sge0xaddlem2 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem sge0xaddlem2 46620

Description: The extended addition of two generalized sums of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sge0xaddlem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0xaddlem2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0xaddlem2.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
sge0xaddlem2.sb	⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
sge0xaddlem2.sc	⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)

**Assertion**
Ref	Expression
sge0xaddlem2	⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +_𝑒 𝐶))) = ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘 𝜑,𝑘 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑘) 𝐶(𝑘) 𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0xaddlem2 Dummy variables 𝑒 𝑗 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1915	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		sge0xaddlem2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		0xr 11177	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ^*
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ^*)
5		pnfxr 11184	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → +∞ ∈ ℝ^*)
7		rge0ssre 13370	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
8		sge0xaddlem2.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
9	7, 8	sselid 3929	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		sge0xaddlem2.c	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
11	7, 10	sselid 3929	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
12	9, 11	readdcld 11159	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11180	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ^*)
14		icossicc 13350	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
15	14, 8	sselid 3929	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
16		xrge0ge0 45534	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐵)
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
18	14, 10	sselid 3929	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
19		xrge0ge0 45534	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐶)
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
21	9, 11, 17, 20	addge0d 11711	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐵 + 𝐶))
22	12	ltpnfd 13033	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) < +∞)
23	4, 6, 13, 21, 22	elicod 13309	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ (0[,)+∞))
24	1, 2, 23	sge0revalmpt 46564	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ))
25		rexadd 13145	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +_𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
26	9, 11, 25	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 +_𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
27	26	mpteq2dva 5189	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +_𝑒 𝐶)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)))
28	27	fveq2d 6836	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +_𝑒 𝐶))) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))))
29		sge0xaddlem2.sb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
30		sge0xaddlem2.sc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
31		rexadd 13145	. . . 4 ⊢ (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
32	29, 30, 31	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
33	1, 2, 8	sge0revalmpt 46564	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^*, < ))
34	1, 2, 10	sge0revalmpt 46564	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^*, < ))
35	33, 34	oveq12d 7374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )))
36	33	eqcomd 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^*, < ) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
37	36, 29	eqeltrd 2834	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^*, < ) ∈ ℝ)
38	34, 30	eqeltrrd 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^*, < ) ∈ ℝ)
39	37, 38	readdcld 11159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )) ∈ ℝ)
40	39	rexrd 11180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )) ∈ ℝ^*)
41		elinel2 4152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
42	41	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
43		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝜑)
44		elpwinss 45236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
46		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝑥)
47	45, 46	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐴)
48	47	adantll 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐴)
49	43, 48, 9	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
50	43, 48, 11	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐶 ∈ ℝ)
51	49, 50	readdcld 11159	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
52	42, 51	fsumrecl 15655	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
53	52	rexrd 11180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ^*)
54	53	ralrimiva 3126	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ^*)
55		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶))
56	55	rnmptss 7066	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ^* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ^*)
57	54, 56	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ^*)
58		supxrcl 13228	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ^* → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^, < ) ∈ ℝ^)
59	57, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^, < ) ∈ ℝ^)
60	35	eqcomd 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )) = ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
