prlem936 - Metamath Proof Explorer

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Theorem prlem936 10471

Description: Lemma 9-3.6 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
prlem936	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·_Q 𝐵) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵

Proof of Theorem prlem936 Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑏 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 10350	. . . . 5 ⊢ <_Q ⊆ (Q × Q)
2	1	brel 5619	. . . 4 ⊢ (1_Q <_Q 𝐵 → (1_Q ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
3	2	simprd 498	. . 3 ⊢ (1_Q <_Q 𝐵 → 𝐵 ∈ Q)
4	3	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝐵) → 𝐵 ∈ Q)
5		breq2 5072	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (1_Q <_Q 𝑏 ↔ 1_Q <_Q 𝐵))
6	5	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ↔ (𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝐵)))
7		oveq2 7166	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑥 ·_Q 𝑏) = (𝑥 ·_Q 𝐵))
8	7	eleq1d 2899	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ·_Q 𝐵) ∈ 𝐴))
9	8	notbid 320	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (¬ (𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑥 ·_Q 𝐵) ∈ 𝐴))
10	9	rexbidv 3299	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·_Q 𝐵) ∈ 𝐴))
11	6, 10	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·_Q 𝐵) ∈ 𝐴)))
12		prn0 10413	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ≠ ∅)
13		n0 4312	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
14	12, 13	sylib 220	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
15	14	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
16		elprnq 10415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ Q)
17	16	ad2ant2r 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ Q)
18		mulidnq 10387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑦 ·_Q 1_Q) = 𝑦)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·_Q 1_Q) = 𝑦)
20		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 1_Q <_Q 𝑏)
21		ltmnq 10396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (1_Q <_Q 𝑏 ↔ (𝑦 ·_Q 1_Q) <_Q (𝑦 ·_Q 𝑏)))
22	21	biimpa 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 1_Q <_Q 𝑏) → (𝑦 ·_Q 1_Q) <_Q (𝑦 ·_Q 𝑏))
23	17, 20, 22	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·_Q 1_Q) <_Q (𝑦 ·_Q 𝑏))
24	19, 23	eqbrtrrd 5092	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 𝑦 <_Q (𝑦 ·_Q 𝑏))
25	1	brel 5619	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1_Q <_Q 𝑏 → (1_Q ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q))
26	25	simprd 498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1_Q <_Q 𝑏 → 𝑏 ∈ Q)
27	26	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 𝑏 ∈ Q)
28		mulclnq 10371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ Q)
29	17, 27, 28	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ Q)
30		ltexnq 10399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ Q → (𝑦 <_Q (𝑦 ·_Q 𝑏) ↔ ∃𝑧(𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏)))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 <_Q (𝑦 ·_Q 𝑏) ↔ ∃𝑧(𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏)))
32	24, 31	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → ∃𝑧(𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏))
33		simplll 773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏)) → 𝐴 ∈ P)
34		vex 3499	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
35	34	prlem934 10457	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 +_Q 𝑧) ∈ 𝐴)
36	33, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 +_Q 𝑧) ∈ 𝐴)
37	33	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ P)
38		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)
39		eleq1 2902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏) → ((𝑦 +_Q 𝑧) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴))
40	39	biimparc 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏)) → (𝑦 +_Q 𝑧) ∈ 𝐴)
41	38, 40	sylan 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏)) → (𝑦 +_Q 𝑧) ∈ 𝐴)
42	41	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 +_Q 𝑧) ∈ 𝐴)
43		elprnq 10415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ Q)
44	33, 43	sylan 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ Q)
45		elprnq 10415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) ∈ 𝐴) → (𝑦 +_Q 𝑧) ∈ Q)
46		addnqf 10372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ +_Q :(Q × Q)⟶Q
47	46	fdmi 6526	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom +_Q = (Q × Q)
48		0nnq 10348	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
49	47, 48	ndmovrcl 7336	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 +_Q 𝑧) ∈ Q → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q))
50	49	simprd 498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 +_Q 𝑧) ∈ Q → 𝑧 ∈ Q)
51	45, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ Q)
52	33, 41, 51	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏)) → 𝑧 ∈ Q)
53	52	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ Q)
54		addclnq 10369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑥 +_Q 𝑧) ∈ Q)
55	44, 53, 54	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 +_Q 𝑧) ∈ Q)
56		prub 10418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 +_Q 𝑧) ∈ Q) → (¬ (𝑥 +_Q 𝑧) ∈ 𝐴 → (𝑦 +_Q 𝑧) <_Q (𝑥 +_Q 𝑧)))
57	37, 42, 55, 56	syl21anc 835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑥 +_Q 𝑧) ∈ 𝐴 → (𝑦 +_Q 𝑧) <_Q (𝑥 +_Q 𝑧)))
58	27	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ Q)
59		mulclnq 10371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ Q)
60	44, 58, 59	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ Q)
61	17	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ Q)
62		simplr 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏))
63		recclnq 10390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (*_Q‘𝑦) ∈ Q)
64		mulclnq 10371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ Q ∧ (_Q‘𝑦) ∈ Q) → (𝑧 ·_Q (_Q‘𝑦)) ∈ Q)
65	63, 64	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑧 ·_Q (*_Q‘𝑦)) ∈ Q)
66	65	ancoms 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑧 ·_Q (*_Q‘𝑦)) ∈ Q)
67		ltmnq 10396	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ·_Q (_Q‘𝑦)) ∈ Q → (𝑦 <_Q 𝑥 ↔ ((𝑧 ·_Q (_Q‘𝑦)) ·_Q 𝑦) <_Q ((𝑧 ·_Q (*_Q‘𝑦)) ·_Q 𝑥)))
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 <_Q 𝑥 ↔ ((𝑧 ·_Q (_Q‘𝑦)) ·_Q 𝑦) <_Q ((𝑧 ·_Q (_Q‘𝑦)) ·_Q 𝑥)))
69		mulassnq 10383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ·_Q (_Q‘𝑦)) ·_Q 𝑦) = (𝑧 ·_Q ((_Q‘𝑦) ·_Q 𝑦))
70		mulcomnq 10377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((_Q‘𝑦) ·_Q 𝑦) = (𝑦 ·_Q (_Q‘𝑦))
71	70	oveq2i 7169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ·_Q ((_Q‘𝑦) ·_Q 𝑦)) = (𝑧 ·_Q (𝑦 ·_Q (_Q‘𝑦)))
72	69, 71	eqtri 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ·_Q (_Q‘𝑦)) ·_Q 𝑦) = (𝑧 ·_Q (𝑦 ·_Q (_Q‘𝑦)))
73		recidnq 10389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑦 ·_Q (*_Q‘𝑦)) = 1_Q)
74	73	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑧 ·_Q (𝑦 ·_Q (*_Q‘𝑦))) = (𝑧 ·_Q 1_Q))
75		mulidnq 10387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑧 ·_Q 1_Q) = 𝑧)
76	74, 75	sylan9eq 2878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑧 ·_Q (𝑦 ·_Q (*_Q‘𝑦))) = 𝑧)
77	72, 76	syl5eq 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → ((𝑧 ·_Q (*_Q‘𝑦)) ·_Q 𝑦) = 𝑧)
78	77	breq1d 5078	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (((𝑧 ·_Q (_Q‘𝑦)) ·_Q 𝑦) <_Q ((𝑧 ·_Q (_Q‘𝑦)) ·_Q 𝑥) ↔ 𝑧 <_Q ((𝑧 ·_Q (*_Q‘𝑦)) ·_Q 𝑥)))
