Theorem abvpropd 20762

Description: If two structures have the same ring components, they have the same collection of absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
abvpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
abvpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
abvpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
abvpropd	⊢ (𝜑 → (AbsVal‘𝐾) = (AbsVal‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem abvpropd

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvpropd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		abvpropd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		abvpropd.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		abvpropd.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
5	1, 2, 3, 4	ringpropd 20262	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
6	1, 2	eqtr3d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
7	6	feq2d 6713	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓:(Base‘𝐾)⟶(0[,)+∞) ↔ 𝑓:(Base‘𝐿)⟶(0[,)+∞)))
8	1, 2, 3	grpidpropd 18650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐾) = (0g‘𝐿))
9	8	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐾) = (0g‘𝐿))
10	9	eqeq2d 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)))
11	10	bibi2d 341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ↔ ((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿))))
12	4	fveqeq2d 6908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ↔ (𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦))))
13	3	fveq2d 6904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) = (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)))
14	13	breq1d 5162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)) ↔ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))
15	12, 14	anbi12d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))) ↔ ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))
16	15	anassrs 466	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))) ↔ ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))
17	16	ralbidva 3165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))
18	11, 17	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))) ↔ (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))
19	18	ralbidva 3165	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))
20	1	raleqdv 3314	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))
21	20	anbi2d 628	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))) ↔ (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))
22	1, 21	raleqbidv 3329	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))
23	2	raleqdv 3314	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))
24	23	anbi2d 628	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))) ↔ (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))
25	2, 24	raleqbidv 3329	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))
26	19, 22, 25	3bitr3d 308	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))
27	7, 26	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:(Base‘𝐾)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))) ↔ (𝑓:(Base‘𝐿)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))))
28	5, 27	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑓:(Base‘𝐾)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (𝑓:(Base‘𝐿)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))))))
29		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (AbsVal‘𝐾) = (AbsVal‘𝐾)
30	29	abvrcl 20741	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐾) → 𝐾 ∈ Ring)
31		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
32		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐾)
33		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
34		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
35	29, 31, 32, 33, 34	isabv 20739	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐾) ↔ (𝑓:(Base‘𝐾)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))))
36	30, 35	biadanii 820	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑓:(Base‘𝐾)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐾)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐾)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))))
37		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (AbsVal‘𝐿) = (AbsVal‘𝐿)
38	37	abvrcl 20741	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐿) → 𝐿 ∈ Ring)
39		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
40		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘𝐿)
41		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
42		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
43	37, 39, 40, 41, 42	isabv 20739	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ Ring → (𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐿) ↔ (𝑓:(Base‘𝐿)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))))
44	38, 43	biadanii 820	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐿) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (𝑓:(Base‘𝐿)⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝐿)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝐿)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦)))))))
45	28, 36, 44	3bitr4g 313	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (AbsVal‘𝐿)))
46	45	eqrdv 2723	1 ⊢ (𝜑 → (AbsVal‘𝐾) = (AbsVal‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050   class class class wbr 5152  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  (class class class)co 7423  0cc0 11154   + caddc 11157   · cmul 11159  +∞cpnf 11291   ≤ cle 11295  [,)cico 13375  Basecbs 17208  +_gcplusg 17261  ._rcmulr 17262  0_gc0g 17449  Ringcrg 20211  AbsValcabv 20736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-map 8856  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12260  df-2 12322  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-plusg 17274  df-0g 17451  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-grp 18926  df-mgp 20113  df-ring 20213  df-abv 20737

This theorem is referenced by:  tngnrg  24674  abvpropd2  32817