Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2ap1caineq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2ap1caineq 40599
Description: Inequality for Theorem 6.6 for AKS. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
2ap1caineq.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2ap1caineq.2 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰ค ๐‘)
Assertion
Ref Expression
2ap1caineq (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) < (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘))

Proof of Theorem 2ap1caineq
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7365 . . . 4 (๐‘— = 2 โ†’ (๐‘— + 1) = (2 + 1))
21oveq2d 7374 . . 3 (๐‘— = 2 โ†’ (2โ†‘(๐‘— + 1)) = (2โ†‘(2 + 1)))
3 oveq2 7366 . . . . 5 (๐‘— = 2 โ†’ (2 ยท ๐‘—) = (2 ยท 2))
43oveq1d 7373 . . . 4 (๐‘— = 2 โ†’ ((2 ยท ๐‘—) + 1) = ((2 ยท 2) + 1))
5 id 22 . . . 4 (๐‘— = 2 โ†’ ๐‘— = 2)
64, 5oveq12d 7376 . . 3 (๐‘— = 2 โ†’ (((2 ยท ๐‘—) + 1)C๐‘—) = (((2 ยท 2) + 1)C2))
72, 6breq12d 5119 . 2 (๐‘— = 2 โ†’ ((2โ†‘(๐‘— + 1)) < (((2 ยท ๐‘—) + 1)C๐‘—) โ†” (2โ†‘(2 + 1)) < (((2 ยท 2) + 1)C2)))
8 oveq1 7365 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘— + 1) = (๐‘˜ + 1))
98oveq2d 7374 . . 3 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (2โ†‘(๐‘— + 1)) = (2โ†‘(๐‘˜ + 1)))
10 oveq2 7366 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (2 ยท ๐‘—) = (2 ยท ๐‘˜))
1110oveq1d 7373 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((2 ยท ๐‘—) + 1) = ((2 ยท ๐‘˜) + 1))
12 id 22 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ๐‘— = ๐‘˜)
1311, 12oveq12d 7376 . . 3 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (((2 ยท ๐‘—) + 1)C๐‘—) = (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜))
149, 13breq12d 5119 . 2 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((2โ†‘(๐‘— + 1)) < (((2 ยท ๐‘—) + 1)C๐‘—) โ†” (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜)))
15 oveq1 7365 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘— + 1) = ((๐‘˜ + 1) + 1))
1615oveq2d 7374 . . 3 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (2โ†‘(๐‘— + 1)) = (2โ†‘((๐‘˜ + 1) + 1)))
17 oveq2 7366 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (2 ยท ๐‘—) = (2 ยท (๐‘˜ + 1)))
1817oveq1d 7373 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((2 ยท ๐‘—) + 1) = ((2 ยท (๐‘˜ + 1)) + 1))
19 id 22 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ๐‘— = (๐‘˜ + 1))
2018, 19oveq12d 7376 . . 3 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((2 ยท ๐‘—) + 1)C๐‘—) = (((2 ยท (๐‘˜ + 1)) + 1)C(๐‘˜ + 1)))
2116, 20breq12d 5119 . 2 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((2โ†‘(๐‘— + 1)) < (((2 ยท ๐‘—) + 1)C๐‘—) โ†” (2โ†‘((๐‘˜ + 1) + 1)) < (((2 ยท (๐‘˜ + 1)) + 1)C(๐‘˜ + 1))))
22 oveq1 7365 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐‘— + 1) = (๐‘ + 1))
2322oveq2d 7374 . . 3 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (2โ†‘(๐‘— + 1)) = (2โ†‘(๐‘ + 1)))
24 oveq2 7366 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (2 ยท ๐‘—) = (2 ยท ๐‘))
2524oveq1d 7373 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘—) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + 1))
26 id 22 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ๐‘— = ๐‘)
2725, 26oveq12d 7376 . . 3 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘—) + 1)C๐‘—) = (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘))
2823, 27breq12d 5119 . 2 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((2โ†‘(๐‘— + 1)) < (((2 ยท ๐‘—) + 1)C๐‘—) โ†” (2โ†‘(๐‘ + 1)) < (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘)))
29 8lt10 12755 . . . . 5 8 < 10
30 eqid 2733 . . . . . . 7 8 = 8
31 cu2 14110 . . . . . . 7 (2โ†‘3) = 8
3230, 31eqtr4i 2764 . . . . . 6 8 = (2โ†‘3)
33 5bc2eq10 40596 . . . . . . 7 (5C2) = 10
3433eqcomi 2742 . . . . . 6 10 = (5C2)
3532, 34breq12i 5115 . . . . 5 (8 < 10 โ†” (2โ†‘3) < (5C2))
3629, 35mpbi 229 . . . 4 (2โ†‘3) < (5C2)
37 df-3 12222 . . . . . 6 3 = (2 + 1)
3837oveq2i 7369 . . . . 5 (2โ†‘3) = (2โ†‘(2 + 1))
39 eqid 2733 . . . . . . 7 5 = 5
40 2t2e4 12322 . . . . . . . . 9 (2 ยท 2) = 4
4140oveq1i 7368 . . . . . . . 8 ((2 ยท 2) + 1) = (4 + 1)
42 4p1e5 12304 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
4341, 42eqtri 2761 . . . . . . 7 ((2 ยท 2) + 1) = 5
4439, 43eqtr4i 2764 . . . . . 6 5 = ((2 ยท 2) + 1)
4544oveq1i 7368 . . . . 5 (5C2) = (((2 ยท 2) + 1)C2)
4638, 45breq12i 5115 . . . 4 ((2โ†‘3) < (5C2) โ†” (2โ†‘(2 + 1)) < (((2 ยท 2) + 1)C2))
4736, 46mpbi 229 . . 3 (2โ†‘(2 + 1)) < (((2 ยท 2) + 1)C2)
4847a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘(2 + 1)) < (((2 ยท 2) + 1)C2))
49 2re 12232 . . . . 5 2 โˆˆ โ„
5049a1i 11 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
51 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
52 0red 11163 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
5349a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
5451zred 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
55 2pos 12261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 2
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 0 < 2)
57 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 2 โ‰ค ๐‘˜)
5852, 53, 54, 56, 57ltletrd 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 0 < ๐‘˜)
5951, 58jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐‘˜))
60 elnnz 12514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐‘˜))
6159, 60sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
62 nnnn0 12425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
6463nn0red 12479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
6552, 53, 64, 56, 57ltletrd 11320 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 0 < ๐‘˜)
6651, 65jca 513 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐‘˜))
6766, 60sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
6867nnred 12173 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
69683ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
7050, 69remulcld 11190 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„)
71 3re 12238 . . . . . . . 8 3 โˆˆ โ„
7271a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ 3 โˆˆ โ„)
7370, 72readdcld 11189 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 3) โˆˆ โ„)
7469, 50readdcld 11189 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜ + 2) โˆˆ โ„)
7568, 53readdcld 11189 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘˜ + 2) โˆˆ โ„)
7667nngt0d 12207 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 0 < ๐‘˜)
77 2rp 12925 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„+
7877a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
7968, 78ltaddrpd 12995 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘˜ < (๐‘˜ + 2))
8052, 68, 75, 76, 79lttrd 11321 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 0 < (๐‘˜ + 2))
8152, 80ltned 11296 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 0 โ‰  (๐‘˜ + 2))
8281necomd 2996 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘˜ + 2) โ‰  0)
83823ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜ + 2) โ‰  0)
8473, 74, 83redivcld 11988 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2)) โˆˆ โ„)
8550, 84remulcld 11190 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ (2 ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2))) โˆˆ โ„)
86 1nn0 12434 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•0
8786a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
8863, 87nn0addcld 12482 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
8953, 88reexpcld 14074 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
90893ad2ant3 1136 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
91 2nn0 12435 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•0
9291a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
9392, 63nn0mulcld 12483 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
9493, 87nn0addcld 12482 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„•0)
95 bccl 14228 . . . . . . 7 ((((2 ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
9694, 51, 95syl2anc 585 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
9796nn0red 12479 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆˆ โ„)
98973ad2ant3 1136 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆˆ โ„)
99 0le2 12260 . . . . 5 0 โ‰ค 2
10099a1i 11 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ 0 โ‰ค 2)
101 eqid 2733 . . . . . . . 8 2 = 2
102 2t1e2 12321 . . . . . . . 8 (2 ยท 1) = 2
103101, 102eqtr4i 2764 . . . . . . 7 2 = (2 ยท 1)
104103a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 2 = (2 ยท 1))
105 1red 11161 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
10653, 68remulcld 11190 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„)
10771a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 3 โˆˆ โ„)
108106, 107readdcld 11189 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 3) โˆˆ โ„)
109108, 75, 82redivcld 11988 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2)) โˆˆ โ„)
110 nnrp 12931 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„+)
11177a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
112110, 111rpaddcld 12977 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ + 2) โˆˆ โ„+)
113112rpcnd 12964 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ + 2) โˆˆ โ„‚)
114113mulid1d 11177 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘˜ + 2) ยท 1) = (๐‘˜ + 2))
115 nnre 12165 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
11649a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„)
117116, 115remulcld 11190 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„)
11871a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 3 โˆˆ โ„)
119110rpge0d 12966 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค ๐‘˜)
120 1le2 12367 . . . . . . . . . . . . 13 1 โ‰ค 2
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค 2)
122115, 116, 119, 121lemulge12d 12098 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (2 ยท ๐‘˜))
123 2lt3 12330 . . . . . . . . . . . 12 2 < 3
124123a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 2 < 3)
125115, 116, 117, 118, 122, 124leltaddd 11782 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ + 2) < ((2 ยท ๐‘˜) + 3))
126114, 125eqbrtrd 5128 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘˜ + 2) ยท 1) < ((2 ยท ๐‘˜) + 3))
127 1red 11161 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„)
128117, 118readdcld 11189 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 3) โˆˆ โ„)
129127, 128, 112ltmuldiv2d 13010 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘˜ + 2) ยท 1) < ((2 ยท ๐‘˜) + 3) โ†” 1 < (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2))))
130126, 129mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 1 < (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2)))
13167, 130syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 1 < (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2)))
132105, 109, 78, 131ltmul2dd 13018 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (2 ยท 1) < (2 ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2))))
133104, 132eqbrtrd 5128 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 2 < (2 ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2))))
1341333ad2ant3 1136 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ 2 < (2 ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2))))
13599a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 0 โ‰ค 2)
13653, 88, 135expge0d 14075 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 0 โ‰ค (2โ†‘(๐‘˜ + 1)))
1371363ad2ant3 1136 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ 0 โ‰ค (2โ†‘(๐‘˜ + 1)))
138 simp2 1138 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜))
13950, 85, 90, 98, 100, 134, 137, 138ltmul12ad 12101 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ (2 ยท (2โ†‘(๐‘˜ + 1))) < ((2 ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2))) ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜)))
140 2cnd 12236 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
141140, 87, 88expaddd 14059 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (2โ†‘((๐‘˜ + 1) + 1)) = ((2โ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (2โ†‘1)))
142140, 88expcld 14057 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
143140, 87expcld 14057 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (2โ†‘1) โˆˆ โ„‚)
144142, 143mulcomd 11181 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ((2โ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (2โ†‘1)) = ((2โ†‘1) ยท (2โ†‘(๐‘˜ + 1))))
145140exp1d 14052 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (2โ†‘1) = 2)
146145oveq1d 7373 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ((2โ†‘1) ยท (2โ†‘(๐‘˜ + 1))) = (2 ยท (2โ†‘(๐‘˜ + 1))))
147 eqidd 2734 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (2 ยท (2โ†‘(๐‘˜ + 1))) = (2 ยท (2โ†‘(๐‘˜ + 1))))
148144, 146, 1473eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ((2โ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (2โ†‘1)) = (2 ยท (2โ†‘(๐‘˜ + 1))))
149141, 148eqtrd 2773 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (2โ†‘((๐‘˜ + 1) + 1)) = (2 ยท (2โ†‘(๐‘˜ + 1))))
150149eqcomd 2739 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (2 ยท (2โ†‘(๐‘˜ + 1))) = (2โ†‘((๐‘˜ + 1) + 1)))
1511503ad2ant3 1136 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ (2 ยท (2โ†‘(๐‘˜ + 1))) = (2โ†‘((๐‘˜ + 1) + 1)))
152632np3bcnp1 40598 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (((2 ยท (๐‘˜ + 1)) + 1)C(๐‘˜ + 1)) = ((((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2)))))
15396nn0cnd 12480 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
15467nncnd 12174 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
155140, 154mulcld 11180 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
156 3cn 12239 . . . . . . . . . . . 12 3 โˆˆ โ„‚
157156a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
158155, 157addcld 11179 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 3) โˆˆ โ„‚)
159154, 140addcld 11179 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘˜ + 2) โˆˆ โ„‚)
160158, 159, 82divcld 11936 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2)) โˆˆ โ„‚)
161140, 160mulcld 11180 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (2 ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2))) โˆˆ โ„‚)
162153, 161mulcomd 11181 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ((((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2)))) = ((2 ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2))) ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜)))
163152, 162eqtrd 2773 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (((2 ยท (๐‘˜ + 1)) + 1)C(๐‘˜ + 1)) = ((2 ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2))) ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜)))
164163eqcomd 2739 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ((2 ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2))) ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜)) = (((2 ยท (๐‘˜ + 1)) + 1)C(๐‘˜ + 1)))
1651643ad2ant3 1136 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ ((2 ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2))) ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜)) = (((2 ยท (๐‘˜ + 1)) + 1)C(๐‘˜ + 1)))
166151, 165breq12d 5119 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ ((2 ยท (2โ†‘(๐‘˜ + 1))) < ((2 ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2))) ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜)) โ†” (2โ†‘((๐‘˜ + 1) + 1)) < (((2 ยท (๐‘˜ + 1)) + 1)C(๐‘˜ + 1))))
167139, 166mpbid 231 . 2 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ (2โ†‘((๐‘˜ + 1) + 1)) < (((2 ยท (๐‘˜ + 1)) + 1)C(๐‘˜ + 1)))
168 2z 12540 . . 3 2 โˆˆ โ„ค
169168a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
170 2ap1caineq.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
171 2ap1caineq.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰ค ๐‘)
1727, 14, 21, 28, 48, 167, 169, 170, 171uzindd 40480 1 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) < (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  2c2 12213  3c3 12214  4c4 12215  5c5 12216  8c8 12219  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  cdc 12623  โ„+crp 12920  โ†‘cexp 13973  Ccbc 14208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator