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Theorem relowlpssretop 34729
Description: The lower limit topology on the reals is strictly finer than the standard topology. (Contributed by ML, 2-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
relowlpssretop.1 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
relowlpssretop (topGen‘ran (,)) ⊊ (topGen‘𝐼)

Proof of Theorem relowlpssretop
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑖 𝑜 𝑥 𝑚 𝑛 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relowlpssretop.1 . . 3 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
21relowlssretop 34728 . 2 (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼)
3 2re 11708 . . . . 5 2 ∈ ℝ
4 1lt2 11805 . . . . 5 1 < 2
5 ovex 7182 . . . . . . . . . . . 12 (1[,)𝑐) ∈ V
6 sbcan 3806 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([1 / 𝑥](𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑐) ↔ ([1 / 𝑥]𝑐 ∈ ℝ ∧ [1 / 𝑥]𝑥 < 𝑐))
7 1re 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
8 sbcg 3831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ℝ → ([1 / 𝑥]𝑐 ∈ ℝ ↔ 𝑐 ∈ ℝ))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ([1 / 𝑥]𝑐 ∈ ℝ ↔ 𝑐 ∈ ℝ)
10 sbcbr123 5106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([1 / 𝑥]𝑥 < 𝑐1 / 𝑥𝑥1 / 𝑥 < 1 / 𝑥𝑐)
11 csbvarg 4366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 ∈ ℝ → 1 / 𝑥𝑥 = 1)
127, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 / 𝑥𝑥 = 1
13 csbconstg 3885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 ∈ ℝ → 1 / 𝑥𝑐 = 𝑐)
147, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 / 𝑥𝑐 = 𝑐
1512, 14breq12i 5061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 𝑥𝑥1 / 𝑥 < 1 / 𝑥𝑐 ↔ 11 / 𝑥 < 𝑐)
16 csbconstg 3885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 ∈ ℝ → 1 / 𝑥 < = < )
177, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 / 𝑥 < = <
1817breqi 5058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (11 / 𝑥 < 𝑐 ↔ 1 < 𝑐)
1910, 15, 183bitri 300 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ([1 / 𝑥]𝑥 < 𝑐 ↔ 1 < 𝑐)
209, 19anbi12i 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (([1 / 𝑥]𝑐 ∈ ℝ ∧ [1 / 𝑥]𝑥 < 𝑐) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐))
216, 20bitri 278 . . . . . . . . . . . . . 14 ([1 / 𝑥](𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑐) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐))
22 sbceqg 4344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℝ → ([1 / 𝑥]𝑖 = (𝑥[,)𝑐) ↔ 1 / 𝑥𝑖 = 1 / 𝑥(𝑥[,)𝑐)))
237, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([1 / 𝑥]𝑖 = (𝑥[,)𝑐) ↔ 1 / 𝑥𝑖 = 1 / 𝑥(𝑥[,)𝑐))
24 csbconstg 3885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ℝ → 1 / 𝑥𝑖 = 𝑖)
257, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 / 𝑥𝑖 = 𝑖
26 csbov123 7191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 / 𝑥(𝑥[,)𝑐) = (1 / 𝑥𝑥1 / 𝑥[,)1 / 𝑥𝑐)
27 csbconstg 3885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 ∈ ℝ → 1 / 𝑥[,) = [,))
287, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 / 𝑥[,) = [,)
2912, 14, 28oveq123i 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 𝑥𝑥1 / 𝑥[,)1 / 𝑥𝑐) = (1[,)𝑐)
3026, 29eqtri 2847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 / 𝑥(𝑥[,)𝑐) = (1[,)𝑐)
3125, 30eqeq12i 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 𝑥𝑖 = 1 / 𝑥(𝑥[,)𝑐) ↔ 𝑖 = (1[,)𝑐))
3223, 31bitri 278 . . . . . . . . . . . . . 14 ([1 / 𝑥]𝑖 = (𝑥[,)𝑐) ↔ 𝑖 = (1[,)𝑐))
33 sbcan 3806 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([1 / 𝑥]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) ↔ ([1 / 𝑥](𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑐) ∧ [1 / 𝑥]𝑖 = (𝑥[,)𝑐)))
34 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
35 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
36 leid 10734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥𝑥)
3735, 36jccir 525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑥))
38 rexr 10685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑐 ∈ ℝ → 𝑐 ∈ ℝ*)
39 elico2 12798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑐) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑥𝑥 < 𝑐)))
4038, 39sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑐) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑥𝑥 < 𝑐)))
41 df-3an 1086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑥𝑥 < 𝑐) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑥) ∧ 𝑥 < 𝑐))
4240, 41syl6bb 290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑐) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑥) ∧ 𝑥 < 𝑐)))
4342baibd 543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑥)) → (𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑐) ↔ 𝑥 < 𝑐))
4437, 43mpdan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑐) ↔ 𝑥 < 𝑐))
