Theorem 2ap1caineq 39778

Description: Inequality for Theorem 6.6 for AKS. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
2ap1caineq.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2ap1caineq.2	⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
2ap1caineq	⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) < (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))

Proof of Theorem 2ap1caineq

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7209	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 2 → (𝑗 + 1) = (2 + 1))
2	1	oveq2d 7218	. . 3 ⊢ (𝑗 = 2 → (2↑(𝑗 + 1)) = (2↑(2 + 1)))
3		oveq2 7210	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 2 → (2 · 𝑗) = (2 · 2))
4	3	oveq1d 7217	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 2 → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 2) + 1))
5		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 2 → 𝑗 = 2)
6	4, 5	oveq12d 7220	. . 3 ⊢ (𝑗 = 2 → (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) = (((2 · 2) + 1)C2))
7	2, 6	breq12d 5056	. 2 ⊢ (𝑗 = 2 → ((2↑(𝑗 + 1)) < (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) ↔ (2↑(2 + 1)) < (((2 · 2) + 1)C2)))
8		oveq1 7209	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
9	8	oveq2d 7218	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (2↑(𝑗 + 1)) = (2↑(𝑘 + 1)))
10		oveq2 7210	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (2 · 𝑗) = (2 · 𝑘))
11	10	oveq1d 7217	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
12		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝑗 = 𝑘)
13	11, 12	oveq12d 7220	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) = (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘))
14	9, 13	breq12d 5056	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((2↑(𝑗 + 1)) < (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)))
15		oveq1 7209	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 + 1) + 1))
16	15	oveq2d 7218	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (2↑(𝑗 + 1)) = (2↑((𝑘 + 1) + 1)))
17		oveq2 7210	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (2 · 𝑗) = (2 · (𝑘 + 1)))
18	17	oveq1d 7217	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · (𝑘 + 1)) + 1))
19		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → 𝑗 = (𝑘 + 1))
20	18, 19	oveq12d 7220	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) = (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)))
21	16, 20	breq12d 5056	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((2↑(𝑗 + 1)) < (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) ↔ (2↑((𝑘 + 1) + 1)) < (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1))))
22		oveq1 7209	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 + 1) = (𝑁 + 1))
23	22	oveq2d 7218	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (2↑(𝑗 + 1)) = (2↑(𝑁 + 1)))
24		oveq2 7210	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (2 · 𝑗) = (2 · 𝑁))
25	24	oveq1d 7217	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
26		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → 𝑗 = 𝑁)
27	25, 26	oveq12d 7220	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
28	23, 27	breq12d 5056	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((2↑(𝑗 + 1)) < (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) < (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
29		8lt10 12408	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
30		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ 8 = 8
31		cu2 13752	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
32	30, 31	eqtr4i 2765	. . . . . 6 ⊢ 8 = (2↑3)
33		5bc2eq10 39775	. . . . . . 7 ⊢ (5C2) = ;10
34	33	eqcomi 2743	. . . . . 6 ⊢ ;10 = (5C2)
35	32, 34	breq12i 5052	. . . . 5 ⊢ (8 < ;10 ↔ (2↑3) < (5C2))
36	29, 35	mpbi 233	. . . 4 ⊢ (2↑3) < (5C2)
37		df-3 11877	. . . . . 6 ⊢ 3 = (2 + 1)
38	37	oveq2i 7213	. . . . 5 ⊢ (2↑3) = (2↑(2 + 1))
39		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ 5 = 5
40		2t2e4 11977	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
41	40	oveq1i 7212	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
42		4p1e5 11959	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
43	41, 42	eqtri 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 1) = 5
44	39, 43	eqtr4i 2765	. . . . . 6 ⊢ 5 = ((2 · 2) + 1)
45	44	oveq1i 7212	. . . . 5 ⊢ (5C2) = (((2 · 2) + 1)C2)
46	38, 45	breq12i 5052	. . . 4 ⊢ ((2↑3) < (5C2) ↔ (2↑(2 + 1)) < (((2 · 2) + 1)C2))
47	36, 46	mpbi 233	. . 3 ⊢ (2↑(2 + 1)) < (((2 · 2) + 1)C2)
48	47	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑(2 + 1)) < (((2 · 2) + 1)C2))
49		2re 11887	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
50	49	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 2 ∈ ℝ)
51		simpl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℤ)
52		0red 10819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 ∈ ℝ)
53	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ∈ ℝ)
54	51	zred 12265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
55		2pos 11916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 < 2
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < 2)
57		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ≤ 𝑘)
58	52, 53, 54, 56, 57	ltletrd 10975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < 𝑘)
59	51, 58	jca 515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑘))
60		elnnz 12169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑘))