61	60	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )) = ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
62		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺)
63	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ 𝑉)
64	15	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
65		rphalfcl 12932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ⁺ → (𝑒 / 2) ∈ ℝ⁺)
66	65	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑒 / 2) ∈ ℝ⁺)
67	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
68	62, 63, 64, 66, 67	sge0ltfirpmpt2 46612	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)))
69	18	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
70	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
71	62, 63, 69, 66, 70	sge0ltfirpmpt2 46612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)))
72	71	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)))
73	63	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
74	73	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
75		simpl1l 1225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝜑)
76	75	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝜑)
77		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
78		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
79		nfcsb1v 3871	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
80	79	nfel1 2913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)
81	78, 80	nfim 1897	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
82		eleq1w 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
83	82	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
84		csbeq1a 3861	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
85	84	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
86	83, 85	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
87	81, 86, 8	chvarfv 2245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
88	76, 77, 87	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
89		nfcsb1v 3871	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
90	89	nfel1 2913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞)
91	78, 90	nfim 1897	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))
92		csbeq1a 3861	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
93	92	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞)))
94	83, 93	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))))
95	91, 94, 10	chvarfv 2245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))
96	76, 77, 95	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))
97		simp11r 1286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
98		simp12 1205	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
99		elpwinss 45236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑢 ⊆ 𝐴)
100	98, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑢 ⊆ 𝐴)
101		elinel2 4152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ Fin)
102	101	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → 𝑢 ∈ Fin)
103	102	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑢 ∈ Fin)
104		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
105		elpwinss 45236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑣 ⊆ 𝐴)
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑣 ⊆ 𝐴)
107		elinel2 4152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑣 ∈ Fin)
108	107	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑣 ∈ Fin)
109		simp13 1206	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)))
110		nfcv 2896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
111	110, 79, 84	cbvmpt 5198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
112	111	fveq2i 6835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
113	84, 110, 79	cbvsum 15616	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 = Σ𝑗 ∈ 𝑢 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
114	113	oveq1i 7366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)) = (Σ𝑗 ∈ 𝑢 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + (𝑒 / 2))
115	112, 114	breq12i 5105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)) ↔ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) < (Σ𝑗 ∈ 𝑢 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + (𝑒 / 2)))
116	115	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) < (Σ𝑗 ∈ 𝑢 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + (𝑒 / 2)))
117	109, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) < (Σ𝑗 ∈ 𝑢 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + (𝑒 / 2)))
118		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)))
119		nfcv 2896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
120	119, 89, 92	cbvmpt 5198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
121	120	fveq2i 6835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
122	92, 119, 89	cbvsum 15616	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 = Σ𝑗 ∈ 𝑣 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
123	122	oveq1i 7366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)) = (Σ𝑗 ∈ 𝑣 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 + (𝑒 / 2))
124	121, 123	breq12i 5105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)) ↔ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) < (Σ𝑗 ∈ 𝑣 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 + (𝑒 / 2)))
125	124	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) < (Σ𝑗 ∈ 𝑣 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 + (𝑒 / 2)))
126	118, 125	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) < (Σ𝑗 ∈ 𝑣 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 + (𝑒 / 2)))
127		simp11l 1285	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝜑)