4544biimpar 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝑐) → 𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑐))
4645adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) → 𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑐))
47 eleq2 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑖 = (𝑥[,)𝑐) → (𝑥𝑖𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑐)))
4847adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) → (𝑥𝑖𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑐)))
4946, 48mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) → 𝑥𝑖)
50 rexpssxrxp 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
51 opelxpi 5579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ⟨𝑥, 𝑐⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
5250, 51sseldi 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ⟨𝑥, 𝑐⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
53 df-ico 12741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑐 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑐)})
5453ixxf 12745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
5554fdmi 6514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 dom [,) = (ℝ* × ℝ*)
5655eleq2i 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⟨𝑥, 𝑐⟩ ∈ dom [,) ↔ ⟨𝑥, 𝑐⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
5753mpofun 7269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Fun [,)
58 funfvima 6984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((Fun [,) ∧ ⟨𝑥, 𝑐⟩ ∈ dom [,)) → (⟨𝑥, 𝑐⟩ ∈ (ℝ × ℝ) → ([,)‘⟨𝑥, 𝑐⟩) ∈ ([,) “ (ℝ × ℝ))))
5957, 58mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⟨𝑥, 𝑐⟩ ∈ dom [,) → (⟨𝑥, 𝑐⟩ ∈ (ℝ × ℝ) → ([,)‘⟨𝑥, 𝑐⟩) ∈ ([,) “ (ℝ × ℝ))))
6056, 59sylbir 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (⟨𝑥, 𝑐⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) → (⟨𝑥, 𝑐⟩ ∈ (ℝ × ℝ) → ([,)‘⟨𝑥, 𝑐⟩) ∈ ([,) “ (ℝ × ℝ))))
6152, 51, 60sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ([,)‘⟨𝑥, 𝑐⟩) ∈ ([,) “ (ℝ × ℝ)))
62 df-ov 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥[,)𝑐) = ([,)‘⟨𝑥, 𝑐⟩)
6361, 62, 13eltr4g 2933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑥[,)𝑐) ∈ 𝐼)
64 eleq1 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑖 = (𝑥[,)𝑐) → (𝑖𝐼 ↔ (𝑥[,)𝑐) ∈ 𝐼))
6563, 64syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑖 = (𝑥[,)𝑐) → 𝑖𝐼))
6665imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) → 𝑖𝐼)
67 ioof 12834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
68 ffn 6503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
70 ovelrn 7318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑜 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑜 = (𝑎(,)𝑏)))
7169, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑜 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑜 = (𝑎(,)𝑏))
72 iooelexlt 34727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)𝑦 < 𝑥)
73 df-rex 3139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (∃𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑦 < 𝑥))
7472, 73sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑦 < 𝑥))
75 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏))
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏)))
7753elmpocl2 7383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 (𝑦 ∈ (𝑥[,)𝑐) → 𝑐 ∈ ℝ*)
78 elioore 12765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑥 ∈ ℝ)
79 elico2 12798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥[,)𝑐) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑦𝑦 < 𝑐)))
8078, 79sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑐 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥[,)𝑐) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑦𝑦 < 𝑐)))
81 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑦𝑦 < 𝑐) → 𝑥𝑦)
8280, 81syl6bi 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑐 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥[,)𝑐) → 𝑥𝑦))
8382ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑐 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (𝑥[,)𝑐) → 𝑥𝑦)))
8483com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑦 ∈ (𝑥[,)𝑐) → (𝑐 ∈ ℝ*𝑥𝑦)))
8577, 84mpdi 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑦 ∈ (𝑥[,)𝑐) → 𝑥𝑦))
8685imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)𝑐)) → 𝑥𝑦)
8778rexrd 10689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑥 ∈ ℝ*)
8887adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)𝑐)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
89 elicore 12786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)𝑐)) → 𝑦 ∈ ℝ)
9078, 89sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)𝑐)) → 𝑦 ∈ ℝ)
9190rexrd 10689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)𝑐)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
