Theorem abvpropd 20017

Description: If two structures have the same ring components, they have the same collection of absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
abvpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
abvpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
abvpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
abvpropd	⊢ (𝜑 → (AbsVal‘𝐾) = (AbsVal‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem abvpropd

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvpropd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		abvpropd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		abvpropd.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		abvpropd.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
5	1, 2, 3, 4	ringpropd 19736	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
6	1, 2	eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
7	6	feq2d 6570	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓:(Base‘𝐾)⟶(0[,)+∞) ↔ 𝑓:(Base‘𝐿)⟶(0[,)+∞)))
8	1, 2, 3	grpidpropd 18261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐾) = (0g‘𝐿))
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐾) = (0g‘𝐿))
10	9	eqeq2d 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)))
11	10	bibi2d 342	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ↔ ((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿))))
12	4	fveqeq2d 6764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ↔ (𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦))))
13	3	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) = (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)))
14	13	breq1d 5080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)) ↔ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))
15	12, 14	anbi12d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))) ↔ ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))
16	15	anassrs 467	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))) ↔ ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))
17	16	ralbidva 3119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))
18	11, 17	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))) ↔ (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))
19	18	ralbidva 3119	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))
20	1	raleqdv 3339	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))
21	20	anbi2d 628	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))) ↔ (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))
22	1, 21	raleqbidv 3327	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))
23	2	raleqdv 3339	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))
24	23	anbi2d 628	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))) ↔ (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))
25	2, 24	raleqbidv 3327	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))
26	19, 22, 25	3bitr3d 308	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))
27	7, 26	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:(Base‘𝐾)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))) ↔ (𝑓:(Base‘𝐿)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))))
28	5, 27	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑓:(Base‘𝐾)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (𝑓:(Base‘𝐿)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))))
29		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (AbsVal‘𝐾) = (AbsVal‘𝐾)
30	29	abvrcl 19996	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐾) → 𝐾 ∈ Ring)
31		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
32		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐾)
33		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
34		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
35	29, 31, 32, 33, 34	isabv 19994	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐾) ↔ (𝑓:(Base‘𝐾)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))))
36	30, 35	biadanii 818	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑓:(Base‘𝐾)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))))
37		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (AbsVal‘𝐿) = (AbsVal‘𝐿)
38	37	abvrcl 19996	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐿) → 𝐿 ∈ Ring)
39		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
40		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘𝐿)
41		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
42		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
43	37, 39, 40, 41, 42	isabv 19994	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ Ring → (𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐿) ↔ (𝑓:(Base‘𝐿)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))))
44	38, 43	biadanii 818	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐿) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (𝑓:(Base‘𝐿)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))))
45	28, 36, 44	3bitr4g 313	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐿)))
46	45	eqrdv 2736	1 ⊢ (𝜑 → (AbsVal‘𝐾) = (AbsVal‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   class class class wbr 5070  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802   + caddc 10805   · cmul 10807  +∞cpnf 10937   ≤ cle 10941  [,)cico 13010  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889  0_gc0g 17067  Ringcrg 19698  AbsValcabv 19991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-mgp 19636  df-ring 19700  df-abv 19992

This theorem is referenced by:  tngnrg  23744  abvpropd2  31139