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Theorem relowlpssretop 36779
Description: The lower limit topology on the reals is strictly finer than the standard topology. (Contributed by ML, 2-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
relowlpssretop.1 𝐼 = ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ))
Assertion
Ref Expression
relowlpssretop (topGenβ€˜ran (,)) ⊊ (topGenβ€˜πΌ)

Proof of Theorem relowlpssretop
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑖 π‘œ π‘₯ π‘š 𝑛 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relowlpssretop.1 . . 3 𝐼 = ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ))
21relowlssretop 36778 . 2 (topGenβ€˜ran (,)) βŠ† (topGenβ€˜πΌ)
3 2re 12308 . . . . 5 2 ∈ ℝ
4 1lt2 12405 . . . . 5 1 < 2
5 ovex 7447 . . . . . . . . . . . 12 (1[,)𝑐) ∈ V
6 sbcan 3826 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([1 / π‘₯](𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ↔ ([1 / π‘₯]𝑐 ∈ ℝ ∧ [1 / π‘₯]π‘₯ < 𝑐))
7 1re 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
8 sbcg 3852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ℝ β†’ ([1 / π‘₯]𝑐 ∈ ℝ ↔ 𝑐 ∈ ℝ))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ([1 / π‘₯]𝑐 ∈ ℝ ↔ 𝑐 ∈ ℝ)
10 sbcbr123 5196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([1 / π‘₯]π‘₯ < 𝑐 ↔ ⦋1 / π‘₯⦌π‘₯⦋1 / π‘₯⦌ < ⦋1 / π‘₯β¦Œπ‘)
11 csbvarg 4427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 ∈ ℝ β†’ ⦋1 / π‘₯⦌π‘₯ = 1)
127, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⦋1 / π‘₯⦌π‘₯ = 1
13 csbconstg 3908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 ∈ ℝ β†’ ⦋1 / π‘₯β¦Œπ‘ = 𝑐)
147, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⦋1 / π‘₯β¦Œπ‘ = 𝑐
1512, 14breq12i 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⦋1 / π‘₯⦌π‘₯⦋1 / π‘₯⦌ < ⦋1 / π‘₯β¦Œπ‘ ↔ 1⦋1 / π‘₯⦌ < 𝑐)
16 csbconstg 3908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 ∈ ℝ β†’ ⦋1 / π‘₯⦌ < = < )
177, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⦋1 / π‘₯⦌ < = <
1817breqi 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1⦋1 / π‘₯⦌ < 𝑐 ↔ 1 < 𝑐)
1910, 15, 183bitri 297 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ([1 / π‘₯]π‘₯ < 𝑐 ↔ 1 < 𝑐)
209, 19anbi12i 626 . . . . . . . . . . . . . . 15 (([1 / π‘₯]𝑐 ∈ ℝ ∧ [1 / π‘₯]π‘₯ < 𝑐) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐))
216, 20bitri 275 . . . . . . . . . . . . . 14 ([1 / π‘₯](𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐))
22 sbceqg 4405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℝ β†’ ([1 / π‘₯]𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) ↔ ⦋1 / π‘₯β¦Œπ‘– = ⦋1 / π‘₯⦌(π‘₯[,)𝑐)))
237, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([1 / π‘₯]𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) ↔ ⦋1 / π‘₯β¦Œπ‘– = ⦋1 / π‘₯⦌(π‘₯[,)𝑐))
24 csbconstg 3908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ℝ β†’ ⦋1 / π‘₯β¦Œπ‘– = 𝑖)
257, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ⦋1 / π‘₯β¦Œπ‘– = 𝑖
26 csbov123 7456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⦋1 / π‘₯⦌(π‘₯[,)𝑐) = (⦋1 / π‘₯⦌π‘₯⦋1 / π‘₯⦌[,)⦋1 / π‘₯β¦Œπ‘)
27 csbconstg 3908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 ∈ ℝ β†’ ⦋1 / π‘₯⦌[,) = [,))
287, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⦋1 / π‘₯⦌[,) = [,)
2912, 14, 28oveq123i 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⦋1 / π‘₯⦌π‘₯⦋1 / π‘₯⦌[,)⦋1 / π‘₯β¦Œπ‘) = (1[,)𝑐)
3026, 29eqtri 2755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ⦋1 / π‘₯⦌(π‘₯[,)𝑐) = (1[,)𝑐)
3125, 30eqeq12i 2745 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⦋1 / π‘₯β¦Œπ‘– = ⦋1 / π‘₯⦌(π‘₯[,)𝑐) ↔ 𝑖 = (1[,)𝑐))
3223, 31bitri 275 . . . . . . . . . . . . . 14 ([1 / π‘₯]𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) ↔ 𝑖 = (1[,)𝑐))
33 sbcan 3826 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([1 / π‘₯]((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ↔ ([1 / π‘₯](𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ [1 / π‘₯]𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)))
34 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
35 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
36 leid 11332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ≀ π‘₯)
3735, 36jccir 521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ π‘₯))
38 rexr 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑐 ∈ ℝ β†’ 𝑐 ∈ ℝ*)
39 elico2 13412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘₯[,)𝑐) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑐)))
4038, 39sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘₯[,)𝑐) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑐)))
41 df-3an 1087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑐) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ π‘₯) ∧ π‘₯ < 𝑐))
4240, 41bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘₯[,)𝑐) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ π‘₯) ∧ π‘₯ < 𝑐)))
4342baibd 539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘₯[,)𝑐) ↔ π‘₯ < 𝑐))
4437, 43mpdan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘₯[,)𝑐) ↔ π‘₯ < 𝑐))
4544biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝑐) β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯[,)𝑐))
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯[,)𝑐))
47 eleq2 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑖 ↔ π‘₯ ∈ (π‘₯[,)𝑐)))
4847adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑖 ↔ π‘₯ ∈ (π‘₯[,)𝑐)))
4946, 48mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑖)
50 rexpssxrxp 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
51 opelxpi 5709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ ⟨π‘₯, π‘βŸ© ∈ (ℝ Γ— ℝ))
5250, 51sselid 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ ⟨π‘₯, π‘βŸ© ∈ (ℝ* Γ— ℝ*))
53 df-ico 13354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 [,) = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑐 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑐)})