92 xrlenlt 10704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥))
9392biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 → ¬ 𝑦 < 𝑥))
9493con2d 136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑥 → ¬ 𝑥𝑦))
9588, 91, 94syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)𝑐)) → (𝑦 < 𝑥 → ¬ 𝑥𝑦))
9686, 95mt2d 138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)𝑐)) → ¬ 𝑦 < 𝑥)
9796intnand 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)𝑐)) → ¬ (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑦 < 𝑥))
9897ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑦 ∈ (𝑥[,)𝑐) → ¬ (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑦 < 𝑥)))
9998con2d 136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑥[,)𝑐)))
10076, 99jcad 516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝑥[,)𝑐))))
101 annim 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝑥[,)𝑐)) ↔ ¬ (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑦 ∈ (𝑥[,)𝑐)))
102100, 101syl6ib 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ¬ (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑦 ∈ (𝑥[,)𝑐))))
103102eximdv 1919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑦 ¬ (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑦 ∈ (𝑥[,)𝑐))))
10474, 103mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑦 ¬ (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑦 ∈ (𝑥[,)𝑐)))
105 exnal 1828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (∃𝑦 ¬ (𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑦 ∈ (𝑥[,)𝑐)) ↔ ¬ ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑦 ∈ (𝑥[,)𝑐)))
106104, 105sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ¬ ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑦 ∈ (𝑥[,)𝑐)))
107 dfss2 3939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑥[,)𝑐) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑦 ∈ (𝑥[,)𝑐)))
108106, 107sylnibr 332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ¬ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑥[,)𝑐))
109 imnan 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ¬ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑥[,)𝑐)) ↔ ¬ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑥[,)𝑐)))
110108, 109mpbi 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ¬ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑥[,)𝑐))
111 eleq2 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑥𝑜𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)))
112 sseq1 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑜 ⊆ (𝑥[,)𝑐) ↔ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑥[,)𝑐)))
113111, 112anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥𝑜𝑜 ⊆ (𝑥[,)𝑐)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑥[,)𝑐))))
114110, 113mtbiri 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → ¬ (𝑥𝑜𝑜 ⊆ (𝑥[,)𝑐)))
115 sseq2 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑖 = (𝑥[,)𝑐) → (𝑜𝑖𝑜 ⊆ (𝑥[,)𝑐)))
116115anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑖 = (𝑥[,)𝑐) → ((𝑥𝑜𝑜𝑖) ↔ (𝑥𝑜𝑜 ⊆ (𝑥[,)𝑐))))
117116notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑖 = (𝑥[,)𝑐) → (¬ (𝑥𝑜𝑜𝑖) ↔ ¬ (𝑥𝑜𝑜 ⊆ (𝑥[,)𝑐))))
118114, 117syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑖 = (𝑥[,)𝑐) → ¬ (𝑥𝑜𝑜𝑖)))
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑖 = (𝑥[,)𝑐) → ¬ (𝑥𝑜𝑜𝑖))))
120119rexlimivv 3284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑖 = (𝑥[,)𝑐) → ¬ (𝑥𝑜𝑜𝑖)))
12171, 120sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑜 ∈ ran (,) → (𝑖 = (𝑥[,)𝑐) → ¬ (𝑥𝑜𝑜𝑖)))
122121com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑖 = (𝑥[,)𝑐) → (𝑜 ∈ ran (,) → ¬ (𝑥𝑜𝑜𝑖)))
123122ralrimiv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑖 = (𝑥[,)𝑐) → ∀𝑜 ∈ ran (,) ¬ (𝑥𝑜𝑜𝑖))
124 ralnex 3230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (∀𝑜 ∈ ran (,) ¬ (𝑥𝑜𝑜𝑖) ↔ ¬ ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖))
125123, 124sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑖 = (𝑥[,)𝑐) → ¬ ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖))
126125adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) → ¬ ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖))
12766, 126jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) → (𝑖𝐼 ∧ ¬ ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖)))
128127adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) → (𝑖𝐼 ∧ ¬ ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖)))
12949, 128jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) → (𝑥𝑖 ∧ (𝑖𝐼 ∧ ¬ ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖))))
130 an12 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥𝑖 ∧ (𝑖𝐼 ∧ ¬ ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖))) ↔ (𝑖𝐼 ∧ (𝑥𝑖 ∧ ¬ ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖))))
131 annim 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥𝑖 ∧ ¬ ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖)) ↔ ¬ (𝑥𝑖 → ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖)))
132131anbi2i 625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑖𝐼 ∧ (𝑥𝑖 ∧ ¬ ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖))) ↔ (𝑖𝐼 ∧ ¬ (𝑥𝑖 → ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖))))
133130, 132bitri 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥𝑖 ∧ (𝑖𝐼 ∧ ¬ ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖))) ↔ (𝑖𝐼 ∧ ¬ (𝑥𝑖 → ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖))))
134129, 133sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) → (𝑖𝐼 ∧ ¬ (𝑥𝑖 → ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖))))
135 rspe 3296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑖𝐼 ∧ ¬ (𝑥𝑖 → ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖))) → ∃𝑖𝐼 ¬ (𝑥𝑖 → ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖)))
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) → ∃𝑖𝐼 ¬ (𝑥𝑖 → ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖)))
137 rexnal 3232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (∃𝑖𝐼 ¬ (𝑥𝑖 → ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖)) ↔ ¬ ∀𝑖𝐼 (𝑥𝑖 → ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖)))
138136, 137sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) → ¬ ∀𝑖𝐼 (𝑥𝑖 → ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖)))
139138exp41 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑐 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝑐 → (𝑖 = (𝑥[,)𝑐) → ¬ ∀𝑖𝐼 (𝑥𝑖 → ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖))))))
140139com4l 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑐 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝑐 → (𝑖 = (𝑥[,)𝑐) → (𝑥 ∈ ℝ → ¬ ∀𝑖𝐼 (𝑥𝑖 → ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖))))))
141140imp41 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ ∀𝑖𝐼 (𝑥𝑖 → ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖)))
142 rspe 3296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ ∀𝑖𝐼 (𝑥𝑖 → ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑖𝐼 (𝑥𝑖 → ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖)))
14334, 141, 142syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑖𝐼 (𝑥𝑖 → ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖)))
144 rexnal 3232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑖𝐼 (𝑥𝑖 → ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝐼 (𝑥𝑖 → ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖)))
145143, 144sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝐼 (𝑥𝑖 → ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖)))
146 df-ico 12741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 [,) = (𝑚 ∈ ℝ*, 𝑛 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑚𝑧𝑧 < 𝑛)})
147146ixxex 12746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 [,) ∈ V
148 imaexg 7615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ([,) ∈ V → ([,) “ (ℝ × ℝ)) ∈ V)
149147, 148ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ([,) “ (ℝ × ℝ)) ∈ V
1501, 149eqeltri 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐼 ∈ V
1511icoreunrn 34724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ℝ = 𝐼
152 unirnioo 12836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ℝ = ran (,)
153151, 152eqtr3i 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐼 = ran (,)
154 tgss2 21598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐼 = ran (,)) → ((topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,)) ↔ ∀𝑥 𝐼𝑖𝐼 (𝑥𝑖 → ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖))))
155150, 153, 154mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,)) ↔ ∀𝑥 𝐼𝑖𝐼 (𝑥𝑖 → ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖)))
156151raleqi 3400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝐼 (𝑥𝑖 → ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖)) ↔ ∀𝑥 𝐼𝑖𝐼 (𝑥𝑖 → ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖)))
157155, 156bitr4i 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝐼 (𝑥𝑖 → ∃𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜𝑜𝑖)))
158145, 157sylnibr 332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,)))
159158sbcth 3773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ∈ ℝ → [1 / 𝑥]((((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,))))
1607, 159ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 [1 / 𝑥]((((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,)))
