Theorem 2ap1caineq 43196

Description: Inequality for Theorem 6.6 for AKS. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
2ap1caineq.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2ap1caineq.2	⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
2ap1caineq	⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) < (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))

Proof of Theorem 2ap1caineq

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7427	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 2 → (𝑗 + 1) = (2 + 1))
2	1	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝑗 = 2 → (2↑(𝑗 + 1)) = (2↑(2 + 1)))
3		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 2 → (2 · 𝑗) = (2 · 2))
4	3	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 2 → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 2) + 1))
5		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 2 → 𝑗 = 2)
6	4, 5	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ (𝑗 = 2 → (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) = (((2 · 2) + 1)C2))
7	2, 6	breq12d 5115	. 2 ⊢ (𝑗 = 2 → ((2↑(𝑗 + 1)) < (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) ↔ (2↑(2 + 1)) < (((2 · 2) + 1)C2)))
8		oveq1 7427	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
9	8	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (2↑(𝑗 + 1)) = (2↑(𝑘 + 1)))
10		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (2 · 𝑗) = (2 · 𝑘))
11	10	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
12		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝑗 = 𝑘)
13	11, 12	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) = (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘))
14	9, 13	breq12d 5115	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((2↑(𝑗 + 1)) < (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)))
15		oveq1 7427	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 + 1) + 1))
16	15	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (2↑(𝑗 + 1)) = (2↑((𝑘 + 1) + 1)))
17		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (2 · 𝑗) = (2 · (𝑘 + 1)))
18	17	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · (𝑘 + 1)) + 1))
19		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → 𝑗 = (𝑘 + 1))
20	18, 19	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) = (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)))
21	16, 20	breq12d 5115	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((2↑(𝑗 + 1)) < (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) ↔ (2↑((𝑘 + 1) + 1)) < (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1))))
22		oveq1 7427	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 + 1) = (𝑁 + 1))
23	22	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (2↑(𝑗 + 1)) = (2↑(𝑁 + 1)))
24		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (2 · 𝑗) = (2 · 𝑁))
25	24	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
26		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → 𝑗 = 𝑁)
27	25, 26	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
28	23, 27	breq12d 5115	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((2↑(𝑗 + 1)) < (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) < (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
29		8lt10 12952	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
30		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ 8 = 8
31		cu2 14343	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
32	30, 31	eqtr4i 2786	. . . . . 6 ⊢ 8 = (2↑3)
33		5bc2eq10 43193	. . . . . . 7 ⊢ (5C2) = ;10
34	33	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ ;10 = (5C2)
35	32, 34	breq12i 5111	. . . . 5 ⊢ (8 < ;10 ↔ (2↑3) < (5C2))
36	29, 35	mpbi 233	. . . 4 ⊢ (2↑3) < (5C2)
37		df-3 12406	. . . . . 6 ⊢ 3 = (2 + 1)
38	37	oveq2i 7431	. . . . 5 ⊢ (2↑3) = (2↑(2 + 1))
39		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ 5 = 5
40		2t2e4 12506	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
41	40	oveq1i 7430	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
42		4p1e5 12488	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
43	41, 42	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 1) = 5
44	39, 43	eqtr4i 2786	. . . . . 6 ⊢ 5 = ((2 · 2) + 1)
45	44	oveq1i 7430	. . . . 5 ⊢ (5C2) = (((2 · 2) + 1)C2)
46	38, 45	breq12i 5111	. . . 4 ⊢ ((2↑3) < (5C2) ↔ (2↑(2 + 1)) < (((2 · 2) + 1)C2))
47	36, 46	mpbi 233	. . 3 ⊢ (2↑(2 + 1)) < (((2 · 2) + 1)C2)
48	47	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑(2 + 1)) < (((2 · 2) + 1)C2))
49		2re 12417	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
50	49	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 2 ∈ ℝ)
51		simpl 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℤ)
52		0red 11311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 ∈ ℝ)
53	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ∈ ℝ)
54	51	zred 12803	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
55		2pos 12447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 < 2
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < 2)
57		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ≤ 𝑘)
58	52, 53, 54, 56, 57	ltletrd 11470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < 𝑘)
59	51, 58	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑘))
60		elnnz 12703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑘))
61	59, 60	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
62		nnnn0 12613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
63	61, 62	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ0)
64	63	nn0red 12668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
65	52, 53, 64, 56, 57	ltletrd 11470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < 𝑘)
66	51, 65	jca 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑘))
67	66, 60	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
68	67	nnred 12350	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
69	68	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
70	50, 69	remulcld 11339	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
71		3re 12423	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
72	71	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 3 ∈ ℝ)
73	70, 72	readdcld 11338	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → ((2 · 𝑘) + 3) ∈ ℝ)
74	69, 50	readdcld 11338	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (𝑘 + 2) ∈ ℝ)
75	68, 53	readdcld 11338	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 + 2) ∈ ℝ)
76	67	nngt0d 12387	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < 𝑘)
77		2rp 13125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ+
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ∈ ℝ+)
79	68, 78	ltaddrpd 13197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 < (𝑘 + 2))
80	52, 68, 75, 76, 79	lttrd 11471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < (𝑘 + 2))
81	52, 80	ltned 11446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 ≠ (𝑘 + 2))
82	81	necomd 3010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 + 2) ≠ 0)
83	82	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (𝑘 + 2) ≠ 0)
84	73, 74, 83	redivcld 12145	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)) ∈ ℝ)
85	50, 84	remulcld 11339	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) ∈ ℝ)
86		1nn0 12622	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
87	86	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 1 ∈ ℕ0)
88	63, 87	nn0addcld 12671	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
89	53, 88	reexpcld 14306	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
90	89	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
91		2nn0 12623	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
92	91	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ∈ ℕ0)
93	92, 63	nn0mulcld 12672	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
