Theorem 2sqreuopnnltb 27526

Description: There exists a unique decomposition of a prime as a sum of squares of two different positive integers iff the prime is of the form 4𝑘 + 1. Ordered pair variant of 2sqreunnltb 27520. (Contributed by AV, 3-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2sqreuopnnltb	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 ↔ ∃!𝑝 ∈ (ℕ × ℕ)((1st ‘𝑝) < (2nd ‘𝑝) ∧ (((1st ‘𝑝)↑2) + ((2nd ‘𝑝)↑2)) = 𝑃)))

Distinct variable group:   𝑃,𝑝

Proof of Theorem 2sqreuopnnltb

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biid 261	. . 3 ⊢ ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
2	1	2sqreunnltb 27520	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 ↔ (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ ℕ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))))
3		fveq2 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (1st ‘𝑝) = (1st ‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
4		fveq2 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (2nd ‘𝑝) = (2nd ‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
5	3, 4	breq12d 5161	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((1st ‘𝑝) < (2nd ‘𝑝) ↔ (1st ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) < (2nd ‘⟨𝑎, 𝑏⟩)))
6		vex 3482	. . . . . . 7 ⊢ 𝑎 ∈ V
7		vex 3482	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
8	6, 7	op1st 8021	. . . . . 6 ⊢ (1st ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = 𝑎
9	6, 7	op2nd 8022	. . . . . 6 ⊢ (2nd ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = 𝑏
10	8, 9	breq12i 5157	. . . . 5 ⊢ ((1st ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) < (2nd ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ↔ 𝑎 < 𝑏)
11	5, 10	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((1st ‘𝑝) < (2nd ‘𝑝) ↔ 𝑎 < 𝑏))
12	6, 7	op1std 8023	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (1st ‘𝑝) = 𝑎)
13	12	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((1st ‘𝑝)↑2) = (𝑎↑2))
14	6, 7	op2ndd 8024	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (2nd ‘𝑝) = 𝑏)
15	14	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((2nd ‘𝑝)↑2) = (𝑏↑2))
16	13, 15	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (((1st ‘𝑝)↑2) + ((2nd ‘𝑝)↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
17	16	eqeq1d 2737	. . . 4 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((((1st ‘𝑝)↑2) + ((2nd ‘𝑝)↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
18	11, 17	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (((1st ‘𝑝) < (2nd ‘𝑝) ∧ (((1st ‘𝑝)↑2) + ((2nd ‘𝑝)↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
19	18	opreu2reurex 6316	. 2 ⊢ (∃!𝑝 ∈ (ℕ × ℕ)((1st ‘𝑝) < (2nd ‘𝑝) ∧ (((1st ‘𝑝)↑2) + ((2nd ‘𝑝)↑2)) = 𝑃) ↔ (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ ℕ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
20	2, 19	bitr4di 289	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 ↔ ∃!𝑝 ∈ (ℕ × ℕ)((1st ‘𝑝) < (2nd ‘𝑝) ∧ (((1st ‘𝑝)↑2) + ((2nd ‘𝑝)↑2)) = 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068  ∃!wreu 3376  ⟨cop 4637   class class class wbr 5148   × cxp 5687  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  1^st c1st 8011  2^nd c2nd 8012  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  ℕcn 12264  2c2 12319  4c4 12321   mod cmo 13906  ↑cexp 14099  ℙcprime 16705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-phi 16800  df-pc 16871  df-gz 16964  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-nzr 20530  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-rlreg 20711  df-domn 20712  df-idom 20713  df-drng 20748  df-field 20749  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-2idl 21278  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-zn 21535  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-evls 22116  df-evl 22117  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199  df-coe1 22200  df-evl1 22336  df-mdeg 26109  df-deg1 26110  df-mon1 26185  df-uc1p 26186  df-q1p 26187  df-r1p 26188  df-lgs 27354

This theorem is referenced by:  2sqreuopb  27527