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Theorem abvpropd 20315
Description: If two structures have the same ring components, they have the same collection of absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvpropd.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
abvpropd.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
abvpropd.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
abvpropd.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦))
Assertion
Ref Expression
abvpropd (πœ‘ β†’ (AbsValβ€˜πΎ) = (AbsValβ€˜πΏ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem abvpropd
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvpropd.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
2 abvpropd.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
3 abvpropd.3 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
4 abvpropd.4 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦))
51, 2, 3, 4ringpropd 20011 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
61, 2eqtr3d 2775 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΏ))
76feq2d 6655 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑓:(Baseβ€˜πΎ)⟢(0[,)+∞) ↔ 𝑓:(Baseβ€˜πΏ)⟢(0[,)+∞)))
81, 2, 3grpidpropd 18522 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΎ) = (0gβ€˜πΏ))
98adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜πΎ) = (0gβ€˜πΏ))
109eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ = (0gβ€˜πΎ) ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)))
1110bibi2d 343 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ↔ ((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ))))
124fveqeq2d 6851 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ↔ (π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦))))
133fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) = (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)))
1413breq1d 5116 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)) ↔ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))
1512, 14anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))) ↔ ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))
1615anassrs 469 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))) ↔ ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))
1716ralbidva 3169 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))
1811, 17anbi12d 632 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ (((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))))
1918ralbidva 3169 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))))
201raleqdv 3312 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))
2120anbi2d 630 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ (((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))))
221, 21raleqbidv 3318 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))))
232raleqdv 3312 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΏ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))
2423anbi2d 630 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ (((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΏ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))))
252, 24raleqbidv 3318 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΏ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))))
2619, 22, 253bitr3d 309 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΏ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))))
277, 26anbi12d 632 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑓:(Baseβ€˜πΎ)⟢(0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))) ↔ (𝑓:(Baseβ€˜πΏ)⟢(0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΏ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))))
285, 27anbi12d 632 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑓:(Baseβ€˜πΎ)⟢(0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (𝑓:(Baseβ€˜πΏ)⟢(0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΏ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))))))
29 eqid 2733 . . . . 5 (AbsValβ€˜πΎ) = (AbsValβ€˜πΎ)
3029abvrcl 20294 . . . 4 (𝑓 ∈ (AbsValβ€˜πΎ) β†’ 𝐾 ∈ Ring)
31 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
32 eqid 2733 . . . . 5 (+gβ€˜πΎ) = (+gβ€˜πΎ)
33 eqid 2733 . . . . 5 (.rβ€˜πΎ) = (.rβ€˜πΎ)
34 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜πΎ) = (0gβ€˜πΎ)
3529, 31, 32, 33, 34isabv 20292 . . . 4 (𝐾 ∈ Ring β†’ (𝑓 ∈ (AbsValβ€˜πΎ) ↔ (𝑓:(Baseβ€˜πΎ)⟢(0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))))
3630, 35biadanii 821 . . 3 (𝑓 ∈ (AbsValβ€˜πΎ) ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑓:(Baseβ€˜πΎ)⟢(0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))))
37 eqid 2733 . . . . 5 (AbsValβ€˜πΏ) = (AbsValβ€˜πΏ)
3837abvrcl 20294 . . . 4 (𝑓 ∈ (AbsValβ€˜πΏ) β†’ 𝐿 ∈ Ring)
39 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜πΏ) = (Baseβ€˜πΏ)
40 eqid 2733 . . . . 5 (+gβ€˜πΏ) = (+gβ€˜πΏ)
41 eqid 2733 . . . . 5 (.rβ€˜πΏ) = (.rβ€˜πΏ)
42 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜πΏ) = (0gβ€˜πΏ)
4337, 39, 40, 41, 42isabv 20292 . . . 4 (𝐿 ∈ Ring β†’ (𝑓 ∈ (AbsValβ€˜πΏ) ↔ (𝑓:(Baseβ€˜πΏ)⟢(0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΏ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))))
4438, 43biadanii 821 . . 3 (𝑓 ∈ (AbsValβ€˜πΏ) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (𝑓:(Baseβ€˜πΏ)⟢(0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΏ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))))
4528, 36, 443bitr4g 314 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (AbsValβ€˜πΎ) ↔ 𝑓 ∈ (AbsValβ€˜πΏ)))
4645eqrdv 2731 1 (πœ‘ β†’ (AbsValβ€˜πΎ) = (AbsValβ€˜πΏ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5106  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056   + caddc 11059   Β· cmul 11061  +∞cpnf 11191   ≀ cle 11195  [,)cico 13272  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  .rcmulr 17139  0gc0g 17326  Ringcrg 19969  AbsValcabv 20289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-mgp 19902  df-ring 19971  df-abv 20290
This theorem is referenced by:  tngnrg  24054  abvpropd2  31868
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