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Theorem relowlpssretop 35881
Description: The lower limit topology on the reals is strictly finer than the standard topology. (Contributed by ML, 2-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
relowlpssretop.1 𝐼 = ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ))
Assertion
Ref Expression
relowlpssretop (topGenβ€˜ran (,)) ⊊ (topGenβ€˜πΌ)

Proof of Theorem relowlpssretop
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑖 π‘œ π‘₯ π‘š 𝑛 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relowlpssretop.1 . . 3 𝐼 = ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ))
21relowlssretop 35880 . 2 (topGenβ€˜ran (,)) βŠ† (topGenβ€˜πΌ)
3 2re 12232 . . . . 5 2 ∈ ℝ
4 1lt2 12329 . . . . 5 1 < 2
5 ovex 7391 . . . . . . . . . . . 12 (1[,)𝑐) ∈ V
6 sbcan 3792 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([1 / π‘₯](𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ↔ ([1 / π‘₯]𝑐 ∈ ℝ ∧ [1 / π‘₯]π‘₯ < 𝑐))
7 1re 11160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
8 sbcg 3819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ℝ β†’ ([1 / π‘₯]𝑐 ∈ ℝ ↔ 𝑐 ∈ ℝ))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ([1 / π‘₯]𝑐 ∈ ℝ ↔ 𝑐 ∈ ℝ)
10 sbcbr123 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([1 / π‘₯]π‘₯ < 𝑐 ↔ ⦋1 / π‘₯⦌π‘₯⦋1 / π‘₯⦌ < ⦋1 / π‘₯β¦Œπ‘)
11 csbvarg 4392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 ∈ ℝ β†’ ⦋1 / π‘₯⦌π‘₯ = 1)
127, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⦋1 / π‘₯⦌π‘₯ = 1
13 csbconstg 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 ∈ ℝ β†’ ⦋1 / π‘₯β¦Œπ‘ = 𝑐)
147, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⦋1 / π‘₯β¦Œπ‘ = 𝑐
1512, 14breq12i 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⦋1 / π‘₯⦌π‘₯⦋1 / π‘₯⦌ < ⦋1 / π‘₯β¦Œπ‘ ↔ 1⦋1 / π‘₯⦌ < 𝑐)
16 csbconstg 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 ∈ ℝ β†’ ⦋1 / π‘₯⦌ < = < )
177, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⦋1 / π‘₯⦌ < = <
1817breqi 5112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1⦋1 / π‘₯⦌ < 𝑐 ↔ 1 < 𝑐)
1910, 15, 183bitri 297 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ([1 / π‘₯]π‘₯ < 𝑐 ↔ 1 < 𝑐)
209, 19anbi12i 628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (([1 / π‘₯]𝑐 ∈ ℝ ∧ [1 / π‘₯]π‘₯ < 𝑐) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐))
216, 20bitri 275 . . . . . . . . . . . . . 14 ([1 / π‘₯](𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐))
22 sbceqg 4370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℝ β†’ ([1 / π‘₯]𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) ↔ ⦋1 / π‘₯β¦Œπ‘– = ⦋1 / π‘₯⦌(π‘₯[,)𝑐)))
237, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([1 / π‘₯]𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) ↔ ⦋1 / π‘₯β¦Œπ‘– = ⦋1 / π‘₯⦌(π‘₯[,)𝑐))
24 csbconstg 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ℝ β†’ ⦋1 / π‘₯β¦Œπ‘– = 𝑖)
257, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ⦋1 / π‘₯β¦Œπ‘– = 𝑖
26 csbov123 7400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⦋1 / π‘₯⦌(π‘₯[,)𝑐) = (⦋1 / π‘₯⦌π‘₯⦋1 / π‘₯⦌[,)⦋1 / π‘₯β¦Œπ‘)
27 csbconstg 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 ∈ ℝ β†’ ⦋1 / π‘₯⦌[,) = [,))
287, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⦋1 / π‘₯⦌[,) = [,)
2912, 14, 28oveq123i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⦋1 / π‘₯⦌π‘₯⦋1 / π‘₯⦌[,)⦋1 / π‘₯β¦Œπ‘) = (1[,)𝑐)
3026, 29eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ⦋1 / π‘₯⦌(π‘₯[,)𝑐) = (1[,)𝑐)
3125, 30eqeq12i 2751 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⦋1 / π‘₯β¦Œπ‘– = ⦋1 / π‘₯⦌(π‘₯[,)𝑐) ↔ 𝑖 = (1[,)𝑐))
3223, 31bitri 275 . . . . . . . . . . . . . 14 ([1 / π‘₯]𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) ↔ 𝑖 = (1[,)𝑐))
33 sbcan 3792 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([1 / π‘₯]((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ↔ ([1 / π‘₯](𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ [1 / π‘₯]𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)))
34 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
35 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
36 leid 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ≀ π‘₯)
3735, 36jccir 523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ π‘₯))
38 rexr 11206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑐 ∈ ℝ β†’ 𝑐 ∈ ℝ*)
39 elico2 13334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘₯[,)𝑐) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑐)))
4038, 39sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘₯[,)𝑐) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑐)))
41 df-3an 1090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑐) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ π‘₯) ∧ π‘₯ < 𝑐))
4240, 41bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘₯[,)𝑐) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ π‘₯) ∧ π‘₯ < 𝑐)))
4342baibd 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘₯[,)𝑐) ↔ π‘₯ < 𝑐))
4437, 43mpdan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘₯[,)𝑐) ↔ π‘₯ < 𝑐))
4544biimpar 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝑐) β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯[,)𝑐))
4645adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯[,)𝑐))
47 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑖 ↔ π‘₯ ∈ (π‘₯[,)𝑐)))
4847adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑖 ↔ π‘₯ ∈ (π‘₯[,)𝑐)))
4946, 48mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑖)
50 rexpssxrxp 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
51 opelxpi 5671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ ⟨π‘₯, π‘βŸ© ∈ (ℝ Γ— ℝ))
5250, 51sselid 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ ⟨π‘₯, π‘βŸ© ∈ (ℝ* Γ— ℝ*))
53 df-ico 13276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 [,) = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑐 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑐)})
