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Theorem abvpropd 20454
Description: If two structures have the same ring components, they have the same collection of absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvpropd.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
abvpropd.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
abvpropd.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
abvpropd.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦))
Assertion
Ref Expression
abvpropd (πœ‘ β†’ (AbsValβ€˜πΎ) = (AbsValβ€˜πΏ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem abvpropd
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvpropd.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
2 abvpropd.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
3 abvpropd.3 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
4 abvpropd.4 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦))
51, 2, 3, 4ringpropd 20104 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
61, 2eqtr3d 2774 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΏ))
76feq2d 6703 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑓:(Baseβ€˜πΎ)⟢(0[,)+∞) ↔ 𝑓:(Baseβ€˜πΏ)⟢(0[,)+∞)))
81, 2, 3grpidpropd 18583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΎ) = (0gβ€˜πΏ))
98adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜πΎ) = (0gβ€˜πΏ))
109eqeq2d 2743 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ = (0gβ€˜πΎ) ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)))
1110bibi2d 342 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ↔ ((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ))))
124fveqeq2d 6899 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ↔ (π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦))))
133fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) = (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)))
1413breq1d 5158 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)) ↔ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))
1512, 14anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))) ↔ ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))
1615anassrs 468 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))) ↔ ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))
1716ralbidva 3175 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))
1811, 17anbi12d 631 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ (((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))))
1918ralbidva 3175 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))))
201raleqdv 3325 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))
2120anbi2d 629 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ (((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))))
221, 21raleqbidv 3342 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))))
232raleqdv 3325 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΏ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))
2423anbi2d 629 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ (((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΏ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))))
252, 24raleqbidv 3342 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΏ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))))
2619, 22, 253bitr3d 308 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΏ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))))
277, 26anbi12d 631 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑓:(Baseβ€˜πΎ)⟢(0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))) ↔ (𝑓:(Baseβ€˜πΏ)⟢(0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΏ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))))
285, 27anbi12d 631 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑓:(Baseβ€˜πΎ)⟢(0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (𝑓:(Baseβ€˜πΏ)⟢(0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΏ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))))))
29 eqid 2732 . . . . 5 (AbsValβ€˜πΎ) = (AbsValβ€˜πΎ)
3029abvrcl 20433 . . . 4 (𝑓 ∈ (AbsValβ€˜πΎ) β†’ 𝐾 ∈ Ring)
31 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
32 eqid 2732 . . . . 5 (+gβ€˜πΎ) = (+gβ€˜πΎ)
33 eqid 2732 . . . . 5 (.rβ€˜πΎ) = (.rβ€˜πΎ)
34 eqid 2732 . . . . 5 (0gβ€˜πΎ) = (0gβ€˜πΎ)
3529, 31, 32, 33, 34isabv 20431 . . . 4 (𝐾 ∈ Ring β†’ (𝑓 ∈ (AbsValβ€˜πΎ) ↔ (𝑓:(Baseβ€˜πΎ)⟢(0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))))
3630, 35biadanii 820 . . 3 (𝑓 ∈ (AbsValβ€˜πΎ) ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑓:(Baseβ€˜πΎ)⟢(0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))))
37 eqid 2732 . . . . 5 (AbsValβ€˜πΏ) = (AbsValβ€˜πΏ)
3837abvrcl 20433 . . . 4 (𝑓 ∈ (AbsValβ€˜πΏ) β†’ 𝐿 ∈ Ring)
39 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜πΏ) = (Baseβ€˜πΏ)
40 eqid 2732 . . . . 5 (+gβ€˜πΏ) = (+gβ€˜πΏ)
41 eqid 2732 . . . . 5 (.rβ€˜πΏ) = (.rβ€˜πΏ)
42 eqid 2732 . . . . 5 (0gβ€˜πΏ) = (0gβ€˜πΏ)
4337, 39, 40, 41, 42isabv 20431 . . . 4 (𝐿 ∈ Ring β†’ (𝑓 ∈ (AbsValβ€˜πΏ) ↔ (𝑓:(Baseβ€˜πΏ)⟢(0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΏ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))))
4438, 43biadanii 820 . . 3 (𝑓 ∈ (AbsValβ€˜πΏ) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (𝑓:(Baseβ€˜πΏ)⟢(0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΏ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))))
4528, 36, 443bitr4g 313 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (AbsValβ€˜πΎ) ↔ 𝑓 ∈ (AbsValβ€˜πΏ)))
4645eqrdv 2730 1 (πœ‘ β†’ (AbsValβ€˜πΎ) = (AbsValβ€˜πΏ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112   + caddc 11115   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11247   ≀ cle 11251  [,)cico 13328  Basecbs 17146  +gcplusg 17199  .rcmulr 17200  0gc0g 17387  Ringcrg 20058  AbsValcabv 20428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-plusg 17212  df-0g 17389  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-mgp 19990  df-ring 20060  df-abv 20429
This theorem is referenced by:  tngnrg  24198  abvpropd2  32167
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