Theorem 2ap1caineq 42584

Description: Inequality for Theorem 6.6 for AKS. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
2ap1caineq.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2ap1caineq.2	⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
2ap1caineq	⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) < (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))

Proof of Theorem 2ap1caineq

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7374	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 2 → (𝑗 + 1) = (2 + 1))
2	1	oveq2d 7383	. . 3 ⊢ (𝑗 = 2 → (2↑(𝑗 + 1)) = (2↑(2 + 1)))
3		oveq2 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 2 → (2 · 𝑗) = (2 · 2))
4	3	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 2 → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 2) + 1))
5		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 2 → 𝑗 = 2)
6	4, 5	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ (𝑗 = 2 → (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) = (((2 · 2) + 1)C2))
7	2, 6	breq12d 5098	. 2 ⊢ (𝑗 = 2 → ((2↑(𝑗 + 1)) < (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) ↔ (2↑(2 + 1)) < (((2 · 2) + 1)C2)))
8		oveq1 7374	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
9	8	oveq2d 7383	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (2↑(𝑗 + 1)) = (2↑(𝑘 + 1)))
10		oveq2 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (2 · 𝑗) = (2 · 𝑘))
11	10	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
12		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝑗 = 𝑘)
13	11, 12	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) = (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘))
14	9, 13	breq12d 5098	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((2↑(𝑗 + 1)) < (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)))
15		oveq1 7374	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 + 1) + 1))
16	15	oveq2d 7383	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (2↑(𝑗 + 1)) = (2↑((𝑘 + 1) + 1)))
17		oveq2 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (2 · 𝑗) = (2 · (𝑘 + 1)))
18	17	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · (𝑘 + 1)) + 1))
19		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → 𝑗 = (𝑘 + 1))
20	18, 19	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) = (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)))
21	16, 20	breq12d 5098	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((2↑(𝑗 + 1)) < (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) ↔ (2↑((𝑘 + 1) + 1)) < (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1))))
22		oveq1 7374	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 + 1) = (𝑁 + 1))
23	22	oveq2d 7383	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (2↑(𝑗 + 1)) = (2↑(𝑁 + 1)))
24		oveq2 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (2 · 𝑗) = (2 · 𝑁))
25	24	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
26		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → 𝑗 = 𝑁)
27	25, 26	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
28	23, 27	breq12d 5098	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((2↑(𝑗 + 1)) < (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) < (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
29		8lt10 12776	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
30		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ 8 = 8
31		cu2 14162	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
32	30, 31	eqtr4i 2762	. . . . . 6 ⊢ 8 = (2↑3)
33		5bc2eq10 42581	. . . . . . 7 ⊢ (5C2) = ;10
34	33	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ ;10 = (5C2)
35	32, 34	breq12i 5094	. . . . 5 ⊢ (8 < ;10 ↔ (2↑3) < (5C2))
36	29, 35	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (2↑3) < (5C2)
37		df-3 12245	. . . . . 6 ⊢ 3 = (2 + 1)
38	37	oveq2i 7378	. . . . 5 ⊢ (2↑3) = (2↑(2 + 1))
39		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ 5 = 5
40		2t2e4 12340	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
41	40	oveq1i 7377	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
42		4p1e5 12322	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
43	41, 42	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 1) = 5
44	39, 43	eqtr4i 2762	. . . . . 6 ⊢ 5 = ((2 · 2) + 1)
45	44	oveq1i 7377	. . . . 5 ⊢ (5C2) = (((2 · 2) + 1)C2)
46	38, 45	breq12i 5094	. . . 4 ⊢ ((2↑3) < (5C2) ↔ (2↑(2 + 1)) < (((2 · 2) + 1)C2))
47	36, 46	mpbi 230	. . 3 ⊢ (2↑(2 + 1)) < (((2 · 2) + 1)C2)
48	47	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑(2 + 1)) < (((2 · 2) + 1)C2))
49		2re 12255	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
50	49	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 2 ∈ ℝ)
51		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℤ)
52		0red 11147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 ∈ ℝ)
53	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ∈ ℝ)
54	51	zred 12633	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
55		2pos 12284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 < 2
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < 2)
57		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ≤ 𝑘)
58	52, 53, 54, 56, 57	ltletrd 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < 𝑘)
59	51, 58	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑘))
60		elnnz 12534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑘))
61	59, 60	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
62		nnnn0 12444	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ0)
64	63	nn0red 12499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
65	52, 53, 64, 56, 57	ltletrd 11306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < 𝑘)
66	51, 65	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑘))
67	66, 60	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
68	67	nnred 12189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
69	68	3ad2ant3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
70	50, 69	remulcld 11175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
71		3re 12261	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
72	71	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 3 ∈ ℝ)
73	70, 72	readdcld 11174	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → ((2 · 𝑘) + 3) ∈ ℝ)
74	69, 50	readdcld 11174	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (𝑘 + 2) ∈ ℝ)
75	68, 53	readdcld 11174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 + 2) ∈ ℝ)
76	67	nngt0d 12226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < 𝑘)
77		2rp 12947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ+
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ∈ ℝ+)
79	68, 78	ltaddrpd 13019	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 < (𝑘 + 2))
80	52, 68, 75, 76, 79	lttrd 11307	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < (𝑘 + 2))
81	52, 80	ltned 11282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 ≠ (𝑘 + 2))
82	81	necomd 2987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 + 2) ≠ 0)
83	82	3ad2ant3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (𝑘 + 2) ≠ 0)
84	73, 74, 83	redivcld 11983	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)) ∈ ℝ)
85	50, 84	remulcld 11175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) ∈ ℝ)
86		1nn0 12453	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
87	86	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 1 ∈ ℕ0)
88	63, 87	nn0addcld 12502	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
89	53, 88	reexpcld 14125	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
90	89	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
91		2nn0 12454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
92	91	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ∈ ℕ0)
93	92, 63	nn0mulcld 12503	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
