Theorem climlimsupcex 47052

Description: Counterexample for climlimsup 47043, showing that the first hypothesis is needed, if the empty set is a complex number (see 0ncn 11257 and its comment). (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climlimsupcex.1	⊢ ¬ 𝑀 ∈ ℤ
climlimsupcex.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climlimsupcex.3	⊢ 𝐹 = ∅

Assertion

Ref	Expression
climlimsupcex	⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → (𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))

Proof of Theorem climlimsupcex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6793	. . . 4 ⊢ ∅:∅⟶ℝ
2		climlimsupcex.3	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ∅
3		climlimsupcex.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		climlimsupcex.1	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝑀 ∈ ℤ
5		uz0 46695	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = ∅
7	3, 6	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = ∅
8	2, 7	feq12i 6732	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑍⟶ℝ ↔ ∅:∅⟶ℝ)
9	1, 8	mpbir 234	. . 3 ⊢ 𝐹:𝑍⟶ℝ
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
11		climrel 15703	. . . . 5 ⊢ Rel ⇝
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ℂ → Rel ⇝ )
13		0cnv 47025	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ ℂ → ∅ ⇝ ∅)
14	2, 13	eqbrtrid 5146	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ ∅)
15		releldm 5938	. . . 4 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ 𝐹 ⇝ ∅) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
16	12, 14, 15	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ℂ → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
17	16	adantr 486	. 2 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
18	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) → ∅ ⇝ ∅)
19	18	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) → ∅ ⇝ ∅)
20		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ∅ ⇝ ∅)
21	2	fveq2i 6919	. . . . . . . . 9 ⊢ (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘∅)
22		limsup0 46977	. . . . . . . . 9 ⊢ (lim sup‘∅) = -∞
23	21, 22	eqtri 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (lim sup‘𝐹) = -∞
24	2, 23	breq12i 5117	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ↔ ∅ ⇝ -∞)
25	24	birani 509	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ∅ ⇝ -∞)
26		climuni 15763	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ⇝ ∅ ∧ ∅ ⇝ -∞) → ∅ = -∞)
27	20, 25, 26	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ∅ = -∞)
28	27	adantll 727	. . . 4 ⊢ ((((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ∅ = -∞)
29		nelneq 2888	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → ¬ ∅ = -∞)
30	29	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ ((((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ¬ ∅ = -∞)
31	28, 30	pm2.65da 829	. . 3 ⊢ (((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) → ¬ ∅ ⇝ ∅)
32	19, 31	pm2.65da 829	. 2 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → ¬ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
33	10, 17, 32	3jca 1146	1 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → (𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281   class class class wbr 5108  dom cdm 5658  Rel wrel 5663  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  ℂcc 11237  ℝcr 11238  -∞cmnf 11380  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005  lim supclsp 15681   ⇝ cli 15695

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699

This theorem is used by: (None)