5453ixxf 13280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 [,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*
5554fdmi 6681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 dom [,) = (ℝ* Γ— ℝ*)
5655eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⟨π‘₯, π‘βŸ© ∈ dom [,) ↔ ⟨π‘₯, π‘βŸ© ∈ (ℝ* Γ— ℝ*))
5753mpofun 7481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Fun [,)
58 funfvima 7181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((Fun [,) ∧ ⟨π‘₯, π‘βŸ© ∈ dom [,)) β†’ (⟨π‘₯, π‘βŸ© ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ ([,)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘βŸ©) ∈ ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ))))
5957, 58mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⟨π‘₯, π‘βŸ© ∈ dom [,) β†’ (⟨π‘₯, π‘βŸ© ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ ([,)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘βŸ©) ∈ ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ))))
6056, 59sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (⟨π‘₯, π‘βŸ© ∈ (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (⟨π‘₯, π‘βŸ© ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ ([,)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘βŸ©) ∈ ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ))))
6152, 51, 60sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ ([,)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘βŸ©) ∈ ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ)))
62 df-ov 7361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯[,)𝑐) = ([,)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘βŸ©)
6361, 62, 13eltr4g 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯[,)𝑐) ∈ 𝐼)
64 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↔ (π‘₯[,)𝑐) ∈ 𝐼))
6563, 64syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼))
6665imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
67 ioof 13370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
68 ffn 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*)
70 ovelrn 7531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (π‘œ ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* π‘œ = (π‘Ž(,)𝑏)))
7169, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘œ ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* π‘œ = (π‘Ž(,)𝑏))
72 iooelexlt 35879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)𝑦 < π‘₯)
73 df-rex 3071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (βˆƒπ‘¦ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)𝑦 < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 < π‘₯))
7472, 73sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 < π‘₯))
75 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 < π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏))
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 < π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)))
7753elmpocl2 7598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 (𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐) β†’ 𝑐 ∈ ℝ*)
78 elioore 13300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
79 elico2 13334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑐)))
8078, 79sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑐 ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑐)))
81 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑐) β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)
8280, 81syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑐 ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐) β†’ π‘₯ ≀ 𝑦))
8382ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝑐 ∈ ℝ* β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐) β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)))
8483com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐) β†’ (𝑐 ∈ ℝ* β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)))
8577, 84mpdi 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐) β†’ π‘₯ ≀ 𝑦))
8685imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)) β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)
8778rexrd 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
8887adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
89 elicore 13322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
9078, 89sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
9190rexrd 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
92 xrlenlt 11225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ Β¬ 𝑦 < π‘₯))
9392biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ Β¬ 𝑦 < π‘₯))
9493con2d 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 < π‘₯ β†’ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦))
9588, 91, 94syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)) β†’ (𝑦 < π‘₯ β†’ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦))
9686, 95mt2d 136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)) β†’ Β¬ 𝑦 < π‘₯)
9796intnand 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)) β†’ Β¬ (𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 < π‘₯))
9897ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐) β†’ Β¬ (𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 < π‘₯)))
9998con2d 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 < π‘₯) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)))
10076, 99jcad 514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 < π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐))))
101 annim 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)) ↔ Β¬ (𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)))
102100, 101syl6ib 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 < π‘₯) β†’ Β¬ (𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐))))
103102eximdv 1921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑦 < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘¦ Β¬ (𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐))))
