Theorem climlimsupcex 46543

Description: Counterexample for climlimsup 46534, showing that the first hypothesis is needed, if the empty set is a complex number (see 0ncn 11135 and its comment). (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climlimsupcex.1	⊢ ¬ 𝑀 ∈ ℤ
climlimsupcex.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climlimsupcex.3	⊢ 𝐹 = ∅

Assertion

Ref	Expression
climlimsupcex	⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → (𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))

Proof of Theorem climlimsupcex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6763	. . . 4 ⊢ ∅:∅⟶ℝ
2		climlimsupcex.3	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ∅
3		climlimsupcex.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		climlimsupcex.1	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝑀 ∈ ℤ
5		uz0 46186	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = ∅
7	3, 6	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = ∅
8	2, 7	feq12i 6702	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑍⟶ℝ ↔ ∅:∅⟶ℝ)
9	1, 8	mpbir 234	. . 3 ⊢ 𝐹:𝑍⟶ℝ
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
11		climrel 15569	. . . . 5 ⊢ Rel ⇝
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ℂ → Rel ⇝ )
13		0cnv 46516	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ ℂ → ∅ ⇝ ∅)
14	2, 13	eqbrtrid 5148	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ ∅)
15		releldm 5936	. . . 4 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ 𝐹 ⇝ ∅) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
16	12, 14, 15	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ℂ → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
17	16	adantr 486	. 2 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
18	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) → ∅ ⇝ ∅)
19	18	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) → ∅ ⇝ ∅)
20		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ∅ ⇝ ∅)
21	2	fveq2i 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘∅)
22		limsup0 46468	. . . . . . . . 9 ⊢ (lim sup‘∅) = -∞
23	21, 22	eqtri 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (lim sup‘𝐹) = -∞
24	2, 23	breq12i 5120	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ↔ ∅ ⇝ -∞)
25	24	birani 509	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ∅ ⇝ -∞)
26		climuni 15629	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ⇝ ∅ ∧ ∅ ⇝ -∞) → ∅ = -∞)
27	20, 25, 26	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ∅ = -∞)
28	27	adantll 727	. . . 4 ⊢ ((((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ∅ = -∞)
29		nelneq 2889	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → ¬ ∅ = -∞)
30	29	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ ((((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ¬ ∅ = -∞)
31	28, 30	pm2.65da 829	. . 3 ⊢ (((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) → ¬ ∅ ⇝ ∅)
32	19, 31	pm2.65da 829	. 2 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → ¬ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
33	10, 17, 32	3jca 1146	1 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → (𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∅c0 4286   class class class wbr 5111  dom cdm 5663  Rel wrel 5668  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  ℂcc 11115  ℝcr 11116  -∞cmnf 11258  ℤcz 12608  ℤ_≥cuz 12880  lim supclsp 15547   ⇝ cli 15561

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-rp 13035  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565

This theorem is used by: (None)