sge0xaddlem2 - Mathbox for Glauco Siliprandi

	Mathbox for Glauco Siliprandi		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > sge0xaddlem2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem sge0xaddlem2 45881

Description: The extended addition of two generalized sums of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sge0xaddlem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0xaddlem2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0xaddlem2.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
sge0xaddlem2.sb	⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
sge0xaddlem2.sc	⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)

**Assertion**
Ref	Expression
sge0xaddlem2	⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +_𝑒 𝐶))) = ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘 𝜑,𝑘 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑘) 𝐶(𝑘) 𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0xaddlem2 Dummy variables 𝑒 𝑗 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1909	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		sge0xaddlem2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		0xr 11286	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ^*
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ^*)
5		pnfxr 11293	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → +∞ ∈ ℝ^*)
7		rge0ssre 13460	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
8		sge0xaddlem2.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
9	7, 8	sselid 3971	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		sge0xaddlem2.c	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
11	7, 10	sselid 3971	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
12	9, 11	readdcld 11268	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11289	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ^*)
14		icossicc 13440	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
15	14, 8	sselid 3971	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
16		xrge0ge0 44788	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐵)
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
18	14, 10	sselid 3971	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
19		xrge0ge0 44788	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐶)
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
21	9, 11, 17, 20	addge0d 11815	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐵 + 𝐶))
22	12	ltpnfd 13128	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) < +∞)
23	4, 6, 13, 21, 22	elicod 13401	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ (0[,)+∞))
24	1, 2, 23	sge0revalmpt 45825	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ))
25		rexadd 13238	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +_𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
26	9, 11, 25	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 +_𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
27	26	mpteq2dva 5244	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +_𝑒 𝐶)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)))
28	27	fveq2d 6894	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +_𝑒 𝐶))) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))))
29		sge0xaddlem2.sb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
30		sge0xaddlem2.sc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
31		rexadd 13238	. . . 4 ⊢ (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
32	29, 30, 31	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
33	1, 2, 8	sge0revalmpt 45825	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^*, < ))
34	1, 2, 10	sge0revalmpt 45825	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^*, < ))
35	33, 34	oveq12d 7431	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )))
36	33	eqcomd 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^*, < ) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
37	36, 29	eqeltrd 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^*, < ) ∈ ℝ)
38	34, 30	eqeltrrd 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^*, < ) ∈ ℝ)
39	37, 38	readdcld 11268	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )) ∈ ℝ)
40	39	rexrd 11289	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )) ∈ ℝ^*)
41		elinel2 4191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
42	41	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
43		simpll 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝜑)
44		elpwinss 44474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
45	44	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
46		simpr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝑥)
47	45, 46	sseldd 3974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐴)
48	47	adantll 712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐴)
49	43, 48, 9	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
50	43, 48, 11	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐶 ∈ ℝ)
51	49, 50	readdcld 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
52	42, 51	fsumrecl 15707	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
53	52	rexrd 11289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ^*)
54	53	ralrimiva 3136	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ^*)
55		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶))
56	55	rnmptss 7126	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ^* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ^*)
57	54, 56	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ^*)
58		supxrcl 13321	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ^* → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^, < ) ∈ ℝ^)
59	57, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^, < ) ∈ ℝ^)
60	35	eqcomd 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )) = ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
61	60	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )) = ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
62		nfv 1909	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺)
63	2	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ 𝑉)
64	15	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
65		rphalfcl 13028	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ⁺ → (𝑒 / 2) ∈ ℝ⁺)
66	65	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑒 / 2) ∈ ℝ⁺)
67	29	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
68	62, 63, 64, 66, 67	sge0ltfirpmpt2 45873	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)))
69	18	adantlr 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
70	30	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
71	62, 63, 69, 66, 70	sge0ltfirpmpt2 45873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)))
72	71	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)))
73	63	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
74	73	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
75		simpl1l 1221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝜑)
76	75	3ad2antl1 1182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝜑)
77		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
78		nfv 1909	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
79		nfcsb1v 3911	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
80	79	nfel1 2909	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)
81	78, 80	nfim 1891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
82		eleq1w 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
83	82	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
84		csbeq1a 3900	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
85	84	eleq1d 2810	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
86	83, 85	imbi12d 343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
87	81, 86, 8	chvarfv 2228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
88	76, 77, 87	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
89		nfcsb1v 3911	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
90	89	nfel1 2909	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞)
91	78, 90	nfim 1891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))
92		csbeq1a 3900	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
93	92	eleq1d 2810	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞)))
94	83, 93	imbi12d 343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))))
95	91, 94, 10	chvarfv 2228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))
96	76, 77, 95	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))
97		simp11r 1282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
98		simp12 1201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
99		elpwinss 44474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑢 ⊆ 𝐴)
100	98, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑢 ⊆ 𝐴)
101		elinel2 4191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ Fin)
102	101	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → 𝑢 ∈ Fin)
103	102	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑢 ∈ Fin)
104		simp2 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
105		elpwinss 44474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑣 ⊆ 𝐴)
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑣 ⊆ 𝐴)
107		elinel2 4191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑣 ∈ Fin)
108	107	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑣 ∈ Fin)
109		simp13 1202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)))
110		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
111	110, 79, 84	cbvmpt 5255	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
112	111	fveq2i 6893	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
113		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗𝑢
114		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘𝑢
115	84, 113, 114, 110, 79	cbvsum 15668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 = Σ𝑗 ∈ 𝑢 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
116	115	oveq1i 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)) = (Σ𝑗 ∈ 𝑢 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + (𝑒 / 2))
117	112, 116	breq12i 5153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)) ↔ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) < (Σ𝑗 ∈ 𝑢 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + (𝑒 / 2)))
118	117	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) < (Σ𝑗 ∈ 𝑢 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + (𝑒 / 2)))
119	109, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) < (Σ𝑗 ∈ 𝑢 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + (𝑒 / 2)))
120		simp3 1135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)))
121		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
