Theorem 2ap1caineq 42237

Description: Inequality for Theorem 6.6 for AKS. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
2ap1caineq.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2ap1caineq.2	⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
2ap1caineq	⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) < (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))

Proof of Theorem 2ap1caineq

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7353	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 2 → (𝑗 + 1) = (2 + 1))
2	1	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ (𝑗 = 2 → (2↑(𝑗 + 1)) = (2↑(2 + 1)))
3		oveq2 7354	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 2 → (2 · 𝑗) = (2 · 2))
4	3	oveq1d 7361	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 2 → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 2) + 1))
5		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 2 → 𝑗 = 2)
6	4, 5	oveq12d 7364	. . 3 ⊢ (𝑗 = 2 → (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) = (((2 · 2) + 1)C2))
7	2, 6	breq12d 5102	. 2 ⊢ (𝑗 = 2 → ((2↑(𝑗 + 1)) < (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) ↔ (2↑(2 + 1)) < (((2 · 2) + 1)C2)))
8		oveq1 7353	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
9	8	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (2↑(𝑗 + 1)) = (2↑(𝑘 + 1)))
10		oveq2 7354	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (2 · 𝑗) = (2 · 𝑘))
11	10	oveq1d 7361	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
12		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝑗 = 𝑘)
13	11, 12	oveq12d 7364	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) = (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘))
14	9, 13	breq12d 5102	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((2↑(𝑗 + 1)) < (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)))
15		oveq1 7353	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 + 1) + 1))
16	15	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (2↑(𝑗 + 1)) = (2↑((𝑘 + 1) + 1)))
17		oveq2 7354	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (2 · 𝑗) = (2 · (𝑘 + 1)))
18	17	oveq1d 7361	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · (𝑘 + 1)) + 1))
19		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → 𝑗 = (𝑘 + 1))
20	18, 19	oveq12d 7364	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) = (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)))
21	16, 20	breq12d 5102	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((2↑(𝑗 + 1)) < (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) ↔ (2↑((𝑘 + 1) + 1)) < (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1))))
22		oveq1 7353	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 + 1) = (𝑁 + 1))
23	22	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (2↑(𝑗 + 1)) = (2↑(𝑁 + 1)))
24		oveq2 7354	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (2 · 𝑗) = (2 · 𝑁))
25	24	oveq1d 7361	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
26		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → 𝑗 = 𝑁)
27	25, 26	oveq12d 7364	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
28	23, 27	breq12d 5102	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((2↑(𝑗 + 1)) < (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) < (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
29		8lt10 12720	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
30		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ 8 = 8
31		cu2 14107	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
32	30, 31	eqtr4i 2757	. . . . . 6 ⊢ 8 = (2↑3)
33		5bc2eq10 42234	. . . . . . 7 ⊢ (5C2) = ;10
34	33	eqcomi 2740	. . . . . 6 ⊢ ;10 = (5C2)
35	32, 34	breq12i 5098	. . . . 5 ⊢ (8 < ;10 ↔ (2↑3) < (5C2))
36	29, 35	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (2↑3) < (5C2)
37		df-3 12189	. . . . . 6 ⊢ 3 = (2 + 1)
38	37	oveq2i 7357	. . . . 5 ⊢ (2↑3) = (2↑(2 + 1))
39		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ 5 = 5
40		2t2e4 12284	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
41	40	oveq1i 7356	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
42		4p1e5 12266	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
43	41, 42	eqtri 2754	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 1) = 5
44	39, 43	eqtr4i 2757	. . . . . 6 ⊢ 5 = ((2 · 2) + 1)
45	44	oveq1i 7356	. . . . 5 ⊢ (5C2) = (((2 · 2) + 1)C2)
46	38, 45	breq12i 5098	. . . 4 ⊢ ((2↑3) < (5C2) ↔ (2↑(2 + 1)) < (((2 · 2) + 1)C2))
47	36, 46	mpbi 230	. . 3 ⊢ (2↑(2 + 1)) < (((2 · 2) + 1)C2)
48	47	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑(2 + 1)) < (((2 · 2) + 1)C2))
49		2re 12199	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
50	49	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 2 ∈ ℝ)
51		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℤ)
52		0red 11115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 ∈ ℝ)
53	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ∈ ℝ)
54	51	zred 12577	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
55		2pos 12228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 < 2
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < 2)
57		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ≤ 𝑘)
58	52, 53, 54, 56, 57	ltletrd 11273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < 𝑘)
59	51, 58	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑘))
60		elnnz 12478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑘))
61	59, 60	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
62		nnnn0 12388	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ0)
64	63	nn0red 12443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
65	52, 53, 64, 56, 57	ltletrd 11273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < 𝑘)
66	51, 65	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑘))
67	66, 60	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
68	67	nnred 12140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
69	68	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
70	50, 69	remulcld 11142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
71		3re 12205	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
72	71	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 3 ∈ ℝ)
73	70, 72	readdcld 11141	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → ((2 · 𝑘) + 3) ∈ ℝ)
74	69, 50	readdcld 11141	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (𝑘 + 2) ∈ ℝ)
75	68, 53	readdcld 11141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 + 2) ∈ ℝ)
76	67	nngt0d 12174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < 𝑘)
77		2rp 12895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ+
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ∈ ℝ+)
79	68, 78	ltaddrpd 12967	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 < (𝑘 + 2))
80	52, 68, 75, 76, 79	lttrd 11274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < (𝑘 + 2))
81	52, 80	ltned 11249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 ≠ (𝑘 + 2))
82	81	necomd 2983	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 + 2) ≠ 0)
83	82	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (𝑘 + 2) ≠ 0)
84	73, 74, 83	redivcld 11949	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)) ∈ ℝ)
85	50, 84	remulcld 11142	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) ∈ ℝ)
86		1nn0 12397	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
87	86	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 1 ∈ ℕ0)
88	63, 87	nn0addcld 12446	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
89	53, 88	reexpcld 14070	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
90	89	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
91		2nn0 12398	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
92	91	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ∈ ℕ0)
93	92, 63	nn0mulcld 12447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
94	93, 87	nn0addcld 12446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