79	68, 78	bitrd 281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 <_Q 𝑥 ↔ 𝑧 <_Q ((𝑧 ·_Q (*_Q‘𝑦)) ·_Q 𝑥)))
80	79	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 <_Q 𝑥 ↔ 𝑧 <_Q ((𝑧 ·_Q (*_Q‘𝑦)) ·_Q 𝑥)))
81		mulnqf 10373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ·_Q :(Q × Q)⟶Q
82	81	fdmi 6526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ dom ·_Q = (Q × Q)
83	82, 48	ndmovrcl 7336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ Q → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q))
84	83	simpld 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ Q → 𝑥 ∈ Q)
85		ltanq 10395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (𝑧 <_Q ((𝑧 ·_Q (_Q‘𝑦)) ·_Q 𝑥) ↔ (𝑥 +_Q 𝑧) <_Q (𝑥 +_Q ((𝑧 ·_Q (_Q‘𝑦)) ·_Q 𝑥))))
86	84, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ Q → (𝑧 <_Q ((𝑧 ·_Q (_Q‘𝑦)) ·_Q 𝑥) ↔ (𝑥 +_Q 𝑧) <_Q (𝑥 +_Q ((𝑧 ·_Q (_Q‘𝑦)) ·_Q 𝑥))))
87	86	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑧 <_Q ((𝑧 ·_Q (_Q‘𝑦)) ·_Q 𝑥) ↔ (𝑥 +_Q 𝑧) <_Q (𝑥 +_Q ((𝑧 ·_Q (_Q‘𝑦)) ·_Q 𝑥))))
88		vex 3499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑦 ∈ V
89		ovex 7191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ·_Q (*_Q‘𝑦)) ∈ V
90		mulcomnq 10377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑢 ·_Q 𝑤) = (𝑤 ·_Q 𝑢)
91		distrnq 10385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑢 ·_Q (𝑤 +_Q 𝑣)) = ((𝑢 ·_Q 𝑤) +_Q (𝑢 ·_Q 𝑣))
92	88, 34, 89, 90, 91	caovdir 7384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 +_Q 𝑧) ·_Q (𝑥 ·_Q (_Q‘𝑦))) = ((𝑦 ·_Q (𝑥 ·_Q (_Q‘𝑦))) +_Q (𝑧 ·_Q (𝑥 ·_Q (*_Q‘𝑦))))
93		vex 3499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑥 ∈ V
94		fvex 6685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (*_Q‘𝑦) ∈ V
95		mulassnq 10383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑢 ·_Q 𝑤) ·_Q 𝑣) = (𝑢 ·_Q (𝑤 ·_Q 𝑣))
96	88, 93, 94, 90, 95	caov12 7378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ·_Q (𝑥 ·_Q (_Q‘𝑦))) = (𝑥 ·_Q (𝑦 ·_Q (_Q‘𝑦)))
97	73	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑥 ·_Q (𝑦 ·_Q (*_Q‘𝑦))) = (𝑥 ·_Q 1_Q))
98		mulidnq 10387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (𝑥 ·_Q 1_Q) = 𝑥)
99	84, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ Q → (𝑥 ·_Q 1_Q) = 𝑥)
100	97, 99	sylan9eqr 2880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑥 ·_Q (𝑦 ·_Q (*_Q‘𝑦))) = 𝑥)
101	96, 100	syl5eq 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑦 ·_Q (𝑥 ·_Q (*_Q‘𝑦))) = 𝑥)
102		mulcomnq 10377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ·_Q (_Q‘𝑦)) = ((_Q‘𝑦) ·_Q 𝑥)
103	102	oveq2i 7169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ·_Q (𝑥 ·_Q (_Q‘𝑦))) = (𝑧 ·_Q ((_Q‘𝑦) ·_Q 𝑥))
104		mulassnq 10383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ·_Q (_Q‘𝑦)) ·_Q 𝑥) = (𝑧 ·_Q ((_Q‘𝑦) ·_Q 𝑥))
105	103, 104	eqtr4i 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ·_Q (𝑥 ·_Q (_Q‘𝑦))) = ((𝑧 ·_Q (_Q‘𝑦)) ·_Q 𝑥)
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑧 ·_Q (𝑥 ·_Q (_Q‘𝑦))) = ((𝑧 ·_Q (_Q‘𝑦)) ·_Q 𝑥))
107	101, 106	oveq12d 7176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑦 ·_Q (𝑥 ·_Q (_Q‘𝑦))) +_Q (𝑧 ·_Q (𝑥 ·_Q (_Q‘𝑦)))) = (𝑥 +_Q ((𝑧 ·_Q (*_Q‘𝑦)) ·_Q 𝑥)))
108	92, 107	syl5eq 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑦 +_Q 𝑧) ·_Q (𝑥 ·_Q (_Q‘𝑦))) = (𝑥 +_Q ((𝑧 ·_Q (_Q‘𝑦)) ·_Q 𝑥)))
109	108	breq2d 5080	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑥 +_Q 𝑧) <_Q ((𝑦 +_Q 𝑧) ·_Q (𝑥 ·_Q (_Q‘𝑦))) ↔ (𝑥 +_Q 𝑧) <_Q (𝑥 +_Q ((𝑧 ·_Q (_Q‘𝑦)) ·_Q 𝑥))))
110	87, 109	bitr4d 284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑧 <_Q ((𝑧 ·_Q (_Q‘𝑦)) ·_Q 𝑥) ↔ (𝑥 +_Q 𝑧) <_Q ((𝑦 +_Q 𝑧) ·_Q (𝑥 ·_Q (_Q‘𝑦)))))
