sge0xaddlem2 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem sge0xaddlem2 43073

Description: The extended addition of two generalized sums of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sge0xaddlem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0xaddlem2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0xaddlem2.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
sge0xaddlem2.sb	⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
sge0xaddlem2.sc	⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)

**Assertion**
Ref	Expression
sge0xaddlem2	⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +_𝑒 𝐶))) = ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘 𝜑,𝑘 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑘) 𝐶(𝑘) 𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0xaddlem2 Dummy variables 𝑒 𝑗 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1915	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		sge0xaddlem2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		0xr 10677	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ^*
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ^*)
5		pnfxr 10684	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → +∞ ∈ ℝ^*)
7		rge0ssre 12834	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
8		sge0xaddlem2.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
9	7, 8	sseldi 3913	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		sge0xaddlem2.c	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
11	7, 10	sseldi 3913	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
12	9, 11	readdcld 10659	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 10680	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ^*)
14		icossicc 12814	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
15	14, 8	sseldi 3913	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
16		xrge0ge0 41979	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐵)
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
18	14, 10	sseldi 3913	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
19		xrge0ge0 41979	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐶)
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
21	9, 11, 17, 20	addge0d 11205	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐵 + 𝐶))
22	12	ltpnfd 12504	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) < +∞)
23	4, 6, 13, 21, 22	elicod 12775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ (0[,)+∞))
24	1, 2, 23	sge0revalmpt 43017	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ))
25		rexadd 12613	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +_𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
26	9, 11, 25	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 +_𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
27	26	mpteq2dva 5125	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +_𝑒 𝐶)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)))
28	27	fveq2d 6649	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +_𝑒 𝐶))) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))))
29		sge0xaddlem2.sb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
30		sge0xaddlem2.sc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
31		rexadd 12613	. . . 4 ⊢ (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
32	29, 30, 31	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
33	1, 2, 8	sge0revalmpt 43017	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^*, < ))
34	1, 2, 10	sge0revalmpt 43017	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^*, < ))
35	33, 34	oveq12d 7153	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )))
36	33	eqcomd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^*, < ) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
37	36, 29	eqeltrd 2890	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^*, < ) ∈ ℝ)
38	34, 30	eqeltrrd 2891	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^*, < ) ∈ ℝ)
39	37, 38	readdcld 10659	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )) ∈ ℝ)
40	39	rexrd 10680	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )) ∈ ℝ^*)
41		elinel2 4123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
42	41	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
43		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝜑)
44		elpwinss 41683	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
45	44	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
46		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝑥)
47	45, 46	sseldd 3916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐴)
48	47	adantll 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐴)
49	43, 48, 9	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
50	43, 48, 11	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐶 ∈ ℝ)
51	49, 50	readdcld 10659	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
52	42, 51	fsumrecl 15083	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
53	52	rexrd 10680	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ^*)
54	53	ralrimiva 3149	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ^*)
55		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶))
56	55	rnmptss 6863	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ^* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ^*)
57	54, 56	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ^*)
58		supxrcl 12696	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ^* → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^, < ) ∈ ℝ^)
59	57, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^, < ) ∈ ℝ^)
60	35	eqcomd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )) = ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
61	60	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )) = ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
62		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺)
63	2	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ 𝑉)
64	15	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
65		rphalfcl 12404	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ⁺ → (𝑒 / 2) ∈ ℝ⁺)
66	65	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑒 / 2) ∈ ℝ⁺)
67	29	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
68	62, 63, 64, 66, 67	sge0ltfirpmpt2 43065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)))
69	18	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
70	30	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
71	62, 63, 69, 66, 70	sge0ltfirpmpt2 43065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)))
72	71	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)))
73	63	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
74	73	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
75		simpl1l 1221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝜑)
76	75	3ad2antl1 1182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝜑)
77		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
78		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
79		nfcsb1v 3852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
80	79	nfel1 2971	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)
81	78, 80	nfim 1897	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
82		eleq1w 2872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
83	82	anbi2d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
84		csbeq1a 3842	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
