MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inelr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inelr 12151
Description: The imaginary unit i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
inelr ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem inelr
StepHypRef Expression
1 ine0 11598 . . 3 i ≠ 0
21neii 2942 . 2 ¬ i = 0
3 0lt1 11685 . . . . 5 0 < 1
4 0re 11165 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
5 1re 11163 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
64, 5ltnsymi 11282 . . . . 5 (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
73, 6ax-mp 5 . . . 4 ¬ 1 < 0
8 ixi 11792 . . . . . . 7 (i · i) = -1
95renegcli 11470 . . . . . . 7 -1 ∈ ℝ
108, 9eqeltri 2830 . . . . . 6 (i · i) ∈ ℝ
114, 10, 5ltadd1i 11717 . . . . 5 (0 < (i · i) ↔ (0 + 1) < ((i · i) + 1))
12 ax-1cn 11117 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
1312addlidi 11351 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
14 ax-i2m1 11127 . . . . . 6 ((i · i) + 1) = 0
1513, 14breq12i 5118 . . . . 5 ((0 + 1) < ((i · i) + 1) ↔ 1 < 0)
1611, 15bitri 275 . . . 4 (0 < (i · i) ↔ 1 < 0)
177, 16mtbir 323 . . 3 ¬ 0 < (i · i)
18 msqgt0 11683 . . . . 5 ((i ∈ ℝ ∧ i ≠ 0) → 0 < (i · i))
1918ex 414 . . . 4 (i ∈ ℝ → (i ≠ 0 → 0 < (i · i)))
2019necon1bd 2958 . . 3 (i ∈ ℝ → (¬ 0 < (i · i) → i = 0))
2117, 20mpi 20 . 2 (i ∈ ℝ → i = 0)
222, 21mto 196 1 ¬ i ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060  ici 11061   + caddc 11062   · cmul 11064   < clt 11197  -cneg 11394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396
This theorem is referenced by:  rimul  12152  nthruc  16142  areacirclem4  36219  sqrtnegnre  45629  requad01  45903
  Copyright terms: Public domain W3C validator