94	93, 87	nn0addcld 12502	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
95		bccl 14284	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
96	94, 51, 95	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
97	96	nn0red 12499	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℝ)
98	97	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℝ)
99		0le2 12283	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
100	99	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 0 ≤ 2)
101		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = 2
102		2t1e2 12339	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
103	101, 102	eqtr4i 2762	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (2 · 1)
104	103	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 = (2 · 1))
105		1red 11145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 1 ∈ ℝ)
106	53, 68	remulcld 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
107	71	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 3 ∈ ℝ)
108	106, 107	readdcld 11174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2 · 𝑘) + 3) ∈ ℝ)
109	108, 75, 82	redivcld 11983	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)) ∈ ℝ)
110		nnrp 12954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
111	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
112	110, 111	rpaddcld 13001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 2) ∈ ℝ+)
113	112	rpcnd 12988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 2) ∈ ℂ)
114	113	mulridd 11162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 + 2) · 1) = (𝑘 + 2))
115		nnre 12181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
116	49	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
117	116, 115	remulcld 11175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
118	71	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ)
119	110	rpge0d 12990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑘)
120		1le2 12385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≤ 2
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 2)
122	115, 116, 119, 121	lemulge12d 12094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≤ (2 · 𝑘))
123		2lt3 12348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 3
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 < 3)
125	115, 116, 117, 118, 122, 124	leltaddd 11772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 2) < ((2 · 𝑘) + 3))
126	114, 125	eqbrtrd 5107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 + 2) · 1) < ((2 · 𝑘) + 3))
127		1red 11145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
128	117, 118	readdcld 11174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 3) ∈ ℝ)
129	127, 128, 112	ltmuldiv2d 13034	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑘 + 2) · 1) < ((2 · 𝑘) + 3) ↔ 1 < (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))))
130	126, 129	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 < (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)))
131	67, 130	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 1 < (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)))
132	105, 109, 78, 131	ltmul2dd 13042	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · 1) < (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))))
133	104, 132	eqbrtrd 5107	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 < (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))))
134	133	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 2 < (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))))
135	99	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 ≤ 2)
136	53, 88, 135	expge0d 14126	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 ≤ (2↑(𝑘 + 1)))
137	136	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 0 ≤ (2↑(𝑘 + 1)))
138		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘))
139	50, 85, 90, 98, 100, 134, 137, 138	ltmul12ad 12097	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2 · (2↑(𝑘 + 1))) < ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)))
140		2cnd 12259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ∈ ℂ)
141	140, 87, 88	expaddd 14110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑((𝑘 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑘 + 1)) · (2↑1)))
142	140, 88	expcld 14108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
143	140, 87	expcld 14108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑1) ∈ ℂ)
144	142, 143	mulcomd 11166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2↑(𝑘 + 1)) · (2↑1)) = ((2↑1) · (2↑(𝑘 + 1))))
145	140	exp1d 14103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑1) = 2)
146	145	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2↑1) · (2↑(𝑘 + 1))) = (2 · (2↑(𝑘 + 1))))
147		eqidd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · (2↑(𝑘 + 1))) = (2 · (2↑(𝑘 + 1))))
148	144, 146, 147	3eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2↑(𝑘 + 1)) · (2↑1)) = (2 · (2↑(𝑘 + 1))))
149	141, 148	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑((𝑘 + 1) + 1)) = (2 · (2↑(𝑘 + 1))))
150	149	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · (2↑(𝑘 + 1))) = (2↑((𝑘 + 1) + 1)))
151	150	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2 · (2↑(𝑘 + 1))) = (2↑((𝑘 + 1) + 1)))
152	63	2np3bcnp1 42583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)) = ((((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) · (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)))))
153	96	nn0cnd 12500	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℂ)
154	67	nncnd 12190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℂ)
155	140, 154	mulcld 11165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
156		3cn 12262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
157	156	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 3 ∈ ℂ)
158	155, 157	addcld 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2 · 𝑘) + 3) ∈ ℂ)
159	154, 140	addcld 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 + 2) ∈ ℂ)
160	158, 159, 82	divcld 11931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)) ∈ ℂ)
161	140, 160	mulcld 11165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) ∈ ℂ)
162	153, 161	mulcomd 11166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) · (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)))) = ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)))
163	152, 162	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)) = ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)))
164	163	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)) = (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)))
165	164	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)) = (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)))
166	151, 165	breq12d 5098	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → ((2 · (2↑(𝑘 + 1))) < ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)) ↔ (2↑((𝑘 + 1) + 1)) < (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1))))
167	139, 166	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2↑((𝑘 + 1) + 1)) < (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)))
168		2z 12559	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
169	168	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
170		2ap1caineq.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
171		2ap1caineq.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
172	7, 14, 21, 28, 48, 167, 169, 170, 171	uzindd 42417	1 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) < (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180   / cdiv 11807  ℕcn 12174  2c2 12236  3c3 12237  4c4 12238  5c5 12239  8c8 12242  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ;cdc 12644  ℝ⁺crp 12942  ↑cexp 14023  Ccbc 14264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265

This theorem is referenced by:  aks6d1c7lem1  42619