Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climlimsupcex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climlimsupcex 44096
Description: Counterexample for climlimsup 44087, showing that the first hypothesis is needed, if the empty set is a complex number (see 0ncn 11074 and its comment). (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climlimsupcex.1 Β¬ 𝑀 ∈ β„€
climlimsupcex.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climlimsupcex.3 𝐹 = βˆ…
Assertion
Ref Expression
climlimsupcex ((βˆ… ∈ β„‚ ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) β†’ (𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ Β¬ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ)))

Proof of Theorem climlimsupcex
StepHypRef Expression
1 f0 6724 . . . 4 βˆ…:βˆ…βŸΆβ„
2 climlimsupcex.3 . . . . 5 𝐹 = βˆ…
3 climlimsupcex.2 . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4 climlimsupcex.1 . . . . . . 7 Β¬ 𝑀 ∈ β„€
5 uz0 43733 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑀 ∈ β„€ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘€) = βˆ…)
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = βˆ…
73, 6eqtri 2761 . . . . 5 𝑍 = βˆ…
82, 7feq12i 6662 . . . 4 (𝐹:π‘βŸΆβ„ ↔ βˆ…:βˆ…βŸΆβ„)
91, 8mpbir 230 . . 3 𝐹:π‘βŸΆβ„
109a1i 11 . 2 ((βˆ… ∈ β„‚ ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
11 climrel 15380 . . . . 5 Rel ⇝
1211a1i 11 . . . 4 (βˆ… ∈ β„‚ β†’ Rel ⇝ )
13 0cnv 44069 . . . . 5 (βˆ… ∈ β„‚ β†’ βˆ… ⇝ βˆ…)
142, 13eqbrtrid 5141 . . . 4 (βˆ… ∈ β„‚ β†’ 𝐹 ⇝ βˆ…)
15 releldm 5900 . . . 4 ((Rel ⇝ ∧ 𝐹 ⇝ βˆ…) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
1612, 14, 15syl2anc 585 . . 3 (βˆ… ∈ β„‚ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
1716adantr 482 . 2 ((βˆ… ∈ β„‚ ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
1813adantr 482 . . . 4 ((βˆ… ∈ β„‚ ∧ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ)) β†’ βˆ… ⇝ βˆ…)
1918adantlr 714 . . 3 (((βˆ… ∈ β„‚ ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ)) β†’ βˆ… ⇝ βˆ…)
20 simpr 486 . . . . . 6 ((𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ) ∧ βˆ… ⇝ βˆ…) β†’ βˆ… ⇝ βˆ…)
212fveq2i 6846 . . . . . . . . . 10 (lim supβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜βˆ…)
22 limsup0 44021 . . . . . . . . . 10 (lim supβ€˜βˆ…) = -∞
2321, 22eqtri 2761 . . . . . . . . 9 (lim supβ€˜πΉ) = -∞
242, 23breq12i 5115 . . . . . . . 8 (𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆ… ⇝ -∞)
2524biimpi 215 . . . . . . 7 (𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ) β†’ βˆ… ⇝ -∞)
2625adantr 482 . . . . . 6 ((𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ) ∧ βˆ… ⇝ βˆ…) β†’ βˆ… ⇝ -∞)
27 climuni 15440 . . . . . 6 ((βˆ… ⇝ βˆ… ∧ βˆ… ⇝ -∞) β†’ βˆ… = -∞)
2820, 26, 27syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ) ∧ βˆ… ⇝ βˆ…) β†’ βˆ… = -∞)
2928adantll 713 . . . 4 ((((βˆ… ∈ β„‚ ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ)) ∧ βˆ… ⇝ βˆ…) β†’ βˆ… = -∞)
30 nelneq 2858 . . . . 5 ((βˆ… ∈ β„‚ ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) β†’ Β¬ βˆ… = -∞)
3130ad2antrr 725 . . . 4 ((((βˆ… ∈ β„‚ ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ)) ∧ βˆ… ⇝ βˆ…) β†’ Β¬ βˆ… = -∞)
3229, 31pm2.65da 816 . . 3 (((βˆ… ∈ β„‚ ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ)) β†’ Β¬ βˆ… ⇝ βˆ…)
3319, 32pm2.65da 816 . 2 ((βˆ… ∈ β„‚ ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) β†’ Β¬ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ))
3410, 17, 333jca 1129 1 ((βˆ… ∈ β„‚ ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) β†’ (𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ Β¬ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ…c0 4283   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  Rel wrel 5639  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  β„‚cc 11054  β„cr 11055  -∞cmnf 11192  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  lim supclsp 15358   ⇝ cli 15372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator