Theorem abvmet 22788

Description: An absolute value 𝐹 generates a metric defined by 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝐹(𝑥 − 𝑦), analogously to cnmet 22983. (In fact, the ring structure is not needed at all; the group properties abveq0 19218 and abvtri 19222, abvneg 19226 are sufficient.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvmet.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
abvmet.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvmet.m	⊢ − = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvmet	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∘ − ) ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem abvmet

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvmet.x	. 2 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
2		abvmet.m	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑅)
3		eqid 2778	. 2 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		abvmet.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
5	4	abvrcl 19213	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
6		ringgrp 18939	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Grp)
8	4, 1	abvf 19215	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
9	4, 1, 3	abveq0 19218	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝑅)))
10	4, 1, 2	abvsubtri 19227	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
11	10	3expb 1110	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
12	1, 2, 3, 7, 8, 9, 11	nrmmetd 22787	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∘ − ) ∈ (Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4886   ∘ ccom 5359  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   + caddc 10275   ≤ cle 10412  Basecbs 16255  0_gc0g 16486  Grpcgrp 17809  -_gcsg 17811  Ringcrg 18934  AbsValcabv 19208  Metcmet 20128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-ico 12493  df-seq 13120  df-exp 13179  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-abv 19209  df-met 20136

This theorem is referenced by:  tngnrg  22886