Theorem inelr 12152

Description: The imaginary unit i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1lt0 12150	. . . 4 ⊢ -1 < 0
2		neg1rr 12148	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
3		0re 11152	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	2, 3	ltnsymi 11269	. . . 4 ⊢ (-1 < 0 → ¬ 0 < -1)
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ 0 < -1
6		ixi 11783	. . . 4 ⊢ (i · i) = -1
7	6	breq2i 5110	. . 3 ⊢ (0 < (i · i) ↔ 0 < -1)
8	5, 7	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 0 < (i · i)
9		ine0 11589	. . 3 ⊢ i ≠ 0
10		msqgt0 11674	. . 3 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ i ≠ 0) → 0 < (i · i))
11	9, 10	mpan2 691	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → 0 < (i · i))
12	8, 11	mto 197	1 ⊢ ¬ i ∈ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045  ici 11046   · cmul 11049   < clt 11184  -cneg 11382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384

This theorem is referenced by:  rimul  12153  nthruc  16196  areacirclem4  37678  ine1  42275  sqrtnegnre  47281  requad01  47595