Theorem abvmet 24732

Description: An absolute value 𝐹 generates a metric defined by 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝐹(𝑥 − 𝑦), analogously to cnmet 24928. (In fact, the ring structure is not needed at all; the group properties abveq0 20921 and abvtri 20925, abvneg 20929 are sufficient.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvmet.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
abvmet.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvmet.m	⊢ − = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvmet	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∘ − ) ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem abvmet

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvmet.x	. 2 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
2		abvmet.m	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑅)
3		eqid 2763	. 2 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		abvmet.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
5	4	abvrcl 20916	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
6		ringgrp 20315	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Grp)
8	4, 1	abvf 20918	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
9	4, 1, 3	abveq0 20921	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝑅)))
10	4, 1, 2	abvsubtri 20930	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
11	10	3expb 1138	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
12	1, 2, 3, 7, 8, 9, 11	nrmmetd 24731	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∘ − ) ∈ (Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109   ∘ ccom 5665  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   + caddc 11098   ≤ cle 11239  Basecbs 17264  0_gc0g 17487  Grpcgrp 18995  -_gcsg 18997  Ringcrg 20310  AbsValcabv 20911  Metcmet 21508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-ico 13373  df-seq 14034  df-exp 14094  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-abv 20912  df-met 21516

This theorem is referenced by:  tngnrg  24831