MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvneg 20442
Description: The absolute value of a negative is the same as that of the positive. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
abvneg.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
abvneg.p 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
abvneg ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜π‘‹))

Proof of Theorem abvneg
StepHypRef Expression
1 abv0.a . . . . . . 7 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
21abvrcl 20429 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Ring)
32adantr 482 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 ringgrp 20061 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
52, 4syl 17 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Grp)
6 abvneg.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
7 abvneg.p . . . . . . 7 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
86, 7grpinvcl 18872 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
95, 8sylan 581 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
10 simpr 486 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
11 eqid 2733 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
12 eqid 2733 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
136, 11, 12ring1eq0 20110 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = 𝑋))
143, 9, 10, 13syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = 𝑋))
1514imp 408 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = 𝑋)
1615fveq2d 6896 . 2 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜π‘‹))
176, 11ringidcl 20083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
182, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
196, 7grpinvcl 18872 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡)
205, 18, 19syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡)
211, 6abvcl 20432 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) ∈ ℝ)
2220, 21mpdan 686 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) ∈ ℝ)
2322recnd 11242 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) ∈ β„‚)
2423sqvald 14108 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))↑2) = ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) Β· (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))))
25 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
261, 6, 25abvmul 20437 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡 ∧ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))) = ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) Β· (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))))
2720, 20, 26mpd3an23 1464 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))) = ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) Β· (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))))
286, 25, 7, 2, 20, 18ringmneg2 20117 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ ((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = (π‘β€˜((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))))
296, 25, 11, 7, 2, 18ringnegl 20114 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ ((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))
3029fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (π‘β€˜((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))) = (π‘β€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))))
316, 7grpinvinv 18890 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = (1rβ€˜π‘…))
325, 18, 31syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = (1rβ€˜π‘…))
3328, 30, 323eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ ((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = (1rβ€˜π‘…))
3433fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))) = (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)))
3524, 27, 343eqtr2d 2779 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))↑2) = (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)))
3635adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))↑2) = (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)))
371, 11, 12abv1z 20440 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = 1)
3836, 37eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))↑2) = 1)
39 sq1 14159 . . . . . . . 8 (1↑2) = 1
4038, 39eqtr4di 2791 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))↑2) = (1↑2))
411, 6abvge0 20433 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))))
4220, 41mpdan 686 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))))
43 1re 11214 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
44 0le1 11737 . . . . . . . . . 10 0 ≀ 1
45 sq11 14096 . . . . . . . . . 10 ((((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1)) β†’ (((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))↑2) = (1↑2) ↔ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = 1))
4643, 44, 45mpanr12 704 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))) β†’ (((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))↑2) = (1↑2) ↔ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = 1))
4722, 42, 46syl2anc 585 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))↑2) = (1↑2) ↔ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = 1))
4847biimpa 478 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))↑2) = (1↑2)) β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = 1)
4940, 48syldan 592 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = 1)
5049adantlr 714 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = 1)
5150oveq1d 7424 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) Β· (πΉβ€˜π‘‹)) = (1 Β· (πΉβ€˜π‘‹)))
52 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
5320adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡)
541, 6, 25abvmul 20437 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)𝑋)) = ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) Β· (πΉβ€˜π‘‹)))
5552, 53, 10, 54syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)𝑋)) = ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) Β· (πΉβ€˜π‘‹)))
566, 25, 11, 7, 3, 10ringnegl 20114 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)𝑋) = (π‘β€˜π‘‹))
5756fveq2d 6896 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)𝑋)) = (πΉβ€˜(π‘β€˜π‘‹)))
5855, 57eqtr3d 2775 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) Β· (πΉβ€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜(π‘β€˜π‘‹)))
5958adantr 482 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) Β· (πΉβ€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜(π‘β€˜π‘‹)))
6051, 59eqtr3d 2775 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (1 Β· (πΉβ€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜(π‘β€˜π‘‹)))
611, 6abvcl 20432 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
6261recnd 11242 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ β„‚)
6362mullidd 11232 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (1 Β· (πΉβ€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜π‘‹))
6463adantr 482 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (1 Β· (πΉβ€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜π‘‹))
6560, 64eqtr3d 2775 . 2 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜π‘‹))
6616, 65pm2.61dane 3030 1 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115   ≀ cle 11249  2c2 12267  β†‘cexp 14027  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  0gc0g 17385  Grpcgrp 18819  invgcminusg 18820  1rcur 20004  Ringcrg 20056  AbsValcabv 20424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-ico 13330  df-seq 13967  df-exp 14028  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-abv 20425
This theorem is referenced by:  abvsubtri  20443  ostthlem1  27130  ostth3  27141
  Copyright terms: Public domain W3C validator