Theorem prlem936 11044

Description: Lemma 9-3.6 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
prlem936	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem prlem936

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑏 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 10923	. . . . 5 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
2	1	brel 5740	. . . 4 ⊢ (1Q <Q 𝐵 → (1Q ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
3	2	simprd 494	. . 3 ⊢ (1Q <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ Q)
4	3	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝐵) → 𝐵 ∈ Q)
5		breq2 5151	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (1Q <Q 𝑏 ↔ 1Q <Q 𝐵))
6	5	anbi2d 627	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ↔ (𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝐵)))
7		oveq2 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑥 ·Q 𝑏) = (𝑥 ·Q 𝐵))
8	7	eleq1d 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴))
9	8	notbid 317	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴))
10	9	rexbidv 3176	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴))
11	6, 10	imbi12d 343	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴)))
12		prn0 10986	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ≠ ∅)
13		n0 4345	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
14	12, 13	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
15	14	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
16		elprnq 10988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ Q)
17	16	ad2ant2r 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ Q)
18		mulidnq 10960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑦 ·Q 1Q) = 𝑦)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·Q 1Q) = 𝑦)
20		simplr 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 1Q <Q 𝑏)
21		ltmnq 10969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (1Q <Q 𝑏 ↔ (𝑦 ·Q 1Q) <Q (𝑦 ·Q 𝑏)))
22	21	biimpa 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 1Q <Q 𝑏) → (𝑦 ·Q 1Q) <Q (𝑦 ·Q 𝑏))
23	17, 20, 22	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·Q 1Q) <Q (𝑦 ·Q 𝑏))
24	19, 23	eqbrtrrd 5171	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 𝑦 <Q (𝑦 ·Q 𝑏))
25	1	brel 5740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1Q <Q 𝑏 → (1Q ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q))
26	25	simprd 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1Q <Q 𝑏 → 𝑏 ∈ Q)
27	26	ad2antlr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 𝑏 ∈ Q)
28		mulclnq 10944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ Q)
29	17, 27, 28	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ Q)
30		ltexnq 10972	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ·Q 𝑏) ∈ Q → (𝑦 <Q (𝑦 ·Q 𝑏) ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 <Q (𝑦 ·Q 𝑏) ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)))
32	24, 31	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))
33		simplll 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → 𝐴 ∈ P)
34		vex 3476	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
35	34	prlem934 11030	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
36	33, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
37	33	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ P)
38		simprr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
39		eleq1 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏) → ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
40	39	biimparc 478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
41	38, 40	sylan 578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
42	41	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
43		elprnq 10988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ Q)
44	33, 43	sylan 578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ Q)
45		elprnq 10988	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q)
46		addnqf 10945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
47	46	fdmi 6728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
48		0nnq 10921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
49	47, 48	ndmovrcl 7595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q))
50	49	simprd 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q → 𝑧 ∈ Q)
51	45, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ Q)
52	33, 41, 51	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → 𝑧 ∈ Q)
53	52	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ Q)
54		addclnq 10942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑥 +Q 𝑧) ∈ Q)
55	44, 53, 54	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 +Q 𝑧) ∈ Q)
56		prub 10991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ Q) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧)))
57	37, 42, 55, 56	syl21anc 834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧)))
58	27	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ Q)
59		mulclnq 10944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q)
60	44, 58, 59	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q)
61	17	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ Q)
62		simplr 765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))
63		recclnq 10963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (*Q‘𝑦) ∈ Q)
64		mulclnq 10944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ Q ∧ (*Q‘𝑦) ∈ Q) → (𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ∈ Q)
65	63, 64	sylan2 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ∈ Q)
66	65	ancoms 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ∈ Q)
67		ltmnq 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ∈ Q → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑦) <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥)))
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑦) <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥)))
69		mulassnq 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑦) = (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑦) ·Q 𝑦))
70		mulcomnq 10950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((*Q‘𝑦) ·Q 𝑦) = (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦))
71	70	oveq2i 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑦) ·Q 𝑦)) = (𝑧 ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦)))
72	69, 71	eqtri 2758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑦) = (𝑧 ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦)))
73		recidnq 10962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦)) = 1Q)
74	73	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑧 ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦))) = (𝑧 ·Q 1Q))
75		mulidnq 10960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑧 ·Q 1Q) = 𝑧)
76	74, 75	sylan9eq 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑧 ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦))) = 𝑧)
77	72, 76	eqtrid 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑦) = 𝑧)
78	77	breq1d 5157	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑦) <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ 𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥)))
79	68, 78	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ 𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥)))
80	79	adantll 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ 𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥)))
81		mulnqf 10946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ·Q :(Q × Q)⟶Q
82	81	fdmi 6728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ dom ·Q = (Q × Q)
83	82, 48	ndmovrcl 7595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q))
84	83	simpld 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → 𝑥 ∈ Q)
85		ltanq 10968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥))))
