Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2ap1caineq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2ap1caineq 41268
Description: Inequality for Theorem 6.6 for AKS. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
2ap1caineq.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2ap1caineq.2 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰ค ๐‘)
Assertion
Ref Expression
2ap1caineq (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) < (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘))

Proof of Theorem 2ap1caineq
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7419 . . . 4 (๐‘— = 2 โ†’ (๐‘— + 1) = (2 + 1))
21oveq2d 7428 . . 3 (๐‘— = 2 โ†’ (2โ†‘(๐‘— + 1)) = (2โ†‘(2 + 1)))
3 oveq2 7420 . . . . 5 (๐‘— = 2 โ†’ (2 ยท ๐‘—) = (2 ยท 2))
43oveq1d 7427 . . . 4 (๐‘— = 2 โ†’ ((2 ยท ๐‘—) + 1) = ((2 ยท 2) + 1))
5 id 22 . . . 4 (๐‘— = 2 โ†’ ๐‘— = 2)
64, 5oveq12d 7430 . . 3 (๐‘— = 2 โ†’ (((2 ยท ๐‘—) + 1)C๐‘—) = (((2 ยท 2) + 1)C2))
72, 6breq12d 5162 . 2 (๐‘— = 2 โ†’ ((2โ†‘(๐‘— + 1)) < (((2 ยท ๐‘—) + 1)C๐‘—) โ†” (2โ†‘(2 + 1)) < (((2 ยท 2) + 1)C2)))
8 oveq1 7419 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘— + 1) = (๐‘˜ + 1))
98oveq2d 7428 . . 3 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (2โ†‘(๐‘— + 1)) = (2โ†‘(๐‘˜ + 1)))
10 oveq2 7420 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (2 ยท ๐‘—) = (2 ยท ๐‘˜))
1110oveq1d 7427 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((2 ยท ๐‘—) + 1) = ((2 ยท ๐‘˜) + 1))
12 id 22 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ๐‘— = ๐‘˜)
1311, 12oveq12d 7430 . . 3 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (((2 ยท ๐‘—) + 1)C๐‘—) = (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜))
149, 13breq12d 5162 . 2 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((2โ†‘(๐‘— + 1)) < (((2 ยท ๐‘—) + 1)C๐‘—) โ†” (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜)))
15 oveq1 7419 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘— + 1) = ((๐‘˜ + 1) + 1))
1615oveq2d 7428 . . 3 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (2โ†‘(๐‘— + 1)) = (2โ†‘((๐‘˜ + 1) + 1)))
17 oveq2 7420 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (2 ยท ๐‘—) = (2 ยท (๐‘˜ + 1)))
1817oveq1d 7427 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((2 ยท ๐‘—) + 1) = ((2 ยท (๐‘˜ + 1)) + 1))
19 id 22 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ๐‘— = (๐‘˜ + 1))
2018, 19oveq12d 7430 . . 3 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((2 ยท ๐‘—) + 1)C๐‘—) = (((2 ยท (๐‘˜ + 1)) + 1)C(๐‘˜ + 1)))
2116, 20breq12d 5162 . 2 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((2โ†‘(๐‘— + 1)) < (((2 ยท ๐‘—) + 1)C๐‘—) โ†” (2โ†‘((๐‘˜ + 1) + 1)) < (((2 ยท (๐‘˜ + 1)) + 1)C(๐‘˜ + 1))))
22 oveq1 7419 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐‘— + 1) = (๐‘ + 1))
2322oveq2d 7428 . . 3 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (2โ†‘(๐‘— + 1)) = (2โ†‘(๐‘ + 1)))
24 oveq2 7420 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (2 ยท ๐‘—) = (2 ยท ๐‘))
2524oveq1d 7427 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘—) + 1) = ((2 ยท ๐‘) + 1))
26 id 22 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ๐‘— = ๐‘)
2725, 26oveq12d 7430 . . 3 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘—) + 1)C๐‘—) = (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘))
2823, 27breq12d 5162 . 2 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((2โ†‘(๐‘— + 1)) < (((2 ยท ๐‘—) + 1)C๐‘—) โ†” (2โ†‘(๐‘ + 1)) < (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘)))
29 8lt10 12814 . . . . 5 8 < 10
30 eqid 2731 . . . . . . 7 8 = 8
31 cu2 14169 . . . . . . 7 (2โ†‘3) = 8
3230, 31eqtr4i 2762 . . . . . 6 8 = (2โ†‘3)
33 5bc2eq10 41265 . . . . . . 7 (5C2) = 10
3433eqcomi 2740 . . . . . 6 10 = (5C2)
3532, 34breq12i 5158 . . . . 5 (8 < 10 โ†” (2โ†‘3) < (5C2))
3629, 35mpbi 229 . . . 4 (2โ†‘3) < (5C2)
37 df-3 12281 . . . . . 6 3 = (2 + 1)
3837oveq2i 7423 . . . . 5 (2โ†‘3) = (2โ†‘(2 + 1))
39 eqid 2731 . . . . . . 7 5 = 5
40 2t2e4 12381 . . . . . . . . 9 (2 ยท 2) = 4
4140oveq1i 7422 . . . . . . . 8 ((2 ยท 2) + 1) = (4 + 1)
42 4p1e5 12363 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
4341, 42eqtri 2759 . . . . . . 7 ((2 ยท 2) + 1) = 5
4439, 43eqtr4i 2762 . . . . . 6 5 = ((2 ยท 2) + 1)
4544oveq1i 7422 . . . . 5 (5C2) = (((2 ยท 2) + 1)C2)
4638, 45breq12i 5158 . . . 4 ((2โ†‘3) < (5C2) โ†” (2โ†‘(2 + 1)) < (((2 ยท 2) + 1)C2))
4736, 46mpbi 229 . . 3 (2โ†‘(2 + 1)) < (((2 ยท 2) + 1)C2)
4847a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘(2 + 1)) < (((2 ยท 2) + 1)C2))
49 2re 12291 . . . . 5 2 โˆˆ โ„
5049a1i 11 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
51 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
52 0red 11222 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
5349a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
5451zred 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
55 2pos 12320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 2
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 0 < 2)
57 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 2 โ‰ค ๐‘˜)
5852, 53, 54, 56, 57ltletrd 11379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 0 < ๐‘˜)
5951, 58jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐‘˜))
60 elnnz 12573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐‘˜))
6159, 60sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
62 nnnn0 12484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
6463nn0red 12538 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