94	93, 87	nn0addcld 12671	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
95		bccl 14466	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
96	94, 51, 95	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
97	96	nn0red 12668	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℝ)
98	97	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℝ)
99		0le2 12445	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
100	99	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 0 ≤ 2)
101		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = 2
102		2t1e2 12505	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
103	101, 102	eqtr4i 2786	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (2 · 1)
104	103	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 = (2 · 1))
105		1red 11309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 1 ∈ ℝ)
106	53, 68	remulcld 11339	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
107	71	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 3 ∈ ℝ)
108	106, 107	readdcld 11338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2 · 𝑘) + 3) ∈ ℝ)
109	108, 75, 82	redivcld 12145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)) ∈ ℝ)
110		nnrp 13132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
111	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
112	110, 111	rpaddcld 13179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 2) ∈ ℝ+)
113	112	rpcnd 13166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 2) ∈ ℂ)
114	113	mulridd 11326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 + 2) · 1) = (𝑘 + 2))
115		nnre 12342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
116	49	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
117	116, 115	remulcld 11339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
118	71	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ)
119	110	rpge0d 13168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑘)
120		1le2 12554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≤ 2
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 2)
122	115, 116, 119, 121	lemulge12d 12255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≤ (2 · 𝑘))
123		2lt3 12516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 3
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 < 3)
125	115, 116, 117, 118, 122, 124	leltaddd 11938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 2) < ((2 · 𝑘) + 3))
126	114, 125	eqbrtrd 5126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 + 2) · 1) < ((2 · 𝑘) + 3))
127		1red 11309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
128	117, 118	readdcld 11338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 3) ∈ ℝ)
129	127, 128, 112	ltmuldiv2d 13212	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑘 + 2) · 1) < ((2 · 𝑘) + 3) ↔ 1 < (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))))
130	126, 129	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 < (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)))
131	67, 130	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 1 < (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)))
132	105, 109, 78, 131	ltmul2dd 13220	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · 1) < (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))))
133	104, 132	eqbrtrd 5126	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 < (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))))
134	133	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 2 < (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))))
135	99	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 ≤ 2)
136	53, 88, 135	expge0d 14307	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 ≤ (2↑(𝑘 + 1)))
137	136	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 0 ≤ (2↑(𝑘 + 1)))
138		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘))
139	50, 85, 90, 98, 100, 134, 137, 138	ltmul12ad 12258	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2 · (2↑(𝑘 + 1))) < ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)))
140		2cnd 12421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ∈ ℂ)
141	140, 87, 88	expaddd 14291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑((𝑘 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑘 + 1)) · (2↑1)))
142	140, 88	expcld 14289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
143	140, 87	expcld 14289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑1) ∈ ℂ)
144	142, 143	mulcomd 11330	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2↑(𝑘 + 1)) · (2↑1)) = ((2↑1) · (2↑(𝑘 + 1))))
145	140	exp1d 14284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑1) = 2)
146	145	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2↑1) · (2↑(𝑘 + 1))) = (2 · (2↑(𝑘 + 1))))
147		eqidd 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · (2↑(𝑘 + 1))) = (2 · (2↑(𝑘 + 1))))
148	144, 146, 147	3eqtrd 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2↑(𝑘 + 1)) · (2↑1)) = (2 · (2↑(𝑘 + 1))))
149	141, 148	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑((𝑘 + 1) + 1)) = (2 · (2↑(𝑘 + 1))))
150	149	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · (2↑(𝑘 + 1))) = (2↑((𝑘 + 1) + 1)))
151	150	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2 · (2↑(𝑘 + 1))) = (2↑((𝑘 + 1) + 1)))
152	63	2np3bcnp1 43195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)) = ((((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) · (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)))))
153	96	nn0cnd 12669	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℂ)
154	67	nncnd 12351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℂ)
155	140, 154	mulcld 11329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
156		3cn 12424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
157	156	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 3 ∈ ℂ)
158	155, 157	addcld 11328	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2 · 𝑘) + 3) ∈ ℂ)
159	154, 140	addcld 11328	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 + 2) ∈ ℂ)
160	158, 159, 82	divcld 12093	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)) ∈ ℂ)
161	140, 160	mulcld 11329	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) ∈ ℂ)
162	153, 161	mulcomd 11330	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) · (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)))) = ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)))
163	152, 162	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)) = ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)))
164	163	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)) = (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)))
165	164	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)) = (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)))
166	151, 165	breq12d 5115	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → ((2 · (2↑(𝑘 + 1))) < ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)) ↔ (2↑((𝑘 + 1) + 1)) < (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1))))
167	139, 166	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2↑((𝑘 + 1) + 1)) < (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)))
168		2z 12728	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
169	168	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
170		2ap1caineq.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
171		2ap1caineq.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
172	7, 14, 21, 28, 48, 167, 169, 170, 171	uzindd 43029	1 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) < (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344   / cdiv 11973  ℕcn 12335  2c2 12397  3c3 12398  4c4 12399  5c5 12400  8c8 12403  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ;cdc 12814  ℝ⁺crp 13120  ↑cexp 14204  Ccbc 14446

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447

This theorem is used by:  aks6d1c7lem1  43231