61	59, 60	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
62		nnnn0 12080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ0)
64	63	nn0red 12134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
65	52, 53, 64, 56, 57	ltletrd 10975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < 𝑘)
66	51, 65	jca 515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑘))
67	66, 60	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
68	67	nnred 11828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
69	68	3ad2ant3 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
70	50, 69	remulcld 10846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
71		3re 11893	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
72	71	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 3 ∈ ℝ)
73	70, 72	readdcld 10845	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → ((2 · 𝑘) + 3) ∈ ℝ)
74	69, 50	readdcld 10845	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (𝑘 + 2) ∈ ℝ)
75	68, 53	readdcld 10845	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 + 2) ∈ ℝ)
76	67	nngt0d 11862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < 𝑘)
77		2rp 12574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ+
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ∈ ℝ+)
79	68, 78	ltaddrpd 12644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 < (𝑘 + 2))
80	52, 68, 75, 76, 79	lttrd 10976	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < (𝑘 + 2))
81	52, 80	ltned 10951	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 ≠ (𝑘 + 2))
82	81	necomd 2990	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 + 2) ≠ 0)
83	82	3ad2ant3 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (𝑘 + 2) ≠ 0)
84	73, 74, 83	redivcld 11643	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)) ∈ ℝ)
85	50, 84	remulcld 10846	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) ∈ ℝ)
86		1nn0 12089	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
87	86	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 1 ∈ ℕ0)
88	63, 87	nn0addcld 12137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
89	53, 88	reexpcld 13716	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
90	89	3ad2ant3 1137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
91		2nn0 12090	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
92	91	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ∈ ℕ0)
93	92, 63	nn0mulcld 12138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
94	93, 87	nn0addcld 12137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
95		bccl 13871	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
96	94, 51, 95	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
97	96	nn0red 12134	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℝ)
98	97	3ad2ant3 1137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℝ)
99		0le2 11915	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
100	99	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 0 ≤ 2)
101		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = 2
102		2t1e2 11976	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
103	101, 102	eqtr4i 2765	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (2 · 1)
104	103	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 = (2 · 1))
105		1red 10817	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 1 ∈ ℝ)
106	53, 68	remulcld 10846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
107	71	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 3 ∈ ℝ)
108	106, 107	readdcld 10845	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2 · 𝑘) + 3) ∈ ℝ)
109	108, 75, 82	redivcld 11643	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)) ∈ ℝ)
110		nnrp 12580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
111	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
112	110, 111	rpaddcld 12626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 2) ∈ ℝ+)
113	112	rpcnd 12613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 2) ∈ ℂ)
114	113	mulid1d 10833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 + 2) · 1) = (𝑘 + 2))
115		nnre 11820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
116	49	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
117	116, 115	remulcld 10846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
118	71	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ)
119	110	rpge0d 12615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑘)
120		1le2 12022	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≤ 2
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 2)
122	115, 116, 119, 121	lemulge12d 11753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≤ (2 · 𝑘))
123		2lt3 11985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 3
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 < 3)
125	115, 116, 117, 118, 122, 124	leltaddd 11437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 2) < ((2 · 𝑘) + 3))
126	114, 125	eqbrtrd 5065	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 + 2) · 1) < ((2 · 𝑘) + 3))
127		1red 10817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
128	117, 118	readdcld 10845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 3) ∈ ℝ)
129	127, 128, 112	ltmuldiv2d 12659	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑘 + 2) · 1) < ((2 · 𝑘) + 3) ↔ 1 < (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))))
130	126, 129	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 < (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)))
