MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltsonq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltsonq 10912
Description: 'Less than' is a strict ordering on positive fractions. (Contributed by NM, 19-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltsonq <Q Or Q

Proof of Theorem ltsonq
Dummy variables ๐‘  ๐‘Ÿ ๐‘ก ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpqn 10868 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N))
21adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N))
3 xp1st 7958 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ N)
42, 3syl 17 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ N)
5 elpqn 10868 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ Q โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N))
65adantl 483 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N))
7 xp2nd 7959 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ N)
86, 7syl 17 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ N)
9 mulclpi 10836 . . . . 5 (((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ N)
104, 8, 9syl2anc 585 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ N)
11 xp1st 7958 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ N)
126, 11syl 17 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ N)
13 xp2nd 7959 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ N)
142, 13syl 17 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ N)
15 mulclpi 10836 . . . . 5 (((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ N)
1612, 14, 15syl2anc 585 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ N)
17 ltsopi 10831 . . . . 5 <N Or N
18 sotric 5578 . . . . 5 (( <N Or N โˆง (((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ N โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ N)) โ†’ (((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) <N ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โ†” ยฌ (((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โˆจ ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)) <N ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)))))
1917, 18mpan 689 . . . 4 ((((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ N โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ N) โ†’ (((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) <N ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โ†” ยฌ (((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โˆจ ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)) <N ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)))))
2010, 16, 19syl2anc 585 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) <N ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โ†” ยฌ (((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โˆจ ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)) <N ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)))))
21 ordpinq 10886 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โ†” ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) <N ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))))
22 fveq2 6847 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) = (1st โ€˜๐‘ฆ))
23 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) = (2nd โ€˜๐‘ฆ))
2423eqcomd 2743 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฆ) = (2nd โ€˜๐‘ฅ))
2522, 24oveq12d 7380 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)))
26 enqbreq2 10863 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐‘ฅ ~Q ๐‘ฆ โ†” ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))))
271, 5, 26syl2an 597 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ ~Q ๐‘ฆ โ†” ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))))
28 enqeq 10877 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ ~Q ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
29283expia 1122 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ ~Q ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
3027, 29sylbird 260 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
3125, 30impbid2 225 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†” ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))))
32 ordpinq 10886 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฆ <Q ๐‘ฅ โ†” ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)) <N ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))))
3332ancoms 460 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฆ <Q ๐‘ฅ โ†” ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)) <N ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))))
3431, 33orbi12d 918 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ฅ = ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ฆ <Q ๐‘ฅ) โ†” (((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โˆจ ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)) <N ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)))))
3534notbid 318 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (ยฌ (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ฆ <Q ๐‘ฅ) โ†” ยฌ (((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โˆจ ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)) <N ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)))))
3620, 21, 353bitr4d 311 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โ†” ยฌ (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ฆ <Q ๐‘ฅ)))
37213adant3 1133 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โ†” ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) <N ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))))
38 elpqn 10868 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ Q โ†’ ๐‘ง โˆˆ (N ร— N))
39383ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (N ร— N))
40 xp2nd 7959 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ง) โˆˆ N)
41 ltmpi 10847 . . . . . . 7 ((2nd โ€˜๐‘ง) โˆˆ N โ†’ (((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) <N ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โ†” ((2nd โ€˜๐‘ง) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))) <N ((2nd โ€˜๐‘ง) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)))))
4239, 40, 413syl 18 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) <N ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โ†” ((2nd โ€˜๐‘ง) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))) <N ((2nd โ€˜๐‘ง) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)))))
4337, 42bitrd 279 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โ†” ((2nd โ€˜๐‘ง) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))) <N ((2nd โ€˜๐‘ง) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)))))
44 ordpinq 10886 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฆ <Q ๐‘ง โ†” ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ง)) <N ((1st โ€˜๐‘ง) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))))
45443adant1 1131 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฆ <Q ๐‘ง โ†” ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ง)) <N ((1st โ€˜๐‘ง) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))))
4613ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N))
