Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climlimsupcex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climlimsupcex 45725
Description: Counterexample for climlimsup 45716, showing that the first hypothesis is needed, if the empty set is a complex number (see 0ncn 11171 and its comment). (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climlimsupcex.1 ¬ 𝑀 ∈ ℤ
climlimsupcex.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
climlimsupcex.3 𝐹 = ∅
Assertion
Ref Expression
climlimsupcex ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → (𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))

Proof of Theorem climlimsupcex
StepHypRef Expression
1 f0 6790 . . . 4 ∅:∅⟶ℝ
2 climlimsupcex.3 . . . . 5 𝐹 = ∅
3 climlimsupcex.2 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 climlimsupcex.1 . . . . . . 7 ¬ 𝑀 ∈ ℤ
5 uz0 45362 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (ℤ𝑀) = ∅
73, 6eqtri 2763 . . . . 5 𝑍 = ∅
82, 7feq12i 6730 . . . 4 (𝐹:𝑍⟶ℝ ↔ ∅:∅⟶ℝ)
91, 8mpbir 231 . . 3 𝐹:𝑍⟶ℝ
109a1i 11 . 2 ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
11 climrel 15525 . . . . 5 Rel ⇝
1211a1i 11 . . . 4 (∅ ∈ ℂ → Rel ⇝ )
13 0cnv 45698 . . . . 5 (∅ ∈ ℂ → ∅ ⇝ ∅)
142, 13eqbrtrid 5183 . . . 4 (∅ ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ ∅)
15 releldm 5958 . . . 4 ((Rel ⇝ ∧ 𝐹 ⇝ ∅) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
1612, 14, 15syl2anc 584 . . 3 (∅ ∈ ℂ → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
1716adantr 480 . 2 ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
1813adantr 480 . . . 4 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) → ∅ ⇝ ∅)
1918adantlr 715 . . 3 (((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) → ∅ ⇝ ∅)
20 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ∅ ⇝ ∅)
212fveq2i 6910 . . . . . . . . . 10 (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘∅)
22 limsup0 45650 . . . . . . . . . 10 (lim sup‘∅) = -∞
2321, 22eqtri 2763 . . . . . . . . 9 (lim sup‘𝐹) = -∞
242, 23breq12i 5157 . . . . . . . 8 (𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ↔ ∅ ⇝ -∞)
2524biimpi 216 . . . . . . 7 (𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) → ∅ ⇝ -∞)
2625adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ∅ ⇝ -∞)
27 climuni 15585 . . . . . 6 ((∅ ⇝ ∅ ∧ ∅ ⇝ -∞) → ∅ = -∞)
2820, 26, 27syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ∅ = -∞)
2928adantll 714 . . . 4 ((((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ∅ = -∞)
30 nelneq 2863 . . . . 5 ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → ¬ ∅ = -∞)
3130ad2antrr 726 . . . 4 ((((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ¬ ∅ = -∞)
3229, 31pm2.65da 817 . . 3 (((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) → ¬ ∅ ⇝ ∅)
3319, 32pm2.65da 817 . 2 ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → ¬ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
3410, 17, 333jca 1127 1 ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → (𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  c0 4339   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  Rel wrel 5694  wf 6559  cfv 6563  cc 11151  cr 11152  -∞cmnf 11291  cz 12611  cuz 12876  lim supclsp 15503  cli 15517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator