Theorem nn0le2msqi 13372

Description: The square function on nonnegative integers is monotonic. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0le2msqi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
nn0le2msqi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
nn0le2msqi	⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐵))

Proof of Theorem nn0le2msqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0le2msqi.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2	1	nn0ge0i 11671	. . 3 ⊢ 0 ≤ 𝐴
3		nn0le2msqi.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4	3	nn0ge0i 11671	. . 3 ⊢ 0 ≤ 𝐵
5	1	nn0rei 11654	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
6	3	nn0rei 11654	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
7	5, 6	le2sqi 13272	. . 3 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2)))
8	2, 4, 7	mp2an 682	. 2 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2))
9	1	nn0cni 11655	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
10	9	sqvali 13262	. . 3 ⊢ (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴)
11	3	nn0cni 11655	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
12	11	sqvali 13262	. . 3 ⊢ (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵)
13	10, 12	breq12i 4895	. 2 ⊢ ((𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2) ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐵))
14	8, 13	bitri 267	1 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∈ wcel 2106   class class class wbr 4886  (class class class)co 6922  0cc0 10272   · cmul 10277   ≤ cle 10412  2c2 11430  ℕ₀cn0 11642  ↑cexp 13178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-seq 13120  df-exp 13179

This theorem is referenced by:  nn0opthlem1  13373