86	84, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥))))
87	86	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥))))
88		vex 3476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑦 ∈ V
89		ovex 7444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦)) ∈ V
90		mulcomnq 10950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑢 ·Q 𝑤) = (𝑤 ·Q 𝑢)
91		distrnq 10958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑢 ·Q (𝑤 +Q 𝑣)) = ((𝑢 ·Q 𝑤) +Q (𝑢 ·Q 𝑣))
92	88, 34, 89, 90, 91	caovdir 7643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = ((𝑦 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) +Q (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))))
93		vex 3476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑥 ∈ V
94		fvex 6903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (*Q‘𝑦) ∈ V
95		mulassnq 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑢 ·Q 𝑤) ·Q 𝑣) = (𝑢 ·Q (𝑤 ·Q 𝑣))
96	88, 93, 94, 90, 95	caov12 7637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = (𝑥 ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦)))
97	73	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑥 ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦))) = (𝑥 ·Q 1Q))
98		mulidnq 10960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (𝑥 ·Q 1Q) = 𝑥)
99	84, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → (𝑥 ·Q 1Q) = 𝑥)
100	97, 99	sylan9eqr 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑥 ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦))) = 𝑥)
101	96, 100	eqtrid 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑦 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = 𝑥)
102		mulcomnq 10950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦)) = ((*Q‘𝑦) ·Q 𝑥)
103	102	oveq2i 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑦) ·Q 𝑥))
104		mulassnq 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥) = (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑦) ·Q 𝑥))
105	103, 104	eqtr4i 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥)
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥))
107	101, 106	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑦 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) +Q (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦)))) = (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥)))
108	92, 107	eqtrid 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥)))
109	108	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥))))
110	87, 109	bitr4d 281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦)))))
111	110	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦)))))
112	80, 111	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦)))))
113	112	adantrr 713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ Q ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦)))))
114		ltanq 10968	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑧 +Q 𝑦) <Q (𝑧 +Q 𝑥)))
115		addcomnq 10948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 +Q 𝑦) = (𝑦 +Q 𝑧)
116		addcomnq 10948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 +Q 𝑥) = (𝑥 +Q 𝑧)
117	115, 116	breq12i 5156	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 +Q 𝑦) <Q (𝑧 +Q 𝑥) ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧))
118	114, 117	bitrdi 286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧)))
119	118	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ Q ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧)))
120		oveq1 7418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏) → ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = ((𝑦 ·Q 𝑏) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))))
121		vex 3476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑏 ∈ V
122	88, 121, 93, 90, 95, 94	caov411 7641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ·Q 𝑏) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦)))
123	73	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ Q → ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦))) = ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q 1Q))
124		mulidnq 10960	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q 1Q) = (𝑥 ·Q 𝑏))
125	123, 124	sylan9eqr 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦))) = (𝑥 ·Q 𝑏))
126	122, 125	eqtrid 2782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑦 ·Q 𝑏) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = (𝑥 ·Q 𝑏))
127	120, 126	sylan9eqr 2792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = (𝑥 ·Q 𝑏))
128	127	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
129	128	adantrl 712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ Q ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))) → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
130	113, 119, 129	3bitr3d 308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ Q ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))) → ((𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
131	60, 61, 53, 62, 130	syl22anc 835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
132	57, 131	sylibd 238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
133		prcdnq 10990	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴) → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏) → (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴))
134	133	impancom 450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)) → ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 → (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴))
135	134	con3d 152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
136	135	ex 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ P → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)))
137	136	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ P → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏) → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)))
138	37, 137	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏) → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)))
139	132, 138	mpdd 43	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
140	139	reximdva 3166	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
141	36, 140	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
142	32, 141	exlimddv 1936	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
143	142	expr 455	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
144		oveq1 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ·Q 𝑏) = (𝑦 ·Q 𝑏))
145	144	eleq1d 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
146	145	notbid 317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
147	146	rspcev 3611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
148	147	ex 411	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
149	148	adantl 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
150	143, 149	pm2.61d 179	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
151	15, 150	exlimddv 1936	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
152	11, 151	vtoclg 3541	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴))
153	4, 152	mpcom 38	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539  ∃wex 1779   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068  ∅c0 4321   class class class wbr 5147   × cxp 5673  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Qcnq 10849  1_Qc1q 10850   +_Q cplq 10852   ·_Q cmq 10853  *_Qcrq 10854   <_Q cltq 10855  Pcnp 10856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ni 10869  df-pli 10870  df-mi 10871  df-lti 10872  df-plpq 10905  df-mpq 10906  df-ltpq 10907  df-enq 10908  df-nq 10909  df-erq 10910  df-plq 10911  df-mq 10912  df-1nq 10913  df-rq 10914  df-ltnq 10915  df-np 10978

This theorem is referenced by:  reclem3pr  11046