111	110	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑧 <_Q ((𝑧 ·_Q (_Q‘𝑦)) ·_Q 𝑥) ↔ (𝑥 +_Q 𝑧) <_Q ((𝑦 +_Q 𝑧) ·_Q (𝑥 ·_Q (_Q‘𝑦)))))
112	80, 111	bitrd 281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 <_Q 𝑥 ↔ (𝑥 +_Q 𝑧) <_Q ((𝑦 +_Q 𝑧) ·_Q (𝑥 ·_Q (*_Q‘𝑦)))))
113	112	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ Q ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏))) → (𝑦 <_Q 𝑥 ↔ (𝑥 +_Q 𝑧) <_Q ((𝑦 +_Q 𝑧) ·_Q (𝑥 ·_Q (*_Q‘𝑦)))))
114		ltanq 10395	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑦 <_Q 𝑥 ↔ (𝑧 +_Q 𝑦) <_Q (𝑧 +_Q 𝑥)))
115		addcomnq 10375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 +_Q 𝑦) = (𝑦 +_Q 𝑧)
116		addcomnq 10375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 +_Q 𝑥) = (𝑥 +_Q 𝑧)
117	115, 116	breq12i 5077	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 +_Q 𝑦) <_Q (𝑧 +_Q 𝑥) ↔ (𝑦 +_Q 𝑧) <_Q (𝑥 +_Q 𝑧))
118	114, 117	syl6bb 289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑦 <_Q 𝑥 ↔ (𝑦 +_Q 𝑧) <_Q (𝑥 +_Q 𝑧)))
119	118	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ Q ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏))) → (𝑦 <_Q 𝑥 ↔ (𝑦 +_Q 𝑧) <_Q (𝑥 +_Q 𝑧)))
120		oveq1 7165	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏) → ((𝑦 +_Q 𝑧) ·_Q (𝑥 ·_Q (_Q‘𝑦))) = ((𝑦 ·_Q 𝑏) ·_Q (𝑥 ·_Q (_Q‘𝑦))))
121		vex 3499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑏 ∈ V
122	88, 121, 93, 90, 95, 94	caov411 7382	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ·_Q 𝑏) ·_Q (𝑥 ·_Q (_Q‘𝑦))) = ((𝑥 ·_Q 𝑏) ·_Q (𝑦 ·_Q (_Q‘𝑦)))
123	73	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ Q → ((𝑥 ·_Q 𝑏) ·_Q (𝑦 ·_Q (*_Q‘𝑦))) = ((𝑥 ·_Q 𝑏) ·_Q 1_Q))
124		mulidnq 10387	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ Q → ((𝑥 ·_Q 𝑏) ·_Q 1_Q) = (𝑥 ·_Q 𝑏))
125	123, 124	sylan9eqr 2880	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑥 ·_Q 𝑏) ·_Q (𝑦 ·_Q (*_Q‘𝑦))) = (𝑥 ·_Q 𝑏))
126	122, 125	syl5eq 2870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑦 ·_Q 𝑏) ·_Q (𝑥 ·_Q (*_Q‘𝑦))) = (𝑥 ·_Q 𝑏))
127	120, 126	sylan9eqr 2880	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏)) → ((𝑦 +_Q 𝑧) ·_Q (𝑥 ·_Q (*_Q‘𝑦))) = (𝑥 ·_Q 𝑏))
128	127	breq2d 5080	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏)) → ((𝑥 +_Q 𝑧) <_Q ((𝑦 +_Q 𝑧) ·_Q (𝑥 ·_Q (*_Q‘𝑦))) ↔ (𝑥 +_Q 𝑧) <_Q (𝑥 ·_Q 𝑏)))
129	128	adantrl 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ Q ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏))) → ((𝑥 +_Q 𝑧) <_Q ((𝑦 +_Q 𝑧) ·_Q (𝑥 ·_Q (*_Q‘𝑦))) ↔ (𝑥 +_Q 𝑧) <_Q (𝑥 ·_Q 𝑏)))
130	113, 119, 129	3bitr3d 311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ Q ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏))) → ((𝑦 +_Q 𝑧) <_Q (𝑥 +_Q 𝑧) ↔ (𝑥 +_Q 𝑧) <_Q (𝑥 ·_Q 𝑏)))
131	60, 61, 53, 62, 130	syl22anc 836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 +_Q 𝑧) <_Q (𝑥 +_Q 𝑧) ↔ (𝑥 +_Q 𝑧) <_Q (𝑥 ·_Q 𝑏)))
132	57, 131	sylibd 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑥 +_Q 𝑧) ∈ 𝐴 → (𝑥 +_Q 𝑧) <_Q (𝑥 ·_Q 𝑏)))
133		prcdnq 10417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴) → ((𝑥 +_Q 𝑧) <_Q (𝑥 ·_Q 𝑏) → (𝑥 +_Q 𝑧) ∈ 𝐴))
134	133	impancom 454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝑥 +_Q 𝑧) <_Q (𝑥 ·_Q 𝑏)) → ((𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴 → (𝑥 +_Q 𝑧) ∈ 𝐴))
135	134	con3d 155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝑥 +_Q 𝑧) <_Q (𝑥 ·_Q 𝑏)) → (¬ (𝑥 +_Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ¬ (𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴))
136	135	ex 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ P → ((𝑥 +_Q 𝑧) <_Q (𝑥 ·_Q 𝑏) → (¬ (𝑥 +_Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ¬ (𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)))