122	121, 89, 92	cbvmpt 5255	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
123	122	fveq2i 6893	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
124		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗𝑣
125		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘𝑣
126	92, 124, 125, 121, 89	cbvsum 15668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 = Σ𝑗 ∈ 𝑣 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
127	126	oveq1i 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)) = (Σ𝑗 ∈ 𝑣 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 + (𝑒 / 2))
128	123, 127	breq12i 5153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)) ↔ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) < (Σ𝑗 ∈ 𝑣 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 + (𝑒 / 2)))
129	128	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) < (Σ𝑗 ∈ 𝑣 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 + (𝑒 / 2)))
130	120, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) < (Σ𝑗 ∈ 𝑣 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 + (𝑒 / 2)))
131		simp11l 1281	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝜑)
132	84, 92	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 + 𝐶) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
133		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑗𝑥
134		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
135		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐵 + 𝐶)
136		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑘 +
137	79, 136, 89	nfov 7443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
138	132, 133, 134, 135, 137	cbvsum 15668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) = Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
139	138	mpteq2i 5249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
140	139	rneqi 5934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
141	140	supeq1i 9465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)), ℝ^, < )
142	141	eqcomi 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)), ℝ^, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^, < )
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)), ℝ^, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^, < ))
144	143, 24	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)), ℝ^*, < ) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))))
145		ge0xaddcl 13466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐵 +_𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
146	15, 18, 145	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 +_𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
147	26, 146	eqeltrrd 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
148	1, 2, 147	sge0clmpt 45872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ (0[,]+∞))
149	144, 148	eqeltrd 2825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)), ℝ^*, < ) ∈ (0[,]+∞))
150	131, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)), ℝ^*, < ) ∈ (0[,]+∞))
151	112, 29	eqeltrrid 2830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) ∈ ℝ)
152	131, 151	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) ∈ ℝ)
153	123, 30	eqeltrrid 2830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ∈ ℝ)
154	131, 153	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ∈ ℝ)
155	74, 88, 96, 97, 100, 103, 106, 108, 119, 130, 150, 152, 154	sge0xaddlem1 45880	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → ((Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)), ℝ^*, < ) +_𝑒 𝑒))
156	112, 123	oveq12i 7425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = ((Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))
157	141	oveq1i 7423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^, < ) +_𝑒 𝑒) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)), ℝ^, < ) +_𝑒 𝑒)
158	156, 157	breq12i 5153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^, < ) +_𝑒 𝑒) ↔ ((Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)), ℝ^, < ) +_𝑒 𝑒))
159	155, 158	sylibr 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ) +_𝑒 𝑒))
160	159	3exp 1116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → (𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ) +_𝑒 𝑒))))
161	160	rexlimdv 3143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ) +_𝑒 𝑒)))
162	72, 161	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ) +_𝑒 𝑒))
163	162	3exp 1116	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ) +_𝑒 𝑒))))
164	163	rexlimdv 3143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ) +_𝑒 𝑒)))
165	68, 164	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ) +_𝑒 𝑒))
166	61, 165	eqbrtrd 5166	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ) +_𝑒 𝑒))
167	40, 59, 166	xrlexaddrp 44793	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ))
168	24	eqcomd 2731	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))))
169	43, 48, 23	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → (𝐵 + 𝐶) ∈ (0[,)+∞))
170	42, 169	sge0fsummpt 45837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶))
171	49	recnd 11267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℂ)
172	50	recnd 11267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐶 ∈ ℂ)
173	42, 171, 172	fsumadd 15713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶))
174	170, 173	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶))
175	42, 49	fsumrecl 15707	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℝ)
176	42, 50	fsumrecl 15707	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 ∈ ℝ)
177	37	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^*, < ) ∈ ℝ)
178	38	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^*, < ) ∈ ℝ)
179		elinel2 4191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
180	179	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
181		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
182		elpwinss 44474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
183	182	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
184		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝑦)
185	183, 184	sseldd 3974	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
186	185	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
187	181, 186, 9	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
188	180, 187	fsumrecl 15707	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℝ)
189	188	rexrd 11289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℝ^*)
190	189	ralrimiva 3136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℝ^*)
191		eqid 2725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
192	191	rnmptss 7126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℝ^* → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ⊆ ℝ^*)
193	190, 192	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ⊆ ℝ^*)
194	193	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ⊆ ℝ^*)
195		simpr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
196		eqidd 2726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)
197		sumeq1 15662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)
198	197	rspceeqv 3625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
199	195, 196, 198	syl2anc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
200	175	elexd 3485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ V)
201	191, 199, 200	elrnmptd 5958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
202		supxrub 13330	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ⊆ ℝ^* ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^*, < ))
203	194, 201, 202	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^*, < ))
204		nfv 1909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧𝜑
205		eqid 2725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶)
206		elinel2 4191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
207	206	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
208		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝜑)
209		elpwinss 44474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
210	209	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
211		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑘 ∈ 𝑧)
212	210, 211	sseldd 3974	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑘 ∈ 𝐴)
213	212	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑘 ∈ 𝐴)
214	208, 213, 11	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝐶 ∈ ℝ)
215	207, 214	fsumrecl 15707	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶 ∈ ℝ)
216	215	rexrd 11289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶 ∈ ℝ^*)
217	204, 205, 216	rnmptssd 44629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ⊆ ℝ^*)
218	217	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ⊆ ℝ^*)
219		eqidd 2726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶)
220		sumeq1 15662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶)
221	220	rspceeqv 3625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶)
222	195, 219, 221	syl2anc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶)
223	176	elexd 3485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 ∈ V)
224	205, 222, 223	elrnmptd 5958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶))
225		supxrub 13330	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ⊆ ℝ^* ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^*, < ))
226	218, 224, 225	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^*, < ))
227	175, 176, 177, 178, 203, 226	le2addd 11858	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )))
228	174, 227	eqbrtrd 5166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )))
229	228	ralrimiva 3136	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )))
230	1, 2, 147, 40	sge0lefimpt 45870	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < ))))
231	229, 230	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )))
232	168, 231	eqbrtrd 5166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^, < ) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^*, < )))
233	40, 59, 167, 232	xrletrid 13161	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ))
234	32, 35, 233	3eqtrd 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ))
235	24, 28, 234	3eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +_𝑒 𝐶))) = ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 394 ∧ w3a 1084 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ∀wral 3051 ∃wrex 3060 Vcvv 3463 ⦋csb 3886 ∩ cin 3940 ⊆ wss 3941 𝒫 cpw 4599 class class class wbr 5144 ↦ cmpt 5227 ran crn 5674 ‘cfv 6543 (class class class)co 7413 Fincfn 8957 supcsup 9458 ℝcr 11132 0cc0 11133 + caddc 11136 +∞cpnf 11270 ℝ^*cxr 11272 < clt 11273 ≤ cle 11274 / cdiv 11896 2c2 12292 ℝ⁺crp 13001 +_𝑒 cxad 13117 [,)cico 13353 [,]cicc 13354 Σcsu 15659 Σ^{^}csumge0 45809

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5281 ax-sep 5295 ax-nul 5302 ax-pow 5360 ax-pr 5424 ax-un 7735 ax-inf2 9659 ax-cnex 11189 ax-resscn 11190 ax-1cn 11191 ax-icn 11192 ax-addcl 11193 ax-addrcl 11194 ax-mulcl 11195 ax-mulrcl 11196 ax-mulcom 11197 ax-addass 11198 ax-mulass 11199 ax-distr 11200 ax-i2m1 11201 ax-1ne0 11202 ax-1rid 11203 ax-rnegex 11204 ax-rrecex 11205 ax-cnre 11206 ax-pre-lttri 11207 ax-pre-lttrn 11208 ax-pre-ltadd 11209 ax-pre-mulgt0 11210 ax-pre-sup 11211

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3961 df-nul 4320 df-if 4526 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-op 4632 df-uni 4905 df-int 4946 df-iun 4994 df-br 5145 df-opab 5207 df-mpt 5228 df-tr 5262 df-id 5571 df-eprel 5577 df-po 5585 df-so 5586 df-fr 5628 df-se 5629 df-we 5630 df-xp 5679 df-rel 5680 df-cnv 5681 df-co 5682 df-dm 5683 df-rn 5684 df-res 5685 df-ima 5686 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7369 df-ov 7416 df-oprab 7417 df-mpo 7418 df-om 7866 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-1o 8480 df-er 8718 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-fin 8961 df-sup 9460 df-inf 9461 df-oi 9528 df-card 9957 df-pnf 11275 df-mnf 11276 df-xr 11277 df-ltxr 11278 df-le 11279 df-sub 11471 df-neg 11472 df-div 11897 df-nn 12238 df-2 12300 df-3 12301 df-n0 12498 df-z 12584 df-uz 12848 df-q 12958 df-rp 13002 df-xadd 13120 df-ico 13357 df-icc 13358 df-fz 13512 df-fzo 13655 df-seq 13994 df-exp 14054 df-hash 14317 df-cj 15073 df-re 15074 df-im 15075 df-sqrt 15209 df-abs 15210 df-clim 15459 df-sum 15660 df-sumge0 45810

This theorem is referenced by: sge0xadd 45882

W3C validator