Theorem 2sqreuop 27350

Description: There exists a unique decomposition of a prime of the form 4𝑘 + 1 as a sum of squares of two nonnegative integers. Ordered pair variant of 2sqreu 27344. (Contributed by AV, 2-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2sqreuop	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑝 ∈ (ℕ0 × ℕ0)((1st ‘𝑝) ≤ (2nd ‘𝑝) ∧ (((1st ‘𝑝)↑2) + ((2nd ‘𝑝)↑2)) = 𝑃))

Distinct variable group:   𝑃,𝑝

Proof of Theorem 2sqreuop

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biid 261	. . 3 ⊢ ((𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
2	1	2sqreu 27344	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
3		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (1st ‘𝑝) = (1st ‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
4		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (2nd ‘𝑝) = (2nd ‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
5	3, 4	breq12d 5154	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((1st ‘𝑝) ≤ (2nd ‘𝑝) ↔ (1st ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ≤ (2nd ‘⟨𝑎, 𝑏⟩)))
6		vex 3472	. . . . . . 7 ⊢ 𝑎 ∈ V
7		vex 3472	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
8	6, 7	op1st 7982	. . . . . 6 ⊢ (1st ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = 𝑎
9	6, 7	op2nd 7983	. . . . . 6 ⊢ (2nd ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = 𝑏
10	8, 9	breq12i 5150	. . . . 5 ⊢ ((1st ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ≤ (2nd ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ↔ 𝑎 ≤ 𝑏)
11	5, 10	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((1st ‘𝑝) ≤ (2nd ‘𝑝) ↔ 𝑎 ≤ 𝑏))
12	6, 7	op1std 7984	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (1st ‘𝑝) = 𝑎)
13	12	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((1st ‘𝑝)↑2) = (𝑎↑2))
14	6, 7	op2ndd 7985	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (2nd ‘𝑝) = 𝑏)
15	14	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((2nd ‘𝑝)↑2) = (𝑏↑2))
16	13, 15	oveq12d 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (((1st ‘𝑝)↑2) + ((2nd ‘𝑝)↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
17	16	eqeq1d 2728	. . . 4 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((((1st ‘𝑝)↑2) + ((2nd ‘𝑝)↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
18	11, 17	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (((1st ‘𝑝) ≤ (2nd ‘𝑝) ∧ (((1st ‘𝑝)↑2) + ((2nd ‘𝑝)↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
19	18	opreu2reurex 6287	. 2 ⊢ (∃!𝑝 ∈ (ℕ0 × ℕ0)((1st ‘𝑝) ≤ (2nd ‘𝑝) ∧ (((1st ‘𝑝)↑2) + ((2nd ‘𝑝)↑2)) = 𝑃) ↔ (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
20	2, 19	sylibr 233	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑝 ∈ (ℕ0 × ℕ0)((1st ‘𝑝) ≤ (2nd ‘𝑝) ∧ (((1st ‘𝑝)↑2) + ((2nd ‘𝑝)↑2)) = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3064  ∃!wreu 3368  ⟨cop 4629   class class class wbr 5141   × cxp 5667  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  1^st c1st 7972  2^nd c2nd 7973  1c1 11113   + caddc 11115   ≤ cle 11253  2c2 12271  4c4 12273  ℕ₀cn0 12476   mod cmo 13840  ↑cexp 14032  ℙcprime 16615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-phi 16708  df-pc 16779  df-gz 16872  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-imas 17463  df-qus 17464  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-nsg 19051  df-eqg 19052  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-srg 20092  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-nzr 20415  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-field 20590  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-rsp 21068  df-2idl 21107  df-rlreg 21193  df-domn 21194  df-idom 21195  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-zn 21393  df-assa 21748  df-asp 21749  df-ascl 21750  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-opsr 21807  df-evls 21977  df-evl 21978  df-psr1 22054  df-vr1 22055  df-ply1 22056  df-coe1 22057  df-evl1 22190  df-mdeg 25943  df-deg1 25944  df-mon1 26021  df-uc1p 26022  df-q1p 26023  df-r1p 26024  df-lgs 27183

This theorem is referenced by: (None)