Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climlimsupcex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climlimsupcex 45080
Description: Counterexample for climlimsup 45071, showing that the first hypothesis is needed, if the empty set is a complex number (see 0ncn 11148 and its comment). (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climlimsupcex.1 Β¬ 𝑀 ∈ β„€
climlimsupcex.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climlimsupcex.3 𝐹 = βˆ…
Assertion
Ref Expression
climlimsupcex ((βˆ… ∈ β„‚ ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) β†’ (𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ Β¬ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ)))

Proof of Theorem climlimsupcex
StepHypRef Expression
1 f0 6772 . . . 4 βˆ…:βˆ…βŸΆβ„
2 climlimsupcex.3 . . . . 5 𝐹 = βˆ…
3 climlimsupcex.2 . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4 climlimsupcex.1 . . . . . . 7 Β¬ 𝑀 ∈ β„€
5 uz0 44717 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑀 ∈ β„€ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘€) = βˆ…)
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = βˆ…
73, 6eqtri 2755 . . . . 5 𝑍 = βˆ…
82, 7feq12i 6709 . . . 4 (𝐹:π‘βŸΆβ„ ↔ βˆ…:βˆ…βŸΆβ„)
91, 8mpbir 230 . . 3 𝐹:π‘βŸΆβ„
109a1i 11 . 2 ((βˆ… ∈ β„‚ ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
11 climrel 15460 . . . . 5 Rel ⇝
1211a1i 11 . . . 4 (βˆ… ∈ β„‚ β†’ Rel ⇝ )
13 0cnv 45053 . . . . 5 (βˆ… ∈ β„‚ β†’ βˆ… ⇝ βˆ…)
142, 13eqbrtrid 5177 . . . 4 (βˆ… ∈ β„‚ β†’ 𝐹 ⇝ βˆ…)
15 releldm 5940 . . . 4 ((Rel ⇝ ∧ 𝐹 ⇝ βˆ…) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
1612, 14, 15syl2anc 583 . . 3 (βˆ… ∈ β„‚ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
1716adantr 480 . 2 ((βˆ… ∈ β„‚ ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
1813adantr 480 . . . 4 ((βˆ… ∈ β„‚ ∧ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ)) β†’ βˆ… ⇝ βˆ…)
1918adantlr 714 . . 3 (((βˆ… ∈ β„‚ ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ)) β†’ βˆ… ⇝ βˆ…)
20 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ) ∧ βˆ… ⇝ βˆ…) β†’ βˆ… ⇝ βˆ…)
212fveq2i 6894 . . . . . . . . . 10 (lim supβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜βˆ…)
22 limsup0 45005 . . . . . . . . . 10 (lim supβ€˜βˆ…) = -∞
2321, 22eqtri 2755 . . . . . . . . 9 (lim supβ€˜πΉ) = -∞
242, 23breq12i 5151 . . . . . . . 8 (𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆ… ⇝ -∞)
2524biimpi 215 . . . . . . 7 (𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ) β†’ βˆ… ⇝ -∞)
2625adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ) ∧ βˆ… ⇝ βˆ…) β†’ βˆ… ⇝ -∞)
27 climuni 15520 . . . . . 6 ((βˆ… ⇝ βˆ… ∧ βˆ… ⇝ -∞) β†’ βˆ… = -∞)
2820, 26, 27syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ) ∧ βˆ… ⇝ βˆ…) β†’ βˆ… = -∞)
2928adantll 713 . . . 4 ((((βˆ… ∈ β„‚ ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ)) ∧ βˆ… ⇝ βˆ…) β†’ βˆ… = -∞)
30 nelneq 2852 . . . . 5 ((βˆ… ∈ β„‚ ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) β†’ Β¬ βˆ… = -∞)
3130ad2antrr 725 . . . 4 ((((βˆ… ∈ β„‚ ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ)) ∧ βˆ… ⇝ βˆ…) β†’ Β¬ βˆ… = -∞)
3229, 31pm2.65da 816 . . 3 (((βˆ… ∈ β„‚ ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ)) β†’ Β¬ βˆ… ⇝ βˆ…)
3319, 32pm2.65da 816 . 2 ((βˆ… ∈ β„‚ ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) β†’ Β¬ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ))
3410, 17, 333jca 1126 1 ((βˆ… ∈ β„‚ ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) β†’ (𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ Β¬ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5142  dom cdm 5672  Rel wrel 5677  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  β„‚cc 11128  β„cr 11129  -∞cmnf 11268  β„€cz 12580  β„€β‰₯cuz 12844  lim supclsp 15438   ⇝ cli 15452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator