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Theorem 2ap1caineq 39340
 Description: Inequality for Theorem 6.6 for AKS. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
2ap1caineq.1 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2ap1caineq.2 (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
2ap1caineq (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) < (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))

Proof of Theorem 2ap1caineq
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7146 . . . 4 (𝑗 = 2 → (𝑗 + 1) = (2 + 1))
21oveq2d 7155 . . 3 (𝑗 = 2 → (2↑(𝑗 + 1)) = (2↑(2 + 1)))
3 oveq2 7147 . . . . 5 (𝑗 = 2 → (2 · 𝑗) = (2 · 2))
43oveq1d 7154 . . . 4 (𝑗 = 2 → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 2) + 1))
5 id 22 . . . 4 (𝑗 = 2 → 𝑗 = 2)
64, 5oveq12d 7157 . . 3 (𝑗 = 2 → (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) = (((2 · 2) + 1)C2))
72, 6breq12d 5046 . 2 (𝑗 = 2 → ((2↑(𝑗 + 1)) < (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) ↔ (2↑(2 + 1)) < (((2 · 2) + 1)C2)))
8 oveq1 7146 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
98oveq2d 7155 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → (2↑(𝑗 + 1)) = (2↑(𝑘 + 1)))
10 oveq2 7147 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (2 · 𝑗) = (2 · 𝑘))
1110oveq1d 7154 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
12 id 22 . . . 4 (𝑗 = 𝑘𝑗 = 𝑘)
1311, 12oveq12d 7157 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) = (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘))
149, 13breq12d 5046 . 2 (𝑗 = 𝑘 → ((2↑(𝑗 + 1)) < (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)))
15 oveq1 7146 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 + 1) + 1))
1615oveq2d 7155 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (2↑(𝑗 + 1)) = (2↑((𝑘 + 1) + 1)))
17 oveq2 7147 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (2 · 𝑗) = (2 · (𝑘 + 1)))
1817oveq1d 7154 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · (𝑘 + 1)) + 1))
19 id 22 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → 𝑗 = (𝑘 + 1))
2018, 19oveq12d 7157 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) = (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)))
2116, 20breq12d 5046 . 2 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((2↑(𝑗 + 1)) < (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) ↔ (2↑((𝑘 + 1) + 1)) < (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1))))
22 oveq1 7146 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 + 1) = (𝑁 + 1))
2322oveq2d 7155 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → (2↑(𝑗 + 1)) = (2↑(𝑁 + 1)))
24 oveq2 7147 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (2 · 𝑗) = (2 · 𝑁))
2524oveq1d 7154 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
26 id 22 . . . 4 (𝑗 = 𝑁𝑗 = 𝑁)
2725, 26oveq12d 7157 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
2823, 27breq12d 5046 . 2 (𝑗 = 𝑁 → ((2↑(𝑗 + 1)) < (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) < (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
29 8lt10 12222 . . . . 5 8 < 10
30 eqid 2801 . . . . . . 7 8 = 8
31 cu2 13563 . . . . . . 7 (2↑3) = 8
3230, 31eqtr4i 2827 . . . . . 6 8 = (2↑3)
33 5bc2eq10 39337 . . . . . . 7 (5C2) = 10
3433eqcomi 2810 . . . . . 6 10 = (5C2)
3532, 34breq12i 5042 . . . . 5 (8 < 10 ↔ (2↑3) < (5C2))
3629, 35mpbi 233 . . . 4 (2↑3) < (5C2)
37 df-3 11693 . . . . . 6 3 = (2 + 1)
3837oveq2i 7150 . . . . 5 (2↑3) = (2↑(2 + 1))
39 eqid 2801 . . . . . . 7 5 = 5
40 2t2e4 11793 . . . . . . . . 9 (2 · 2) = 4
4140oveq1i 7149 . . . . . . . 8 ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
42 4p1e5 11775 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
4341, 42eqtri 2824 . . . . . . 7 ((2 · 2) + 1) = 5
4439, 43eqtr4i 2827 . . . . . 6 5 = ((2 · 2) + 1)
4544oveq1i 7149 . . . . 5 (5C2) = (((2 · 2) + 1)C2)
4638, 45breq12i 5042 . . . 4 ((2↑3) < (5C2) ↔ (2↑(2 + 1)) < (((2 · 2) + 1)C2))
4736, 46mpbi 233 . . 3 (2↑(2 + 1)) < (((2 · 2) + 1)C2)
4847a1i 11 . 2 (𝜑 → (2↑(2 + 1)) < (((2 · 2) + 1)C2))
49 2re 11703 . . . . 5 2 ∈ ℝ
5049a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 2 ∈ ℝ)
51 simpl 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℤ)
52 0red 10637 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 ∈ ℝ)
5349a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ∈ ℝ)
5451zred 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
55 2pos 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 2
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < 2)
57 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ≤ 𝑘)
5852, 53, 54, 56, 57ltletrd 10793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < 𝑘)
5951, 58jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑘))
60 elnnz 11983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑘))
6159, 60sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
62 nnnn0 11896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6463nn0red 11948 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
