Theorem abvfge0 21098

Description: An absolute value is a function from the ring to the nonnegative real numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvf.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvfge0	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞))

Proof of Theorem abvfge0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvf.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	abvrcl 21097	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
3		abvf.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7	1, 3, 4, 5, 6	isabv 21095	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝑅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))))))
8	2, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝑅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))))))
9	8	ibi 270	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝑅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦))))))
10	9	simpld 500	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   class class class wbr 5106  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  0cc0 11224   + caddc 11227   · cmul 11229  +∞cpnf 11364   ≤ cle 11368  [,)cico 13502  Basecbs 17413  +_gcplusg 17454  ._rcmulr 17455  0_gc0g 17636  Ringcrg 20486  AbsValcabv 21092

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-map 8874  df-abv 21093

This theorem is used by:  abvf  21099  abvge0  21101