161 sbcimg 3805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ∈ ℝ → ([1 / 𝑥]((((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,))) ↔ ([1 / 𝑥](((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → [1 / 𝑥] ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,)))))
1627, 161ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([1 / 𝑥]((((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,))) ↔ ([1 / 𝑥](((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → [1 / 𝑥] ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,))))
163160, 162mpbi 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ([1 / 𝑥](((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → [1 / 𝑥] ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,)))
164 sbcel1v 3824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ([1 / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ 1 ∈ ℝ)
1657, 164mpbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 [1 / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ
166 sbcan 3806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([1 / 𝑥](((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ↔ ([1 / 𝑥]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) ∧ [1 / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ))
167165, 166mpbiran2 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ([1 / 𝑥](((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ↔ [1 / 𝑥]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)))
168 sbcg 3831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ℝ → ([1 / 𝑥] ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,)) ↔ ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,))))
1697, 168ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ([1 / 𝑥] ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,)) ↔ ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,)))
170163, 167, 1693imtr3i 294 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([1 / 𝑥]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) → ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,)))
17133, 170sylbir 238 . . . . . . . . . . . . . 14 (([1 / 𝑥](𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑐) ∧ [1 / 𝑥]𝑖 = (𝑥[,)𝑐)) → ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,)))
17221, 32, 171syl2anbr 601 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) → ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,)))
173172sbcth 3773 . . . . . . . . . . . 12 ((1[,)𝑐) ∈ V → [(1[,)𝑐) / 𝑖](((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) → ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,))))
1745, 173ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 [(1[,)𝑐) / 𝑖](((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) → ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,)))
175 sbcimg 3805 . . . . . . . . . . . 12 ((1[,)𝑐) ∈ V → ([(1[,)𝑐) / 𝑖](((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) → ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,))) ↔ ([(1[,)𝑐) / 𝑖]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) → [(1[,)𝑐) / 𝑖] ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,)))))
1765, 175ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ([(1[,)𝑐) / 𝑖](((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) → ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,))) ↔ ([(1[,)𝑐) / 𝑖]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) → [(1[,)𝑐) / 𝑖] ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,))))
177174, 176mpbi 233 . . . . . . . . . 10 ([(1[,)𝑐) / 𝑖]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) → [(1[,)𝑐) / 𝑖] ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,)))
178 sbcan 3806 . . . . . . . . . . 11 ([(1[,)𝑐) / 𝑖]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) ↔ ([(1[,)𝑐) / 𝑖](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ [(1[,)𝑐) / 𝑖]𝑖 = (1[,)𝑐)))
179 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (1[,)𝑐) = (1[,)𝑐)
180 eqsbc3 3803 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1[,)𝑐) ∈ V → ([(1[,)𝑐) / 𝑖]𝑖 = (1[,)𝑐) ↔ (1[,)𝑐) = (1[,)𝑐)))
1815, 180ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ([(1[,)𝑐) / 𝑖]𝑖 = (1[,)𝑐) ↔ (1[,)𝑐) = (1[,)𝑐))
182179, 181mpbir 234 . . . . . . . . . . . 12 [(1[,)𝑐) / 𝑖]𝑖 = (1[,)𝑐)
183 sbcg 3831 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1[,)𝑐) ∈ V → ([(1[,)𝑐) / 𝑖](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐)))
1845, 183ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ([(1[,)𝑐) / 𝑖](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐))
185184anbi1i 626 . . . . . . . . . . . 12 (([(1[,)𝑐) / 𝑖](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ [(1[,)𝑐) / 𝑖]𝑖 = (1[,)𝑐)) ↔ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ [(1[,)𝑐) / 𝑖]𝑖 = (1[,)𝑐)))
