MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvneg 19299
Description: The absolute value of a negative is the same as that of the positive. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvneg.p 𝑁 = (invg𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvneg ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) = (𝐹𝑋))

Proof of Theorem abvneg
StepHypRef Expression
1 abv0.a . . . . . . 7 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
21abvrcl 19286 . . . . . 6 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)
32adantr 481 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
4 ringgrp 18996 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
52, 4syl 17 . . . . . 6 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Grp)
6 abvneg.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 abvneg.p . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝑅)
86, 7grpinvcl 17912 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
95, 8sylan 580 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
10 simpr 485 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
11 eqid 2797 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
12 eqid 2797 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
136, 11, 12ring1eq0 19034 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → (𝑁𝑋) = 𝑋))
143, 9, 10, 13syl3anc 1364 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → (𝑁𝑋) = 𝑋))
1514imp 407 . . 3 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) = (0g𝑅)) → (𝑁𝑋) = 𝑋)
1615fveq2d 6549 . 2 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) = (0g𝑅)) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) = (𝐹𝑋))
176, 11ringidcl 19012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
182, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹𝐴 → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
196, 7grpinvcl 17912 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)
205, 18, 19syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹𝐴 → (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)
211, 6abvcl 19289 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) ∈ ℝ)
2220, 21mpdan 683 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝐴 → (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) ∈ ℝ)
2322recnd 10522 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝐴 → (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) ∈ ℂ)
2423sqvald 13361 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐴 → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))))
25 eqid 2797 . . . . . . . . . . . . 13 (.r𝑅) = (.r𝑅)
261, 6, 25abvmul 19294 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(𝑁‘(1r𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))))
2720, 20, 26mpd3an23 1455 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐴 → (𝐹‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(𝑁‘(1r𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))))
286, 25, 7, 2, 20, 18ringmneg2 19041 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝐴 → ((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(𝑁‘(1r𝑅))) = (𝑁‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(1r𝑅))))
296, 25, 11, 7, 2, 18ringnegl 19038 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹𝐴 → ((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝑁‘(1r𝑅)))
3029fveq2d 6549 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝐴 → (𝑁‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(1r𝑅))) = (𝑁‘(𝑁‘(1r𝑅))))
316, 7grpinvinv 17927 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘(1r𝑅))) = (1r𝑅))
325, 18, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝐴 → (𝑁‘(𝑁‘(1r𝑅))) = (1r𝑅))
3328, 30, 323eqtrd 2837 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝐴 → ((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(𝑁‘(1r𝑅))) = (1r𝑅))
3433fveq2d 6549 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐴 → (𝐹‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(𝑁‘(1r𝑅)))) = (𝐹‘(1r𝑅)))
3524, 27, 343eqtr2d 2839 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐴 → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = (𝐹‘(1r𝑅)))
3635adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = (𝐹‘(1r𝑅)))
371, 11, 12abv1z 19297 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (𝐹‘(1r𝑅)) = 1)
3836, 37eqtrd 2833 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = 1)
39 sq1 13412 . . . . . . . 8 (1↑2) = 1
4038, 39syl6eqr 2851 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = (1↑2))
411, 6abvge0 19290 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))))
4220, 41mpdan 683 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐴 → 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))))
43 1re 10494 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
44 0le1 11017 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 1
45 sq11 13350 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = (1↑2) ↔ (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) = 1))
4643, 44, 45mpanr12 701 . . . . . . . . 9 (((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))) → (((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = (1↑2) ↔ (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) = 1))
4722, 42, 46syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝐹𝐴 → (((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = (1↑2) ↔ (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) = 1))
4847biimpa 477 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = (1↑2)) → (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) = 1)
4940, 48syldan 591 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) = 1)
5049adantlr 711 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) = 1)
5150oveq1d 7038 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹𝑋)) = (1 · (𝐹𝑋)))
52 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → 𝐹𝐴)
5320adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)
541, 6, 25abvmul 19294 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹𝑋)))
5552, 53, 10, 54syl3anc 1364 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹𝑋)))
566, 25, 11, 7, 3, 10ringnegl 19038 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → ((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑋) = (𝑁𝑋))
5756fveq2d 6549 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑋)) = (𝐹‘(𝑁𝑋)))
5855, 57eqtr3d 2835 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹𝑋)) = (𝐹‘(𝑁𝑋)))
5958adantr 481 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹𝑋)) = (𝐹‘(𝑁𝑋)))
6051, 59eqtr3d 2835 . . 3 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (1 · (𝐹𝑋)) = (𝐹‘(𝑁𝑋)))
611, 6abvcl 19289 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
6261recnd 10522 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ ℂ)
6362mulid2d 10512 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (1 · (𝐹𝑋)) = (𝐹𝑋))
6463adantr 481 . . 3 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (1 · (𝐹𝑋)) = (𝐹𝑋))
6560, 64eqtr3d 2835 . 2 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) = (𝐹𝑋))
6616, 65pm2.61dane 3074 1 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083  wne 2986   class class class wbr 4968  cfv 6232  (class class class)co 7023  cr 10389  0cc0 10390  1c1 10391   · cmul 10395  cle 10529  2c2 11546  cexp 13283  Basecbs 16316  .rcmulr 16399  0gc0g 16546  Grpcgrp 17865  invgcminusg 17866  1rcur 18945  Ringcrg 18991  AbsValcabv 19281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-map 8265  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-ico 12598  df-seq 13224  df-exp 13284  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-plusg 16411  df-0g 16548  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-grp 17868  df-minusg 17869  df-mgp 18934  df-ur 18946  df-ring 18993  df-abv 19282
This theorem is referenced by:  abvsubtri  19300  ostthlem1  25889  ostth3  25900
  Copyright terms: Public domain W3C validator