MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvneg 20336
Description: The absolute value of a negative is the same as that of the positive. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
abvneg.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
abvneg.p 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
abvneg ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜π‘‹))

Proof of Theorem abvneg
StepHypRef Expression
1 abv0.a . . . . . . 7 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
21abvrcl 20323 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Ring)
32adantr 482 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 ringgrp 19977 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
52, 4syl 17 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Grp)
6 abvneg.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
7 abvneg.p . . . . . . 7 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
86, 7grpinvcl 18806 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
95, 8sylan 581 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
10 simpr 486 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
11 eqid 2733 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
12 eqid 2733 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
136, 11, 12ring1eq0 20022 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = 𝑋))
143, 9, 10, 13syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = 𝑋))
1514imp 408 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = 𝑋)
1615fveq2d 6850 . 2 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜π‘‹))
176, 11ringidcl 19997 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
182, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
196, 7grpinvcl 18806 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡)
205, 18, 19syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡)
211, 6abvcl 20326 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) ∈ ℝ)
2220, 21mpdan 686 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) ∈ ℝ)
2322recnd 11191 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) ∈ β„‚)
2423sqvald 14057 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))↑2) = ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) Β· (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))))
25 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
261, 6, 25abvmul 20331 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡 ∧ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))) = ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) Β· (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))))
2720, 20, 26mpd3an23 1464 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))) = ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) Β· (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))))
286, 25, 7, 2, 20, 18ringmneg2 20029 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ ((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = (π‘β€˜((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))))
296, 25, 11, 7, 2, 18ringnegl 20026 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ ((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))
3029fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (π‘β€˜((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))) = (π‘β€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))))
316, 7grpinvinv 18822 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = (1rβ€˜π‘…))
325, 18, 31syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = (1rβ€˜π‘…))
3328, 30, 323eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ ((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = (1rβ€˜π‘…))
3433fveq2d 6850 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))) = (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)))
3524, 27, 343eqtr2d 2779 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))↑2) = (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)))
3635adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))↑2) = (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)))
371, 11, 12abv1z 20334 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = 1)
3836, 37eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))↑2) = 1)
39 sq1 14108 . . . . . . . 8 (1↑2) = 1
4038, 39eqtr4di 2791 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))↑2) = (1↑2))
411, 6abvge0 20327 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))))
4220, 41mpdan 686 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))))
43 1re 11163 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
44 0le1 11686 . . . . . . . . . 10 0 ≀ 1
45 sq11 14045 . . . . . . . . . 10 ((((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1)) β†’ (((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))↑2) = (1↑2) ↔ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = 1))
4643, 44, 45mpanr12 704 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))) β†’ (((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))↑2) = (1↑2) ↔ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = 1))
4722, 42, 46syl2anc 585 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))↑2) = (1↑2) ↔ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = 1))
4847biimpa 478 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))↑2) = (1↑2)) β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = 1)
4940, 48syldan 592 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = 1)
5049adantlr 714 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = 1)
5150oveq1d 7376 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) Β· (πΉβ€˜π‘‹)) = (1 Β· (πΉβ€˜π‘‹)))
52 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
5320adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡)
541, 6, 25abvmul 20331 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)𝑋)) = ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) Β· (πΉβ€˜π‘‹)))
5552, 53, 10, 54syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)𝑋)) = ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) Β· (πΉβ€˜π‘‹)))
566, 25, 11, 7, 3, 10ringnegl 20026 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)𝑋) = (π‘β€˜π‘‹))
5756fveq2d 6850 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)𝑋)) = (πΉβ€˜(π‘β€˜π‘‹)))
5855, 57eqtr3d 2775 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) Β· (πΉβ€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜(π‘β€˜π‘‹)))
5958adantr 482 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) Β· (πΉβ€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜(π‘β€˜π‘‹)))
6051, 59eqtr3d 2775 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (1 Β· (πΉβ€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜(π‘β€˜π‘‹)))
611, 6abvcl 20326 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
6261recnd 11191 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ β„‚)
6362mulid2d 11181 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (1 Β· (πΉβ€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜π‘‹))
6463adantr 482 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (1 Β· (πΉβ€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜π‘‹))
6560, 64eqtr3d 2775 . 2 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜π‘‹))
6616, 65pm2.61dane 3029 1 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   Β· cmul 11064   ≀ cle 11198  2c2 12216  β†‘cexp 13976  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  invgcminusg 18757  1rcur 19921  Ringcrg 19972  AbsValcabv 20318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-ico 13279  df-seq 13916  df-exp 13977  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-abv 20319
This theorem is referenced by:  abvsubtri  20337  ostthlem1  26998  ostth3  27009
  Copyright terms: Public domain W3C validator