Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | elpqn 10868 |
. . . . . . 7
โข (๐ฅ โ Q โ
๐ฅ โ (N
ร N)) |
2 | 1 | adantr 482 |
. . . . . 6
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q)
โ ๐ฅ โ
(N ร N)) |
3 | | xp1st 7958 |
. . . . . 6
โข (๐ฅ โ (N ร
N) โ (1st โ๐ฅ) โ N) |
4 | 2, 3 | syl 17 |
. . . . 5
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q)
โ (1st โ๐ฅ) โ N) |
5 | | elpqn 10868 |
. . . . . . 7
โข (๐ฆ โ Q โ
๐ฆ โ (N
ร N)) |
6 | 5 | adantl 483 |
. . . . . 6
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q)
โ ๐ฆ โ
(N ร N)) |
7 | | xp2nd 7959 |
. . . . . 6
โข (๐ฆ โ (N ร
N) โ (2nd โ๐ฆ) โ N) |
8 | 6, 7 | syl 17 |
. . . . 5
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q)
โ (2nd โ๐ฆ) โ N) |
9 | | mulclpi 10836 |
. . . . 5
โข
(((1st โ๐ฅ) โ N โง
(2nd โ๐ฆ)
โ N) โ ((1st โ๐ฅ) ยทN
(2nd โ๐ฆ))
โ N) |
10 | 4, 8, 9 | syl2anc 585 |
. . . 4
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q)
โ ((1st โ๐ฅ) ยทN
(2nd โ๐ฆ))
โ N) |
11 | | xp1st 7958 |
. . . . . 6
โข (๐ฆ โ (N ร
N) โ (1st โ๐ฆ) โ N) |
12 | 6, 11 | syl 17 |
. . . . 5
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q)
โ (1st โ๐ฆ) โ N) |
13 | | xp2nd 7959 |
. . . . . 6
โข (๐ฅ โ (N ร
N) โ (2nd โ๐ฅ) โ N) |
14 | 2, 13 | syl 17 |
. . . . 5
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q)
โ (2nd โ๐ฅ) โ N) |
15 | | mulclpi 10836 |
. . . . 5
โข
(((1st โ๐ฆ) โ N โง
(2nd โ๐ฅ)
โ N) โ ((1st โ๐ฆ) ยทN
(2nd โ๐ฅ))
โ N) |
16 | 12, 14, 15 | syl2anc 585 |
. . . 4
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q)
โ ((1st โ๐ฆ) ยทN
(2nd โ๐ฅ))
โ N) |
17 | | ltsopi 10831 |
. . . . 5
โข
<N Or N |
18 | | sotric 5578 |
. . . . 5
โข ((
<N Or N โง (((1st
โ๐ฅ)
ยทN (2nd โ๐ฆ)) โ N โง
((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ฅ)) โ N)) โ
(((1st โ๐ฅ)
ยทN (2nd โ๐ฆ)) <N
((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ฅ)) โ ยฌ (((1st
โ๐ฅ)
ยทN (2nd โ๐ฆ)) = ((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ฅ)) โจ ((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ฅ)) <N
((1st โ๐ฅ)
ยทN (2nd โ๐ฆ))))) |
19 | 17, 18 | mpan 689 |
. . . 4
โข
((((1st โ๐ฅ) ยทN
(2nd โ๐ฆ))
โ N โง ((1st โ๐ฆ) ยทN
(2nd โ๐ฅ))
โ N) โ (((1st โ๐ฅ) ยทN
(2nd โ๐ฆ))
<N ((1st โ๐ฆ) ยทN
(2nd โ๐ฅ))
โ ยฌ (((1st โ๐ฅ) ยทN
(2nd โ๐ฆ))
= ((1st โ๐ฆ) ยทN
(2nd โ๐ฅ))
โจ ((1st โ๐ฆ) ยทN
(2nd โ๐ฅ))
<N ((1st โ๐ฅ) ยทN
(2nd โ๐ฆ))))) |
20 | 10, 16, 19 | syl2anc 585 |
. . 3
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q)
