MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvmul 19335
Description: An absolute value distributes under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvf.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvf.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvmul.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvmul ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) · (𝐹𝑌)))

Proof of Theorem abvmul
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvf.a . . . . . . 7 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
21abvrcl 19327 . . . . . 6 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)
3 abvf.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2773 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
5 abvmul.t . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
6 eqid 2773 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
71, 3, 4, 5, 6isabv 19325 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (𝐹𝐴 ↔ (𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥𝐵 (((𝐹𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g𝑅)) ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))))))
82, 7syl 17 . . . . 5 (𝐹𝐴 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥𝐵 (((𝐹𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g𝑅)) ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))))))
98ibi 259 . . . 4 (𝐹𝐴 → (𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥𝐵 (((𝐹𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g𝑅)) ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦))))))
10 simpl 475 . . . . . . 7 (((𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦))) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)))
1110ralimi 3105 . . . . . 6 (∀𝑦𝐵 ((𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦))) → ∀𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)))
1211adantl 474 . . . . 5 ((((𝐹𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g𝑅)) ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))) → ∀𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)))
1312ralimi 3105 . . . 4 (∀𝑥𝐵 (((𝐹𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g𝑅)) ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)))
149, 13simpl2im 496 . . 3 (𝐹𝐴 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)))
15 fvoveq1 6998 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑦)))
16 fveq2 6497 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑋))
1716oveq1d 6990 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)) = ((𝐹𝑋) · (𝐹𝑦)))
1815, 17eqeq12d 2788 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)) ↔ (𝐹‘(𝑋 · 𝑦)) = ((𝐹𝑋) · (𝐹𝑦))))
19 oveq2 6983 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))
2019fveq2d 6501 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → (𝐹‘(𝑋 · 𝑦)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
21 fveq2 6497 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑌))
2221oveq2d 6991 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → ((𝐹𝑋) · (𝐹𝑦)) = ((𝐹𝑋) · (𝐹𝑌)))
2320, 22eqeq12d 2788 . . . 4 (𝑦 = 𝑌 → ((𝐹‘(𝑋 · 𝑦)) = ((𝐹𝑋) · (𝐹𝑦)) ↔ (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) · (𝐹𝑌))))
2418, 23rspc2v 3543 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) · (𝐹𝑌))))
2514, 24syl5com 31 . 2 (𝐹𝐴 → ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) · (𝐹𝑌))))
26253impib 1097 1 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) · (𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1069   = wceq 1508  wcel 2051  wral 3083   class class class wbr 4926  wf 6182  cfv 6186  (class class class)co 6975  0cc0 10334   + caddc 10337   · cmul 10339  +∞cpnf 10470  cle 10474  [,)cico 12555  Basecbs 16338  +gcplusg 16420  .rcmulr 16421  0gc0g 16568  Ringcrg 19033  AbsValcabv 19322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ral 3088  df-rex 3089  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-op 4443  df-uni 4710  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-id 5309  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-fv 6194  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-map 8207  df-abv 19323
This theorem is referenced by:  abv1z  19338  abvneg  19340  abvrec  19342  abvdiv  19343  abvdom  19344  abvres  19345  nmmul  22992  sranlm  23012  abvcxp  25909  qabvexp  25920  ostthlem2  25922  ostth2lem2  25928  ostth3  25932
  Copyright terms: Public domain W3C validator