Theorem inelr 11427

Description: The imaginary unit i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ine0 10874	. . 3 ⊢ i ≠ 0
2	1	neii 2963	. 2 ⊢ ¬ i = 0
3		0lt1 10961	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
4		0re 10439	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 10437	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
6	4, 5	ltnsymi 10557	. . . . 5 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
7	3, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 1 < 0
8		ixi 11068	. . . . . . 7 ⊢ (i · i) = -1
9	5	renegcli 10746	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
10	8, 9	eqeltri 2856	. . . . . 6 ⊢ (i · i) ∈ ℝ
11	4, 10, 5	ltadd1i 10993	. . . . 5 ⊢ (0 < (i · i) ↔ (0 + 1) < ((i · i) + 1))
12		ax-1cn 10391	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	addid2i 10626	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		ax-i2m1 10401	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
15	13, 14	breq12i 4934	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1) < ((i · i) + 1) ↔ 1 < 0)
16	11, 15	bitri 267	. . . 4 ⊢ (0 < (i · i) ↔ 1 < 0)
17	7, 16	mtbir 315	. . 3 ⊢ ¬ 0 < (i · i)
18		msqgt0 10959	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ i ≠ 0) → 0 < (i · i))
19	18	ex 405	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (i ≠ 0 → 0 < (i · i)))
20	19	necon1bd 2979	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → (¬ 0 < (i · i) → i = 0))
21	17, 20	mpi 20	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → i = 0)
22	2, 21	mto 189	1 ⊢ ¬ i ∈ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2961   class class class wbr 4925  (class class class)co 6974  ℝcr 10332  0cc0 10333  1c1 10334  ici 10335   + caddc 10336   · cmul 10338   < clt 10472  -cneg 10669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-po 5322  df-so 5323  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671

This theorem is referenced by:  rimul  11428  nthruc  15463  areacirclem4  34455  sqrtnegnre  42938  requad01  43179