Theorem inelr 12064

Description: The imaginary unit i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ine0 11511	. . 3 ⊢ i ≠ 0
2	1	neii 2942	. 2 ⊢ ¬ i = 0
3		0lt1 11598	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
4		0re 11078	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11076	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
6	4, 5	ltnsymi 11195	. . . . 5 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
7	3, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 1 < 0
8		ixi 11705	. . . . . . 7 ⊢ (i · i) = -1
9	5	renegcli 11383	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
10	8, 9	eqeltri 2833	. . . . . 6 ⊢ (i · i) ∈ ℝ
11	4, 10, 5	ltadd1i 11630	. . . . 5 ⊢ (0 < (i · i) ↔ (0 + 1) < ((i · i) + 1))
12		ax-1cn 11030	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	addid2i 11264	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		ax-i2m1 11040	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
15	13, 14	breq12i 5101	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1) < ((i · i) + 1) ↔ 1 < 0)
16	11, 15	bitri 274	. . . 4 ⊢ (0 < (i · i) ↔ 1 < 0)
17	7, 16	mtbir 322	. . 3 ⊢ ¬ 0 < (i · i)
18		msqgt0 11596	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ i ≠ 0) → 0 < (i · i))
19	18	ex 413	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (i ≠ 0 → 0 < (i · i)))
20	19	necon1bd 2958	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → (¬ 0 < (i · i) → i = 0))
21	17, 20	mpi 20	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → i = 0)
22	2, 21	mto 196	1 ⊢ ¬ i ∈ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940   class class class wbr 5092  (class class class)co 7337  ℝcr 10971  0cc0 10972  1c1 10973  ici 10974   + caddc 10975   · cmul 10977   < clt 11110  -cneg 11307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309

This theorem is referenced by:  rimul  12065  nthruc  16060  areacirclem4  35973  sqrtnegnre  45150  requad01  45424