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Theorem abvpropd 20450
Description: If two structures have the same ring components, they have the same collection of absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvpropd.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
abvpropd.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
abvpropd.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
abvpropd.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦))
Assertion
Ref Expression
abvpropd (πœ‘ β†’ (AbsValβ€˜πΎ) = (AbsValβ€˜πΏ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem abvpropd
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvpropd.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
2 abvpropd.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
3 abvpropd.3 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
4 abvpropd.4 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦))
51, 2, 3, 4ringpropd 20102 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
61, 2eqtr3d 2775 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΏ))
76feq2d 6704 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑓:(Baseβ€˜πΎ)⟢(0[,)+∞) ↔ 𝑓:(Baseβ€˜πΏ)⟢(0[,)+∞)))
81, 2, 3grpidpropd 18581 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΎ) = (0gβ€˜πΏ))
98adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜πΎ) = (0gβ€˜πΏ))
109eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ = (0gβ€˜πΎ) ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)))
1110bibi2d 343 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ↔ ((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ))))
124fveqeq2d 6900 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ↔ (π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦))))
133fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) = (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)))
1413breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)) ↔ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))
1512, 14anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))) ↔ ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))
1615anassrs 469 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))) ↔ ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))
1716ralbidva 3176 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))
1811, 17anbi12d 632 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ (((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))))
1918ralbidva 3176 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))))
201raleqdv 3326 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))
2120anbi2d 630 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ (((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))))
221, 21raleqbidv 3343 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))))
232raleqdv 3326 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΏ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))
2423anbi2d 630 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ (((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΏ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))))
252, 24raleqbidv 3343 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΏ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))))
2619, 22, 253bitr3d 309 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΏ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))))
277, 26anbi12d 632 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑓:(Baseβ€˜πΎ)⟢(0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))) ↔ (𝑓:(Baseβ€˜πΏ)⟢(0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΏ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))))
285, 27anbi12d 632 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑓:(Baseβ€˜πΎ)⟢(0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (𝑓:(Baseβ€˜πΏ)⟢(0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΏ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦))))))))
29 eqid 2733 . . . . 5 (AbsValβ€˜πΎ) = (AbsValβ€˜πΎ)
3029abvrcl 20429 . . . 4 (𝑓 ∈ (AbsValβ€˜πΎ) β†’ 𝐾 ∈ Ring)
31 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
32 eqid 2733 . . . . 5 (+gβ€˜πΎ) = (+gβ€˜πΎ)
33 eqid 2733 . . . . 5 (.rβ€˜πΎ) = (.rβ€˜πΎ)
34 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜πΎ) = (0gβ€˜πΎ)
3529, 31, 32, 33, 34isabv 20427 . . . 4 (𝐾 ∈ Ring β†’ (𝑓 ∈ (AbsValβ€˜πΎ) ↔ (𝑓:(Baseβ€˜πΎ)⟢(0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))))
3630, 35biadanii 821 . . 3 (𝑓 ∈ (AbsValβ€˜πΎ) ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑓:(Baseβ€˜πΎ)⟢(0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΎ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))))
37 eqid 2733 . . . . 5 (AbsValβ€˜πΏ) = (AbsValβ€˜πΏ)
3837abvrcl 20429 . . . 4 (𝑓 ∈ (AbsValβ€˜πΏ) β†’ 𝐿 ∈ Ring)
39 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜πΏ) = (Baseβ€˜πΏ)
40 eqid 2733 . . . . 5 (+gβ€˜πΏ) = (+gβ€˜πΏ)
41 eqid 2733 . . . . 5 (.rβ€˜πΏ) = (.rβ€˜πΏ)
42 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜πΏ) = (0gβ€˜πΏ)
4337, 39, 40, 41, 42isabv 20427 . . . 4 (𝐿 ∈ Ring β†’ (𝑓 ∈ (AbsValβ€˜πΏ) ↔ (𝑓:(Baseβ€˜πΏ)⟢(0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΏ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))))
4438, 43biadanii 821 . . 3 (𝑓 ∈ (AbsValβ€˜πΏ) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (𝑓:(Baseβ€˜πΏ)⟢(0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΏ)(((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΏ)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΏ)((π‘“β€˜(π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∧ (π‘“β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦)) ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) + (π‘“β€˜π‘¦)))))))
4528, 36, 443bitr4g 314 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (AbsValβ€˜πΎ) ↔ 𝑓 ∈ (AbsValβ€˜πΏ)))
4645eqrdv 2731 1 (πœ‘ β†’ (AbsValβ€˜πΎ) = (AbsValβ€˜πΏ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110   + caddc 11113   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245   ≀ cle 11249  [,)cico 13326  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  .rcmulr 17198  0gc0g 17385  Ringcrg 20056  AbsValcabv 20424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-mgp 19988  df-ring 20058  df-abv 20425
This theorem is referenced by:  tngnrg  24191  abvpropd2  32129
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