5453ixxf 13358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 [,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*
5554fdmi 6728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 dom [,) = (ℝ* Γ— ℝ*)
5655eleq2i 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⟨π‘₯, π‘βŸ© ∈ dom [,) ↔ ⟨π‘₯, π‘βŸ© ∈ (ℝ* Γ— ℝ*))
5753mpofun 7538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Fun [,)
58 funfvima 7236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((Fun [,) ∧ ⟨π‘₯, π‘βŸ© ∈ dom [,)) β†’ (⟨π‘₯, π‘βŸ© ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ ([,)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘βŸ©) ∈ ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ))))
5957, 58mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⟨π‘₯, π‘βŸ© ∈ dom [,) β†’ (⟨π‘₯, π‘βŸ© ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ ([,)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘βŸ©) ∈ ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ))))
6056, 59sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (⟨π‘₯, π‘βŸ© ∈ (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (⟨π‘₯, π‘βŸ© ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ ([,)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘βŸ©) ∈ ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ))))
6152, 51, 60sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ ([,)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘βŸ©) ∈ ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ)))
62 df-ov 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯[,)𝑐) = ([,)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘βŸ©)
6361, 62, 13eltr4g 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯[,)𝑐) ∈ 𝐼)
64 eleq1 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↔ (π‘₯[,)𝑐) ∈ 𝐼))
6563, 64syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼))
6665imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
67 ioof 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
68 ffn 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*)
70 ovelrn 7591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (π‘œ ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* π‘œ = (π‘Ž(,)𝑏)))
7169, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘œ ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* π‘œ = (π‘Ž(,)𝑏))
72 iooelexlt 36777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)𝑦 < π‘₯)
73 df-rex 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (βˆƒπ‘¦ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)𝑦 < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 < π‘₯))
7472, 73sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 < π‘₯))
75 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 < π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏))
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 < π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)))
7753elmpocl2 7658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 (𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐) β†’ 𝑐 ∈ ℝ*)
78 elioore 13378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
79 elico2 13412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑐)))
8078, 79sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑐 ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑐)))
81 simp2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑐) β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)
8280, 81biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑐 ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐) β†’ π‘₯ ≀ 𝑦))
8382ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝑐 ∈ ℝ* β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐) β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)))
8483com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐) β†’ (𝑐 ∈ ℝ* β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)))
8577, 84mpdi 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐) β†’ π‘₯ ≀ 𝑦))
8685imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)) β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)
8778rexrd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
8887adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
89 elicore 13400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
9078, 89sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
9190rexrd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
92 xrlenlt 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ Β¬ 𝑦 < π‘₯))
9392biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ Β¬ 𝑦 < π‘₯))
9493con2d 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 < π‘₯ β†’ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦))
9588, 91, 94syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)) β†’ (𝑦 < π‘₯ β†’ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦))
9686, 95mt2d 136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)) β†’ Β¬ 𝑦 < π‘₯)
9796intnand 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)) β†’ Β¬ (𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 < π‘₯))
9897ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐) β†’ Β¬ (𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 < π‘₯)))
9998con2d 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 < π‘₯) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)))
10076, 99jcad 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 < π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐))))
101 annim 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)) ↔ Β¬ (𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)))
102100, 101imbitrdi 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 < π‘₯) β†’ Β¬ (𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐))))