85	84	eleq1d 2874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
86	83, 85	imbi12d 348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
87	81, 86, 8	chvarfv 2240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
88	76, 77, 87	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
89		nfcsb1v 3852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
90	89	nfel1 2971	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞)
91	78, 90	nfim 1897	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))
92		csbeq1a 3842	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
93	92	eleq1d 2874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞)))
94	83, 93	imbi12d 348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))))
95	91, 94, 10	chvarfv 2240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))
96	76, 77, 95	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))
97		simp11r 1282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
98		simp12 1201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
99		elpwinss 41683	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑢 ⊆ 𝐴)
100	98, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑢 ⊆ 𝐴)
101		elinel2 4123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ Fin)
102	101	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → 𝑢 ∈ Fin)
103	102	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑢 ∈ Fin)
104		simp2 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
105		elpwinss 41683	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑣 ⊆ 𝐴)
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑣 ⊆ 𝐴)
107		elinel2 4123	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑣 ∈ Fin)
108	107	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑣 ∈ Fin)
109		simp13 1202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)))
110		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
111	110, 79, 84	cbvmpt 5131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
112	111	fveq2i 6648	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
113		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗𝑢
114		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘𝑢
115	84, 113, 114, 110, 79	cbvsum 15044	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 = Σ𝑗 ∈ 𝑢 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
116	115	oveq1i 7145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)) = (Σ𝑗 ∈ 𝑢 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + (𝑒 / 2))
117	112, 116	breq12i 5039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)) ↔ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) < (Σ𝑗 ∈ 𝑢 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + (𝑒 / 2)))
118	117	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) < (Σ𝑗 ∈ 𝑢 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + (𝑒 / 2)))
119	109, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) < (Σ𝑗 ∈ 𝑢 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + (𝑒 / 2)))
120		simp3 1135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)))
121		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
122	121, 89, 92	cbvmpt 5131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
123	122	fveq2i 6648	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
124		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗𝑣
125		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘𝑣
126	92, 124, 125, 121, 89	cbvsum 15044	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 = Σ𝑗 ∈ 𝑣 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
127	126	oveq1i 7145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)) = (Σ𝑗 ∈ 𝑣 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 + (𝑒 / 2))
128	123, 127	breq12i 5039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)) ↔ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) < (Σ𝑗 ∈ 𝑣 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 + (𝑒 / 2)))
129	128	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) < (Σ𝑗 ∈ 𝑣 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 + (𝑒 / 2)))
130	120, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) < (Σ𝑗 ∈ 𝑣 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 + (𝑒 / 2)))
131		simp11l 1281	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝜑)
132	84, 92	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 + 𝐶) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
133		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑗𝑥
134		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
135		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐵 + 𝐶)
136		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑘 +
137	79, 136, 89	nfov 7165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
138	132, 133, 134, 135, 137	cbvsum 15044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) = Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
139	138	mpteq2i 5122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
140	139	rneqi 5771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
141	140	supeq1i 8895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)), ℝ^, < )
142	141	eqcomi 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)), ℝ^, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^, < )
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)), ℝ^, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^, < ))
144	143, 24	eqtr4d 2836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)), ℝ^*, < ) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))))
145		ge0xaddcl 12840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐵 +_𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
146	15, 18, 145	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 +_𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
147	26, 146	eqeltrrd 2891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
148	1, 2, 147	sge0clmpt 43064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ (0[,]+∞))
149	144, 148	eqeltrd 2890	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)), ℝ^*, < ) ∈ (0[,]+∞))
150	131, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)), ℝ^*, < ) ∈ (0[,]+∞))
151	112, 29	eqeltrrid 2895	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) ∈ ℝ)
152	131, 151	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) ∈ ℝ)
153	123, 30	eqeltrrid 2895	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ∈ ℝ)
154	131, 153	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ∈ ℝ)
155	74, 88, 96, 97, 100, 103, 106, 108, 119, 130, 150, 152, 154	sge0xaddlem1 43072	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → ((Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)), ℝ^*, < ) +_𝑒 𝑒))
156	112, 123	oveq12i 7147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = ((Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))
157	141	oveq1i 7145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^, < ) +_𝑒 𝑒) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)), ℝ^, < ) +_𝑒 𝑒)
158	156, 157	breq12i 5039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^, < ) +_𝑒 𝑒) ↔ ((Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗 ∈ 𝑥 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)), ℝ^, < ) +_𝑒 𝑒))
159	155, 158	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ) +_𝑒 𝑒))
160	159	3exp 1116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → (𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ) +_𝑒 𝑒))))
161	160	rexlimdv 3242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ) +_𝑒 𝑒)))