128	84, 92	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 + 𝐶) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
129		nfcv 2896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐵 + 𝐶)
130		nfcv 2896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑘 +
131	79, 130, 89	nfov 7386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
132	128, 129, 131	cbvsum 15616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) = Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
133	132	mpteq2i 5192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
134	133	rneqi 5884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
135	134	supeq1i 9348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)), ℝ^, < )
136	135	eqcomi 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)), ℝ^, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^, < )
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)), ℝ^, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^, < ))
138	137, 24	eqtr4d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)), ℝ^*, < ) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))))
139		ge0xaddcl 13376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐵 +_𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
140	15, 18, 139	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 +_𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
141	26, 140	eqeltrrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
142	1, 2, 141	sge0clmpt 46611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ (0[,]+∞))
143	138, 142	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)), ℝ^*, < ) ∈ (0[,]+∞))
144	127, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)), ℝ^*, < ) ∈ (0[,]+∞))
145	112, 29	eqeltrrid 2839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) ∈ ℝ)
146	127, 145	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) ∈ ℝ)
147	121, 30	eqeltrrid 2839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ∈ ℝ)
148	127, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ∈ ℝ)
149	74, 88, 96, 97, 100, 103, 106, 108, 117, 126, 144, 146, 148	sge0xaddlem1 46619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → ((Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)), ℝ^*, < ) +_𝑒 𝑒))
150	112, 121	oveq12i 7368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = ((Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))
151	135	oveq1i 7366	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^, < ) +_𝑒 𝑒) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)), ℝ^, < ) +_𝑒 𝑒)
152	150, 151	breq12i 5105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^, < ) +_𝑒 𝑒) ↔ ((Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)), ℝ^, < ) +_𝑒 𝑒))
153	149, 152	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ) +_𝑒 𝑒))
154	153	3exp 1119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → (𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ) +_𝑒 𝑒))))
155	154	rexlimdv 3133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ) +_𝑒 𝑒)))
156	72, 155	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ) +_𝑒 𝑒))
157	156	3exp 1119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ) +_𝑒 𝑒))))
158	157	rexlimdv 3133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ) +_𝑒 𝑒)))
159	68, 158	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ) +_𝑒 𝑒))
160	61, 159	eqbrtrd 5118	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ) +_𝑒 𝑒))
161	40, 59, 160	xrlexaddrp 45539	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ))
162	24	eqcomd 2740	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))))
163	43, 48, 23	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → (𝐵 + 𝐶) ∈ (0[,)+∞))
164	42, 163	sge0fsummpt 46576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶))
165	49	recnd 11158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℂ)
166	50	recnd 11158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐶 ∈ ℂ)
167	42, 165, 166	fsumadd 15661	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶))
168	164, 167	eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶))
169	42, 49	fsumrecl 15655	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℝ)
170	42, 50	fsumrecl 15655	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 ∈ ℝ)
171	37	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^*, < ) ∈ ℝ)
172	38	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^*, < ) ∈ ℝ)
173		elinel2 4152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
174	173	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
175		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
176		elpwinss 45236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
177	176	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
178		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝑦)
179	177, 178	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
180	179	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
181	175, 180, 9	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
182	174, 181	fsumrecl 15655	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℝ)
183	182	rexrd 11180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℝ^*)
184	183	ralrimiva 3126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℝ^*)
185		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
186	185	rnmptss 7066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℝ^* → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ⊆ ℝ^*)
187	184, 186	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ⊆ ℝ^*)
188	187	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ⊆ ℝ^*)
189		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
190		eqidd 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)