103102eximdv 1913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘¦ Β¬ (𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐))))
10474, 103mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ βˆƒπ‘¦ Β¬ (𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)))
105 exnal 1822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (βˆƒπ‘¦ Β¬ (𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)) ↔ Β¬ βˆ€π‘¦(𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)))
106104, 105sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ Β¬ βˆ€π‘¦(𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)))
107 dfss2 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (π‘₯[,)𝑐) ↔ βˆ€π‘¦(𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)))
108106, 107sylnibr 329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ Β¬ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (π‘₯[,)𝑐))
109 imnan 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ Β¬ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (π‘₯[,)𝑐)) ↔ Β¬ (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (π‘₯[,)𝑐)))
110108, 109mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Β¬ (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (π‘₯[,)𝑐))
111 eleq2 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (π‘œ = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)))
112 sseq1 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (π‘œ = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (π‘œ βŠ† (π‘₯[,)𝑐) ↔ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (π‘₯[,)𝑐)))
113111, 112anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (π‘œ = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† (π‘₯[,)𝑐)) ↔ (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (π‘₯[,)𝑐))))
114110, 113mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π‘œ = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ Β¬ (π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† (π‘₯[,)𝑐)))
115 sseq2 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ (π‘œ βŠ† 𝑖 ↔ π‘œ βŠ† (π‘₯[,)𝑐)))
116115anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ ((π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖) ↔ (π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† (π‘₯[,)𝑐))))
117116notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ (Β¬ (π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖) ↔ Β¬ (π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† (π‘₯[,)𝑐))))
118114, 117syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π‘œ = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ Β¬ (π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (π‘œ = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ Β¬ (π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))))
120119rexlimivv 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* π‘œ = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ Β¬ (π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
12171, 120sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘œ ∈ ran (,) β†’ (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ Β¬ (π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
122121com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ (π‘œ ∈ ran (,) β†’ Β¬ (π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
123122ralrimiv 3140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ βˆ€π‘œ ∈ ran (,) Β¬ (π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))
124 ralnex 3067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (βˆ€π‘œ ∈ ran (,) Β¬ (π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖) ↔ Β¬ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))
125123, 124sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ Β¬ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))
126125adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) β†’ Β¬ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))
12766, 126jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ Β¬ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
128127adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ Β¬ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
12949, 128jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ Β¬ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))))
130 an12 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ Β¬ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))) ↔ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ Β¬ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))))
131 annim 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ Β¬ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)) ↔ Β¬ (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
132131anbi2i 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ Β¬ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))) ↔ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ Β¬ (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))))
133130, 132bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ Β¬ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))) ↔ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ Β¬ (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))))
134129, 133sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ Β¬ (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))))
135 rspe 3241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ Β¬ (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 Β¬ (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 Β¬ (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
137 rexnal 3095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 Β¬ (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)) ↔ Β¬ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
138136, 137sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) β†’ Β¬ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
