Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvneg 19688
 Description: The absolute value of a negative is the same as that of the positive. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvneg.p 𝑁 = (invg𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvneg ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) = (𝐹𝑋))

Proof of Theorem abvneg
StepHypRef Expression
1 abv0.a . . . . . . 7 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
21abvrcl 19675 . . . . . 6 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)
32adantr 484 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
4 ringgrp 19385 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
52, 4syl 17 . . . . . 6 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Grp)
6 abvneg.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 abvneg.p . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝑅)
86, 7grpinvcl 18233 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
95, 8sylan 583 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
10 simpr 488 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
11 eqid 2759 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
12 eqid 2759 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
136, 11, 12ring1eq0 19426 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → (𝑁𝑋) = 𝑋))
143, 9, 10, 13syl3anc 1369 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → (𝑁𝑋) = 𝑋))
1514imp 410 . . 3 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) = (0g𝑅)) → (𝑁𝑋) = 𝑋)
1615fveq2d 6668 . 2 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) = (0g𝑅)) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) = (𝐹𝑋))
176, 11ringidcl 19404 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
182, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹𝐴 → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
196, 7grpinvcl 18233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)
205, 18, 19syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹𝐴 → (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)
211, 6abvcl 19678 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) ∈ ℝ)
2220, 21mpdan 686 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝐴 → (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) ∈ ℝ)
2322recnd 10721 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝐴 → (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) ∈ ℂ)
2423sqvald 13571 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐴 → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))))
25 eqid 2759 . . . . . . . . . . . . 13 (.r𝑅) = (.r𝑅)
261, 6, 25abvmul 19683 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(𝑁‘(1r𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))))
2720, 20, 26mpd3an23 1461 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐴 → (𝐹‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(𝑁‘(1r𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))))
286, 25, 7, 2, 20, 18ringmneg2 19433 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝐴 → ((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(𝑁‘(1r𝑅))) = (𝑁‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(1r𝑅))))
296, 25, 11, 7, 2, 18ringnegl 19430 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹𝐴 → ((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝑁‘(1r𝑅)))
3029fveq2d 6668 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝐴 → (𝑁‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(1r𝑅))) = (𝑁‘(𝑁‘(1r𝑅))))
316, 7grpinvinv 18248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘(1r𝑅))) = (1r𝑅))
325, 18, 31syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝐴 → (𝑁‘(𝑁‘(1r𝑅))) = (1r𝑅))
3328, 30, 323eqtrd 2798 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝐴 → ((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(𝑁‘(1r𝑅))) = (1r𝑅))
3433fveq2d 6668 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐴 → (𝐹‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(𝑁‘(1r𝑅)))) = (𝐹‘(1r𝑅)))
3524, 27, 343eqtr2d 2800 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐴 → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = (𝐹‘(1r𝑅)))
3635adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = (𝐹‘(1r𝑅)))
371, 11, 12abv1z 19686 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (𝐹‘(1r𝑅)) = 1)
3836, 37eqtrd 2794 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = 1)
39 sq1 13622 . . . . . . . 8 (1↑2) = 1
4038, 39eqtr4di 2812 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = (1↑2))
411, 6abvge0 19679 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))))
4220, 41mpdan 686 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐴 → 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))))
43 1re 10693 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
44 0le1 11215 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 1
45 sq11 13560 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = (1↑2) ↔ (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) = 1))
4643, 44, 45mpanr12 704 . . . . . . . . 9 (((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))) → (((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = (1↑2) ↔ (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) = 1))
4722, 42, 46syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝐹𝐴 → (((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = (1↑2) ↔ (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) = 1))
4847biimpa 480 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = (1↑2)) → (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) = 1)
4940, 48syldan 594 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) = 1)
5049adantlr 714 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) = 1)
5150oveq1d 7172 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹𝑋)) = (1 · (𝐹𝑋)))
52 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → 𝐹𝐴)
5320adantr 484 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)
541, 6, 25abvmul 19683 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹𝑋)))
5552, 53, 10, 54syl3anc 1369 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹𝑋)))
566, 25, 11, 7, 3, 10ringnegl 19430 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → ((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑋) = (𝑁𝑋))
5756fveq2d 6668 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑋)) = (𝐹‘(𝑁𝑋)))
5855, 57eqtr3d 2796 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹𝑋)) = (𝐹‘(𝑁𝑋)))
5958adantr 484 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹𝑋)) = (𝐹‘(𝑁𝑋)))
6051, 59eqtr3d 2796 . . 3 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (1 · (𝐹𝑋)) = (𝐹‘(𝑁𝑋)))
611, 6abvcl 19678 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
6261recnd 10721 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ ℂ)
6362mulid2d 10711 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (1 · (𝐹𝑋)) = (𝐹𝑋))
6463adantr 484 . . 3 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (1 · (𝐹𝑋)) = (𝐹𝑋))
6560, 64eqtr3d 2796 . 2 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) = (𝐹𝑋))
6616, 65pm2.61dane 3039 1 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) = (𝐹𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952   class class class wbr 5037  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157  ℝcr 10588  0cc0 10589  1c1 10590   · cmul 10594   ≤ cle 10728  2c2 11743  ↑cexp 13493  Basecbs 16556  .rcmulr 16639  0gc0g 16786  Grpcgrp 18184  invgcminusg 18185  1rcur 19334  Ringcrg 19380  AbsValcabv 19670 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-2nd 7701  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-er 8306  df-map 8425  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-div 11350  df-nn 11689  df-2 11751  df-n0 11949  df-z 12035  df-uz 12297  df-ico 12799  df-seq 13433  df-exp 13494  df-ndx 16559  df-slot 16560  df-base 16562  df-sets 16563  df-plusg 16651  df-0g 16788  df-mgm 17933  df-sgrp 17982  df-mnd 17993  df-grp 18187  df-minusg 18188  df-mgp 19323  df-ur 19335  df-ring 19382  df-abv 19671 This theorem is referenced by:  abvsubtri  19689  ostthlem1  26325  ostth3  26336
 Copyright terms: Public domain W3C validator