Theorem leneg 10810

Description: Negative of both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 12-Sep-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
leneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐴))

Proof of Theorem leneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10321	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		lesub2 10802	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (0 − 𝐵) ≤ (0 − 𝐴)))
3	1, 2	mp3an3 1567	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (0 − 𝐵) ≤ (0 − 𝐴)))
4		df-neg 10548	. . 3 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
5		df-neg 10548	. . 3 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
6	4, 5	breq12i 4846	. 2 ⊢ (-𝐵 ≤ -𝐴 ↔ (0 − 𝐵) ≤ (0 − 𝐴))
7	3, 6	syl6bbr 280	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   ∈ wcel 2155   class class class wbr 4837  (class class class)co 6868  ℝcr 10214  0cc0 10215   ≤ cle 10354   − cmin 10545  -cneg 10546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-resscn 10272  ax-1cn 10273  ax-icn 10274  ax-addcl 10275  ax-addrcl 10276  ax-mulcl 10277  ax-mulrcl 10278  ax-mulcom 10279  ax-addass 10280  ax-mulass 10281  ax-distr 10282  ax-i2m1 10283  ax-1ne0 10284  ax-1rid 10285  ax-rnegex 10286  ax-rrecex 10287  ax-cnre 10288  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290  ax-pre-ltadd 10291

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-op 4371  df-uni 4624  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-id 5213  df-po 5226  df-so 5227  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-er 7973  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-sub 10547  df-neg 10548

This theorem is referenced by:  lenegcon1  10811  lenegcon2  10812  le0neg1  10815  le0neg2  10816  leord2  10837  lenegi  10852  lenegd  10885  infm3  11261  uzneg  11917  zmax  11998  rebtwnz  12000  iccneg  12508  aaliou3lem2  24306  logreclem  24708  atanlogsublem  24850  emcllem7  24936  ltflcei  33704  smfinflem  41499