Theorem abvpropd 20810

Description: If two structures have the same ring components, they have the same collection of absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
abvpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
abvpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
abvpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
abvpropd	⊢ (𝜑 → (AbsVal‘𝐾) = (AbsVal‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem abvpropd

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvpropd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		abvpropd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		abvpropd.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		abvpropd.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
5	1, 2, 3, 4	ringpropd 20263	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
6	1, 2	eqtr3d 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
7	6	feq2d 6642	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓:(Base‘𝐾)⟶(0[,)+∞) ↔ 𝑓:(Base‘𝐿)⟶(0[,)+∞)))
8	1, 2, 3	grpidpropd 18625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐾) = (0g‘𝐿))
9	8	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐾) = (0g‘𝐿))
10	9	eqeq2d 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)))
11	10	bibi2d 344	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ↔ ((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿))))
12	4	fveqeq2d 6838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ↔ (𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦))))
13	3	fveq2d 6834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) = (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)))
14	13	breq1d 5084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)) ↔ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))
15	12, 14	anbi12d 639	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))) ↔ ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))
16	15	anassrs 469	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))) ↔ ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))
17	16	ralbidva 3162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))
18	11, 17	anbi12d 639	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))) ↔ (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))
19	18	ralbidva 3162	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))
20	1	raleqdv 3299	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))
21	20	anbi2d 637	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))) ↔ (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))
22	1, 21	raleqbidv 3315	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))
23	2	raleqdv 3299	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))
24	23	anbi2d 637	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))) ↔ (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))
25	2, 24	raleqbidv 3315	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))
26	19, 22, 25	3bitr3d 311	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))
27	7, 26	anbi12d 639	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:(Base‘𝐾)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))) ↔ (𝑓:(Base‘𝐿)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))))
28	5, 27	anbi12d 639	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑓:(Base‘𝐾)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (𝑓:(Base‘𝐿)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))))
29		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (AbsVal‘𝐾) = (AbsVal‘𝐾)
30	29	abvrcl 20788	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐾) → 𝐾 ∈ Ring)
31		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
32		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐾)
33		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
34		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
35	29, 31, 32, 33, 34	isabv 20786	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐾) ↔ (𝑓:(Base‘𝐾)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))))
36	30, 35	biadanii 828	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑓:(Base‘𝐾)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))))
37		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (AbsVal‘𝐿) = (AbsVal‘𝐿)
38	37	abvrcl 20788	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐿) → 𝐿 ∈ Ring)
39		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
40		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘𝐿)
41		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
42		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
43	37, 39, 40, 41, 42	isabv 20786	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ Ring → (𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐿) ↔ (𝑓:(Base‘𝐿)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))))
44	38, 43	biadanii 828	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐿) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (𝑓:(Base‘𝐿)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))))
45	28, 36, 44	3bitr4g 316	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐿)))
46	45	eqrdv 2739	1 ⊢ (𝜑 → (AbsVal‘𝐾) = (AbsVal‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055   class class class wbr 5074  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  0cc0 11034   + caddc 11037   · cmul 11039  +∞cpnf 11172   ≤ cle 11176  [,)cico 13295  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  ._rcmulr 17216  0_gc0g 17397  Ringcrg 20208  AbsValcabv 20783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-mgp 20116  df-ring 20210  df-abv 20784

This theorem is referenced by:  tngnrg  24660  abvpropd2  33046