Theorem abvneg 20786

Description: The absolute value of a negative is the same as that of the positive. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abv0.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvneg.p	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvneg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))

Proof of Theorem abvneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abv0.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	abvrcl 20773	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
4		ringgrp 20198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5	2, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Grp)
6		abvneg.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		abvneg.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
8	6, 7	grpinvcl 18970	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
9	5, 8	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
12		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13	6, 11, 12	ring1eq0 20258	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (𝑁‘𝑋) = 𝑋))
14	3, 9, 10, 13	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (𝑁‘𝑋) = 𝑋))
15	14	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (𝑁‘𝑋) = 𝑋)
16	15	fveq2d 6880	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑁‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
17	6, 11	ringidcl 20225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
18	2, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
19	6, 7	grpinvcl 18970	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
20	5, 18, 19	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
21	1, 6	abvcl 20776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ ℝ)
22	20, 21	mpdan 687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ ℂ)
24	23	sqvald 14161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))))
25		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
26	1, 6, 25	abvmul 20781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))))
27	20, 20, 26	mpd3an23 1465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))))
28	6, 25, 7, 2, 20, 18	ringmneg2 20265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅))) = (𝑁‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))))
29	6, 25, 11, 7, 2, 18	ringnegl 20262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑁‘(1r‘𝑅)))
30	29	fveq2d 6880	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝑁‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑁‘(𝑁‘(1r‘𝑅))))
31	6, 7	grpinvinv 18988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
32	5, 18, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝑁‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
33	28, 30, 32	3eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
34	33	fveq2d 6880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅)))) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
35	24, 27, 34	3eqtr2d 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
36	35	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
37	1, 11, 12	abv1z 20784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1)
38	36, 37	eqtrd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = 1)
39		sq1 14213	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
40	38, 39	eqtr4di 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (1↑2))
41	1, 6	abvge0 20777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))))
42	20, 41	mpdan 687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))))
43		1re 11235	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
44		0le1 11760	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
45		sq11 14149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (1↑2) ↔ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1))
46	43, 44, 45	mpanr12 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))) → (((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (1↑2) ↔ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1))
47	22, 42, 46	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (1↑2) ↔ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1))
48	47	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (1↑2)) → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1)
49	40, 48	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1)
50	49	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1)
51	50	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘𝑋)) = (1 · (𝐹‘𝑋)))
52		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐴)
53	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
54	1, 6, 25	abvmul 20781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘𝑋)))
55	52, 53, 10, 54	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘𝑋)))
56	6, 25, 11, 7, 3, 10	ringnegl 20262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) = (𝑁‘𝑋))
57	56	fveq2d 6880	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋)) = (𝐹‘(𝑁‘𝑋)))
58	55, 57	eqtr3d 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘(𝑁‘𝑋)))
59	58	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘(𝑁‘𝑋)))
60	51, 59	eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1 · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘(𝑁‘𝑋)))
61	1, 6	abvcl 20776	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
62	61	recnd 11263	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
63	62	mullidd 11253	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1 · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
64	63	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1 · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
65	60, 64	eqtr3d 2772	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑁‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
66	16, 65	pm2.61dane 3019	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   · cmul 11134   ≤ cle 11270  2c2 12295  ↑cexp 14079  Basecbs 17228  ._rcmulr 17272  0_gc0g 17453  Grpcgrp 18916  inv_gcminusg 18917  1_rcur 20141  Ringcrg 20193  AbsValcabv 20768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-ico 13368  df-seq 14020  df-exp 14080  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-abv 20769

This theorem is referenced by:  abvsubtri  20787  ostthlem1  27590  ostth3  27601