Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvmet 23184
 Description: An absolute value 𝐹 generates a metric defined by 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝐹(𝑥 − 𝑦), analogously to cnmet 23379. (In fact, the ring structure is not needed at all; the group properties abveq0 19596 and abvtri 19600, abvneg 19604 are sufficient.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvmet.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
abvmet.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvmet.m = (-g𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvmet (𝐹𝐴 → (𝐹 ) ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem abvmet
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvmet.x . 2 𝑋 = (Base‘𝑅)
2 abvmet.m . 2 = (-g𝑅)
3 eqid 2821 . 2 (0g𝑅) = (0g𝑅)
4 abvmet.a . . . 4 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
54abvrcl 19591 . . 3 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)
6 ringgrp 19301 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . 2 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Grp)
84, 1abvf 19593 . 2 (𝐹𝐴𝐹:𝑋⟶ℝ)
94, 1, 3abveq0 19596 . 2 ((𝐹𝐴𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g𝑅)))
104, 1, 2abvsubtri 19605 . . 3 ((𝐹𝐴𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))
11103expb 1116 . 2 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))
121, 2, 3, 7, 8, 9, 11nrmmetd 23183 1 (𝐹𝐴 → (𝐹 ) ∈ (Met‘𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5065   ∘ ccom 5558  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155   + caddc 10539   ≤ cle 10675  Basecbs 16482  0gc0g 16712  Grpcgrp 18102  -gcsg 18104  Ringcrg 19296  AbsValcabv 19586  Metcmet 20530 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-ico 12743  df-seq 13369  df-exp 13429  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-plusg 16577  df-0g 16714  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-abv 19587  df-met 20538 This theorem is referenced by:  tngnrg  23282
 Copyright terms: Public domain W3C validator