Theorem abveq0 20763

Description: The value of an absolute value is zero iff the argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvf.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abveq0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abveq0	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem abveq0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvf.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	abvrcl 20758	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
3		abvf.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		abveq0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7	1, 3, 4, 5, 6	isabv 20756	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))))))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))))))
9	8	ibi 267	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦))))))
10		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))) → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
11	10	ralimi 3075	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
12	9, 11	simpl2im 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
13		fveqeq2 6851	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ (𝐹‘𝑋) = 0))
14		eqeq1 2741	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))
15	13, 14	bibi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ↔ ((𝐹‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = 0 )))
16	15	rspccva 3577	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))
17	12, 16	sylan 581	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   class class class wbr 5100  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038   + caddc 11041   · cmul 11043  +∞cpnf 11175   ≤ cle 11179  [,)cico 13275  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  ._rcmulr 17190  0_gc0g 17371  Ringcrg 20180  AbsValcabv 20753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-map 8777  df-abv 20754

This theorem is referenced by:  abvne0  20764  abv0  20768  abvmet  24531