Theorem abvneg 20903

Description: The absolute value of a negative is the same as that of the positive. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abv0.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvneg.p	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvneg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))

Proof of Theorem abvneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abv0.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	abvrcl 20890	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
4		ringgrp 20316	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5	2, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Grp)
6		abvneg.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		abvneg.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
8	6, 7	grpinvcl 19050	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
9	5, 8	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
10		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
12		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13	6, 11, 12	ring1eq0 20377	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (𝑁‘𝑋) = 𝑋))
14	3, 9, 10, 13	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (𝑁‘𝑋) = 𝑋))
15	14	imp 411	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (𝑁‘𝑋) = 𝑋)
16	15	fveq2d 6883	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑁‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
17	6, 11	ringidcl 20344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
18	2, 17	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
19	6, 7	grpinvcl 19050	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
20	5, 18, 19	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
21	1, 6	abvcl 20893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ ℝ)
22	20, 21	mpdan 699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ ℂ)
24	23	sqvald 14175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))))
25		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
26	1, 6, 25	abvmul 20898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))))
27	20, 20, 26	mpd3an23 1489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))))
28	6, 25, 7, 2, 20, 18	ringmneg2 20384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅))) = (𝑁‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))))
29	6, 25, 11, 7, 2, 18	ringnegl 20381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑁‘(1r‘𝑅)))
30	29	fveq2d 6883	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝑁‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑁‘(𝑁‘(1r‘𝑅))))
31	6, 7	grpinvinv 19068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
32	5, 18, 31	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝑁‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
33	28, 30, 32	3eqtrd 2808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
34	33	fveq2d 6883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅)))) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
35	24, 27, 34	3eqtr2d 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
36	35	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
37	1, 11, 12	abv1z 20901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1)
38	36, 37	eqtrd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = 1)
39		sq1 14227	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
40	38, 39	eqtr4di 2822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (1↑2))
41	1, 6	abvge0 20894	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))))
42	20, 41	mpdan 699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))))
43		1re 11204	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
44		0le1 11733	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
45		sq11 14163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (1↑2) ↔ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1))
46	43, 44, 45	mpanr12 717	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))) → (((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (1↑2) ↔ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1))
47	22, 42, 46	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (1↑2) ↔ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1))
48	47	biimpa 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (1↑2)) → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1)
49	40, 48	syldan 602	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1)
50	49	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1)
51	50	oveq1d 7423	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘𝑋)) = (1 · (𝐹‘𝑋)))
52		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐴)
53	20	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
54	1, 6, 25	abvmul 20898	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘𝑋)))
55	52, 53, 10, 54	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘𝑋)))
56	6, 25, 11, 7, 3, 10	ringnegl 20381	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) = (𝑁‘𝑋))
57	56	fveq2d 6883	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋)) = (𝐹‘(𝑁‘𝑋)))
58	55, 57	eqtr3d 2806	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘(𝑁‘𝑋)))
59	58	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘(𝑁‘𝑋)))
60	51, 59	eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1 · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘(𝑁‘𝑋)))
61	1, 6	abvcl 20893	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
62	61	recnd 11233	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
63	62	mullidd 11223	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1 · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
64	63	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1 · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
65	60, 64	eqtr3d 2806	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑁‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
66	16, 65	pm2.61dane 3051	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5110  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   · cmul 11101   ≤ cle 11240  2c2 12291  ↑cexp 14093  Basecbs 17265  ._rcmulr 17307  0_gc0g 17488  Grpcgrp 18996  inv_gcminusg 18997  1_rcur 20259  Ringcrg 20311  AbsValcabv 20885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-ico 13374  df-seq 14034  df-exp 14094  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-abv 20886

This theorem is referenced by:  abvsubtri  20904  ostthlem1  27753  ostth3  27764