Theorem prlem936 11027

Description: Lemma 9-3.6 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
prlem936	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem prlem936

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑏 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 10906	. . . . 5 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
2	1	brel 5726	. . . 4 ⊢ (1Q <Q 𝐵 → (1Q ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
3	2	simprd 500	. . 3 ⊢ (1Q <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ Q)
4	3	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝐵) → 𝐵 ∈ Q)
5		breq2 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (1Q <Q 𝑏 ↔ 1Q <Q 𝐵))
6	5	anbi2d 641	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ↔ (𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝐵)))
7		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑥 ·Q 𝑏) = (𝑥 ·Q 𝐵))
8	7	eleq1d 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴))
9	8	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴))
10	9	rexbidv 3189	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴))
11	6, 10	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴)))
12		prn0 10969	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ≠ ∅)
13		n0 4307	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
14	12, 13	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
15	14	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
16		elprnq 10971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ Q)
17	16	ad2ant2r 759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ Q)
18		mulidnq 10943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑦 ·Q 1Q) = 𝑦)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·Q 1Q) = 𝑦)
20		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 1Q <Q 𝑏)
21		ltmnq 10952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (1Q <Q 𝑏 ↔ (𝑦 ·Q 1Q) <Q (𝑦 ·Q 𝑏)))
22	21	biimpa 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 1Q <Q 𝑏) → (𝑦 ·Q 1Q) <Q (𝑦 ·Q 𝑏))
23	17, 20, 22	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·Q 1Q) <Q (𝑦 ·Q 𝑏))
24	19, 23	eqbrtrrd 5135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 𝑦 <Q (𝑦 ·Q 𝑏))
25	1	brel 5726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1Q <Q 𝑏 → (1Q ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q))
26	25	simprd 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1Q <Q 𝑏 → 𝑏 ∈ Q)
27	26	ad2antlr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 𝑏 ∈ Q)
28		mulclnq 10927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ Q)
29	17, 27, 28	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ Q)
30		ltexnq 10955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ·Q 𝑏) ∈ Q → (𝑦 <Q (𝑦 ·Q 𝑏) ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)))
31	29, 30	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 <Q (𝑦 ·Q 𝑏) ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)))
32	24, 31	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))
33		simplll 786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → 𝐴 ∈ P)
34		vex 3459	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
35	34	prlem934 11013	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
36	33, 35	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
37	33	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ P)
38		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
39		eleq1 2851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏) → ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
40	39	biimparc 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
41	38, 40	sylan 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
42	41	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
43		elprnq 10971	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ Q)
44	33, 43	sylan 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ Q)
45		elprnq 10971	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q)
46		addnqf 10928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
47	46	fdmi 6717	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
48		0nnq 10904	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
49	47, 48	ndmovrcl 7596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q))
50	49	simprd 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q → 𝑧 ∈ Q)
51	45, 50	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ Q)
52	33, 41, 51	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → 𝑧 ∈ Q)
53	52	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ Q)
54		addclnq 10925	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑥 +Q 𝑧) ∈ Q)
55	44, 53, 54	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 +Q 𝑧) ∈ Q)
56		prub 10974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ Q) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧)))
57	37, 42, 55, 56	syl21anc 850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧)))
58	27	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ Q)
59		mulclnq 10927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q)
60	44, 58, 59	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q)
61	17	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ Q)
62		simplr 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))
63		recclnq 10946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (*Q‘𝑦) ∈ Q)
64		mulclnq 10927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ Q ∧ (*Q‘𝑦) ∈ Q) → (𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ∈ Q)
65	63, 64	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ∈ Q)
66	65	ancoms 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ∈ Q)
67		ltmnq 10952	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ∈ Q → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑦) <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥)))
68	66, 67	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑦) <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥)))
69		mulassnq 10939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑦) = (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑦) ·Q 𝑦))
70		mulcomnq 10933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((*Q‘𝑦) ·Q 𝑦) = (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦))
71	70	oveq2i 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑦) ·Q 𝑦)) = (𝑧 ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦)))
72	69, 71	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑦) = (𝑧 ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦)))
73		recidnq 10945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦)) = 1Q)
74	73	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑧 ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦))) = (𝑧 ·Q 1Q))
75		mulidnq 10943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑧 ·Q 1Q) = 𝑧)
76	74, 75	sylan9eq 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑧 ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦))) = 𝑧)
77	72, 76	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑦) = 𝑧)
78	77	breq1d 5119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑦) <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ 𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥)))
79	68, 78	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ 𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥)))
80	79	adantll 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ 𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥)))
81		mulnqf 10929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ·Q :(Q × Q)⟶Q
82	81	fdmi 6717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ dom ·Q = (Q × Q)
83	82, 48	ndmovrcl 7596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q))
84	83	simpld 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → 𝑥 ∈ Q)