6552, 53, 64, 56, 57ltletrd 10793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < 𝑘)
6651, 65jca 515 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑘))
6766, 60sylibr 237 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
6867nnred 11644 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
69683ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
7050, 69remulcld 10664 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
71 3re 11709 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
7271a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 3 ∈ ℝ)
7370, 72readdcld 10663 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → ((2 · 𝑘) + 3) ∈ ℝ)
7469, 50readdcld 10663 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (𝑘 + 2) ∈ ℝ)
7568, 53readdcld 10663 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 + 2) ∈ ℝ)
7667nngt0d 11678 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < 𝑘)
77 2rp 12386 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ+
7877a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ∈ ℝ+)
7968, 78ltaddrpd 12456 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 < (𝑘 + 2))
8052, 68, 75, 76, 79lttrd 10794 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < (𝑘 + 2))
8152, 80ltned 10769 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 ≠ (𝑘 + 2))
8281necomd 3045 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 + 2) ≠ 0)
83823ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (𝑘 + 2) ≠ 0)
8473, 74, 83redivcld 11461 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)) ∈ ℝ)
8550, 84remulcld 10664 . . . 4 ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) ∈ ℝ)
86 1nn0 11905 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
8786a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 1 ∈ ℕ0)
8863, 87nn0addcld 11951 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
8953, 88reexpcld 13527 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
90893ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
91 2nn0 11906 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
9291a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ∈ ℕ0)
9392, 63nn0mulcld 11952 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
9493, 87nn0addcld 11951 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
95 bccl 13682 . . . . . . 7 ((((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
9694, 51, 95syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
9796nn0red 11948 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℝ)
98973ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℝ)
99 0le2 11731 . . . . 5 0 ≤ 2
10099a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 0 ≤ 2)
101 eqid 2801 . . . . . . . 8 2 = 2
102 2t1e2 11792 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
103101, 102eqtr4i 2827 . . . . . . 7 2 = (2 · 1)
104103a1i 11 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 = (2 · 1))
105 1red 10635 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 1 ∈ ℝ)
10653, 68remulcld 10664 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
10771a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 3 ∈ ℝ)
108106, 107readdcld 10663 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2 · 𝑘) + 3) ∈ ℝ)
109108, 75, 82redivcld 11461 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)) ∈ ℝ)
110 nnrp 12392 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
11177a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
112110, 111rpaddcld 12438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 2) ∈ ℝ+)
113112rpcnd 12425 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 2) ∈ ℂ)
114113mulid1d 10651 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 + 2) · 1) = (𝑘 + 2))
115 nnre 11636 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
11649a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
117116, 115remulcld 10664 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
11871a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ)
119110rpge0d 12427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑘)
120 1le2 11838 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≤ 2
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 2)
122115, 116, 119, 121lemulge12d 11571 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≤ (2 · 𝑘))
123 2lt3 11801 . . . . . . . . . . . 12 2 < 3
124123a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 2 < 3)
125115, 116, 117, 118, 122, 124leltaddd 11255 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 2) < ((2 · 𝑘) + 3))
126114, 125eqbrtrd 5055 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 + 2) · 1) < ((2 · 𝑘) + 3))
127 1red 10635 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
128117, 118readdcld 10663 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 3) ∈ ℝ)
129127, 128, 112ltmuldiv2d 12471 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑘 + 2) · 1) < ((2 · 𝑘) + 3) ↔ 1 < (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))))
130126, 129mpbid 235 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 1 < (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)))
