Theorem 2sqreuop 27588

Description: There exists a unique decomposition of a prime of the form 4𝑘 + 1 as a sum of squares of two nonnegative integers. Ordered pair variant of 2sqreu 27582. (Contributed by AV, 2-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2sqreuop	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑝 ∈ (ℕ0 × ℕ0)((1st ‘𝑝) ≤ (2nd ‘𝑝) ∧ (((1st ‘𝑝)↑2) + ((2nd ‘𝑝)↑2)) = 𝑃))

Distinct variable group:   𝑃,𝑝

Proof of Theorem 2sqreuop

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biid 264	. . 3 ⊢ ((𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
2	1	2sqreu 27582	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
3		fveq2 6879	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (1st ‘𝑝) = (1st ‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
4		fveq2 6879	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (2nd ‘𝑝) = (2nd ‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
5	3, 4	breq12d 5123	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((1st ‘𝑝) ≤ (2nd ‘𝑝) ↔ (1st ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ≤ (2nd ‘⟨𝑎, 𝑏⟩)))
6		vex 3467	. . . . . . 7 ⊢ 𝑎 ∈ V
7		vex 3467	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
8	6, 7	op1st 7990	. . . . . 6 ⊢ (1st ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = 𝑎
9	6, 7	op2nd 7991	. . . . . 6 ⊢ (2nd ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = 𝑏
10	8, 9	breq12i 5119	. . . . 5 ⊢ ((1st ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ≤ (2nd ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ↔ 𝑎 ≤ 𝑏)
11	5, 10	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((1st ‘𝑝) ≤ (2nd ‘𝑝) ↔ 𝑎 ≤ 𝑏))
12	6, 7	op1std 7992	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (1st ‘𝑝) = 𝑎)
13	12	oveq1d 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((1st ‘𝑝)↑2) = (𝑎↑2))
14	6, 7	op2ndd 7993	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (2nd ‘𝑝) = 𝑏)
15	14	oveq1d 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((2nd ‘𝑝)↑2) = (𝑏↑2))
16	13, 15	oveq12d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (((1st ‘𝑝)↑2) + ((2nd ‘𝑝)↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
17	16	eqeq1d 2771	. . . 4 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((((1st ‘𝑝)↑2) + ((2nd ‘𝑝)↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
18	11, 17	anbi12d 643	. . 3 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (((1st ‘𝑝) ≤ (2nd ‘𝑝) ∧ (((1st ‘𝑝)↑2) + ((2nd ‘𝑝)↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
19	18	opreu2reurex 6292	. 2 ⊢ (∃!𝑝 ∈ (ℕ0 × ℕ0)((1st ‘𝑝) ≤ (2nd ‘𝑝) ∧ (((1st ‘𝑝)↑2) + ((2nd ‘𝑝)↑2)) = 𝑃) ↔ (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
20	2, 19	sylibr 237	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑝 ∈ (ℕ0 × ℕ0)((1st ‘𝑝) ≤ (2nd ‘𝑝) ∧ (((1st ‘𝑝)↑2) + ((2nd ‘𝑝)↑2)) = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  ∃!wreu 3374  ⟨cop 4597   class class class wbr 5110   × cxp 5657  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  1^st c1st 7980  2^nd c2nd 7981  1c1 11097   + caddc 11099   ≤ cle 11240  2c2 12291  4c4 12293  ℕ₀cn0 12500   mod cmo 13898  ↑cexp 14093  ℙcprime 16725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175  ax-mulf 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-xnn0 12574  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16307  df-gcd 16549  df-prm 16726  df-phi 16821  df-pc 16893  df-gz 16986  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-prds 17496  df-pws 17498  df-imas 17558  df-qus 17559  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mhm 18837  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-mulg 19130  df-subg 19185  df-nsg 19186  df-eqg 19187  df-ghm 19280  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-srg 20265  df-ring 20313  df-cring 20314  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-rhm 20550  df-nzr 20592  df-subrng 20627  df-subrg 20651  df-rlreg 20775  df-domn 20776  df-idom 20777  df-drng 20811  df-field 20812  df-lmod 20957  df-lss 21027  df-lsp 21067  df-sra 21268  df-rgmod 21269  df-lidl 21306  df-rsp 21307  df-2idl 21356  df-cnfld 21488  df-zring 21562  df-zrh 21618  df-zn 21621  df-assa 21968  df-asp 21969  df-ascl 21970  df-psr 22024  df-mvr 22025  df-mpl 22026  df-opsr 22028  df-evls 22190  df-evl 22191  df-psr1 22305  df-vr1 22306  df-ply1 22307  df-coe1 22308  df-evl1 22441  df-mdeg 26177  df-deg1 26178  df-mon1 26253  df-uc1p 26254  df-q1p 26255  df-r1p 26256  df-lgs 27421

This theorem is referenced by: (None)