137	136	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ P → (¬ (𝑥 +_Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ((𝑥 +_Q 𝑧) <_Q (𝑥 ·_Q 𝑏) → ¬ (𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)))
138	37, 137	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑥 +_Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ((𝑥 +_Q 𝑧) <_Q (𝑥 ·_Q 𝑏) → ¬ (𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)))
139	132, 138	mpdd 43	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑥 +_Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ¬ (𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴))
140	139	reximdva 3276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 +_Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴))
141	36, 140	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +_Q 𝑧) = (𝑦 ·_Q 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)
142	32, 141	exlimddv 1936	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)
143	142	expr 459	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴))
144		oveq1 7165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ·_Q 𝑏) = (𝑦 ·_Q 𝑏))
145	144	eleq1d 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴))
146	145	notbid 320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (¬ (𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴))
147	146	rspcev 3625	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)
148	147	ex 415	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴))
149	148	adantl 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑦 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴))
150	143, 149	pm2.61d 181	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)
151	15, 150	exlimddv 1936	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝑏) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·_Q 𝑏) ∈ 𝐴)
152	11, 151	vtoclg 3569	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·_Q 𝐵) ∈ 𝐴))
153	4, 152	mpcom 38	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1_Q <_Q 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·_Q 𝐵) ∈ 𝐴)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 = wceq 1537 ∃wex 1780 ∈ wcel 2114 ≠ wne 3018 ∃wrex 3141 ∅c0 4293 class class class wbr 5068 × cxp 5555 ‘cfv 6357 (class class class)co 7158 Qcnq 10276 1_Qc1q 10277 +_Q cplq 10279 ·_Q cmq 10280 *_Qcrq 10281 <_Q cltq 10282 Pcnp 10283

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2145 ax-11 2161 ax-12 2177 ax-ext 2795 ax-sep 5205 ax-nul 5212 ax-pow 5268 ax-pr 5332 ax-un 7463

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1540 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2070 df-mo 2622 df-eu 2654 df-clab 2802 df-cleq 2816 df-clel 2895 df-nfc 2965 df-ne 3019 df-ral 3145 df-rex 3146 df-reu 3147 df-rmo 3148 df-rab 3149 df-v 3498 df-sbc 3775 df-csb 3886 df-dif 3941 df-un 3943 df-in 3945 df-ss 3954 df-pss 3956 df-nul 4294 df-if 4470 df-pw 4543 df-sn 4570 df-pr 4572 df-tp 4574 df-op 4576 df-uni 4841 df-int 4879 df-iun 4923 df-br 5069 df-opab 5131 df-mpt 5149 df-tr 5175 df-id 5462 df-eprel 5467 df-po 5476 df-so 5477 df-fr 5516 df-we 5518 df-xp 5563 df-rel 5564 df-cnv 5565 df-co 5566 df-dm 5567 df-rn 5568 df-res 5569 df-ima 5570 df-pred 6150 df-ord 6196 df-on 6197 df-lim 6198 df-suc 6199 df-iota 6316 df-fun 6359 df-fn 6360 df-f 6361 df-f1 6362 df-fo 6363 df-f1o 6364 df-fv 6365 df-ov 7161 df-oprab 7162 df-mpo 7163 df-om 7583 df-1st 7691 df-2nd 7692 df-wrecs 7949 df-recs 8010 df-rdg 8048 df-1o 8104 df-oadd 8108 df-omul 8109 df-er 8291 df-ni 10296 df-pli 10297 df-mi 10298 df-lti 10299 df-plpq 10332 df-mpq 10333 df-ltpq 10334 df-enq 10335 df-nq 10336 df-erq 10337 df-plq 10338 df-mq 10339 df-1nq 10340 df-rq 10341 df-ltnq 10342 df-np 10405

This theorem is referenced by: reclem3pr 10473

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