131	67, 130	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 1 < (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)))
132	105, 109, 78, 131	ltmul2dd 12667	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · 1) < (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))))
133	104, 132	eqbrtrd 5065	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 < (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))))
134	133	3ad2ant3 1137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 2 < (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))))
135	99	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 ≤ 2)
136	53, 88, 135	expge0d 13717	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 ≤ (2↑(𝑘 + 1)))
137	136	3ad2ant3 1137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 0 ≤ (2↑(𝑘 + 1)))
138		simp2 1139	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘))
139	50, 85, 90, 98, 100, 134, 137, 138	ltmul12ad 11756	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2 · (2↑(𝑘 + 1))) < ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)))
140		2cnd 11891	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ∈ ℂ)
141	140, 87, 88	expaddd 13701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑((𝑘 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑘 + 1)) · (2↑1)))
142	140, 88	expcld 13699	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
143	140, 87	expcld 13699	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑1) ∈ ℂ)
144	142, 143	mulcomd 10837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2↑(𝑘 + 1)) · (2↑1)) = ((2↑1) · (2↑(𝑘 + 1))))
145	140	exp1d 13694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑1) = 2)
146	145	oveq1d 7217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2↑1) · (2↑(𝑘 + 1))) = (2 · (2↑(𝑘 + 1))))
147		eqidd 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · (2↑(𝑘 + 1))) = (2 · (2↑(𝑘 + 1))))
148	144, 146, 147	3eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2↑(𝑘 + 1)) · (2↑1)) = (2 · (2↑(𝑘 + 1))))
149	141, 148	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑((𝑘 + 1) + 1)) = (2 · (2↑(𝑘 + 1))))
150	149	eqcomd 2740	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · (2↑(𝑘 + 1))) = (2↑((𝑘 + 1) + 1)))
151	150	3ad2ant3 1137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2 · (2↑(𝑘 + 1))) = (2↑((𝑘 + 1) + 1)))
152	63	2np3bcnp1 39777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)) = ((((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) · (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)))))
153	96	nn0cnd 12135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℂ)
154	67	nncnd 11829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℂ)
155	140, 154	mulcld 10836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
156		3cn 11894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
157	156	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 3 ∈ ℂ)
158	155, 157	addcld 10835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2 · 𝑘) + 3) ∈ ℂ)
159	154, 140	addcld 10835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 + 2) ∈ ℂ)
160	158, 159, 82	divcld 11591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)) ∈ ℂ)
161	140, 160	mulcld 10836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) ∈ ℂ)
162	153, 161	mulcomd 10837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) · (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)))) = ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)))
163	152, 162	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)) = ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)))
164	163	eqcomd 2740	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)) = (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)))
165	164	3ad2ant3 1137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)) = (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)))
166	151, 165	breq12d 5056	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → ((2 · (2↑(𝑘 + 1))) < ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)) ↔ (2↑((𝑘 + 1) + 1)) < (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1))))
167	139, 166	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2↑((𝑘 + 1) + 1)) < (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)))
168		2z 12192	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
169	168	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
170		2ap1caineq.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
171		2ap1caineq.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
172	7, 14, 21, 28, 48, 167, 169, 170, 171	uzindd 39676	1 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) < (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2935   class class class wbr 5043  (class class class)co 7202  ℂcc 10710  ℝcr 10711  0cc0 10712  1c1 10713   + caddc 10715   · cmul 10717   < clt 10850   ≤ cle 10851   / cdiv 11472  ℕcn 11813  2c2 11868  3c3 11869  4c4 11870  5c5 11871  8c8 11874  ℕ₀cn0 12073  ℤcz 12159  ;cdc 12276  ℝ⁺crp 12569  ↑cexp 13618  Ccbc 13851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-div 11473  df-nn 11814  df-2 11876  df-3 11877  df-4 11878  df-5 11879  df-6 11880  df-7 11881  df-8 11882  df-9 11883  df-n0 12074  df-z 12160  df-dec 12277  df-uz 12422  df-rp 12570  df-fz 13079  df-seq 13558  df-exp 13619  df-fac 13823  df-bc 13852

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