MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inelr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inelr 11427
Description: The imaginary unit i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
inelr ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem inelr
StepHypRef Expression
1 ine0 10874 . . 3 i ≠ 0
21neii 2963 . 2 ¬ i = 0
3 0lt1 10961 . . . . 5 0 < 1
4 0re 10439 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
5 1re 10437 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
64, 5ltnsymi 10557 . . . . 5 (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
73, 6ax-mp 5 . . . 4 ¬ 1 < 0
8 ixi 11068 . . . . . . 7 (i · i) = -1
95renegcli 10746 . . . . . . 7 -1 ∈ ℝ
108, 9eqeltri 2856 . . . . . 6 (i · i) ∈ ℝ
114, 10, 5ltadd1i 10993 . . . . 5 (0 < (i · i) ↔ (0 + 1) < ((i · i) + 1))
12 ax-1cn 10391 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
1312addid2i 10626 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
14 ax-i2m1 10401 . . . . . 6 ((i · i) + 1) = 0
1513, 14breq12i 4934 . . . . 5 ((0 + 1) < ((i · i) + 1) ↔ 1 < 0)
1611, 15bitri 267 . . . 4 (0 < (i · i) ↔ 1 < 0)
177, 16mtbir 315 . . 3 ¬ 0 < (i · i)
18 msqgt0 10959 . . . . 5 ((i ∈ ℝ ∧ i ≠ 0) → 0 < (i · i))
1918ex 405 . . . 4 (i ∈ ℝ → (i ≠ 0 → 0 < (i · i)))
2019necon1bd 2979 . . 3 (i ∈ ℝ → (¬ 0 < (i · i) → i = 0))
2117, 20mpi 20 . 2 (i ∈ ℝ → i = 0)
222, 21mto 189 1 ¬ i ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2961   class class class wbr 4925  (class class class)co 6974  cr 10332  0cc0 10333  1c1 10334  ici 10335   + caddc 10336   · cmul 10338   < clt 10472  -cneg 10669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-po 5322  df-so 5323  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671
This theorem is referenced by:  rimul  11428  nthruc  15463  areacirclem4  34455  sqrtnegnre  42938  requad01  43179
  Copyright terms: Public domain W3C validator