MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqreuopnnltb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqreuopnnltb 26042
Description: There exists a unique decomposition of a prime as a sum of squares of two different positive integers iff the prime is of the form 4𝑘 + 1. Ordered pair variant of 2sqreunnltb 26036. (Contributed by AV, 3-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
2sqreuopnnltb (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 ↔ ∃!𝑝 ∈ (ℕ × ℕ)((1st𝑝) < (2nd𝑝) ∧ (((1st𝑝)↑2) + ((2nd𝑝)↑2)) = 𝑃)))
Distinct variable group:   𝑃,𝑝

Proof of Theorem 2sqreuopnnltb
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biid 264 . . 3 ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
212sqreunnltb 26036 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 ↔ (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ ℕ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))))
3 fveq2 6653 . . . . . 6 (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (1st𝑝) = (1st ‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
4 fveq2 6653 . . . . . 6 (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (2nd𝑝) = (2nd ‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
53, 4breq12d 5062 . . . . 5 (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((1st𝑝) < (2nd𝑝) ↔ (1st ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) < (2nd ‘⟨𝑎, 𝑏⟩)))
6 vex 3482 . . . . . . 7 𝑎 ∈ V
7 vex 3482 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
86, 7op1st 7682 . . . . . 6 (1st ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = 𝑎
96, 7op2nd 7683 . . . . . 6 (2nd ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = 𝑏
108, 9breq12i 5058 . . . . 5 ((1st ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) < (2nd ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ↔ 𝑎 < 𝑏)
115, 10syl6bb 290 . . . 4 (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((1st𝑝) < (2nd𝑝) ↔ 𝑎 < 𝑏))
126, 7op1std 7684 . . . . . . 7 (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (1st𝑝) = 𝑎)
1312oveq1d 7155 . . . . . 6 (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((1st𝑝)↑2) = (𝑎↑2))
146, 7op2ndd 7685 . . . . . . 7 (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (2nd𝑝) = 𝑏)
1514oveq1d 7155 . . . . . 6 (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((2nd𝑝)↑2) = (𝑏↑2))
1613, 15oveq12d 7158 . . . . 5 (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (((1st𝑝)↑2) + ((2nd𝑝)↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
1716eqeq1d 2826 . . . 4 (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((((1st𝑝)↑2) + ((2nd𝑝)↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
1811, 17anbi12d 633 . . 3 (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (((1st𝑝) < (2nd𝑝) ∧ (((1st𝑝)↑2) + ((2nd𝑝)↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
1918opreu2reurex 6128 . 2 (∃!𝑝 ∈ (ℕ × ℕ)((1st𝑝) < (2nd𝑝) ∧ (((1st𝑝)↑2) + ((2nd𝑝)↑2)) = 𝑃) ↔ (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ ℕ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
202, 19syl6bbr 292 1 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 ↔ ∃!𝑝 ∈ (ℕ × ℕ)((1st𝑝) < (2nd𝑝) ∧ (((1st𝑝)↑2) + ((2nd𝑝)↑2)) = 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wrex 3133  ∃!wreu 3134  cop 4554   class class class wbr 5049   × cxp 5536  cfv 6338  (class class class)co 7140  1st c1st 7672  2nd c2nd 7673  1c1 10525   + caddc 10527   < clt 10662  cn 11625  2c2 11680  4c4 11682   mod cmo 13232  cexp 13425  cprime 16004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601  ax-pre-sup 10602  ax-addf 10603  ax-mulf 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-iin 4905  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-se 5498  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-isom 6347  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-ofr 7395  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7816  df-tpos 7877  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-2o 8088  df-oadd 8091  df-er 8274  df-ec 8276  df-qs 8280  df-map 8393  df-pm 8394  df-ixp 8447  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-fsupp 8820  df-sup 8892  df-inf 8893  df-oi 8960  df-dju 9316  df-card 9354  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-div 11285  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-dvds 15599  df-gcd 15833  df-prm 16005  df-phi 16092  df-pc 16163  df-gz 16255  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-prds 16712  df-pws 16714  df-imas 16772  df-qus 16773  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-mulg 18216  df-subg 18267  df-nsg 18268  df-eqg 18269  df-ghm 18347  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-srg 19247  df-ring 19290  df-cring 19291  df-oppr 19364  df-dvdsr 19382  df-unit 19383  df-invr 19413  df-dvr 19424  df-rnghom 19458  df-drng 19492  df-field 19493  df-subrg 19521  df-lmod 19624  df-lss 19692  df-lsp 19732  df-sra 19932  df-rgmod 19933  df-lidl 19934  df-rsp 19935  df-2idl 19993  df-nzr 20019  df-rlreg 20044  df-domn 20045  df-idom 20046  df-assa 20073  df-asp 20074  df-ascl 20075  df-psr 20124  df-mvr 20125  df-mpl 20126  df-opsr 20128  df-evls 20274  df-evl 20275  df-psr1 20336  df-vr1 20337  df-ply1 20338  df-coe1 20339  df-evl1 20467  df-cnfld 20534  df-zring 20606  df-zrh 20639  df-zn 20642  df-mdeg 24647  df-deg1 24648  df-mon1 24722  df-uc1p 24723  df-q1p 24724  df-r1p 24725  df-lgs 25870
This theorem is referenced by:  2sqreuopb  26043
  Copyright terms: Public domain W3C validator