13167, 130syl 17 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 1 < (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)))
132105, 109, 78, 131ltmul2dd 12479 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · 1) < (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))))
133104, 132eqbrtrd 5055 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 < (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))))
1341333ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 2 < (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))))
13599a1i 11 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 ≤ 2)
13653, 88, 135expge0d 13528 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 ≤ (2↑(𝑘 + 1)))
1371363ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 0 ≤ (2↑(𝑘 + 1)))
138 simp2 1134 . . . 4 ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘))
13950, 85, 90, 98, 100, 134, 137, 138ltmul12ad 11574 . . 3 ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2 · (2↑(𝑘 + 1))) < ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)))
140 2cnd 11707 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ∈ ℂ)
141140, 87, 88expaddd 13512 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑((𝑘 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑘 + 1)) · (2↑1)))
142140, 88expcld 13510 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
143140, 87expcld 13510 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑1) ∈ ℂ)
144142, 143mulcomd 10655 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2↑(𝑘 + 1)) · (2↑1)) = ((2↑1) · (2↑(𝑘 + 1))))
145140exp1d 13505 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑1) = 2)
146145oveq1d 7154 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2↑1) · (2↑(𝑘 + 1))) = (2 · (2↑(𝑘 + 1))))
147 eqidd 2802 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · (2↑(𝑘 + 1))) = (2 · (2↑(𝑘 + 1))))
148144, 146, 1473eqtrd 2840 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2↑(𝑘 + 1)) · (2↑1)) = (2 · (2↑(𝑘 + 1))))
149141, 148eqtrd 2836 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑((𝑘 + 1) + 1)) = (2 · (2↑(𝑘 + 1))))
150149eqcomd 2807 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · (2↑(𝑘 + 1))) = (2↑((𝑘 + 1) + 1)))
1511503ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2 · (2↑(𝑘 + 1))) = (2↑((𝑘 + 1) + 1)))
152632np3bcnp1 39339 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)) = ((((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) · (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)))))
15396nn0cnd 11949 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℂ)
15467nncnd 11645 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℂ)
155140, 154mulcld 10654 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
156 3cn 11710 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
157156a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 3 ∈ ℂ)
158155, 157addcld 10653 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2 · 𝑘) + 3) ∈ ℂ)
159154, 140addcld 10653 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 + 2) ∈ ℂ)
160158, 159, 82divcld 11409 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)) ∈ ℂ)
161140, 160mulcld 10654 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) ∈ ℂ)
162153, 161mulcomd 10655 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) · (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)))) = ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)))
163152, 162eqtrd 2836 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)) = ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)))
164163eqcomd 2807 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)) = (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)))
1651643ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)) = (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)))
166151, 165breq12d 5046 . . 3 ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → ((2 · (2↑(𝑘 + 1))) < ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)) ↔ (2↑((𝑘 + 1) + 1)) < (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1))))
167139, 166mpbid 235 . 2 ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2↑((𝑘 + 1) + 1)) < (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)))
168 2z 12006 . . 3 2 ∈ ℤ
169168a1i 11 . 2 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
170 2ap1caineq.1 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
171 2ap1caineq.2 . 2 (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
1727, 14, 21, 28, 48, 167, 169, 170, 171uzindd 39257 1 (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) < (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668   ≤ cle 10669   / cdiv 11290  ℕcn 11629  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  5c5 11687  8c8 11690  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  ;cdc 12090  ℝ+crp 12381  ↑cexp 13429  Ccbc 13662 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663 This theorem is referenced by: (None)
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