Theorem abvfge0 20072

Description: An absolute value is a function from the ring to the nonnegative real numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvf.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvfge0	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞))

Proof of Theorem abvfge0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvf.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	abvrcl 20071	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
3		abvf.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
5		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7	1, 3, 4, 5, 6	isabv 20069	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝑅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))))))
8	2, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝑅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))))))
9	8	ibi 266	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝑅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦))))))
10	9	simpld 495	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∀wral 3066   class class class wbr 5079  ⟶wf 6427  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269  0cc0 10864   + caddc 10867   · cmul 10869  +∞cpnf 10999   ≤ cle 11003  [,)cico 13072  Basecbs 16902  +_gcplusg 16952  ._rcmulr 16953  0_gc0g 17140  Ringcrg 19773  AbsValcabv 20066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-fv 6439  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-map 8592  df-abv 20067

This theorem is referenced by:  abvf  20073  abvge0  20075