MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvmet 23719
Description: An absolute value 𝐹 generates a metric defined by 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝐹(𝑥𝑦), analogously to cnmet 23923. (In fact, the ring structure is not needed at all; the group properties abveq0 20074 and abvtri 20078, abvneg 20082 are sufficient.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvmet.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
abvmet.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvmet.m = (-g𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvmet (𝐹𝐴 → (𝐹 ) ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem abvmet
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvmet.x . 2 𝑋 = (Base‘𝑅)
2 abvmet.m . 2 = (-g𝑅)
3 eqid 2738 . 2 (0g𝑅) = (0g𝑅)
4 abvmet.a . . . 4 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
54abvrcl 20069 . . 3 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)
6 ringgrp 19776 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . 2 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Grp)
84, 1abvf 20071 . 2 (𝐹𝐴𝐹:𝑋⟶ℝ)
94, 1, 3abveq0 20074 . 2 ((𝐹𝐴𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g𝑅)))
104, 1, 2abvsubtri 20083 . . 3 ((𝐹𝐴𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))
11103expb 1119 . 2 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))
121, 2, 3, 7, 8, 9, 11nrmmetd 23718 1 (𝐹𝐴 → (𝐹 ) ∈ (Met‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2106   class class class wbr 5074  ccom 5589  cfv 6427  (class class class)co 7268   + caddc 10862  cle 10998  Basecbs 16900  0gc0g 17138  Grpcgrp 18565  -gcsg 18567  Ringcrg 19771  AbsValcabv 20064  Metcmet 20571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-er 8486  df-map 8605  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-div 11621  df-nn 11962  df-2 12024  df-n0 12222  df-z 12308  df-uz 12571  df-ico 13073  df-seq 13710  df-exp 13771  df-sets 16853  df-slot 16871  df-ndx 16883  df-base 16901  df-plusg 16963  df-0g 17140  df-mgm 18314  df-sgrp 18363  df-mnd 18374  df-grp 18568  df-minusg 18569  df-sbg 18570  df-mgp 19709  df-ur 19726  df-ring 19773  df-abv 20065  df-met 20579
This theorem is referenced by:  tngnrg  23826
  Copyright terms: Public domain W3C validator