Theorem brdomaing 36512

Description: Closed form of brdomain 36510. (Contributed by Scott Fenton, 2-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
brdomaing	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴Domain𝐵 ↔ 𝐵 = dom 𝐴))

Proof of Theorem brdomaing

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5106	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎Domain𝑏 ↔ 𝐴Domain𝑏))
2		dmeq 5887	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → dom 𝑎 = dom 𝐴)
3	2	eqeq2d 2771	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑏 = dom 𝑎 ↔ 𝑏 = dom 𝐴))
4	1, 3	bibi12d 348	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎Domain𝑏 ↔ 𝑏 = dom 𝑎) ↔ (𝐴Domain𝑏 ↔ 𝑏 = dom 𝐴)))
5		breq2 5107	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴Domain𝑏 ↔ 𝐴Domain𝐵))
6		eqeq1 2764	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 = dom 𝐴 ↔ 𝐵 = dom 𝐴))
7	5, 6	bibi12d 348	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴Domain𝑏 ↔ 𝑏 = dom 𝐴) ↔ (𝐴Domain𝐵 ↔ 𝐵 = dom 𝐴)))
8		vex 3454	. . 3 ⊢ 𝑎 ∈ V
9		vex 3454	. . 3 ⊢ 𝑏 ∈ V
10	8, 9	brdomain 36510	. 2 ⊢ (𝑎Domain𝑏 ↔ 𝑏 = dom 𝑎)
11	4, 7, 10	vtocl2g 3533	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴Domain𝐵 ↔ 𝐵 = dom 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  dom cdm 5655  Domaincdomain 36420

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-symdif 4199  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-eprel 5555  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fo 6539  df-fv 6541  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-txp 36431  df-image 36441  df-domain 36444

This theorem is used by: (None)