10474, 103mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ βˆƒπ‘¦ Β¬ (𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)))
105 exnal 1830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (βˆƒπ‘¦ Β¬ (𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)) ↔ Β¬ βˆ€π‘¦(𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)))
106104, 105sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ Β¬ βˆ€π‘¦(𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)))
107 dfss2 3931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (π‘₯[,)𝑐) ↔ βˆ€π‘¦(𝑦 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)𝑐)))
108106, 107sylnibr 329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ Β¬ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (π‘₯[,)𝑐))
109 imnan 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ Β¬ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (π‘₯[,)𝑐)) ↔ Β¬ (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (π‘₯[,)𝑐)))
110108, 109mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Β¬ (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (π‘₯[,)𝑐))
111 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (π‘œ = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)))
112 sseq1 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (π‘œ = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (π‘œ βŠ† (π‘₯[,)𝑐) ↔ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (π‘₯[,)𝑐)))
113111, 112anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (π‘œ = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† (π‘₯[,)𝑐)) ↔ (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (π‘₯[,)𝑐))))
114110, 113mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π‘œ = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ Β¬ (π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† (π‘₯[,)𝑐)))
115 sseq2 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ (π‘œ βŠ† 𝑖 ↔ π‘œ βŠ† (π‘₯[,)𝑐)))
116115anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ ((π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖) ↔ (π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† (π‘₯[,)𝑐))))
117116notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ (Β¬ (π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖) ↔ Β¬ (π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† (π‘₯[,)𝑐))))
118114, 117syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π‘œ = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ Β¬ (π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (π‘œ = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ Β¬ (π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))))
120119rexlimivv 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* π‘œ = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ Β¬ (π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
12171, 120sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘œ ∈ ran (,) β†’ (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ Β¬ (π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
122121com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ (π‘œ ∈ ran (,) β†’ Β¬ (π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
123122ralrimiv 3139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ βˆ€π‘œ ∈ ran (,) Β¬ (π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))
124 ralnex 3072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (βˆ€π‘œ ∈ ran (,) Β¬ (π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖) ↔ Β¬ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))
125123, 124sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ Β¬ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))
126125adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) β†’ Β¬ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))
12766, 126jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ Β¬ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
128127adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ Β¬ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
12949, 128jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ Β¬ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))))
130 an12 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ Β¬ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))) ↔ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ Β¬ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))))
131 annim 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ Β¬ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)) ↔ Β¬ (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
132131anbi2i 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ Β¬ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))) ↔ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ Β¬ (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))))
133130, 132bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ Β¬ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))) ↔ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ Β¬ (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))))
134129, 133sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ Β¬ (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))))
135 rspe 3231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ Β¬ (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 Β¬ (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 Β¬ (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
137 rexnal 3100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 Β¬ (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)) ↔ Β¬ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
138136, 137sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) β†’ Β¬ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
