MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvmet 24428
Description: An absolute value 𝐹 generates a metric defined by 𝑑(π‘₯, 𝑦) = 𝐹(π‘₯ βˆ’ 𝑦), analogously to cnmet 24632. (In fact, the ring structure is not needed at all; the group properties abveq0 20665 and abvtri 20669, abvneg 20673 are sufficient.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvmet.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
abvmet.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
abvmet.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
abvmet (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (𝐹 ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜π‘‹))

Proof of Theorem abvmet
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvmet.x . 2 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
2 abvmet.m . 2 βˆ’ = (-gβ€˜π‘…)
3 eqid 2724 . 2 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
4 abvmet.a . . . 4 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
54abvrcl 20660 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Ring)
6 ringgrp 20139 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . 2 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Grp)
84, 1abvf 20662 . 2 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
94, 1, 3abveq0 20665 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜π‘…)))
104, 1, 2abvsubtri 20674 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΉβ€˜π‘¦)))
11103expb 1117 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΉβ€˜π‘¦)))
121, 2, 3, 7, 8, 9, 11nrmmetd 24427 1 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (𝐹 ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139   ∘ ccom 5671  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   + caddc 11110   ≀ cle 11248  Basecbs 17149  0gc0g 17390  Grpcgrp 18859  -gcsg 18861  Ringcrg 20134  AbsValcabv 20655  Metcmet 21220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-ico 13331  df-seq 13968  df-exp 14029  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-abv 20656  df-met 21228
This theorem is referenced by:  tngnrg  24535
  Copyright terms: Public domain W3C validator