โ (((1st โ๐ฅ) ยทN
(2nd โ๐ฆ))
<N ((1st โ๐ฆ) ยทN
(2nd โ๐ฅ))
โ ยฌ (((1st โ๐ฅ) ยทN
(2nd โ๐ฆ))
= ((1st โ๐ฆ) ยทN
(2nd โ๐ฅ))
โจ ((1st โ๐ฆ) ยทN
(2nd โ๐ฅ))
<N ((1st โ๐ฅ) ยทN
(2nd โ๐ฆ))))) |
21 | | ordpinq 10886 |
. . 3
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q)
โ (๐ฅ
<Q ๐ฆ โ ((1st โ๐ฅ)
ยทN (2nd โ๐ฆ)) <N
((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ฅ)))) |
22 | | fveq2 6847 |
. . . . . . 7
โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (1st โ๐ฅ) = (1st โ๐ฆ)) |
23 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . 8
โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (2nd โ๐ฅ) = (2nd โ๐ฆ)) |
24 | 23 | eqcomd 2743 |
. . . . . . 7
โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (2nd โ๐ฆ) = (2nd โ๐ฅ)) |
25 | 22, 24 | oveq12d 7380 |
. . . . . 6
โข (๐ฅ = ๐ฆ โ ((1st โ๐ฅ)
ยทN (2nd โ๐ฆ)) = ((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ฅ))) |
26 | | enqbreq2 10863 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ฅ โ (N ร
N) โง ๐ฆ
โ (N ร N)) โ (๐ฅ ~Q ๐ฆ โ ((1st
โ๐ฅ)
ยทN (2nd โ๐ฆ)) = ((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ฅ)))) |
27 | 1, 5, 26 | syl2an 597 |
. . . . . . 7
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q)
โ (๐ฅ
~Q ๐ฆ โ ((1st โ๐ฅ)
ยทN (2nd โ๐ฆ)) = ((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ฅ)))) |
28 | | enqeq 10877 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q
โง ๐ฅ
~Q ๐ฆ) โ ๐ฅ = ๐ฆ) |
29 | 28 | 3expia 1122 |
. . . . . . 7
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q)
โ (๐ฅ
~Q ๐ฆ โ ๐ฅ = ๐ฆ)) |
30 | 27, 29 | sylbird 260 |
. . . . . 6
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q)
โ (((1st โ๐ฅ) ยทN
(2nd โ๐ฆ))
= ((1st โ๐ฆ) ยทN
(2nd โ๐ฅ))
โ ๐ฅ = ๐ฆ)) |
31 | 25, 30 | impbid2 225 |
. . . . 5
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q)
โ (๐ฅ = ๐ฆ โ ((1st
โ๐ฅ)
ยทN (2nd โ๐ฆ)) = ((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ฅ)))) |
32 | | ordpinq 10886 |
. . . . . 6
โข ((๐ฆ โ Q โง
๐ฅ โ Q)
โ (๐ฆ
<Q ๐ฅ โ ((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ฅ)) <N
((1st โ๐ฅ)
ยทN (2nd โ๐ฆ)))) |
33 | 32 | ancoms 460 |
. . . . 5
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q)
โ (๐ฆ
<Q ๐ฅ โ ((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ฅ)) <N
((1st โ๐ฅ)
ยทN (2nd โ๐ฆ)))) |
34 | 31, 33 | orbi12d 918 |
. . . 4
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q)
โ ((๐ฅ = ๐ฆ โจ ๐ฆ <Q ๐ฅ) โ (((1st
โ๐ฅ)
