Theorem climlimsupcex 45740

Description: Counterexample for climlimsup 45731, showing that the first hypothesis is needed, if the empty set is a complex number (see 0ncn 11062 and its comment). (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climlimsupcex.1	⊢ ¬ 𝑀 ∈ ℤ
climlimsupcex.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climlimsupcex.3	⊢ 𝐹 = ∅

Assertion

Ref	Expression
climlimsupcex	⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → (𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))

Proof of Theorem climlimsupcex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6723	. . . 4 ⊢ ∅:∅⟶ℝ
2		climlimsupcex.3	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ∅
3		climlimsupcex.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		climlimsupcex.1	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝑀 ∈ ℤ
5		uz0 45381	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = ∅
7	3, 6	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = ∅
8	2, 7	feq12i 6663	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑍⟶ℝ ↔ ∅:∅⟶ℝ)
9	1, 8	mpbir 231	. . 3 ⊢ 𝐹:𝑍⟶ℝ
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
11		climrel 15434	. . . . 5 ⊢ Rel ⇝
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ℂ → Rel ⇝ )
13		0cnv 45713	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ ℂ → ∅ ⇝ ∅)
14	2, 13	eqbrtrid 5137	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ ∅)
15		releldm 5897	. . . 4 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ 𝐹 ⇝ ∅) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
16	12, 14, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ℂ → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
17	16	adantr 480	. 2 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
18	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) → ∅ ⇝ ∅)
19	18	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) → ∅ ⇝ ∅)
20		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ∅ ⇝ ∅)
21	2	fveq2i 6843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘∅)
22		limsup0 45665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lim sup‘∅) = -∞
23	21, 22	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (lim sup‘𝐹) = -∞
24	2, 23	breq12i 5111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ↔ ∅ ⇝ -∞)
25	24	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) → ∅ ⇝ -∞)
26	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ∅ ⇝ -∞)
27		climuni 15494	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ⇝ ∅ ∧ ∅ ⇝ -∞) → ∅ = -∞)
28	20, 26, 27	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ∅ = -∞)
29	28	adantll 714	. . . 4 ⊢ ((((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ∅ = -∞)
30		nelneq 2852	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → ¬ ∅ = -∞)
31	30	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ ((((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) ∧ ∅ ⇝ ∅) → ¬ ∅ = -∞)
32	29, 31	pm2.65da 816	. . 3 ⊢ (((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) → ¬ ∅ ⇝ ∅)
33	19, 32	pm2.65da 816	. 2 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → ¬ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
34	10, 17, 33	3jca 1128	1 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → (𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4292   class class class wbr 5102  dom cdm 5631  Rel wrel 5636  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  ℂcc 11042  ℝcr 11043  -∞cmnf 11182  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  lim supclsp 15412   ⇝ cli 15426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430

This theorem is referenced by: (None)