Theorem abveq0 20841

Description: The value of an absolute value is zero iff the argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvf.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abveq0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abveq0	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem abveq0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvf.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	abvrcl 20836	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
3		abvf.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
5		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		abveq0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7	1, 3, 4, 5, 6	isabv 20834	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))))))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))))))
9	8	ibi 267	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦))))))
10		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))) → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
11	10	ralimi 3089	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
12	9, 11	simpl2im 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
13		fveqeq2 6929	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ (𝐹‘𝑋) = 0))
14		eqeq1 2744	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))
15	13, 14	bibi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ↔ ((𝐹‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = 0 )))
16	15	rspccva 3634	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))
17	12, 16	sylan 579	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   class class class wbr 5166  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184   + caddc 11187   · cmul 11189  +∞cpnf 11321   ≤ cle 11325  [,)cico 13409  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17499  Ringcrg 20260  AbsValcabv 20831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-map 8886  df-abv 20832

This theorem is referenced by:  abvne0  20842  abv0  20846  abvmet  24609