6552, 53, 64, 56, 57ltletrd 11379 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 0 < ๐‘˜)
6651, 65jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐‘˜))
6766, 60sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
6867nnred 12232 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
69683ad2ant3 1134 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
7050, 69remulcld 11249 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„)
71 3re 12297 . . . . . . . 8 3 โˆˆ โ„
7271a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ 3 โˆˆ โ„)
7370, 72readdcld 11248 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 3) โˆˆ โ„)
7469, 50readdcld 11248 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜ + 2) โˆˆ โ„)
7568, 53readdcld 11248 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘˜ + 2) โˆˆ โ„)
7667nngt0d 12266 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 0 < ๐‘˜)
77 2rp 12984 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„+
7877a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
7968, 78ltaddrpd 13054 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘˜ < (๐‘˜ + 2))
8052, 68, 75, 76, 79lttrd 11380 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 0 < (๐‘˜ + 2))
8152, 80ltned 11355 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 0 โ‰  (๐‘˜ + 2))
8281necomd 2995 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘˜ + 2) โ‰  0)
83823ad2ant3 1134 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜ + 2) โ‰  0)
8473, 74, 83redivcld 12047 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2)) โˆˆ โ„)
8550, 84remulcld 11249 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ (2 ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2))) โˆˆ โ„)
86 1nn0 12493 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•0
8786a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
8863, 87nn0addcld 12541 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
8953, 88reexpcld 14133 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
90893ad2ant3 1134 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
91 2nn0 12494 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•0
9291a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
9392, 63nn0mulcld 12542 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
9493, 87nn0addcld 12541 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„•0)
95 bccl 14287 . . . . . . 7 ((((2 ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
9694, 51, 95syl2anc 583 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
9796nn0red 12538 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆˆ โ„)
98973ad2ant3 1134 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆˆ โ„)
99 0le2 12319 . . . . 5 0 โ‰ค 2
10099a1i 11 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ 0 โ‰ค 2)
101 eqid 2731 . . . . . . . 8 2 = 2
102 2t1e2 12380 . . . . . . . 8 (2 ยท 1) = 2
103101, 102eqtr4i 2762 . . . . . . 7 2 = (2 ยท 1)
104103a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 2 = (2 ยท 1))
105 1red 11220 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
10653, 68remulcld 11249 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„)
10771a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 3 โˆˆ โ„)
108106, 107readdcld 11248 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 3) โˆˆ โ„)
109108, 75, 82redivcld 12047 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2)) โˆˆ โ„)
110 nnrp 12990 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„+)
11177a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
112110, 111rpaddcld 13036 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ + 2) โˆˆ โ„+)
113112rpcnd 13023 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ + 2) โˆˆ โ„‚)
114113mulridd 11236 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘˜ + 2) ยท 1) = (๐‘˜ + 2))
115 nnre 12224 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
11649a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„)
117116, 115remulcld 11249 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„)
11871a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 3 โˆˆ โ„)
119110rpge0d 13025 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค ๐‘˜)
120 1le2 12426 . . . . . . . . . . . . 13 1 โ‰ค 2
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค 2)
122115, 116, 119, 121lemulge12d 12157 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (2 ยท ๐‘˜))
123 2lt3 12389 . . . . . . . . . . . 12 2 < 3
124123a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 2 < 3)
125115, 116, 117, 118, 122, 124leltaddd 11841 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ + 2) < ((2 ยท ๐‘˜) + 3))
126114, 125eqbrtrd 5171 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘˜ + 2) ยท 1) < ((2 ยท ๐‘˜) + 3))
127 1red 11220 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„)
128117, 118readdcld 11248 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 3) โˆˆ โ„)
129127, 128, 112ltmuldiv2d 13069 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘˜ + 2) ยท 1) < ((2 ยท ๐‘˜) + 3) โ†” 1 < (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2))))
130126, 129mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 1 < (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2)))
13167, 130syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 1 < (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2)))
132105, 109, 78, 131ltmul2dd 13077 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (2 ยท 1) < (2 ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2))))
