Theorem 2ap1caineq 40553

Description: Inequality for Theorem 6.6 for AKS. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
2ap1caineq.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2ap1caineq.2	⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
2ap1caineq	⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) < (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))

Proof of Theorem 2ap1caineq

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7364	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 2 → (𝑗 + 1) = (2 + 1))
2	1	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ (𝑗 = 2 → (2↑(𝑗 + 1)) = (2↑(2 + 1)))
3		oveq2 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 2 → (2 · 𝑗) = (2 · 2))
4	3	oveq1d 7372	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 2 → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 2) + 1))
5		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 2 → 𝑗 = 2)
6	4, 5	oveq12d 7375	. . 3 ⊢ (𝑗 = 2 → (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) = (((2 · 2) + 1)C2))
7	2, 6	breq12d 5118	. 2 ⊢ (𝑗 = 2 → ((2↑(𝑗 + 1)) < (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) ↔ (2↑(2 + 1)) < (((2 · 2) + 1)C2)))
8		oveq1 7364	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
9	8	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (2↑(𝑗 + 1)) = (2↑(𝑘 + 1)))
10		oveq2 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (2 · 𝑗) = (2 · 𝑘))
11	10	oveq1d 7372	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
12		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝑗 = 𝑘)
13	11, 12	oveq12d 7375	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) = (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘))
14	9, 13	breq12d 5118	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((2↑(𝑗 + 1)) < (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) ↔ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)))
15		oveq1 7364	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 + 1) + 1))
16	15	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (2↑(𝑗 + 1)) = (2↑((𝑘 + 1) + 1)))
17		oveq2 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (2 · 𝑗) = (2 · (𝑘 + 1)))
18	17	oveq1d 7372	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · (𝑘 + 1)) + 1))
19		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → 𝑗 = (𝑘 + 1))
20	18, 19	oveq12d 7375	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) = (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)))
21	16, 20	breq12d 5118	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((2↑(𝑗 + 1)) < (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) ↔ (2↑((𝑘 + 1) + 1)) < (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1))))
22		oveq1 7364	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 + 1) = (𝑁 + 1))
23	22	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (2↑(𝑗 + 1)) = (2↑(𝑁 + 1)))
24		oveq2 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (2 · 𝑗) = (2 · 𝑁))
25	24	oveq1d 7372	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((2 · 𝑗) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
26		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → 𝑗 = 𝑁)
27	25, 26	oveq12d 7375	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))
28	23, 27	breq12d 5118	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((2↑(𝑗 + 1)) < (((2 · 𝑗) + 1)C𝑗) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) < (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)))
29		8lt10 12750	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
30		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ 8 = 8
31		cu2 14104	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
32	30, 31	eqtr4i 2767	. . . . . 6 ⊢ 8 = (2↑3)
33		5bc2eq10 40550	. . . . . . 7 ⊢ (5C2) = ;10
34	33	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ ;10 = (5C2)
35	32, 34	breq12i 5114	. . . . 5 ⊢ (8 < ;10 ↔ (2↑3) < (5C2))
36	29, 35	mpbi 229	. . . 4 ⊢ (2↑3) < (5C2)
37		df-3 12217	. . . . . 6 ⊢ 3 = (2 + 1)
38	37	oveq2i 7368	. . . . 5 ⊢ (2↑3) = (2↑(2 + 1))
39		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ 5 = 5
40		2t2e4 12317	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
41	40	oveq1i 7367	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
42		4p1e5 12299	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
43	41, 42	eqtri 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 1) = 5
44	39, 43	eqtr4i 2767	. . . . . 6 ⊢ 5 = ((2 · 2) + 1)
45	44	oveq1i 7367	. . . . 5 ⊢ (5C2) = (((2 · 2) + 1)C2)
46	38, 45	breq12i 5114	. . . 4 ⊢ ((2↑3) < (5C2) ↔ (2↑(2 + 1)) < (((2 · 2) + 1)C2))
47	36, 46	mpbi 229	. . 3 ⊢ (2↑(2 + 1)) < (((2 · 2) + 1)C2)
48	47	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑(2 + 1)) < (((2 · 2) + 1)C2))
49		2re 12227	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
50	49	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 2 ∈ ℝ)
51		simpl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℤ)
52		0red 11158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 ∈ ℝ)
53	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ∈ ℝ)
54	51	zred 12607	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
55		2pos 12256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 < 2
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < 2)
57		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ≤ 𝑘)
58	52, 53, 54, 56, 57	ltletrd 11315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < 𝑘)
59	51, 58	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑘))
60		elnnz 12509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑘))
61	59, 60	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
62		nnnn0 12420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ0)
64	63	nn0red 12474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
65	52, 53, 64, 56, 57	ltletrd 11315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < 𝑘)
66	51, 65	jca 512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑘))
67	66, 60	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
68	67	nnred 12168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
69	68	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
70	50, 69	remulcld 11185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
71		3re 12233	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
72	71	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 3 ∈ ℝ)
73	70, 72	readdcld 11184	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → ((2 · 𝑘) + 3) ∈ ℝ)
74	69, 50	readdcld 11184	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (𝑘 + 2) ∈ ℝ)
75	68, 53	readdcld 11184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 + 2) ∈ ℝ)
76	67	nngt0d 12202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < 𝑘)
77		2rp 12920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ+
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ∈ ℝ+)
79	68, 78	ltaddrpd 12990	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 < (𝑘 + 2))
80	52, 68, 75, 76, 79	lttrd 11316	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 < (𝑘 + 2))
81	52, 80	ltned 11291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 ≠ (𝑘 + 2))
82	81	necomd 2999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 + 2) ≠ 0)
83	82	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (𝑘 + 2) ≠ 0)
84	73, 74, 83	redivcld 11983	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)) ∈ ℝ)
85	50, 84	remulcld 11185	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) ∈ ℝ)
86		1nn0 12429	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
87	86	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 1 ∈ ℕ0)
88	63, 87	nn0addcld 12477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
89	53, 88	reexpcld 14068	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
90	89	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
91		2nn0 12430	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
92	91	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ∈ ℕ0)
93	92, 63	nn0mulcld 12478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
94	93, 87	nn0addcld 12477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