191		sumeq1 15610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)
192	191	rspceeqv 3597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
193	189, 190, 192	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
194	169	elexd 3462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ V)
195	185, 193, 194	elrnmptd 5910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
196		supxrub 13237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ⊆ ℝ^* ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^*, < ))
197	188, 195, 196	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^*, < ))
198		nfv 1915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧𝜑
199		eqid 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶)
200		elinel2 4152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
201	200	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
202		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝜑)
203		elpwinss 45236	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
204	203	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
205		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑘 ∈ 𝑧)
206	204, 205	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑘 ∈ 𝐴)
207	206	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑘 ∈ 𝐴)
208	202, 207, 11	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝐶 ∈ ℝ)
209	201, 208	fsumrecl 15655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶 ∈ ℝ)
210	209	rexrd 11180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶 ∈ ℝ^*)
211	198, 199, 210	rnmptssd 45382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ⊆ ℝ^*)
212	211	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ⊆ ℝ^*)
213		eqidd 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶)
214		sumeq1 15610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶)
215	214	rspceeqv 3597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶)
216	189, 213, 215	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶)
217	170	elexd 3462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 ∈ V)
218	199, 216, 217	elrnmptd 5910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶))
219		supxrub 13237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ⊆ ℝ^* ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^*, < ))
220	212, 218, 219	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^*, < ))
221	169, 170, 171, 172, 197, 220	le2addd 11754	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )))
222	168, 221	eqbrtrd 5118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )))
223	222	ralrimiva 3126	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )))
224	1, 2, 141, 40	sge0lefimpt 46609	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < ))))
225	223, 224	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )))
226	162, 225	eqbrtrd 5118	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^, < ) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^*, < )))
227	40, 59, 161, 226	xrletrid 13067	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ))
228	32, 35, 227	3eqtrd 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ))
229	24, 28, 228	3eqtr4d 2779	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +_𝑒 𝐶))) = ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ∀wral 3049 ∃wrex 3058 Vcvv 3438 ⦋csb 3847 ∩ cin 3898 ⊆ wss 3899 𝒫 cpw 4552 class class class wbr 5096 ↦ cmpt 5177 ran crn 5623 ‘cfv 6490 (class class class)co 7356 Fincfn 8881 supcsup 9341 ℝcr 11023 0cc0 11024 + caddc 11027 +∞cpnf 11161 ℝ^*cxr 11163 < clt 11164 ≤ cle 11165 / cdiv 11792 2c2 12198 ℝ⁺crp 12903 +_𝑒 cxad 13022 [,)cico 13261 [,]cicc 13262 Σcsu 15607 Σ^{^}csumge0 46548

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2182 ax-ext 2706 ax-rep 5222 ax-sep 5239 ax-nul 5249 ax-pow 5308 ax-pr 5375 ax-un 7678 ax-inf2 9548 ax-cnex 11080 ax-resscn 11081 ax-1cn 11082 ax-icn 11083 ax-addcl 11084 ax-addrcl 11085 ax-mulcl 11086 ax-mulrcl 11087 ax-mulcom 11088 ax-addass 11089 ax-mulass 11090 ax-distr 11091 ax-i2m1 11092 ax-1ne0 11093 ax-1rid 11094 ax-rnegex 11095 ax-rrecex 11096 ax-cnre 11097 ax-pre-lttri 11098 ax-pre-lttrn 11099 ax-pre-ltadd 11100 ax-pre-mulgt0 11101 ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2537 df-eu 2567 df-clab 2713 df-cleq 2726 df-clel 2809 df-nfc 2883 df-ne 2931 df-nel 3035 df-ral 3050 df-rex 3059 df-rmo 3348 df-reu 3349 df-rab 3398 df-v 3440 df-sbc 3739 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4284 df-if 4478 df-pw 4554 df-sn 4579 df-pr 4581 df-op 4585 df-uni 4862 df-int 4901 df-iun 4946 df-br 5097 df-opab 5159 df-mpt 5178 df-tr 5204 df-id 5517 df-eprel 5522 df-po 5530 df-so 5531 df-fr 5575 df-se 5576 df-we 5577 df-xp 5628 df-rel 5629 df-cnv 5630 df-co 5631 df-dm 5632 df-rn 5633 df-res 5634 df-ima 5635 df-pred 6257 df-ord 6318 df-on 6319 df-lim 6320 df-suc 6321 df-iota 6446 df-fun 6492 df-fn 6493 df-f 6494 df-f1 6495 df-fo 6496 df-f1o 6497 df-fv 6498 df-isom 6499 df-riota 7313 df-ov 7359 df-oprab 7360 df-mpo 7361 df-om 7807 df-1st 7931 df-2nd 7932 df-frecs 8221 df-wrecs 8252 df-recs 8301 df-rdg 8339 df-1o 8395 df-er 8633 df-en 8882 df-dom 8883 df-sdom 8884 df-fin 8885 df-sup 9343 df-inf 9344 df-oi 9413 df-card 9849 df-pnf 11166 df-mnf 11167 df-xr 11168 df-ltxr 11169 df-le 11170 df-sub 11364 df-neg 11365 df-div 11793 df-nn 12144 df-2 12206 df-3 12207 df-n0 12400 df-z 12487 df-uz 12750 df-q 12860 df-rp 12904 df-xadd 13025 df-ico 13265 df-icc 13266 df-fz 13422 df-fzo 13569 df-seq 13923 df-exp 13983 df-hash 14252 df-cj 15020 df-re 15021 df-im 15022 df-sqrt 15156 df-abs 15157 df-clim 15409 df-sum 15608 df-sumge0 46549

This theorem is referenced by: sge0xadd 46621

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