MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvneg 20441
Description: The absolute value of a negative is the same as that of the positive. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
abvneg.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
abvneg.p 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
abvneg ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜π‘‹))

Proof of Theorem abvneg
StepHypRef Expression
1 abv0.a . . . . . . 7 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
21abvrcl 20428 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Ring)
32adantr 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 ringgrp 20060 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
52, 4syl 17 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Grp)
6 abvneg.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
7 abvneg.p . . . . . . 7 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
86, 7grpinvcl 18871 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
95, 8sylan 580 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
10 simpr 485 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
11 eqid 2732 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
12 eqid 2732 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
136, 11, 12ring1eq0 20109 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = 𝑋))
143, 9, 10, 13syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = 𝑋))
1514imp 407 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = 𝑋)
1615fveq2d 6895 . 2 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜π‘‹))
176, 11ringidcl 20082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
182, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
196, 7grpinvcl 18871 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡)
205, 18, 19syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡)
211, 6abvcl 20431 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) ∈ ℝ)
2220, 21mpdan 685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) ∈ ℝ)
2322recnd 11241 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) ∈ β„‚)
2423sqvald 14107 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))↑2) = ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) Β· (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))))
25 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
261, 6, 25abvmul 20436 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡 ∧ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))) = ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) Β· (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))))
2720, 20, 26mpd3an23 1463 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))) = ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) Β· (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))))
286, 25, 7, 2, 20, 18ringmneg2 20116 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ ((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = (π‘β€˜((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))))
296, 25, 11, 7, 2, 18ringnegl 20113 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ ((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))
3029fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (π‘β€˜((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))) = (π‘β€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))))
316, 7grpinvinv 18889 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = (1rβ€˜π‘…))
325, 18, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = (1rβ€˜π‘…))
3328, 30, 323eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ ((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = (1rβ€˜π‘…))
3433fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))) = (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)))
3524, 27, 343eqtr2d 2778 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))↑2) = (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)))
3635adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))↑2) = (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)))
371, 11, 12abv1z 20439 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = 1)
3836, 37eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))↑2) = 1)
39 sq1 14158 . . . . . . . 8 (1↑2) = 1
4038, 39eqtr4di 2790 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))↑2) = (1↑2))
411, 6abvge0 20432 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))))
4220, 41mpdan 685 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))))
43 1re 11213 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
44 0le1 11736 . . . . . . . . . 10 0 ≀ 1
45 sq11 14095 . . . . . . . . . 10 ((((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1)) β†’ (((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))↑2) = (1↑2) ↔ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = 1))
4643, 44, 45mpanr12 703 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))) β†’ (((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))↑2) = (1↑2) ↔ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = 1))
4722, 42, 46syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))↑2) = (1↑2) ↔ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = 1))
4847biimpa 477 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)))↑2) = (1↑2)) β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = 1)
4940, 48syldan 591 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = 1)
5049adantlr 713 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) = 1)
5150oveq1d 7423 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) Β· (πΉβ€˜π‘‹)) = (1 Β· (πΉβ€˜π‘‹)))
52 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
5320adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡)
541, 6, 25abvmul 20436 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (π‘β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)𝑋)) = ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) Β· (πΉβ€˜π‘‹)))
5552, 53, 10, 54syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)𝑋)) = ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) Β· (πΉβ€˜π‘‹)))
566, 25, 11, 7, 3, 10ringnegl 20113 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)𝑋) = (π‘β€˜π‘‹))
5756fveq2d 6895 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜((π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)𝑋)) = (πΉβ€˜(π‘β€˜π‘‹)))
5855, 57eqtr3d 2774 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) Β· (πΉβ€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜(π‘β€˜π‘‹)))
5958adantr 481 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘β€˜(1rβ€˜π‘…))) Β· (πΉβ€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜(π‘β€˜π‘‹)))
6051, 59eqtr3d 2774 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (1 Β· (πΉβ€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜(π‘β€˜π‘‹)))
611, 6abvcl 20431 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
6261recnd 11241 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ β„‚)
6362mullidd 11231 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (1 Β· (πΉβ€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜π‘‹))
6463adantr 481 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (1 Β· (πΉβ€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜π‘‹))
6560, 64eqtr3d 2774 . 2 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜π‘‹))
6616, 65pm2.61dane 3029 1 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114   ≀ cle 11248  2c2 12266  β†‘cexp 14026  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  0gc0g 17384  Grpcgrp 18818  invgcminusg 18819  1rcur 20003  Ringcrg 20055  AbsValcabv 20423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-ico 13329  df-seq 13966  df-exp 14027  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-abv 20424
This theorem is referenced by:  abvsubtri  20442  ostthlem1  27127  ostth3  27138
  Copyright terms: Public domain W3C validator