Theorem liminfltlimsupex 40935

Description: An example where the lim inf is strictly smaller than the lim sup. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
liminfltlimsupex.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))

Assertion

Ref	Expression
liminfltlimsupex	⊢ (lim inf‘𝐹) < (lim sup‘𝐹)

Proof of Theorem liminfltlimsupex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 10900	. 2 ⊢ 0 < 1
2		liminfltlimsupex.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
3	2	liminf10ex 40928	. . 3 ⊢ (lim inf‘𝐹) = 0
4	2	limsup10ex 40927	. . 3 ⊢ (lim sup‘𝐹) = 1
5	3, 4	breq12i 4897	. 2 ⊢ ((lim inf‘𝐹) < (lim sup‘𝐹) ↔ 0 < 1)
6	1, 5	mpbir 223	1 ⊢ (lim inf‘𝐹) < (lim sup‘𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1601  ifcif 4307   class class class wbr 4888   ↦ cmpt 4967  ‘cfv 6137  0cc0 10274  1c1 10275   < clt 10413  ℕcn 11379  2c2 11435  lim supclsp 14618   ∥ cdvds 15396  lim infclsi 40905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-sup 8638  df-inf 8639  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-rp 12143  df-ico 12498  df-fl 12917  df-ceil 12918  df-limsup 14619  df-dvds 15397  df-liminf 40906

This theorem is referenced by: (None)