47 ltmpi 10847 . . . . . . 7 ((2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ N โ†’ (((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ง)) <N ((1st โ€˜๐‘ง) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†” ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ง))) <N ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ง) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)))))
4846, 13, 473syl 18 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ง)) <N ((1st โ€˜๐‘ง) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†” ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ง))) <N ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ง) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)))))
4945, 48bitrd 279 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฆ <Q ๐‘ง โ†” ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ง))) <N ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ง) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)))))
5043, 49anbi12d 632 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ <Q ๐‘ง) โ†” (((2nd โ€˜๐‘ง) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))) <N ((2nd โ€˜๐‘ง) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ง))) <N ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ง) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))))))
51 fvex 6860 . . . . . . 7 (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V
52 fvex 6860 . . . . . . 7 (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ V
53 fvex 6860 . . . . . . 7 (2nd โ€˜๐‘ง) โˆˆ V
54 mulcompi 10839 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ ยทN ๐‘ ) = (๐‘  ยทN ๐‘Ÿ)
55 mulasspi 10840 . . . . . . 7 ((๐‘Ÿ ยทN ๐‘ ) ยทN ๐‘ก) = (๐‘Ÿ ยทN (๐‘  ยทN ๐‘ก))
5651, 52, 53, 54, 55caov13 7589 . . . . . 6 ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ง))) = ((2nd โ€˜๐‘ง) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)))
57 fvex 6860 . . . . . . 7 (1st โ€˜๐‘ง) โˆˆ V
58 fvex 6860 . . . . . . 7 (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ V
5951, 57, 58, 54, 55caov13 7589 . . . . . 6 ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ง) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))) = ((2nd โ€˜๐‘ฆ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ง) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)))
6056, 59breq12i 5119 . . . . 5 (((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ง))) <N ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ง) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))) โ†” ((2nd โ€˜๐‘ง) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))) <N ((2nd โ€˜๐‘ฆ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ง) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))))
61 fvex 6860 . . . . . . 7 (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V
6253, 61, 58, 54, 55caov13 7589 . . . . . 6 ((2nd โ€˜๐‘ง) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))) = ((2nd โ€˜๐‘ฆ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ง)))
63 ltrelpi 10832 . . . . . . 7 <N โŠ† (N ร— N)
6417, 63sotri 6086 . . . . . 6 ((((2nd โ€˜๐‘ง) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))) <N ((2nd โ€˜๐‘ง) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง ((2nd โ€˜๐‘ง) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))) <N ((2nd โ€˜๐‘ฆ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ง) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ ((2nd โ€˜๐‘ง) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))) <N ((2nd โ€˜๐‘ฆ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ง) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))))
6562, 64eqbrtrrid 5146 . . . . 5 ((((2nd โ€˜๐‘ง) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))) <N ((2nd โ€˜๐‘ง) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง ((2nd โ€˜๐‘ง) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))) <N ((2nd โ€˜๐‘ฆ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ง) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ ((2nd โ€˜๐‘ฆ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ง))) <N ((2nd โ€˜๐‘ฆ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ง) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))))
6660, 65sylan2b 595 . . . 4 ((((2nd โ€˜๐‘ง) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))) <N ((2nd โ€˜๐‘ง) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ง))) <N ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ง) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ((2nd โ€˜๐‘ฆ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ง))) <N ((2nd โ€˜๐‘ฆ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ง) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))))
6750, 66syl6bi 253 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ <Q ๐‘ง) โ†’ ((2nd โ€˜๐‘ฆ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ง))) <N ((2nd โ€˜๐‘ฆ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ง) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)))))
68 ordpinq 10886 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘ง โ†” ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ง)) <N ((1st โ€˜๐‘ง) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))))
69683adant2 1132 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘ง โ†” ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ง)) <N ((1st โ€˜๐‘ง) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))))
7053ad2ant2 1135 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N))
71 ltmpi 10847 . . . . 5 ((2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ N โ†’ (((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ง)) <N ((1st โ€˜๐‘ง) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โ†” ((2nd โ€˜๐‘ฆ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ง))) <N ((2nd โ€˜๐‘ฆ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ง) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)))))
7270, 7, 713syl 18 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ง)) <N ((1st โ€˜๐‘ง) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โ†” ((2nd โ€˜๐‘ฆ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ง))) <N ((2nd โ€˜๐‘ฆ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ง) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)))))
7369, 72bitrd 279 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘ง โ†” ((2nd โ€˜๐‘ฆ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ง))) <N ((2nd โ€˜๐‘ฆ) ยทN ((1st โ€˜๐‘ง) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)))))
7467, 73sylibrd 259 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ <Q ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ <Q ๐‘ง))
7536, 74isso2i 5585 1 <Q Or Q
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5110   Or wor 5549   ร— cxp 5636  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1st c1st 7924  2nd c2nd 7925  Ncnpi 10787   ยทN cmi 10789   <N clti 10790   ~Q ceq 10794  Qcnq 10795   <Q cltq 10801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ni 10815  df-mi 10817  df-lti 10818  df-ltpq 10853  df-enq 10854  df-nq 10855  df-ltnq 10861
This theorem is referenced by:  ltbtwnnq  10921  prub  10937  npomex  10939  genpnnp  10948  nqpr  10957  distrlem4pr  10969  prlem934  10976  ltexprlem4  10982  reclem2pr  10991  reclem4pr  10993
  Copyright terms: Public domain W3C validator