133104, 132eqbrtrd 5171 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 2 < (2 ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2))))
1341333ad2ant3 1134 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ 2 < (2 ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2))))
13599a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 0 โ‰ค 2)
13653, 88, 135expge0d 14134 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 0 โ‰ค (2โ†‘(๐‘˜ + 1)))
1371363ad2ant3 1134 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ 0 โ‰ค (2โ†‘(๐‘˜ + 1)))
138 simp2 1136 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜))
13950, 85, 90, 98, 100, 134, 137, 138ltmul12ad 12160 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ (2 ยท (2โ†‘(๐‘˜ + 1))) < ((2 ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2))) ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜)))
140 2cnd 12295 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
141140, 87, 88expaddd 14118 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (2โ†‘((๐‘˜ + 1) + 1)) = ((2โ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (2โ†‘1)))
142140, 88expcld 14116 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
143140, 87expcld 14116 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (2โ†‘1) โˆˆ โ„‚)
144142, 143mulcomd 11240 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ((2โ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (2โ†‘1)) = ((2โ†‘1) ยท (2โ†‘(๐‘˜ + 1))))
145140exp1d 14111 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (2โ†‘1) = 2)
146145oveq1d 7427 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ((2โ†‘1) ยท (2โ†‘(๐‘˜ + 1))) = (2 ยท (2โ†‘(๐‘˜ + 1))))
147 eqidd 2732 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (2 ยท (2โ†‘(๐‘˜ + 1))) = (2 ยท (2โ†‘(๐‘˜ + 1))))
148144, 146, 1473eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ((2โ†‘(๐‘˜ + 1)) ยท (2โ†‘1)) = (2 ยท (2โ†‘(๐‘˜ + 1))))
149141, 148eqtrd 2771 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (2โ†‘((๐‘˜ + 1) + 1)) = (2 ยท (2โ†‘(๐‘˜ + 1))))
150149eqcomd 2737 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (2 ยท (2โ†‘(๐‘˜ + 1))) = (2โ†‘((๐‘˜ + 1) + 1)))
1511503ad2ant3 1134 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ (2 ยท (2โ†‘(๐‘˜ + 1))) = (2โ†‘((๐‘˜ + 1) + 1)))
152632np3bcnp1 41267 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (((2 ยท (๐‘˜ + 1)) + 1)C(๐‘˜ + 1)) = ((((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2)))))
15396nn0cnd 12539 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
15467nncnd 12233 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
155140, 154mulcld 11239 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
156 3cn 12298 . . . . . . . . . . . 12 3 โˆˆ โ„‚
157156a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
158155, 157addcld 11238 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 3) โˆˆ โ„‚)
159154, 140addcld 11238 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘˜ + 2) โˆˆ โ„‚)
160158, 159, 82divcld 11995 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2)) โˆˆ โ„‚)
161140, 160mulcld 11239 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (2 ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2))) โˆˆ โ„‚)
162153, 161mulcomd 11240 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ((((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2)))) = ((2 ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2))) ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜)))
163152, 162eqtrd 2771 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (((2 ยท (๐‘˜ + 1)) + 1)C(๐‘˜ + 1)) = ((2 ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2))) ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜)))
164163eqcomd 2737 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ((2 ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2))) ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜)) = (((2 ยท (๐‘˜ + 1)) + 1)C(๐‘˜ + 1)))
1651643ad2ant3 1134 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ ((2 ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2))) ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜)) = (((2 ยท (๐‘˜ + 1)) + 1)C(๐‘˜ + 1)))
166151, 165breq12d 5162 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ ((2 ยท (2โ†‘(๐‘˜ + 1))) < ((2 ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 3) / (๐‘˜ + 2))) ยท (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜)) โ†” (2โ†‘((๐‘˜ + 1) + 1)) < (((2 ยท (๐‘˜ + 1)) + 1)C(๐‘˜ + 1))))
167139, 166mpbid 231 . 2 ((๐œ‘ โˆง (2โ†‘(๐‘˜ + 1)) < (((2 ยท ๐‘˜) + 1)C๐‘˜) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ (2โ†‘((๐‘˜ + 1) + 1)) < (((2 ยท (๐‘˜ + 1)) + 1)C(๐‘˜ + 1)))
168 2z 12599 . . 3 2 โˆˆ โ„ค
169168a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
170 2ap1caineq.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
171 2ap1caineq.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰ค ๐‘)
1727, 14, 21, 28, 48, 167, 169, 170, 171uzindd 41149 1 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) < (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939   class class class wbr 5149  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11111  โ„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   ยท cmul 11118   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   / cdiv 11876  โ„•cn 12217  2c2 12272  3c3 12273  4c4 12274  5c5 12275  8c8 12278  โ„•0cn0 12477  โ„คcz 12563  cdc 12682  โ„+crp 12979  โ†‘cexp 14032  Ccbc 14267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator