MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvneg 20293
Description: The absolute value of a negative is the same as that of the positive. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvneg.p 𝑁 = (invg𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvneg ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) = (𝐹𝑋))

Proof of Theorem abvneg
StepHypRef Expression
1 abv0.a . . . . . . 7 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
21abvrcl 20280 . . . . . 6 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)
32adantr 481 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
4 ringgrp 19969 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
52, 4syl 17 . . . . . 6 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Grp)
6 abvneg.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 abvneg.p . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝑅)
86, 7grpinvcl 18798 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
95, 8sylan 580 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
10 simpr 485 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
11 eqid 2736 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
12 eqid 2736 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
136, 11, 12ring1eq0 20014 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → (𝑁𝑋) = 𝑋))
143, 9, 10, 13syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → (𝑁𝑋) = 𝑋))
1514imp 407 . . 3 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) = (0g𝑅)) → (𝑁𝑋) = 𝑋)
1615fveq2d 6846 . 2 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) = (0g𝑅)) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) = (𝐹𝑋))
176, 11ringidcl 19989 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
182, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹𝐴 → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
196, 7grpinvcl 18798 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)
205, 18, 19syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹𝐴 → (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)
211, 6abvcl 20283 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) ∈ ℝ)
2220, 21mpdan 685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝐴 → (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) ∈ ℝ)
2322recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝐴 → (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) ∈ ℂ)
2423sqvald 14048 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐴 → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))))
25 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (.r𝑅) = (.r𝑅)
261, 6, 25abvmul 20288 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(𝑁‘(1r𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))))
2720, 20, 26mpd3an23 1463 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐴 → (𝐹‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(𝑁‘(1r𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))))
286, 25, 7, 2, 20, 18ringmneg2 20021 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝐴 → ((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(𝑁‘(1r𝑅))) = (𝑁‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(1r𝑅))))
296, 25, 11, 7, 2, 18ringnegl 20018 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹𝐴 → ((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝑁‘(1r𝑅)))
3029fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝐴 → (𝑁‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(1r𝑅))) = (𝑁‘(𝑁‘(1r𝑅))))
316, 7grpinvinv 18814 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘(1r𝑅))) = (1r𝑅))
325, 18, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝐴 → (𝑁‘(𝑁‘(1r𝑅))) = (1r𝑅))
3328, 30, 323eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝐴 → ((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(𝑁‘(1r𝑅))) = (1r𝑅))
3433fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐴 → (𝐹‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(𝑁‘(1r𝑅)))) = (𝐹‘(1r𝑅)))
3524, 27, 343eqtr2d 2782 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐴 → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = (𝐹‘(1r𝑅)))
3635adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = (𝐹‘(1r𝑅)))
371, 11, 12abv1z 20291 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (𝐹‘(1r𝑅)) = 1)
3836, 37eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = 1)
39 sq1 14099 . . . . . . . 8 (1↑2) = 1
4038, 39eqtr4di 2794 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = (1↑2))
411, 6abvge0 20284 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))))
4220, 41mpdan 685 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐴 → 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))))
43 1re 11155 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
44 0le1 11678 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 1
45 sq11 14036 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = (1↑2) ↔ (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) = 1))
4643, 44, 45mpanr12 703 . . . . . . . . 9 (((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))) → (((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = (1↑2) ↔ (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) = 1))
4722, 42, 46syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝐹𝐴 → (((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = (1↑2) ↔ (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) = 1))
4847biimpa 477 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = (1↑2)) → (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) = 1)
4940, 48syldan 591 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) = 1)
5049adantlr 713 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) = 1)
5150oveq1d 7372 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹𝑋)) = (1 · (𝐹𝑋)))
52 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → 𝐹𝐴)
5320adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)
541, 6, 25abvmul 20288 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹𝑋)))
5552, 53, 10, 54syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹𝑋)))
566, 25, 11, 7, 3, 10ringnegl 20018 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → ((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑋) = (𝑁𝑋))
5756fveq2d 6846 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑋)) = (𝐹‘(𝑁𝑋)))
5855, 57eqtr3d 2778 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹𝑋)) = (𝐹‘(𝑁𝑋)))
5958adantr 481 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹𝑋)) = (𝐹‘(𝑁𝑋)))
6051, 59eqtr3d 2778 . . 3 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (1 · (𝐹𝑋)) = (𝐹‘(𝑁𝑋)))
611, 6abvcl 20283 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
6261recnd 11183 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ ℂ)
6362mulid2d 11173 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (1 · (𝐹𝑋)) = (𝐹𝑋))
6463adantr 481 . . 3 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (1 · (𝐹𝑋)) = (𝐹𝑋))
6560, 64eqtr3d 2778 . 2 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) = (𝐹𝑋))
6616, 65pm2.61dane 3032 1 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  cle 11190  2c2 12208  cexp 13967  Basecbs 17083  .rcmulr 17134  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  invgcminusg 18749  1rcur 19913  Ringcrg 19964  AbsValcabv 20275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-ico 13270  df-seq 13907  df-exp 13968  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-abv 20276
This theorem is referenced by:  abvsubtri  20294  ostthlem1  26975  ostth3  26986
  Copyright terms: Public domain W3C validator