MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvmet 24497
Description: An absolute value 𝐹 generates a metric defined by 𝑑(π‘₯, 𝑦) = 𝐹(π‘₯ βˆ’ 𝑦), analogously to cnmet 24701. (In fact, the ring structure is not needed at all; the group properties abveq0 20706 and abvtri 20710, abvneg 20714 are sufficient.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvmet.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
abvmet.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
abvmet.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
abvmet (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (𝐹 ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜π‘‹))

Proof of Theorem abvmet
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvmet.x . 2 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
2 abvmet.m . 2 βˆ’ = (-gβ€˜π‘…)
3 eqid 2728 . 2 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
4 abvmet.a . . . 4 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
54abvrcl 20701 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Ring)
6 ringgrp 20178 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . 2 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Grp)
84, 1abvf 20703 . 2 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
94, 1, 3abveq0 20706 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜π‘…)))
104, 1, 2abvsubtri 20715 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΉβ€˜π‘¦)))
11103expb 1118 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΉβ€˜π‘¦)))
121, 2, 3, 7, 8, 9, 11nrmmetd 24496 1 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (𝐹 ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148   ∘ ccom 5682  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   + caddc 11142   ≀ cle 11280  Basecbs 17180  0gc0g 17421  Grpcgrp 18890  -gcsg 18892  Ringcrg 20173  AbsValcabv 20696  Metcmet 21265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-ico 13363  df-seq 14000  df-exp 14060  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-abv 20697  df-met 21273
This theorem is referenced by:  tngnrg  24604
  Copyright terms: Public domain W3C validator