ยทN (2nd โ๐ฆ)) = ((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ฅ)) โจ ((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ฅ)) <N
((1st โ๐ฅ)
ยทN (2nd โ๐ฆ))))) |
35 | 34 | notbid 318 |
. . 3
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q)
โ (ยฌ (๐ฅ = ๐ฆ โจ ๐ฆ <Q ๐ฅ) โ ยฌ (((1st
โ๐ฅ)
ยทN (2nd โ๐ฆ)) = ((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ฅ)) โจ ((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ฅ)) <N
((1st โ๐ฅ)
ยทN (2nd โ๐ฆ))))) |
36 | 20, 21, 35 | 3bitr4d 311 |
. 2
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q)
โ (๐ฅ
<Q ๐ฆ โ ยฌ (๐ฅ = ๐ฆ โจ ๐ฆ <Q ๐ฅ))) |
37 | 21 | 3adant3 1133 |
. . . . . 6
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q
โง ๐ง โ
Q) โ (๐ฅ
<Q ๐ฆ โ ((1st โ๐ฅ)
ยทN (2nd โ๐ฆ)) <N
((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ฅ)))) |
38 | | elpqn 10868 |
. . . . . . . 8
โข (๐ง โ Q โ
๐ง โ (N
ร N)) |
39 | 38 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . . . 7
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q
โง ๐ง โ
Q) โ ๐ง
โ (N ร N)) |
40 | | xp2nd 7959 |
. . . . . . 7
โข (๐ง โ (N ร
N) โ (2nd โ๐ง) โ N) |
41 | | ltmpi 10847 |
. . . . . . 7
โข
((2nd โ๐ง) โ N โ
(((1st โ๐ฅ)
ยทN (2nd โ๐ฆ)) <N
((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ฅ)) โ ((2nd โ๐ง)
ยทN ((1st โ๐ฅ) ยทN
(2nd โ๐ฆ)))
<N ((2nd โ๐ง) ยทN
((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ฅ))))) |
42 | 39, 40, 41 | 3syl 18 |
. . . . . 6
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q
โง ๐ง โ
Q) โ (((1st โ๐ฅ) ยทN
(2nd โ๐ฆ))
<N ((1st โ๐ฆ) ยทN
(2nd โ๐ฅ))
โ ((2nd โ๐ง) ยทN
((1st โ๐ฅ)
ยทN (2nd โ๐ฆ))) <N
((2nd โ๐ง)
ยทN ((1st โ๐ฆ) ยทN
(2nd โ๐ฅ))))) |
43 | 37, 42 | bitrd 279 |
. . . . 5
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q
โง ๐ง โ
Q) โ (๐ฅ
<Q ๐ฆ โ ((2nd โ๐ง)
ยทN ((1st โ๐ฅ) ยทN
(2nd โ๐ฆ)))
<N ((2nd โ๐ง) ยทN
((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ฅ))))) |
44 | | ordpinq 10886 |
. . . . . . 7
โข ((๐ฆ โ Q โง
๐ง โ Q)
โ (๐ฆ
<Q ๐ง โ ((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ง)) <N
((1st โ๐ง)
ยทN (2nd โ๐ฆ)))) |
45 | 44 | 3adant1 1131 |
. . . . . 6
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q
โง ๐ง โ
Q) โ (๐ฆ
<Q ๐ง โ ((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ง)) <N
((1st โ๐ง)
ยทN (2nd โ๐ฆ)))) |
46 | 1 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . 7
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q
โง ๐ง โ
Q) โ ๐ฅ
โ (N ร N)) |
47 | | ltmpi 10847 |
. . . . . . 7
โข
((2nd โ๐ฅ) โ N โ