139138exp41 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (𝑐 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ < 𝑐 β†’ (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ Β¬ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))))))
140139com4l 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑐 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ < 𝑐 β†’ (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ Β¬ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))))))
141140imp41 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ Β¬ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
142 rspe 3241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ Β¬ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ Β¬ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
14334, 141, 142syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ Β¬ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
144 rexnal 3095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ Β¬ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
145143, 144sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
146 df-ico 13354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 [,) = (π‘š ∈ ℝ*, 𝑛 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘š ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑛)})
147146ixxex 13359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 [,) ∈ V
148 imaexg 7915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ([,) ∈ V β†’ ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ V)
149147, 148ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ V
1501, 149eqeltri 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐼 ∈ V
1511icoreunrn 36774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ℝ = βˆͺ 𝐼
152 unirnioo 13450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ℝ = βˆͺ ran (,)
153151, 152eqtr3i 2757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 βˆͺ 𝐼 = βˆͺ ran (,)
154 tgss2 22877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 ∈ V ∧ βˆͺ 𝐼 = βˆͺ ran (,)) β†’ ((topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ πΌβˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))))
155150, 153, 154mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ πΌβˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
156151raleqi 3318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ πΌβˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
157155, 156bitr4i 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
158145, 157sylnibr 329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
159158sbcth 3789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ∈ ℝ β†’ [1 / π‘₯]((((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))))
1607, 159ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 [1 / π‘₯]((((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
161 sbcimg 3825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ∈ ℝ β†’ ([1 / π‘₯]((((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))) ↔ ([1 / π‘₯](((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ [1 / π‘₯] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))))
1627, 161ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([1 / π‘₯]((((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))) ↔ ([1 / π‘₯](((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ [1 / π‘₯] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))))
163160, 162mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ([1 / π‘₯](((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ [1 / π‘₯] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
164 sbcel1v 3844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ([1 / π‘₯]π‘₯ ∈ ℝ ↔ 1 ∈ ℝ)
1657, 164mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 [1 / π‘₯]π‘₯ ∈ ℝ
166 sbcan 3826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([1 / π‘₯](((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ↔ ([1 / π‘₯]((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ [1 / π‘₯]π‘₯ ∈ ℝ))
167165, 166mpbiran2 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ([1 / π‘₯](((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ↔ [1 / π‘₯]((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)))
168 sbcg 3852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ℝ β†’ ([1 / π‘₯] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)) ↔ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))))
1697, 168ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ([1 / π‘₯] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)) ↔ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
170163, 167, 1693imtr3i 291 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([1 / π‘₯]((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
17133, 170sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (([1 / π‘₯](𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ [1 / π‘₯]𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
17221, 32, 171syl2anbr 598 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
173172sbcth 3789 . . . . . . . . . . . 12 ((1[,)𝑐) ∈ V β†’ [(1[,)𝑐) / 𝑖](((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))))
1745, 173ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 [(1[,)𝑐) / 𝑖](((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
175 sbcimg 3825 . . . . . . . . . . . 12 ((1[,)𝑐) ∈ V β†’ ([(1[,)𝑐) / 𝑖](((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))) ↔ ([(1[,)𝑐) / 𝑖]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) β†’ [(1[,)𝑐) / 𝑖] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))))
1765, 175ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ([(1[,)𝑐) / 𝑖](((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))) ↔ ([(1[,)𝑐) / 𝑖]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) β†’ [(1[,)𝑐) / 𝑖] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))))
