Theorem abveq0 20790

Description: The value of an absolute value is zero iff the argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvf.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abveq0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abveq0	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem abveq0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvf.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	abvrcl 20785	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
3		abvf.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
5		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		abveq0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7	1, 3, 4, 5, 6	isabv 20783	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))))))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ (𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))))))
9	8	ibi 268	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦))))))
10		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))) → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
11	10	ralimi 3076	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
12	9, 11	simpl2im 508	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
13		fveqeq2 6836	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ (𝐹‘𝑋) = 0))
14		eqeq1 2743	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))
15	13, 14	bibi12d 346	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ↔ ((𝐹‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = 0 )))
16	15	rspccva 3559	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))
17	12, 16	sylan 586	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   class class class wbr 5072  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  0cc0 11029   + caddc 11032   · cmul 11034  +∞cpnf 11167   ≤ cle 11171  [,)cico 13291  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  ._rcmulr 17212  0_gc0g 17393  Ringcrg 20205  AbsValcabv 20780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-map 8765  df-abv 20781

This theorem is referenced by:  abvne0  20791  abv0  20795  abvmet  24558