85		ltanq 10951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥))))
86	84, 85	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥))))
87	86	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥))))
88		vex 3459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑦 ∈ V
89		ovex 7443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦)) ∈ V
90		mulcomnq 10933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑢 ·Q 𝑤) = (𝑤 ·Q 𝑢)
91		distrnq 10941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑢 ·Q (𝑤 +Q 𝑣)) = ((𝑢 ·Q 𝑤) +Q (𝑢 ·Q 𝑣))
92	88, 34, 89, 90, 91	caovdir 7644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = ((𝑦 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) +Q (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))))
93		vex 3459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑥 ∈ V
94		fvex 6894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (*Q‘𝑦) ∈ V
95		mulassnq 10939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑢 ·Q 𝑤) ·Q 𝑣) = (𝑢 ·Q (𝑤 ·Q 𝑣))
96	88, 93, 94, 90, 95	caov12 7638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = (𝑥 ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦)))
97	73	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑥 ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦))) = (𝑥 ·Q 1Q))
98		mulidnq 10943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (𝑥 ·Q 1Q) = 𝑥)
99	84, 98	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → (𝑥 ·Q 1Q) = 𝑥)
100	97, 99	sylan9eqr 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑥 ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦))) = 𝑥)
101	96, 100	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑦 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = 𝑥)
102		mulcomnq 10933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦)) = ((*Q‘𝑦) ·Q 𝑥)
103	102	oveq2i 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑦) ·Q 𝑥))
104		mulassnq 10939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥) = (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑦) ·Q 𝑥))
105	103, 104	eqtr4i 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥)
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥))
107	101, 106	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑦 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) +Q (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦)))) = (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥)))
108	92, 107	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥)))
109	108	breq2d 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥))))
110	87, 109	bitr4d 285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦)))))
111	110	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦)))))
112	80, 111	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦)))))
113	112	adantrr 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ Q ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦)))))
114		ltanq 10951	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑧 +Q 𝑦) <Q (𝑧 +Q 𝑥)))
115		addcomnq 10931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 +Q 𝑦) = (𝑦 +Q 𝑧)
116		addcomnq 10931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 +Q 𝑥) = (𝑥 +Q 𝑧)
117	115, 116	breq12i 5118	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 +Q 𝑦) <Q (𝑧 +Q 𝑥) ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧))
118	114, 117	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧)))
119	118	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ Q ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧)))
120		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏) → ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = ((𝑦 ·Q 𝑏) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))))
121		vex 3459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑏 ∈ V
122	88, 121, 93, 90, 95, 94	caov411 7642	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ·Q 𝑏) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦)))
123	73	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ Q → ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦))) = ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q 1Q))
124		mulidnq 10943	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q 1Q) = (𝑥 ·Q 𝑏))
125	123, 124	sylan9eqr 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦))) = (𝑥 ·Q 𝑏))
126	122, 125	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑦 ·Q 𝑏) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = (𝑥 ·Q 𝑏))
127	120, 126	sylan9eqr 2820	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = (𝑥 ·Q 𝑏))
128	127	breq2d 5121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
129	128	adantrl 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ Q ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))) → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
130	113, 119, 129	3bitr3d 312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ Q ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))) → ((𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
131	60, 61, 53, 62, 130	syl22anc 851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
132	57, 131	sylibd 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
133		prcdnq 10973	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴) → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏) → (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴))
134	133	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)) → ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 → (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴))
135	134	con3d 153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
136	135	ex 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ P → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)))
137	136	com23 87	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ P → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏) → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)))
138	37, 137	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏) → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)))
139	132, 138	mpdd 44	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
140	139	reximdva 3178	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
141	36, 140	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
142	32, 141	exlimddv 1965	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
143	142	expr 461	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
144		oveq1 7417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ·Q 𝑏) = (𝑦 ·Q 𝑏))
145	144	eleq1d 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
146	145	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
147	146	rspcev 3581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
148	147	ex 417	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
149	148	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
150	143, 149	pm2.61d 181	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
151	15, 150	exlimddv 1965	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
152	11, 151	vtoclg 3522	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴))
153	4, 152	mpcom 39	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089  ∅c0 4286   class class class wbr 5109   × cxp 5659  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Qcnq 10832  1_Qc1q 10833   +_Q cplq 10835   ·_Q cmq 10836  *_Qcrq 10837   <_Q cltq 10838  Pcnp 10839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-ni 10852  df-pli 10853  df-mi 10854  df-lti 10855  df-plpq 10888  df-mpq 10889  df-ltpq 10890  df-enq 10891  df-nq 10892  df-erq 10893  df-plq 10894  df-mq 10895  df-1nq 10896  df-rq 10897  df-ltnq 10898  df-np 10961

This theorem is referenced by:  reclem3pr  11029