Theorem inelr 12204

Description: The imaginary unit i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1lt0 12202	. . . 4 ⊢ -1 < 0
2		neg1rr 12200	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
3		0re 11206	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	2, 3	ltnsymi 11325	. . . 4 ⊢ (-1 < 0 → ¬ 0 < -1)
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ 0 < -1
6		ixi 11839	. . . 4 ⊢ (i · i) = -1
7	6	breq2i 5118	. . 3 ⊢ (0 < (i · i) ↔ 0 < -1)
8	5, 7	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ 0 < (i · i)
9		ine0 11645	. . 3 ⊢ i ≠ 0
10		msqgt0 11730	. . 3 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ i ≠ 0) → 0 < (i · i))
11	9, 10	mpan2 703	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → 0 < (i · i))
12	8, 11	mto 200	1 ⊢ ¬ i ∈ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5110  (class class class)co 7408  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097  ici 11098   · cmul 11101   < clt 11239  -cneg 11438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440

This theorem is referenced by:  rimul  12205  nthruc  16304  areacirclem4  38245  ine1  42958  sqrtnegnre  47926  requad01  48268