Theorem abvpropd 19832

Description: If two structures have the same ring components, they have the same collection of absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
abvpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
abvpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
abvpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
abvpropd	⊢ (𝜑 → (AbsVal‘𝐾) = (AbsVal‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem abvpropd

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvpropd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		abvpropd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		abvpropd.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		abvpropd.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
5	1, 2, 3, 4	ringpropd 19554	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
6	1, 2	eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
7	6	feq2d 6509	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓:(Base‘𝐾)⟶(0[,)+∞) ↔ 𝑓:(Base‘𝐿)⟶(0[,)+∞)))
8	1, 2, 3	grpidpropd 18088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐾) = (0g‘𝐿))
9	8	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐾) = (0g‘𝐿))
10	9	eqeq2d 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)))
11	10	bibi2d 346	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ↔ ((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿))))
12	4	fveqeq2d 6703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ↔ (𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦))))
13	3	fveq2d 6699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) = (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)))
14	13	breq1d 5049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)) ↔ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))
15	12, 14	anbi12d 634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))) ↔ ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))
16	15	anassrs 471	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))) ↔ ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))
17	16	ralbidva 3107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))
18	11, 17	anbi12d 634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))) ↔ (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))
19	18	ralbidva 3107	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))
20	1	raleqdv 3315	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))
21	20	anbi2d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))) ↔ (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))
22	1, 21	raleqbidv 3303	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))
23	2	raleqdv 3315	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))
24	23	anbi2d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))) ↔ (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))
25	2, 24	raleqbidv 3303	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))
26	19, 22, 25	3bitr3d 312	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))
27	7, 26	anbi12d 634	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:(Base‘𝐾)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))) ↔ (𝑓:(Base‘𝐿)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))))
28	5, 27	anbi12d 634	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑓:(Base‘𝐾)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (𝑓:(Base‘𝐿)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))))
29		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (AbsVal‘𝐾) = (AbsVal‘𝐾)
30	29	abvrcl 19811	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐾) → 𝐾 ∈ Ring)
31		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
32		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐾)
33		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
34		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
35	29, 31, 32, 33, 34	isabv 19809	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐾) ↔ (𝑓:(Base‘𝐾)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))))
36	30, 35	biadanii 822	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑓:(Base‘𝐾)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))))
37		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (AbsVal‘𝐿) = (AbsVal‘𝐿)
38	37	abvrcl 19811	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐿) → 𝐿 ∈ Ring)
39		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
40		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘𝐿)
41		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
42		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
43	37, 39, 40, 41, 42	isabv 19809	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ Ring → (𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐿) ↔ (𝑓:(Base‘𝐿)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))))
44	38, 43	biadanii 822	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐿) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (𝑓:(Base‘𝐿)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))))
45	28, 36, 44	3bitr4g 317	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐿)))
46	45	eqrdv 2734	1 ⊢ (𝜑 → (AbsVal‘𝐾) = (AbsVal‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ∀wral 3051   class class class wbr 5039  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  0cc0 10694   + caddc 10697   · cmul 10699  +∞cpnf 10829   ≤ cle 10833  [,)cico 12902  Basecbs 16666  +_gcplusg 16749  ._rcmulr 16750  0_gc0g 16898  Ringcrg 19516  AbsValcabv 19806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-map 8488  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-plusg 16762  df-0g 16900  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-grp 18322  df-mgp 19459  df-ring 19518  df-abv 19807

This theorem is referenced by:  tngnrg  23526  abvpropd2  30911