Theorem 2sqreuopnn 27447

Description: There exists a unique decomposition of a prime of the form 4𝑘 + 1 as a sum of squares of two positive integers. Ordered pair variant of 2sqreunn 27441. (Contributed by AV, 2-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2sqreuopnn	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑝 ∈ (ℕ × ℕ)((1st ‘𝑝) ≤ (2nd ‘𝑝) ∧ (((1st ‘𝑝)↑2) + ((2nd ‘𝑝)↑2)) = 𝑃))

Distinct variable group:   𝑃,𝑝

Proof of Theorem 2sqreuopnn

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biid 261	. . 3 ⊢ ((𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
2	1	2sqreunn 27441	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ ℕ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
3		fveq2 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (1st ‘𝑝) = (1st ‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
4		fveq2 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (2nd ‘𝑝) = (2nd ‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
5	3, 4	breq12d 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((1st ‘𝑝) ≤ (2nd ‘𝑝) ↔ (1st ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ≤ (2nd ‘⟨𝑎, 𝑏⟩)))
6		vex 3446	. . . . . . 7 ⊢ 𝑎 ∈ V
7		vex 3446	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
8	6, 7	op1st 7953	. . . . . 6 ⊢ (1st ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = 𝑎
9	6, 7	op2nd 7954	. . . . . 6 ⊢ (2nd ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = 𝑏
10	8, 9	breq12i 5109	. . . . 5 ⊢ ((1st ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ≤ (2nd ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ↔ 𝑎 ≤ 𝑏)
11	5, 10	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((1st ‘𝑝) ≤ (2nd ‘𝑝) ↔ 𝑎 ≤ 𝑏))
12	6, 7	op1std 7955	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (1st ‘𝑝) = 𝑎)
13	12	oveq1d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((1st ‘𝑝)↑2) = (𝑎↑2))
14	6, 7	op2ndd 7956	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (2nd ‘𝑝) = 𝑏)
15	14	oveq1d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((2nd ‘𝑝)↑2) = (𝑏↑2))
16	13, 15	oveq12d 7388	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (((1st ‘𝑝)↑2) + ((2nd ‘𝑝)↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
17	16	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((((1st ‘𝑝)↑2) + ((2nd ‘𝑝)↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
18	11, 17	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (((1st ‘𝑝) ≤ (2nd ‘𝑝) ∧ (((1st ‘𝑝)↑2) + ((2nd ‘𝑝)↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
19	18	opreu2reurex 6262	. 2 ⊢ (∃!𝑝 ∈ (ℕ × ℕ)((1st ‘𝑝) ≤ (2nd ‘𝑝) ∧ (((1st ‘𝑝)↑2) + ((2nd ‘𝑝)↑2)) = 𝑃) ↔ (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ ℕ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
20	2, 19	sylibr 234	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑝 ∈ (ℕ × ℕ)((1st ‘𝑝) ≤ (2nd ‘𝑝) ∧ (((1st ‘𝑝)↑2) + ((2nd ‘𝑝)↑2)) = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  ∃!wreu 3350  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100   × cxp 5632  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  1^st c1st 7943  2^nd c2nd 7944  1c1 11041   + caddc 11043   ≤ cle 11181  ℕcn 12159  2c2 12214  4c4 12216   mod cmo 13803  ↑cexp 13998  ℙcprime 16612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118  ax-addf 11119  ax-mulf 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-ofr 7635  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-tpos 8180  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-oadd 8413  df-er 8647  df-ec 8649  df-qs 8653  df-map 8779  df-pm 8780  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-sup 9359  df-inf 9360  df-oi 9429  df-dju 9827  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-xnn0 12489  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-q 12876  df-rp 12920  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-fl 13726  df-mod 13804  df-seq 13939  df-exp 13999  df-hash 14268  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-dvds 16194  df-gcd 16436  df-prm 16613  df-phi 16707  df-pc 16779  df-gz 16872  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-starv 17206  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-unif 17214  df-hom 17215  df-cco 17216  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-prds 17381  df-pws 17383  df-imas 17443  df-qus 17444  df-mre 17519  df-mrc 17520  df-acs 17522  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-mhm 18722  df-submnd 18723  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-sbg 18885  df-mulg 19015  df-subg 19070  df-nsg 19071  df-eqg 19072  df-ghm 19159  df-cntz 19263  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-rng 20105  df-ur 20134  df-srg 20139  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20290  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-rhm 20425  df-nzr 20463  df-subrng 20496  df-subrg 20520  df-rlreg 20644  df-domn 20645  df-idom 20646  df-drng 20681  df-field 20682  df-lmod 20830  df-lss 20900  df-lsp 20940  df-sra 21142  df-rgmod 21143  df-lidl 21180  df-rsp 21181  df-2idl 21222  df-cnfld 21327  df-zring 21419  df-zrh 21475  df-zn 21478  df-assa 21825  df-asp 21826  df-ascl 21827  df-psr 21882  df-mvr 21883  df-mpl 21884  df-opsr 21886  df-evls 22046  df-evl 22047  df-psr1 22137  df-vr1 22138  df-ply1 22139  df-coe1 22140  df-evl1 22277  df-mdeg 26033  df-deg1 26034  df-mon1 26109  df-uc1p 26110  df-q1p 26111  df-r1p 26112  df-lgs 27279

This theorem is referenced by: (None)