139138exp41 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (𝑐 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ < 𝑐 β†’ (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ Β¬ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))))))
140139com4l 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑐 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ < 𝑐 β†’ (𝑖 = (π‘₯[,)𝑐) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ Β¬ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))))))
141140imp41 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ Β¬ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
142 rspe 3231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ Β¬ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ Β¬ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
14334, 141, 142syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ Β¬ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
144 rexnal 3100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ Β¬ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
145143, 144sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
146 df-ico 13276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 [,) = (π‘š ∈ ℝ*, 𝑛 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘š ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑛)})
147146ixxex 13281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 [,) ∈ V
148 imaexg 7853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ([,) ∈ V β†’ ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ V)
149147, 148ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ V
1501, 149eqeltri 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐼 ∈ V
1511icoreunrn 35876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ℝ = βˆͺ 𝐼
152 unirnioo 13372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ℝ = βˆͺ ran (,)
153151, 152eqtr3i 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 βˆͺ 𝐼 = βˆͺ ran (,)
154 tgss2 22353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 ∈ V ∧ βˆͺ 𝐼 = βˆͺ ran (,)) β†’ ((topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ πΌβˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖))))
155150, 153, 154mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ πΌβˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
156151raleqi 3310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ πΌβˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
157155, 156bitr4i 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑖)))
158145, 157sylnibr 329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
159158sbcth 3755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ∈ ℝ β†’ [1 / π‘₯]((((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))))
1607, 159ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 [1 / π‘₯]((((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
161 sbcimg 3791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ∈ ℝ β†’ ([1 / π‘₯]((((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))) ↔ ([1 / π‘₯](((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ [1 / π‘₯] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))))
1627, 161ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([1 / π‘₯]((((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))) ↔ ([1 / π‘₯](((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ [1 / π‘₯] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))))
163160, 162mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ([1 / π‘₯](((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ [1 / π‘₯] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
164 sbcel1v 3811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ([1 / π‘₯]π‘₯ ∈ ℝ ↔ 1 ∈ ℝ)
1657, 164mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 [1 / π‘₯]π‘₯ ∈ ℝ
166 sbcan 3792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([1 / π‘₯](((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ↔ ([1 / π‘₯]((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ [1 / π‘₯]π‘₯ ∈ ℝ))
167165, 166mpbiran2 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ([1 / π‘₯](((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ↔ [1 / π‘₯]((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)))
168 sbcg 3819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ℝ β†’ ([1 / π‘₯] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)) ↔ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))))
1697, 168ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ([1 / π‘₯] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)) ↔ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
170163, 167, 1693imtr3i 291 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([1 / π‘₯]((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ 𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
17133, 170sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (([1 / π‘₯](𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑐) ∧ [1 / π‘₯]𝑖 = (π‘₯[,)𝑐)) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
17221, 32, 171syl2anbr 600 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
173172sbcth 3755 . . . . . . . . . . . 12 ((1[,)𝑐) ∈ V β†’ [(1[,)𝑐) / 𝑖](((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))))
1745, 173ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 [(1[,)𝑐) / 𝑖](((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
175 sbcimg 3791 . . . . . . . . . . . 12 ((1[,)𝑐) ∈ V β†’ ([(1[,)𝑐) / 𝑖](((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))) ↔ ([(1[,)𝑐) / 𝑖]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) β†’ [(1[,)𝑐) / 𝑖] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))))
1765, 175ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ([(1[,)𝑐) / 𝑖](((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))) ↔ ([(1[,)𝑐) / 𝑖]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) β†’ [(1[,)𝑐) / 𝑖] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))))
