Theorem inelr 12230

Description: The imaginary unit i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ine0 11672	. . 3 ⊢ i ≠ 0
2	1	neii 2934	. 2 ⊢ ¬ i = 0
3		0lt1 11759	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
4		0re 11237	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11235	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
6	4, 5	ltnsymi 11354	. . . . 5 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
7	3, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 1 < 0
8		ixi 11866	. . . . . . 7 ⊢ (i · i) = -1
9	5	renegcli 11544	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
10	8, 9	eqeltri 2830	. . . . . 6 ⊢ (i · i) ∈ ℝ
11	4, 10, 5	ltadd1i 11791	. . . . 5 ⊢ (0 < (i · i) ↔ (0 + 1) < ((i · i) + 1))
12		ax-1cn 11187	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	addlidi 11423	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		ax-i2m1 11197	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
15	13, 14	breq12i 5128	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1) < ((i · i) + 1) ↔ 1 < 0)
16	11, 15	bitri 275	. . . 4 ⊢ (0 < (i · i) ↔ 1 < 0)
17	7, 16	mtbir 323	. . 3 ⊢ ¬ 0 < (i · i)
18		msqgt0 11757	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ i ≠ 0) → 0 < (i · i))
19	18	ex 412	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (i ≠ 0 → 0 < (i · i)))
20	19	necon1bd 2950	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → (¬ 0 < (i · i) → i = 0))
21	17, 20	mpi 20	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → i = 0)
22	2, 21	mto 197	1 ⊢ ¬ i ∈ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130  ici 11131   + caddc 11132   · cmul 11134   < clt 11269  -cneg 11467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469

This theorem is referenced by:  rimul  12231  nthruc  16270  areacirclem4  37735  ine1  42363  itrere  42367  sqrtnegnre  47336  requad01  47635