.p . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘…)
51, 2, 3, 4grpsubval 18907 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
653adant1 1129 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
76fveq2d 6896 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = (πΉβ€˜(𝑋(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
8 abv0.a . . . . . . . 8 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
98abvrcl 20573 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1093ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
11 ringgrp 20133 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
1210, 11syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
13 simp3 1137 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
141, 3grpinvcl 18909 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
1512, 13, 14syl2anc 583 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
168, 1, 2abvtri 20582 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑋(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))) ≀ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
1715, 16syld3an3 1408 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑋(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))) ≀ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
188, 1, 3abvneg 20586 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (πΉβ€˜π‘Œ))
19183adant2 1130 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (πΉβ€˜π‘Œ))
2019oveq2d 7428 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))
2117, 20breqtrd 5175 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑋(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))) ≀ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))
227, 21eqbrtrd 5171 1 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) ≀ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   + caddc 11116   ≀ cle 11254  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  Grpcgrp 18856  invgcminusg 18857  -gcsg 18858  Ringcrg 20128  AbsValcabv 20568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-ico 13335  df-seq 13972  df-exp 14033  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-abv 20569
This theorem is referenced by:  abvmet  24305
  Copyright terms: Public domain W3C validator