Theorem inelr 12201

Description: The imaginary unit i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ine0 11648	. . 3 ⊢ i ≠ 0
2	1	neii 2942	. 2 ⊢ ¬ i = 0
3		0lt1 11735	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
4		0re 11215	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11213	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
6	4, 5	ltnsymi 11332	. . . . 5 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
7	3, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 1 < 0
8		ixi 11842	. . . . . . 7 ⊢ (i · i) = -1
9	5	renegcli 11520	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
10	8, 9	eqeltri 2829	. . . . . 6 ⊢ (i · i) ∈ ℝ
11	4, 10, 5	ltadd1i 11767	. . . . 5 ⊢ (0 < (i · i) ↔ (0 + 1) < ((i · i) + 1))
12		ax-1cn 11167	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	addlidi 11401	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		ax-i2m1 11177	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
15	13, 14	breq12i 5157	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1) < ((i · i) + 1) ↔ 1 < 0)
16	11, 15	bitri 274	. . . 4 ⊢ (0 < (i · i) ↔ 1 < 0)
17	7, 16	mtbir 322	. . 3 ⊢ ¬ 0 < (i · i)
18		msqgt0 11733	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ i ≠ 0) → 0 < (i · i))
19	18	ex 413	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (i ≠ 0 → 0 < (i · i)))
20	19	necon1bd 2958	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → (¬ 0 < (i · i) → i = 0))
21	17, 20	mpi 20	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → i = 0)
22	2, 21	mto 196	1 ⊢ ¬ i ∈ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110  ici 11111   + caddc 11112   · cmul 11114   < clt 11247  -cneg 11444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446

This theorem is referenced by:  rimul  12202  nthruc  16194  areacirclem4  36574  sqrtnegnre  46005  requad01  46279