Theorem climlimsupcex 45295

Description: Counterexample for climlimsup 45286, showing that the first hypothesis is needed, if the empty set is a complex number (see 0ncn 11158 and its comment). (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climlimsupcex.1	⊢ ¬ 𝑀 ∈ ℤ
climlimsupcex.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climlimsupcex.3	⊢ 𝐹 = ∅

Assertion

Ref	Expression
climlimsupcex	⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → (𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))

Proof of Theorem climlimsupcex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6778	. . . 4 ⊢ ∅:∅⟶ℝ
2		climlimsupcex.3	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ∅
3		climlimsupcex.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		climlimsupcex.1	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝑀 ∈ ℤ
5		uz0 44932	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = ∅
7	3, 6	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = ∅
8	2, 7	feq12i 6716	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑍⟶ℝ ↔ ∅:∅⟶ℝ)
9	1, 8	mpbir 230	. . 3 ⊢ 𝐹:𝑍⟶ℝ
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
11		climrel 15472	. . . . 5 ⊢ Rel ⇝
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ℂ → Rel ⇝ )
13		0cnv 45268	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ ℂ → ∅ ⇝ ∅)
14	2, 13	eqbrtrid 5184	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ ∅)
15		releldm 5946	. . . 4 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ 𝐹 ⇝ ∅) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
16	12, 14, 15	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ℂ → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
17	16	adantr 479	. 2 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
18	13	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) → ∅ ⇝ ∅)
19	18	adantlr 713	. . 3 ⊢ (((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) → ∅ ⇝ ∅)
20		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ∅ ⇝ ∅)
21	2	fveq2i 6899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘∅)
22		limsup0 45220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lim sup‘∅) = -∞
23	21, 22	eqtri 2753	. . . . . . . . 9 ⊢ (lim sup‘𝐹) = -∞
24	2, 23	breq12i 5158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ↔ ∅ ⇝ -∞)
25	24	biimpi 215	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) → ∅ ⇝ -∞)
26	25	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ∅ ⇝ -∞)
27		climuni 15532	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ⇝ ∅ ∧ ∅ ⇝ -∞) → ∅ = -∞)
28	20, 26, 27	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ∅ = -∞)
29	28	adantll 712	. . . 4 ⊢ ((((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ∅ = -∞)
30		nelneq 2849	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → ¬ ∅ = -∞)
31	30	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ ((((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ¬ ∅ = -∞)
32	29, 31	pm2.65da 815	. . 3 ⊢ (((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) → ¬ ∅ ⇝ ∅)
33	19, 32	pm2.65da 815	. 2 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → ¬ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
34	10, 17, 33	3jca 1125	1 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → (𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∅c0 4322   class class class wbr 5149  dom cdm 5678  Rel wrel 5683  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  ℂcc 11138  ℝcr 11139  -∞cmnf 11278  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12855  lim supclsp 15450   ⇝ cli 15464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-limsup 15451  df-clim 15468

This theorem is referenced by: (None)