(((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ง)) <N
((1st โ๐ง)
ยทN (2nd โ๐ฆ)) โ ((2nd โ๐ฅ)
ยทN ((1st โ๐ฆ) ยทN
(2nd โ๐ง)))
<N ((2nd โ๐ฅ) ยทN
((1st โ๐ง)
ยทN (2nd โ๐ฆ))))) |
48 | 46, 13, 47 | 3syl 18 |
. . . . . 6
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q
โง ๐ง โ
Q) โ (((1st โ๐ฆ) ยทN
(2nd โ๐ง))
<N ((1st โ๐ง) ยทN
(2nd โ๐ฆ))
โ ((2nd โ๐ฅ) ยทN
((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ง))) <N
((2nd โ๐ฅ)
ยทN ((1st โ๐ง) ยทN
(2nd โ๐ฆ))))) |
49 | 45, 48 | bitrd 279 |
. . . . 5
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q
โง ๐ง โ
Q) โ (๐ฆ
<Q ๐ง โ ((2nd โ๐ฅ)
ยทN ((1st โ๐ฆ) ยทN
(2nd โ๐ง)))
<N ((2nd โ๐ฅ) ยทN
((1st โ๐ง)
ยทN (2nd โ๐ฆ))))) |
50 | 43, 49 | anbi12d 632 |
. . . 4
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q
โง ๐ง โ
Q) โ ((๐ฅ
<Q ๐ฆ โง ๐ฆ <Q ๐ง) โ (((2nd
โ๐ง)
ยทN ((1st โ๐ฅ) ยทN
(2nd โ๐ฆ)))
<N ((2nd โ๐ง) ยทN
((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ฅ))) โง ((2nd โ๐ฅ)
ยทN ((1st โ๐ฆ) ยทN
(2nd โ๐ง)))
<N ((2nd โ๐ฅ) ยทN
((1st โ๐ง)
ยทN (2nd โ๐ฆ)))))) |
51 | | fvex 6860 |
. . . . . . 7
โข
(2nd โ๐ฅ) โ V |
52 | | fvex 6860 |
. . . . . . 7
โข
(1st โ๐ฆ) โ V |
53 | | fvex 6860 |
. . . . . . 7
โข
(2nd โ๐ง) โ V |
54 | | mulcompi 10839 |
. . . . . . 7
โข (๐
ยทN ๐ ) = (๐ ยทN ๐) |
55 | | mulasspi 10840 |
. . . . . . 7
โข ((๐
ยทN ๐ ) ยทN ๐ก) = (๐ ยทN (๐
ยทN ๐ก)) |
56 | 51, 52, 53, 54, 55 | caov13 7589 |
. . . . . 6
โข
((2nd โ๐ฅ) ยทN
((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ง))) = ((2nd โ๐ง)
ยทN ((1st โ๐ฆ) ยทN
(2nd โ๐ฅ))) |
57 | | fvex 6860 |
. . . . . . 7
โข
(1st โ๐ง) โ V |
58 | | fvex 6860 |
. . . . . . 7
โข
(2nd โ๐ฆ) โ V |
59 | 51, 57, 58, 54, 55 | caov13 7589 |
. . . . . 6
โข
((2nd โ๐ฅ) ยทN
((1st โ๐ง)
ยทN (2nd โ๐ฆ))) = ((2nd โ๐ฆ)
ยทN ((1st โ๐ง) ยทN
(2nd โ๐ฅ))) |
60 | 56, 59 | breq12i 5119 |
. . . . 5
โข
(((2nd โ๐ฅ) ยทN
((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ง))) <N
((2nd โ๐ฅ)
ยทN ((1st โ๐ง) ยทN
(2nd โ๐ฆ)))
โ ((2nd โ๐ง) ยทN
((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ฅ))) <N
((2nd โ๐ฆ)
ยทN ((1st โ๐ง) ยทN
(2nd โ๐ฅ)))) |
61 | | fvex 6860 |
. . . . . . 7
โข
(1st โ๐ฅ) โ V |
62 | 53, 61, 58, 54, 55 | caov13 7589 |
. . . . . 6
โข
((2nd โ๐ง) ยทN
((1st โ๐ฅ)
ยทN (2nd โ๐ฆ))) = ((2nd โ๐ฆ)
ยทN ((1st โ๐ฅ) ยทN
(2nd โ๐ง))) |
63 | | ltrelpi 10832 |
. . . . . . 7
โข
<N โ (N ร
N) |
64 | 17, 63 | sotri 6086 |
. . . . . 6
โข
((((2nd โ๐ง) ยทN
((1st โ๐ฅ)
ยทN (2nd โ๐ฆ))) <N
((2nd โ๐ง)
