Theorem abvneg 20742

Description: The absolute value of a negative is the same as that of the positive. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abv0.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvneg.p	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvneg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))

Proof of Theorem abvneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abv0.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	abvrcl 20729	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
4		ringgrp 20154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5	2, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Grp)
6		abvneg.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		abvneg.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
8	6, 7	grpinvcl 18926	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
9	5, 8	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
12		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13	6, 11, 12	ring1eq0 20214	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (𝑁‘𝑋) = 𝑋))
14	3, 9, 10, 13	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (𝑁‘𝑋) = 𝑋))
15	14	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (𝑁‘𝑋) = 𝑋)
16	15	fveq2d 6865	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑁‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
17	6, 11	ringidcl 20181	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
18	2, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
19	6, 7	grpinvcl 18926	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
20	5, 18, 19	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
21	1, 6	abvcl 20732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ ℝ)
22	20, 21	mpdan 687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ ℂ)
24	23	sqvald 14115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))))
25		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
26	1, 6, 25	abvmul 20737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))))
27	20, 20, 26	mpd3an23 1465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))))
28	6, 25, 7, 2, 20, 18	ringmneg2 20221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅))) = (𝑁‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))))
29	6, 25, 11, 7, 2, 18	ringnegl 20218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑁‘(1r‘𝑅)))
30	29	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝑁‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑁‘(𝑁‘(1r‘𝑅))))
31	6, 7	grpinvinv 18944	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
32	5, 18, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝑁‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
33	28, 30, 32	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
34	33	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅)))) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
35	24, 27, 34	3eqtr2d 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
36	35	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
37	1, 11, 12	abv1z 20740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1)
38	36, 37	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = 1)
39		sq1 14167	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
40	38, 39	eqtr4di 2783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (1↑2))
41	1, 6	abvge0 20733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))))
42	20, 41	mpdan 687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))))
43		1re 11181	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
44		0le1 11708	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
45		sq11 14103	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (1↑2) ↔ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1))
46	43, 44, 45	mpanr12 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))) → (((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (1↑2) ↔ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1))
47	22, 42, 46	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (1↑2) ↔ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1))
48	47	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (1↑2)) → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1)
49	40, 48	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1)
50	49	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1)
51	50	oveq1d 7405	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘𝑋)) = (1 · (𝐹‘𝑋)))
52		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐴)
53	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
54	1, 6, 25	abvmul 20737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘𝑋)))
55	52, 53, 10, 54	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘𝑋)))
56	6, 25, 11, 7, 3, 10	ringnegl 20218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) = (𝑁‘𝑋))
57	56	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋)) = (𝐹‘(𝑁‘𝑋)))
58	55, 57	eqtr3d 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘(𝑁‘𝑋)))
59	58	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘(𝑁‘𝑋)))
60	51, 59	eqtr3d 2767	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1 · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘(𝑁‘𝑋)))
61	1, 6	abvcl 20732	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
62	61	recnd 11209	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
63	62	mullidd 11199	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1 · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
64	63	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1 · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
65	60, 64	eqtr3d 2767	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑁‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
66	16, 65	pm2.61dane 3013	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   ≤ cle 11216  2c2 12248  ↑cexp 14033  Basecbs 17186  ._rcmulr 17228  0_gc0g 17409  Grpcgrp 18872  inv_gcminusg 18873  1_rcur 20097  Ringcrg 20149  AbsValcabv 20724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-ico 13319  df-seq 13974  df-exp 14034  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-abv 20725

This theorem is referenced by:  abvsubtri  20743  ostthlem1  27545  ostth3  27556