MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqreuopnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqreuopnn 26827
Description: There exists a unique decomposition of a prime of the form 4𝑘 + 1 as a sum of squares of two positive integers. Ordered pair variant of 2sqreunn 26821. (Contributed by AV, 2-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
2sqreuopnn ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑝 ∈ (ℕ × ℕ)((1st𝑝) ≤ (2nd𝑝) ∧ (((1st𝑝)↑2) + ((2nd𝑝)↑2)) = 𝑃))
Distinct variable group:   𝑃,𝑝

Proof of Theorem 2sqreuopnn
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biid 261 . . 3 ((𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
212sqreunn 26821 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ ℕ (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
3 fveq2 6847 . . . . . 6 (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (1st𝑝) = (1st ‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
4 fveq2 6847 . . . . . 6 (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (2nd𝑝) = (2nd ‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
53, 4breq12d 5123 . . . . 5 (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((1st𝑝) ≤ (2nd𝑝) ↔ (1st ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ≤ (2nd ‘⟨𝑎, 𝑏⟩)))
6 vex 3452 . . . . . . 7 𝑎 ∈ V
7 vex 3452 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
86, 7op1st 7934 . . . . . 6 (1st ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = 𝑎
96, 7op2nd 7935 . . . . . 6 (2nd ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = 𝑏
108, 9breq12i 5119 . . . . 5 ((1st ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ≤ (2nd ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ↔ 𝑎𝑏)
115, 10bitrdi 287 . . . 4 (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((1st𝑝) ≤ (2nd𝑝) ↔ 𝑎𝑏))
126, 7op1std 7936 . . . . . . 7 (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (1st𝑝) = 𝑎)
1312oveq1d 7377 . . . . . 6 (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((1st𝑝)↑2) = (𝑎↑2))
146, 7op2ndd 7937 . . . . . . 7 (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (2nd𝑝) = 𝑏)
1514oveq1d 7377 . . . . . 6 (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((2nd𝑝)↑2) = (𝑏↑2))
1613, 15oveq12d 7380 . . . . 5 (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (((1st𝑝)↑2) + ((2nd𝑝)↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
1716eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((((1st𝑝)↑2) + ((2nd𝑝)↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
1811, 17anbi12d 632 . . 3 (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (((1st𝑝) ≤ (2nd𝑝) ∧ (((1st𝑝)↑2) + ((2nd𝑝)↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
1918opreu2reurex 6251 . 2 (∃!𝑝 ∈ (ℕ × ℕ)((1st𝑝) ≤ (2nd𝑝) ∧ (((1st𝑝)↑2) + ((2nd𝑝)↑2)) = 𝑃) ↔ (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ ℕ (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
202, 19sylibr 233 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑝 ∈ (ℕ × ℕ)((1st𝑝) ≤ (2nd𝑝) ∧ (((1st𝑝)↑2) + ((2nd𝑝)↑2)) = 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3074  ∃!wreu 3354  cop 4597   class class class wbr 5110   × cxp 5636  cfv 6501  (class class class)co 7362  1st c1st 7924  2nd c2nd 7925  1c1 11059   + caddc 11061  cle 11197  cn 12160  2c2 12215  4c4 12217   mod cmo 13781  cexp 13974  cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-phi 16645  df-pc 16716  df-gz 16809  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-prds 17336  df-pws 17338  df-imas 17397  df-qus 17398  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-srg 19925  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-rnghom 20155  df-drng 20201  df-field 20202  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-nzr 20744  df-rlreg 20769  df-domn 20770  df-idom 20771  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923  df-assa 21275  df-asp 21276  df-ascl 21277  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-evls 21498  df-evl 21499  df-psr1 21567  df-vr1 21568  df-ply1 21569  df-coe1 21570  df-evl1 21698  df-mdeg 25433  df-deg1 25434  df-mon1 25511  df-uc1p 25512  df-q1p 25513  df-r1p 25514  df-lgs 26659
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator