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Theorem sge0xaddlem2 41168
Description: The extended addition of two generalized sums of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0xaddlem2.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0xaddlem2.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0xaddlem2.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
sge0xaddlem2.sb (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
sge0xaddlem2.sc (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
sge0xaddlem2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0xaddlem2
Dummy variables 𝑒 𝑗 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1995 . . 3 𝑘𝜑
2 sge0xaddlem2.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
3 0xr 10288 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
43a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
5 pnfxr 10294 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
7 rge0ssre 12487 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
8 sge0xaddlem2.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
97, 8sseldi 3750 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
10 sge0xaddlem2.c . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
117, 10sseldi 3750 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
129, 11readdcld 10271 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
1312rexrd 10291 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*)
14 icossicc 12466 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
1514, 8sseldi 3750 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
16 xrge0ge0 40079 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐵)
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
1814, 10sseldi 3750 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
19 xrge0ge0 40079 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐶)
2018, 19syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
219, 11, 17, 20addge0d 10805 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ (𝐵 + 𝐶))
2212ltpnfd 12160 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 + 𝐶) < +∞)
234, 6, 13, 21, 22elicod 12429 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ (0[,)+∞))
241, 2, 23sge0revalmpt 41112 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ))
25 rexadd 12268 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
269, 11, 25syl2anc 565 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
2726mpteq2dva 4878 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)))
2827fveq2d 6336 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))))
29 sge0xaddlem2.sb . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
30 sge0xaddlem2.sc . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
31 rexadd 12268 . . . 4 (((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))))
3229, 30, 31syl2anc 565 . . 3 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))))
331, 2, 8sge0revalmpt 41112 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ))
341, 2, 10sge0revalmpt 41112 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < ))
3533, 34oveq12d 6811 . . 3 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) = (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )))
3633eqcomd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) = (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)))
3736, 29eqeltrd 2850 . . . . . 6 (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
3834, 30eqeltrrd 2851 . . . . . 6 (𝜑 → sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
3937, 38readdcld 10271 . . . . 5 (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )) ∈ ℝ)
4039rexrd 10291 . . . 4 (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
41 elinel2 3951 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
4241adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
43 simpll 742 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝜑)
44 elpwinss 39737 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥𝐴)
4544adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥𝐴)
46 simpr 471 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝑥)
4745, 46sseldd 3753 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝐴)
4847adantll 685 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝐴)
4943, 48, 9syl2anc 565 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
5043, 48, 11syl2anc 565 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐶 ∈ ℝ)
5149, 50readdcld 10271 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
5242, 51fsumrecl 14673 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
5352rexrd 10291 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*)
5453ralrimiva 3115 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*)
55 eqid 2771 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶))
5655rnmptss 6534 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ*)
5754, 56syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ*)
58 supxrcl 12350 . . . . 5 (ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5957, 58syl 17 . . . 4 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6035eqcomd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))))
6160adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))))
62 nfv 1995 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑𝑒 ∈ ℝ+)
632adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝐴𝑉)
6415adantlr 686 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
65 rphalfcl 12061 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ ℝ+ → (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
6665adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
6729adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
6862, 63, 64, 66, 67sge0ltfirpmpt2 41160 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)))
6918adantlr 686 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
7030adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
7162, 63, 69, 66, 70sge0ltfirpmpt2 41160 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)))
72713ad2ant1 1127 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)))
73633ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → 𝐴𝑉)
74733ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝐴𝑉)
75 simpl1l 1278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑗𝐴) → 𝜑)
76753ad2antl1 1200 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑗𝐴) → 𝜑)
77 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗𝐴)
78 nfv 1995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(𝜑𝑗𝐴)
79 nfcsb1v 3698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
8079nfel1 2928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ (0[,)+∞)
8178, 80nfim 1977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ (0[,)+∞))
82 eleq1w 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐴𝑗𝐴))
8382anbi2d 606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑗𝐴)))
84 csbeq1a 3691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
8584eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
8683, 85imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
8781, 86, 8chvar 2424 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ (0[,)+∞))
8876, 77, 87syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ (0[,)+∞))
89 nfcsb1v 3698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶
9089nfel1 2928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,)+∞)
9178, 90nfim 1977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,)+∞))
92 csbeq1a 3691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑗𝐶 = 𝑗 / 𝑘𝐶)
9392eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,)+∞)))
9483, 93imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,)+∞))))
9591, 94, 10chvar 2424 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,)+∞))
9676, 77, 95syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,)+∞))
97 simp11r 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑒 ∈ ℝ+)
98 simp12 1246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
99 elpwinss 39737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑢𝐴)
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑢𝐴)
101 elinel2 3951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ Fin)
1021013ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → 𝑢 ∈ Fin)
1031023ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑢 ∈ Fin)
104 simp2 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
105 elpwinss 39737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑣𝐴)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑣𝐴)
107 elinel2 3951 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑣 ∈ Fin)
1081073ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑣 ∈ Fin)
109 simp13 1247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)))
110 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗𝐵
111110, 79, 84cbvmpt 4883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)
112111fveq2i 6335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵))
113 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗𝑢
114 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘𝑢
11584, 113, 114, 110, 79cbvsum 14633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Σ𝑘𝑢 𝐵 = Σ𝑗𝑢 𝑗 / 𝑘𝐵
116115oveq1i 6803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)) = (Σ𝑗𝑢 𝑗 / 𝑘𝐵 + (𝑒 / 2))
117112, 116breq12i 4795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)) ↔ (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)) < (Σ𝑗𝑢 𝑗 / 𝑘𝐵 + (𝑒 / 2)))
118117biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)) → (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)) < (Σ𝑗𝑢 𝑗 / 𝑘𝐵 + (𝑒 / 2)))
119109, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)) < (Σ𝑗𝑢 𝑗 / 𝑘𝐵 + (𝑒 / 2)))
120 simp3 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)))
121 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗𝐶
122121, 89, 92cbvmpt 4883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶)
123122fveq2i 6335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶))
124 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗𝑣
125 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘𝑣
12692, 124, 125, 121, 89cbvsum 14633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Σ𝑘𝑣 𝐶 = Σ𝑗𝑣 𝑗 / 𝑘𝐶
127126oveq1i 6803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)) = (Σ𝑗𝑣 𝑗 / 𝑘𝐶 + (𝑒 / 2))
128123, 127breq12i 4795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)) ↔ (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶)) < (Σ𝑗𝑣 𝑗 / 𝑘𝐶 + (𝑒 / 2)))
129128biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)) → (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶)) < (Σ𝑗𝑣 𝑗 / 𝑘𝐶 + (𝑒 / 2)))
130120, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶)) < (Σ𝑗𝑣 𝑗 / 𝑘𝐶 + (𝑒 / 2)))
131 simp11l 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝜑)
13284, 92oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 + 𝐶) = (𝑗 / 𝑘𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐶))
133 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑗𝑥
134 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘𝑥
135 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑗(𝐵 + 𝐶)
136 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘 +
13779, 136, 89nfov 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘(𝑗 / 𝑘𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐶)
138132, 133, 134, 135, 137cbvsum 14633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶) = Σ𝑗𝑥 (𝑗 / 𝑘𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐶)
139138mpteq2i 4875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗𝑥 (𝑗 / 𝑘𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐶))
140139rneqi 5490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗𝑥 (𝑗 / 𝑘𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐶))
141140supeq1i 8509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗𝑥 (𝑗 / 𝑘𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐶)), ℝ*, < )
142141eqcomi 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗𝑥 (𝑗 / 𝑘𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐶)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < )
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗𝑥 (𝑗 / 𝑘𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐶)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ))
144143, 24eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗𝑥 (𝑗 / 𝑘𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐶)), ℝ*, < ) = (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))))
145 ge0xaddcl 12493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
14615, 18, 145syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
14726, 146eqeltrrd 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
1481, 2, 147sge0clmpt 41159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ (0[,]+∞))
149144, 148eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗𝑥 (𝑗 / 𝑘𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐶)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
150131, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗𝑥 (𝑗 / 𝑘𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐶)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
151112, 29syl5eqelr 2855 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)) ∈ ℝ)
152131, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)) ∈ ℝ)
153123, 30syl5eqelr 2855 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶)) ∈ ℝ)
154131, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶)) ∈ ℝ)
15574, 88, 96, 97, 100, 103, 106, 108, 119, 130, 150, 152, 154sge0xaddlem1 41167 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → ((Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)) + (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗𝑥 (𝑗 / 𝑘𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝑒))
156112, 123oveq12i 6805 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) = ((Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)) + (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶)))
157141oveq1i 6803 . . . . . . . . . . . . . 14 (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝑒) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗𝑥 (𝑗 / 𝑘𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝑒)
158156, 157breq12i 4795 . . . . . . . . . . . . 13 (((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝑒) ↔ ((Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)) + (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗𝑥 (𝑗 / 𝑘𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝑒))
159155, 158sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝑒))
1601593exp 1112 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → (𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝑒))))
161160rexlimdv 3178 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝑒)))
16272, 161mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝑒))
1631623exp 1112 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝑒))))
164163rexlimdv 3178 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝑒)))
16568, 164mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝑒))
16661, 165eqbrtrd 4808 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝑒))
16740, 59, 166xrlexaddrp 40084 . . . 4 (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ))
16824eqcomd 2777 . . . . 5 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))))
16943, 48, 23syl2anc 565 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → (𝐵 + 𝐶) ∈ (0[,)+∞))
17042, 169sge0fsummpt 41124 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑥 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶))
17149recnd 10270 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐵 ∈ ℂ)
17250recnd 10270 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐶 ∈ ℂ)
17342, 171, 172fsumadd 14678 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶) = (Σ𝑘𝑥 𝐵 + Σ𝑘𝑥 𝐶))
174170, 173eqtrd 2805 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑥 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = (Σ𝑘𝑥 𝐵 + Σ𝑘𝑥 𝐶))
17542, 49fsumrecl 14673 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℝ)
17642, 50fsumrecl 14673 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐶 ∈ ℝ)
17737adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
17838adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
179 elinel2 3951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
180179adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
181 simpll 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝜑)
182 elpwinss 39737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
183182adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑦𝐴)
184 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝑦)
185183, 184sseldd 3753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
186185adantll 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
187181, 186, 9syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
188180, 187fsumrecl 14673 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℝ)
189188rexrd 10291 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℝ*)
190189ralrimiva 3115 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℝ*)
191 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵)
192191rnmptss 6534 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℝ* → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ⊆ ℝ*)
193190, 192syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ⊆ ℝ*)
194193adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ⊆ ℝ*)
195 simpr 471 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
196 eqidd 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝑥 𝐵)
197 sumeq1 14627 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → Σ𝑘𝑦 𝐵 = Σ𝑘𝑥 𝐵)
198197eqeq2d 2781 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → (Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝐵 ↔ Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝑥 𝐵))
199198rspcev 3460 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝑥 𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝐵)
200195, 196, 199syl2anc 565 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝐵)
201175elexd 3365 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ∈ V)
202191, 200, 201elrnmptd 39886 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵))
203 supxrub 12359 . . . . . . . . . 10 ((ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ⊆ ℝ* ∧ Σ𝑘𝑥 𝐵 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ≤ sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ))
204194, 202, 203syl2anc 565 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ≤ sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ))
205 nfv 1995 . . . . . . . . . . . 12 𝑧𝜑
206 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶)
207 elinel2 3951 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
208207adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
209 simpll 742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑧) → 𝜑)
210 elpwinss 39737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧𝐴)
211210adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑧) → 𝑧𝐴)
212 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑧) → 𝑘𝑧)
213211, 212sseldd 3753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑧) → 𝑘𝐴)
214213adantll 685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑧) → 𝑘𝐴)
215209, 214, 11syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑧) → 𝐶 ∈ ℝ)
216208, 215fsumrecl 14673 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑧 𝐶 ∈ ℝ)
217216rexrd 10291 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑧 𝐶 ∈ ℝ*)
218205, 206, 217rnmptssd 39905 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶) ⊆ ℝ*)
219218adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶) ⊆ ℝ*)
220 eqidd 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐶 = Σ𝑘𝑥 𝐶)
221 sumeq1 14627 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → Σ𝑘𝑧 𝐶 = Σ𝑘𝑥 𝐶)
222221eqeq2d 2781 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑥 → (Σ𝑘𝑥 𝐶 = Σ𝑘𝑧 𝐶 ↔ Σ𝑘𝑥 𝐶 = Σ𝑘𝑥 𝐶))
223222rspcev 3460 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ Σ𝑘𝑥 𝐶 = Σ𝑘𝑥 𝐶) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘𝑥 𝐶 = Σ𝑘𝑧 𝐶)
224195, 220, 223syl2anc 565 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘𝑥 𝐶 = Σ𝑘𝑧 𝐶)
225176elexd 3365 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐶 ∈ V)
226206, 224, 225elrnmptd 39886 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐶 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶))
227 supxrub 12359 . . . . . . . . . 10 ((ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶) ⊆ ℝ* ∧ Σ𝑘𝑥 𝐶 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶)) → Σ𝑘𝑥 𝐶 ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < ))
228219, 226, 227syl2anc 565 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐶 ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < ))
229175, 176, 177, 178, 204, 228le2addd 10848 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ𝑘𝑥 𝐵 + Σ𝑘𝑥 𝐶) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )))
230174, 229eqbrtrd 4808 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑥 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )))
231230ralrimiva 3115 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘𝑥 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )))
2321, 2, 147, 40sge0lefimpt 41157 . . . . . 6 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘𝑥 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < ))))
233231, 232mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )))
234168, 233eqbrtrd 4808 . . . 4 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )))
23540, 59, 167, 234xrletrid 12191 . . 3 (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ))
23632, 35, 2353eqtrd 2809 . 2 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ))
23724, 28, 2363eqtr4d 2815 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3351  csb 3682  cin 3722  wss 3723  𝒫 cpw 4297   class class class wbr 4786  cmpt 4863  ran crn 5250  cfv 6031  (class class class)co 6793  Fincfn 8109  supcsup 8502  cr 10137  0cc0 10138   + caddc 10141  +∞cpnf 10273  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277   / cdiv 10886  2c2 11272  +crp 12035   +𝑒 cxad 12149  [,)cico 12382  [,]cicc 12383  Σcsu 14624  Σ^csumge0 41096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xadd 12152  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-sumge0 41097
This theorem is referenced by:  sge0xadd  41169
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