Theorem abvneg 20746

Description: The absolute value of a negative is the same as that of the positive. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abv0.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvneg.p	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvneg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))

Proof of Theorem abvneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abv0.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	abvrcl 20733	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
4		ringgrp 20158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5	2, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Grp)
6		abvneg.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		abvneg.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
8	6, 7	grpinvcl 18901	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
9	5, 8	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
12		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13	6, 11, 12	ring1eq0 20218	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (𝑁‘𝑋) = 𝑋))
14	3, 9, 10, 13	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (𝑁‘𝑋) = 𝑋))
15	14	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (𝑁‘𝑋) = 𝑋)
16	15	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑁‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
17	6, 11	ringidcl 20185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
18	2, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
19	6, 7	grpinvcl 18901	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
20	5, 18, 19	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
21	1, 6	abvcl 20736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ ℝ)
22	20, 21	mpdan 687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ ℂ)
24	23	sqvald 14084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))))
25		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
26	1, 6, 25	abvmul 20741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))))
27	20, 20, 26	mpd3an23 1465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))))
28	6, 25, 7, 2, 20, 18	ringmneg2 20225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅))) = (𝑁‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))))
29	6, 25, 11, 7, 2, 18	ringnegl 20222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑁‘(1r‘𝑅)))
30	29	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝑁‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑁‘(𝑁‘(1r‘𝑅))))
31	6, 7	grpinvinv 18919	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
32	5, 18, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝑁‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
33	28, 30, 32	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
34	33	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅)))) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
35	24, 27, 34	3eqtr2d 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
36	35	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
37	1, 11, 12	abv1z 20744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1)
38	36, 37	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = 1)
39		sq1 14136	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
40	38, 39	eqtr4di 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (1↑2))
41	1, 6	abvge0 20737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))))
42	20, 41	mpdan 687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))))
43		1re 11150	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
44		0le1 11677	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
45		sq11 14072	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (1↑2) ↔ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1))
46	43, 44, 45	mpanr12 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))) → (((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (1↑2) ↔ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1))
47	22, 42, 46	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (1↑2) ↔ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1))
48	47	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (1↑2)) → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1)
49	40, 48	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1)
50	49	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1)
51	50	oveq1d 7384	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘𝑋)) = (1 · (𝐹‘𝑋)))
52		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐴)
53	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
54	1, 6, 25	abvmul 20741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘𝑋)))
55	52, 53, 10, 54	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘𝑋)))
56	6, 25, 11, 7, 3, 10	ringnegl 20222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) = (𝑁‘𝑋))
57	56	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋)) = (𝐹‘(𝑁‘𝑋)))
58	55, 57	eqtr3d 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘(𝑁‘𝑋)))
59	58	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘(𝑁‘𝑋)))
60	51, 59	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1 · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘(𝑁‘𝑋)))
61	1, 6	abvcl 20736	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
62	61	recnd 11178	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
63	62	mullidd 11168	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1 · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
64	63	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1 · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
65	60, 64	eqtr3d 2766	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑁‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
66	16, 65	pm2.61dane 3012	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   · cmul 11049   ≤ cle 11185  2c2 12217  ↑cexp 14002  Basecbs 17155  ._rcmulr 17197  0_gc0g 17378  Grpcgrp 18847  inv_gcminusg 18848  1_rcur 20101  Ringcrg 20153  AbsValcabv 20728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-ico 13288  df-seq 13943  df-exp 14003  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-0g 17380  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-abv 20729

This theorem is referenced by:  abvsubtri  20747  ostthlem1  27571  ostth3  27582