177174, 176mpbi 229 . . . . . . . . . 10 ([(1[,)𝑐) / 𝑖]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) β†’ [(1[,)𝑐) / 𝑖] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
178 sbcan 3826 . . . . . . . . . . 11 ([(1[,)𝑐) / 𝑖]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) ↔ ([(1[,)𝑐) / 𝑖](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ [(1[,)𝑐) / 𝑖]𝑖 = (1[,)𝑐)))
179 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 (1[,)𝑐) = (1[,)𝑐)
180 eqsbc1 3823 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1[,)𝑐) ∈ V β†’ ([(1[,)𝑐) / 𝑖]𝑖 = (1[,)𝑐) ↔ (1[,)𝑐) = (1[,)𝑐)))
1815, 180ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ([(1[,)𝑐) / 𝑖]𝑖 = (1[,)𝑐) ↔ (1[,)𝑐) = (1[,)𝑐))
182179, 181mpbir 230 . . . . . . . . . . . 12 [(1[,)𝑐) / 𝑖]𝑖 = (1[,)𝑐)
183 sbcg 3852 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1[,)𝑐) ∈ V β†’ ([(1[,)𝑐) / 𝑖](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐)))
1845, 183ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ([(1[,)𝑐) / 𝑖](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐))
185184anbi1i 623 . . . . . . . . . . . 12 (([(1[,)𝑐) / 𝑖](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ [(1[,)𝑐) / 𝑖]𝑖 = (1[,)𝑐)) ↔ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ [(1[,)𝑐) / 𝑖]𝑖 = (1[,)𝑐)))
186182, 185mpbiran2 709 . . . . . . . . . . 11 (([(1[,)𝑐) / 𝑖](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ [(1[,)𝑐) / 𝑖]𝑖 = (1[,)𝑐)) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐))
187178, 186bitri 275 . . . . . . . . . 10 ([(1[,)𝑐) / 𝑖]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐))
188 sbcg 3852 . . . . . . . . . . 11 ((1[,)𝑐) ∈ V β†’ ([(1[,)𝑐) / 𝑖] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)) ↔ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))))
1895, 188ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ([(1[,)𝑐) / 𝑖] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)) ↔ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
190177, 187, 1893imtr3i 291 . . . . . . . . 9 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
191190sbcth 3789 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ β†’ [2 / 𝑐]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))))
1923, 191ax-mp 5 . . . . . . 7 [2 / 𝑐]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
193 sbcimg 3825 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ β†’ ([2 / 𝑐]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))) ↔ ([2 / 𝑐](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) β†’ [2 / 𝑐] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))))
1943, 193ax-mp 5 . . . . . . 7 ([2 / 𝑐]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))) ↔ ([2 / 𝑐](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) β†’ [2 / 𝑐] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))))
195192, 194mpbi 229 . . . . . 6 ([2 / 𝑐](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) β†’ [2 / 𝑐] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
196 sbcan 3826 . . . . . . 7 ([2 / 𝑐](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ↔ ([2 / 𝑐]𝑐 ∈ ℝ ∧ [2 / 𝑐]1 < 𝑐))
197 sbcel1v 3844 . . . . . . . 8 ([2 / 𝑐]𝑐 ∈ ℝ ↔ 2 ∈ ℝ)
198 sbcbr123 5196 . . . . . . . . 9 ([2 / 𝑐]1 < 𝑐 ↔ ⦋2 / π‘β¦Œ1⦋2 / π‘β¦Œ < ⦋2 / π‘β¦Œπ‘)
199 csbconstg 3908 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ β†’ ⦋2 / π‘β¦Œ1 = 1)
2003, 199ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ⦋2 / π‘β¦Œ1 = 1
201 csbvarg 4427 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ β†’ ⦋2 / π‘β¦Œπ‘ = 2)
2023, 201ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ⦋2 / π‘β¦Œπ‘ = 2
203200, 202breq12i 5151 . . . . . . . . 9 (⦋2 / π‘β¦Œ1⦋2 / π‘β¦Œ < ⦋2 / π‘β¦Œπ‘ ↔ 1⦋2 / π‘β¦Œ < 2)
204 csbconstg 3908 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ β†’ ⦋2 / π‘β¦Œ < = < )
2053, 204ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ⦋2 / π‘β¦Œ < = <
206205breqi 5148 . . . . . . . . 9 (1⦋2 / π‘β¦Œ < 2 ↔ 1 < 2)
207198, 203, 2063bitri 297 . . . . . . . 8 ([2 / 𝑐]1 < 𝑐 ↔ 1 < 2)
208197, 207anbi12i 626 . . . . . . 7 (([2 / 𝑐]𝑐 ∈ ℝ ∧ [2 / 𝑐]1 < 𝑐) ↔ (2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2))
209196, 208bitri 275 . . . . . 6 ([2 / 𝑐](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ↔ (2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2))
210 sbcg 3852 . . . . . . 7 (2 ∈ ℝ β†’ ([2 / 𝑐] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)) ↔ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))))
2113, 210ax-mp 5 . . . . . 6 ([2 / 𝑐] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)) ↔ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
212195, 209, 2113imtr3i 291 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
2133, 4, 212mp2an 691 . . . 4 Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))
214 eqimss 4036 . . . 4 ((topGenβ€˜πΌ) = (topGenβ€˜ran (,)) β†’ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
215213, 214mto 196 . . 3 Β¬ (topGenβ€˜πΌ) = (topGenβ€˜ran (,))
216215nesymir 2994 . 2 (topGenβ€˜ran (,)) β‰  (topGenβ€˜πΌ)
217 df-pss 3963 . 2 ((topGenβ€˜ran (,)) ⊊ (topGenβ€˜πΌ) ↔ ((topGenβ€˜ran (,)) βŠ† (topGenβ€˜πΌ) ∧ (topGenβ€˜ran (,)) β‰  (topGenβ€˜πΌ)))
2182, 216, 217mpbir2an 710 1 (topGenβ€˜ran (,)) ⊊ (topGenβ€˜πΌ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085  βˆ€wal 1532   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  {crab 3427  Vcvv 3469  [wsbc 3774  β¦‹csb 3889   βŠ† wss 3944   ⊊ wpss 3945  π’« cpw 4598  βŸ¨cop 4630  βˆͺ cuni 4903   class class class wbr 5142   Γ— cxp 5670  dom cdm 5672  ran crn 5673   β€œ cima 5675  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„cr 11129  1c1 11131  β„*cxr 11269   < clt 11270   ≀ cle 11271  2c2 12289  (,)cioo 13348  [,)cico 13350  topGenctg 17410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-2 12297  df-ioo 13352  df-ico 13354  df-topgen 17416
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