95		bccl 14222	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
96	94, 51, 95	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
97	96	nn0red 12474	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℝ)
98	97	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℝ)
99		0le2 12255	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
100	99	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 0 ≤ 2)
101		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = 2
102		2t1e2 12316	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
103	101, 102	eqtr4i 2767	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (2 · 1)
104	103	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 = (2 · 1))
105		1red 11156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 1 ∈ ℝ)
106	53, 68	remulcld 11185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
107	71	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 3 ∈ ℝ)
108	106, 107	readdcld 11184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2 · 𝑘) + 3) ∈ ℝ)
109	108, 75, 82	redivcld 11983	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)) ∈ ℝ)
110		nnrp 12926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
111	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
112	110, 111	rpaddcld 12972	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 2) ∈ ℝ+)
113	112	rpcnd 12959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 2) ∈ ℂ)
114	113	mulid1d 11172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 + 2) · 1) = (𝑘 + 2))
115		nnre 12160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
116	49	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
117	116, 115	remulcld 11185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
118	71	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ)
119	110	rpge0d 12961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑘)
120		1le2 12362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≤ 2
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 2)
122	115, 116, 119, 121	lemulge12d 12093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≤ (2 · 𝑘))
123		2lt3 12325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 3
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 < 3)
125	115, 116, 117, 118, 122, 124	leltaddd 11777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 2) < ((2 · 𝑘) + 3))
126	114, 125	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 + 2) · 1) < ((2 · 𝑘) + 3))
127		1red 11156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
128	117, 118	readdcld 11184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 3) ∈ ℝ)
129	127, 128, 112	ltmuldiv2d 13005	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑘 + 2) · 1) < ((2 · 𝑘) + 3) ↔ 1 < (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))))
130	126, 129	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 < (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)))
131	67, 130	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 1 < (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)))
132	105, 109, 78, 131	ltmul2dd 13013	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · 1) < (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))))
133	104, 132	eqbrtrd 5127	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 < (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))))
134	133	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 2 < (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))))
135	99	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 ≤ 2)
136	53, 88, 135	expge0d 14069	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 0 ≤ (2↑(𝑘 + 1)))
137	136	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → 0 ≤ (2↑(𝑘 + 1)))
138		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘))
139	50, 85, 90, 98, 100, 134, 137, 138	ltmul12ad 12096	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2 · (2↑(𝑘 + 1))) < ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)))
140		2cnd 12231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 2 ∈ ℂ)
141	140, 87, 88	expaddd 14053	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑((𝑘 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑘 + 1)) · (2↑1)))
142	140, 88	expcld 14051	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
143	140, 87	expcld 14051	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑1) ∈ ℂ)
144	142, 143	mulcomd 11176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2↑(𝑘 + 1)) · (2↑1)) = ((2↑1) · (2↑(𝑘 + 1))))
145	140	exp1d 14046	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑1) = 2)
146	145	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2↑1) · (2↑(𝑘 + 1))) = (2 · (2↑(𝑘 + 1))))
147		eqidd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · (2↑(𝑘 + 1))) = (2 · (2↑(𝑘 + 1))))
148	144, 146, 147	3eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2↑(𝑘 + 1)) · (2↑1)) = (2 · (2↑(𝑘 + 1))))
149	141, 148	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2↑((𝑘 + 1) + 1)) = (2 · (2↑(𝑘 + 1))))
150	149	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · (2↑(𝑘 + 1))) = (2↑((𝑘 + 1) + 1)))
151	150	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2 · (2↑(𝑘 + 1))) = (2↑((𝑘 + 1) + 1)))
152	63	2np3bcnp1 40552	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)) = ((((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) · (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)))))
153	96	nn0cnd 12475	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∈ ℂ)
154	67	nncnd 12169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℂ)
155	140, 154	mulcld 11175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
156		3cn 12234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
157	156	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → 3 ∈ ℂ)
158	155, 157	addcld 11174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2 · 𝑘) + 3) ∈ ℂ)
159	154, 140	addcld 11174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (𝑘 + 2) ∈ ℂ)
160	158, 159, 82	divcld 11931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)) ∈ ℂ)
161	140, 160	mulcld 11175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) ∈ ℂ)
162	153, 161	mulcomd 11176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) · (2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2)))) = ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)))
163	152, 162	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)) = ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)))
164	163	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘) → ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)) = (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)))
165	164	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)) = (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)))
166	151, 165	breq12d 5118	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → ((2 · (2↑(𝑘 + 1))) < ((2 · (((2 · 𝑘) + 3) / (𝑘 + 2))) · (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘)) ↔ (2↑((𝑘 + 1) + 1)) < (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1))))
167	139, 166	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑(𝑘 + 1)) < (((2 · 𝑘) + 1)C𝑘) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘)) → (2↑((𝑘 + 1) + 1)) < (((2 · (𝑘 + 1)) + 1)C(𝑘 + 1)))
168		2z 12535	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
169	168	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
170		2ap1caineq.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
171		2ap1caineq.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
172	7, 14, 21, 28, 48, 167, 169, 170, 171	uzindd 40434	1 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) < (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190   / cdiv 11812  ℕcn 12153  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  5c5 12211  8c8 12214  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ;cdc 12618  ℝ⁺crp 12915  ↑cexp 13967  Ccbc 14202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203

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