95		bccl 14229	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
96	94, 51, 95	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
97	96	nn0red 12443	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℝ)
98	97	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℝ)
99		0le2 12227	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
100	99	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 0 ≤ 2)
101		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = 2
102		2t1e2 12283	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
103	101, 102	eqtr4i 2757	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (2 · 1)
104	103	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 = (2 · 1))
105		1red 11113	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 1 ∈ ℝ)
106	53, 68	remulcld 11142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
107	71	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 3 ∈ ℝ)
108	106, 107	readdcld 11141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2 · 𝑘) + 3) ∈ ℝ)
109	108, 75, 82	redivcld 11949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)) ∈ ℝ)
110		nnrp 12902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
111	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
112	110, 111	rpaddcld 12949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 2) ∈ ℝ+)
113	112	rpcnd 12936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 2) ∈ ℂ)
114	113	mulridd 11129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 + 2) · 1) = (𝑘 + 2))
115		nnre 12132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
116	49	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
117	116, 115	remulcld 11142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
118	71	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ)
119	110	rpge0d 12938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑘)
120		1le2 12329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≤ 2
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 2)
122	115, 116, 119, 121	lemulge12d 12060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≤ (2 · 𝑘))
123		2lt3 12292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 3
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 < 3)
125	115, 116, 117, 118, 122, 124	leltaddd 11739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 2) < ((2 · 𝑘) + 3))
126	114, 125	eqbrtrd 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 + 2) · 1) < ((2 · 𝑘) + 3))
127		1red 11113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
128	117, 118	readdcld 11141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 3) ∈ ℝ)
129	127, 128, 112	ltmuldiv2d 12982	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑘 + 2) · 1) < ((2 · 𝑘) + 3) ↔ 1 < (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))))
130	126, 129	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 < (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)))
131	67, 130	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 1 < (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)))
132	105, 109, 78, 131	ltmul2dd 12990	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · 1) < (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))))
133	104, 132	eqbrtrd 5111	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 < (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))))
134	133	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 2 < (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))))
135	99	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 ≤ 2)
136	53, 88, 135	expge0d 14071	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 ≤ (2↑(𝑘 + 1)))
137	136	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 0 ≤ (2↑(𝑘 + 1)))
138		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘))
139	50, 85, 90, 98, 100, 134, 137, 138	ltmul12ad 12063	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2 · (2↑(𝑘 + 1))) < ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)))
140		2cnd 12203	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ∈ ℂ)
141	140, 87, 88	expaddd 14055	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑((𝑘 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑘 + 1)) · (2↑1)))
142	140, 88	expcld 14053	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
143	140, 87	expcld 14053	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑1) ∈ ℂ)
144	142, 143	mulcomd 11133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2↑(𝑘 + 1)) · (2↑1)) = ((2↑1) · (2↑(𝑘 + 1))))
145	140	exp1d 14048	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑1) = 2)
146	145	oveq1d 7361	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2↑1) · (2↑(𝑘 + 1))) = (2 · (2↑(𝑘 + 1))))
147		eqidd 2732	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · (2↑(𝑘 + 1))) = (2 · (2↑(𝑘 + 1))))
148	144, 146, 147	3eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2↑(𝑘 + 1)) · (2↑1)) = (2 · (2↑(𝑘 + 1))))
149	141, 148	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑((𝑘 + 1) + 1)) = (2 · (2↑(𝑘 + 1))))
150	149	eqcomd 2737	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · (2↑(𝑘 + 1))) = (2↑((𝑘 + 1) + 1)))
151	150	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2 · (2↑(𝑘 + 1))) = (2↑((𝑘 + 1) + 1)))
152	63	2np3bcnp1 42236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)) = ((((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) · (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)))))
153	96	nn0cnd 12444	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℂ)
154	67	nncnd 12141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℂ)
155	140, 154	mulcld 11132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
156		3cn 12206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
157	156	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 3 ∈ ℂ)
158	155, 157	addcld 11131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2 · 𝑘) + 3) ∈ ℂ)
159	154, 140	addcld 11131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 + 2) ∈ ℂ)
160	158, 159, 82	divcld 11897	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)) ∈ ℂ)
161	140, 160	mulcld 11132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) ∈ ℂ)
162	153, 161	mulcomd 11133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) · (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)))) = ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)))
163	152, 162	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)) = ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)))
164	163	eqcomd 2737	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)) = (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)))
165	164	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)) = (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)))
166	151, 165	breq12d 5102	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → ((2 · (2↑(𝑘 + 1))) < ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)) ↔ (2↑((𝑘 + 1) + 1)) < (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1))))
167	139, 166	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2↑((𝑘 + 1) + 1)) < (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)))
168		2z 12504	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
169	168	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
170		2ap1caineq.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
171		2ap1caineq.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
172	7, 14, 21, 28, 48, 167, 169, 170, 171	uzindd 42069	1 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) < (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   < clt 11146   ≤ cle 11147   / cdiv 11774  ℕcn 12125  2c2 12180  3c3 12181  4c4 12182  5c5 12183  8c8 12186  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ;cdc 12588  ℝ⁺crp 12890  ↑cexp 13968  Ccbc 14209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210

This theorem is referenced by:  aks6d1c7lem1  42272