177174, 176mpbi 229 . . . . . . . . . 10 ([(1[,)𝑐) / 𝑖]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) β†’ [(1[,)𝑐) / 𝑖] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
178 sbcan 3792 . . . . . . . . . . 11 ([(1[,)𝑐) / 𝑖]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) ↔ ([(1[,)𝑐) / 𝑖](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ [(1[,)𝑐) / 𝑖]𝑖 = (1[,)𝑐)))
179 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (1[,)𝑐) = (1[,)𝑐)
180 eqsbc1 3789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1[,)𝑐) ∈ V β†’ ([(1[,)𝑐) / 𝑖]𝑖 = (1[,)𝑐) ↔ (1[,)𝑐) = (1[,)𝑐)))
1815, 180ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ([(1[,)𝑐) / 𝑖]𝑖 = (1[,)𝑐) ↔ (1[,)𝑐) = (1[,)𝑐))
182179, 181mpbir 230 . . . . . . . . . . . 12 [(1[,)𝑐) / 𝑖]𝑖 = (1[,)𝑐)
183 sbcg 3819 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1[,)𝑐) ∈ V β†’ ([(1[,)𝑐) / 𝑖](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐)))
1845, 183ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ([(1[,)𝑐) / 𝑖](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐))
185184anbi1i 625 . . . . . . . . . . . 12 (([(1[,)𝑐) / 𝑖](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ [(1[,)𝑐) / 𝑖]𝑖 = (1[,)𝑐)) ↔ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ [(1[,)𝑐) / 𝑖]𝑖 = (1[,)𝑐)))
186182, 185mpbiran2 709 . . . . . . . . . . 11 (([(1[,)𝑐) / 𝑖](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ [(1[,)𝑐) / 𝑖]𝑖 = (1[,)𝑐)) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐))
187178, 186bitri 275 . . . . . . . . . 10 ([(1[,)𝑐) / 𝑖]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ∧ 𝑖 = (1[,)𝑐)) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐))
188 sbcg 3819 . . . . . . . . . . 11 ((1[,)𝑐) ∈ V β†’ ([(1[,)𝑐) / 𝑖] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)) ↔ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))))
1895, 188ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ([(1[,)𝑐) / 𝑖] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)) ↔ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
190177, 187, 1893imtr3i 291 . . . . . . . . 9 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
191190sbcth 3755 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ β†’ [2 / 𝑐]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))))
1923, 191ax-mp 5 . . . . . . 7 [2 / 𝑐]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
193 sbcimg 3791 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ β†’ ([2 / 𝑐]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))) ↔ ([2 / 𝑐](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) β†’ [2 / 𝑐] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))))
1943, 193ax-mp 5 . . . . . . 7 ([2 / 𝑐]((𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))) ↔ ([2 / 𝑐](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) β†’ [2 / 𝑐] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))))
195192, 194mpbi 229 . . . . . 6 ([2 / 𝑐](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) β†’ [2 / 𝑐] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
196 sbcan 3792 . . . . . . 7 ([2 / 𝑐](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ↔ ([2 / 𝑐]𝑐 ∈ ℝ ∧ [2 / 𝑐]1 < 𝑐))
197 sbcel1v 3811 . . . . . . . 8 ([2 / 𝑐]𝑐 ∈ ℝ ↔ 2 ∈ ℝ)
198 sbcbr123 5160 . . . . . . . . 9 ([2 / 𝑐]1 < 𝑐 ↔ ⦋2 / π‘β¦Œ1⦋2 / π‘β¦Œ < ⦋2 / π‘β¦Œπ‘)
199 csbconstg 3875 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ β†’ ⦋2 / π‘β¦Œ1 = 1)
2003, 199ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ⦋2 / π‘β¦Œ1 = 1
201 csbvarg 4392 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ β†’ ⦋2 / π‘β¦Œπ‘ = 2)
2023, 201ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ⦋2 / π‘β¦Œπ‘ = 2
203200, 202breq12i 5115 . . . . . . . . 9 (⦋2 / π‘β¦Œ1⦋2 / π‘β¦Œ < ⦋2 / π‘β¦Œπ‘ ↔ 1⦋2 / π‘β¦Œ < 2)
204 csbconstg 3875 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ β†’ ⦋2 / π‘β¦Œ < = < )
2053, 204ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ⦋2 / π‘β¦Œ < = <
206205breqi 5112 . . . . . . . . 9 (1⦋2 / π‘β¦Œ < 2 ↔ 1 < 2)
207198, 203, 2063bitri 297 . . . . . . . 8 ([2 / 𝑐]1 < 𝑐 ↔ 1 < 2)
208197, 207anbi12i 628 . . . . . . 7 (([2 / 𝑐]𝑐 ∈ ℝ ∧ [2 / 𝑐]1 < 𝑐) ↔ (2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2))
209196, 208bitri 275 . . . . . 6 ([2 / 𝑐](𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑐) ↔ (2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2))
210 sbcg 3819 . . . . . . 7 (2 ∈ ℝ β†’ ([2 / 𝑐] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)) ↔ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))))
2113, 210ax-mp 5 . . . . . 6 ([2 / 𝑐] Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)) ↔ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
212195, 209, 2113imtr3i 291 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) β†’ Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
2133, 4, 212mp2an 691 . . . 4 Β¬ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))
214 eqimss 4001 . . . 4 ((topGenβ€˜πΌ) = (topGenβ€˜ran (,)) β†’ (topGenβ€˜πΌ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
215213, 214mto 196 . . 3 Β¬ (topGenβ€˜πΌ) = (topGenβ€˜ran (,))
216215nesymir 2999 . 2 (topGenβ€˜ran (,)) β‰  (topGenβ€˜πΌ)
217 df-pss 3930 . 2 ((topGenβ€˜ran (,)) ⊊ (topGenβ€˜πΌ) ↔ ((topGenβ€˜ran (,)) βŠ† (topGenβ€˜πΌ) ∧ (topGenβ€˜ran (,)) β‰  (topGenβ€˜πΌ)))
2182, 216, 217mpbir2an 710 1 (topGenβ€˜ran (,)) ⊊ (topGenβ€˜πΌ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3444  [wsbc 3740  β¦‹csb 3856   βŠ† wss 3911   ⊊ wpss 3912  π’« cpw 4561  βŸ¨cop 4593  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106   Γ— cxp 5632  dom cdm 5634  ran crn 5635   β€œ cima 5637  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055  1c1 11057  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195  2c2 12213  (,)cioo 13270  [,)cico 13272  topGenctg 17324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-2 12221  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-topgen 17330
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