186182, 185mpbiran2 709 . . . . . . . . . . 11 (([(1[,)𝑐) / 𝑖](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ [(1[,)𝑐) / 𝑖]𝑖 = (1[,)𝑐)) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐))
187178, 186bitri 278 . . . . . . . . . 10 ([(1[,)𝑐) / 𝑖]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐))
188 sbcg 3831 . . . . . . . . . . 11 ((1[,)𝑐) ∈ V → ([(1[,)𝑐) / 𝑖] ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,)) ↔ ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,))))
1895, 188ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ([(1[,)𝑐) / 𝑖] ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,)) ↔ ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,)))
190177, 187, 1893imtr3i 294 . . . . . . . . 9 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) → ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,)))
191190sbcth 3773 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ → [2 / 𝑐]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) → ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,))))
1923, 191ax-mp 5 . . . . . . 7 [2 / 𝑐]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) → ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,)))
193 sbcimg 3805 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ → ([2 / 𝑐]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) → ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,))) ↔ ([2 / 𝑐](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) → [2 / 𝑐] ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,)))))
1943, 193ax-mp 5 . . . . . . 7 ([2 / 𝑐]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) → ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,))) ↔ ([2 / 𝑐](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) → [2 / 𝑐] ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,))))
195192, 194mpbi 233 . . . . . 6 ([2 / 𝑐](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) → [2 / 𝑐] ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,)))
196 sbcan 3806 . . . . . . 7 ([2 / 𝑐](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ↔ ([2 / 𝑐]𝑐 ∈ ℝ ∧ [2 / 𝑐]1 < 𝑐))
197 sbcel1v 3824 . . . . . . . 8 ([2 / 𝑐]𝑐 ∈ ℝ ↔ 2 ∈ ℝ)
198 sbcbr123 5106 . . . . . . . . 9 ([2 / 𝑐]1 < 𝑐2 / 𝑐12 / 𝑐 < 2 / 𝑐𝑐)
199 csbconstg 3885 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ → 2 / 𝑐1 = 1)
2003, 199ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 2 / 𝑐1 = 1
201 csbvarg 4366 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ → 2 / 𝑐𝑐 = 2)
2023, 201ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 2 / 𝑐𝑐 = 2
203200, 202breq12i 5061 . . . . . . . . 9 (2 / 𝑐12 / 𝑐 < 2 / 𝑐𝑐 ↔ 12 / 𝑐 < 2)
204 csbconstg 3885 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ → 2 / 𝑐 < = < )
2053, 204ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 2 / 𝑐 < = <
206205breqi 5058 . . . . . . . . 9 (12 / 𝑐 < 2 ↔ 1 < 2)
207198, 203, 2063bitri 300 . . . . . . . 8 ([2 / 𝑐]1 < 𝑐 ↔ 1 < 2)
208197, 207anbi12i 629 . . . . . . 7 (([2 / 𝑐]𝑐 ∈ ℝ ∧ [2 / 𝑐]1 < 𝑐) ↔ (2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2))
209196, 208bitri 278 . . . . . 6 ([2 / 𝑐](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ↔ (2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2))
210 sbcg 3831 . . . . . . 7 (2 ∈ ℝ → ([2 / 𝑐] ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,)) ↔ ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,))))
2113, 210ax-mp 5 . . . . . 6 ([2 / 𝑐] ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,)) ↔ ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,)))
212195, 209, 2113imtr3i 294 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,)))
2133, 4, 212mp2an 691 . . . 4 ¬ (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,))
214 eqimss 4009 . . . 4 ((topGen‘𝐼) = (topGen‘ran (,)) → (topGen‘𝐼) ⊆ (topGen‘ran (,)))
215213, 214mto 200 . . 3 ¬ (topGen‘𝐼) = (topGen‘ran (,))
216215nesymir 3072 . 2 (topGen‘ran (,)) ≠ (topGen‘𝐼)
217 df-pss 3938 . 2 ((topGen‘ran (,)) ⊊ (topGen‘𝐼) ↔ ((topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼) ∧ (topGen‘ran (,)) ≠ (topGen‘𝐼)))
2182, 216, 217mpbir2an 710 1 (topGen‘ran (,)) ⊊ (topGen‘𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084  wal 1536   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  wrex 3134  {crab 3137  Vcvv 3480  [wsbc 3758  csb 3866  wss 3919  wpss 3920  𝒫 cpw 4522  cop 4556   cuni 4824   class class class wbr 5052   × cxp 5540  dom cdm 5542  ran crn 5543  cima 5545  Fun wfun 6337   Fn wfn 6338  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7149  cr 10534  1c1 10536  *cxr 10672   < clt 10673  cle 10674  2c2 11689  (,)cioo 12735  [,)cico 12737  topGenctg 16711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-2 11697  df-ioo 12739  df-ico 12741  df-topgen 16717
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