ยทN ((1st โ๐ฆ) ยทN
(2nd โ๐ฅ)))
โง ((2nd โ๐ง) ยทN
((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ฅ))) <N
((2nd โ๐ฆ)
ยทN ((1st โ๐ง) ยทN
(2nd โ๐ฅ)))) โ ((2nd โ๐ง)
ยทN ((1st โ๐ฅ) ยทN
(2nd โ๐ฆ)))
<N ((2nd โ๐ฆ) ยทN
((1st โ๐ง)
ยทN (2nd โ๐ฅ)))) |
65 | 62, 64 | eqbrtrrid 5146 |
. . . . 5
โข
((((2nd โ๐ง) ยทN
((1st โ๐ฅ)
ยทN (2nd โ๐ฆ))) <N
((2nd โ๐ง)
ยทN ((1st โ๐ฆ) ยทN
(2nd โ๐ฅ)))
โง ((2nd โ๐ง) ยทN
((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ฅ))) <N
((2nd โ๐ฆ)
ยทN ((1st โ๐ง) ยทN
(2nd โ๐ฅ)))) โ ((2nd โ๐ฆ)
ยทN ((1st โ๐ฅ) ยทN
(2nd โ๐ง)))
<N ((2nd โ๐ฆ) ยทN
((1st โ๐ง)
ยทN (2nd โ๐ฅ)))) |
66 | 60, 65 | sylan2b 595 |
. . . 4
โข
((((2nd โ๐ง) ยทN
((1st โ๐ฅ)
ยทN (2nd โ๐ฆ))) <N
((2nd โ๐ง)
ยทN ((1st โ๐ฆ) ยทN
(2nd โ๐ฅ)))
โง ((2nd โ๐ฅ) ยทN
((1st โ๐ฆ)
ยทN (2nd โ๐ง))) <N
((2nd โ๐ฅ)
ยทN ((1st โ๐ง) ยทN
(2nd โ๐ฆ)))) โ ((2nd โ๐ฆ)
ยทN ((1st โ๐ฅ) ยทN
(2nd โ๐ง)))
<N ((2nd โ๐ฆ) ยทN
((1st โ๐ง)
ยทN (2nd โ๐ฅ)))) |
67 | 50, 66 | syl6bi 253 |
. . 3
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q
โง ๐ง โ
Q) โ ((๐ฅ
<Q ๐ฆ โง ๐ฆ <Q ๐ง) โ ((2nd
โ๐ฆ)
ยทN ((1st โ๐ฅ) ยทN
(2nd โ๐ง)))
<N ((2nd โ๐ฆ) ยทN
((1st โ๐ง)
ยทN (2nd โ๐ฅ))))) |
68 | | ordpinq 10886 |
. . . . 5
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ง โ Q)
โ (๐ฅ
<Q ๐ง โ ((1st โ๐ฅ)
ยทN (2nd โ๐ง)) <N
((1st โ๐ง)
ยทN (2nd โ๐ฅ)))) |
69 | 68 | 3adant2 1132 |
. . . 4
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q
โง ๐ง โ
Q) โ (๐ฅ
<Q ๐ง โ ((1st โ๐ฅ)
ยทN (2nd โ๐ง)) <N
((1st โ๐ง)
ยทN (2nd โ๐ฅ)))) |
70 | 5 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . 5
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q
โง ๐ง โ
Q) โ ๐ฆ
โ (N ร N)) |
71 | | ltmpi 10847 |
. . . . 5
โข
((2nd โ๐ฆ) โ N โ
(((1st โ๐ฅ)
ยทN (2nd โ๐ง)) <N
((1st โ๐ง)
ยทN (2nd โ๐ฅ)) โ ((2nd โ๐ฆ)
ยทN ((1st โ๐ฅ) ยทN
(2nd โ๐ง)))
<N ((2nd โ๐ฆ) ยทN
((1st โ๐ง)
ยทN (2nd โ๐ฅ))))) |
72 | 70, 7, 71 | 3syl 18 |
. . . 4
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q
โง ๐ง โ
Q) โ (((1st โ๐ฅ) ยทN
(2nd โ๐ง))
<N ((1st โ๐ง) ยทN
(2nd โ๐ฅ))
โ ((2nd โ๐ฆ) ยทN
((1st โ๐ฅ)
ยทN (2nd โ๐ง))) <N
((2nd โ๐ฆ)
ยทN ((1st โ๐ง) ยทN
(2nd โ๐ฅ))))) |
73 | 69, 72 | bitrd 279 |
. . 3
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q
โง ๐ง โ
Q) โ (๐ฅ
<Q ๐ง โ ((2nd โ๐ฆ)
ยทN ((1st โ๐ฅ) ยทN
(2nd โ๐ง)))
<N ((2nd โ๐ฆ) ยทN
((1st โ๐ง)
ยทN (2nd โ๐ฅ))))) |
74 | 67, 73 | sylibrd 259 |
. 2
โข ((๐ฅ โ Q โง
๐ฆ โ Q
โง ๐ง โ
Q) โ ((๐ฅ
<Q ๐ฆ โง ๐ฆ <Q ๐ง) โ ๐ฅ <Q ๐ง)) |
75 | 36, 74 | isso2i 5585 |
1
โข
<Q Or Q |