162	72, 161	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ) +_𝑒 𝑒))
163	162	3exp 1116	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ) +_𝑒 𝑒))))
164	163	rexlimdv 3242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ) +_𝑒 𝑒)))
165	68, 164	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ) +_𝑒 𝑒))
166	61, 165	eqbrtrd 5052	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ) +_𝑒 𝑒))
167	40, 59, 166	xrlexaddrp 41984	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ))
168	24	eqcomd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))))
169	43, 48, 23	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → (𝐵 + 𝐶) ∈ (0[,)+∞))
170	42, 169	sge0fsummpt 43029	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶))
171	49	recnd 10658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℂ)
172	50	recnd 10658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐶 ∈ ℂ)
173	42, 171, 172	fsumadd 15088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶))
174	170, 173	eqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶))
175	42, 49	fsumrecl 15083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ℝ)
176	42, 50	fsumrecl 15083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 ∈ ℝ)
177	37	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^*, < ) ∈ ℝ)
178	38	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^*, < ) ∈ ℝ)
179		elinel2 4123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
180	179	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
181		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
182		elpwinss 41683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
183	182	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
184		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝑦)
185	183, 184	sseldd 3916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
186	185	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
187	181, 186, 9	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
188	180, 187	fsumrecl 15083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℝ)
189	188	rexrd 10680	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℝ^*)
190	189	ralrimiva 3149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℝ^*)
191		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
192	191	rnmptss 6863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℝ^* → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ⊆ ℝ^*)
193	190, 192	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ⊆ ℝ^*)
194	193	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ⊆ ℝ^*)
195		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
196		eqidd 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)
197		sumeq1 15037	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)
198	197	rspceeqv 3586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
199	195, 196, 198	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
200	175	elexd 3461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ V)
201	191, 199, 200	elrnmptd 5797	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
202		supxrub 12705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ⊆ ℝ^* ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^*, < ))
203	194, 201, 202	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^*, < ))
204		nfv 1915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧𝜑
205		eqid 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶)
206		elinel2 4123	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
207	206	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
208		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝜑)
209		elpwinss 41683	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
210	209	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
211		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑘 ∈ 𝑧)
212	210, 211	sseldd 3916	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑘 ∈ 𝐴)
213	212	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑘 ∈ 𝐴)
214	208, 213, 11	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝐶 ∈ ℝ)
215	207, 214	fsumrecl 15083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶 ∈ ℝ)
216	215	rexrd 10680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶 ∈ ℝ^*)
217	204, 205, 216	rnmptssd 41824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ⊆ ℝ^*)
218	217	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ⊆ ℝ^*)
219		eqidd 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶)
220		sumeq1 15037	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶)
221	220	rspceeqv 3586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶)
222	195, 219, 221	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶)
223	176	elexd 3461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 ∈ V)
224	205, 222, 223	elrnmptd 5797	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶))
225		supxrub 12705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶) ⊆ ℝ^* ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^*, < ))
226	218, 224, 225	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^*, < ))
227	175, 176, 177, 178, 203, 226	le2addd 11248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐶) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )))
228	174, 227	eqbrtrd 5052	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )))
229	228	ralrimiva 3149	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )))
230	1, 2, 147, 40	sge0lefimpt 43062	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < ))))
231	229, 230	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )))
232	168, 231	eqbrtrd 5052	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^, < ) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^*, < )))
233	40, 59, 167, 232	xrletrid 12536	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ^, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ^, < )) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ))
234	32, 35, 233	3eqtrd 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ^*, < ))
235	24, 28, 234	3eqtr4d 2843	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +_𝑒 𝐶))) = ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 399 ∧ w3a 1084 = wceq 1538 ∈ wcel 2111 ∀wral 3106 ∃wrex 3107 Vcvv 3441 ⦋csb 3828 ∩ cin 3880 ⊆ wss 3881 𝒫 cpw 4497 class class class wbr 5030 ↦ cmpt 5110 ran crn 5520 ‘cfv 6324 (class class class)co 7135 Fincfn 8492 supcsup 8888 ℝcr 10525 0cc0 10526 + caddc 10529 +∞cpnf 10661 ℝ^*cxr 10663 < clt 10664 ≤ cle 10665 / cdiv 11286 2c2 11680 ℝ⁺crp 12377 +_𝑒 cxad 12493 [,)cico 12728 [,]cicc 12729 Σcsu 15034 Σ^{^}csumge0 43001

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2770 ax-rep 5154 ax-sep 5167 ax-nul 5174 ax-pow 5231 ax-pr 5295 ax-un 7441 ax-inf2 9088 ax-cnex 10582 ax-resscn 10583 ax-1cn 10584 ax-icn 10585 ax-addcl 10586 ax-addrcl 10587 ax-mulcl 10588 ax-mulrcl 10589 ax-mulcom 10590 ax-addass 10591 ax-mulass 10592 ax-distr 10593 ax-i2m1 10594 ax-1ne0 10595 ax-1rid 10596 ax-rnegex 10597 ax-rrecex 10598 ax-cnre 10599 ax-pre-lttri 10600 ax-pre-lttrn 10601 ax-pre-ltadd 10602 ax-pre-mulgt0 10603 ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1541 df-fal 1551 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2070 df-mo 2598 df-eu 2629 df-clab 2777 df-cleq 2791 df-clel 2870 df-nfc 2938 df-ne 2988 df-nel 3092 df-ral 3111 df-rex 3112 df-reu 3113 df-rmo 3114 df-rab 3115 df-v 3443 df-sbc 3721 df-csb 3829 df-dif 3884 df-un 3886 df-in 3888 df-ss 3898 df-pss 3900 df-nul 4244 df-if 4426 df-pw 4499 df-sn 4526 df-pr 4528 df-tp 4530 df-op 4532 df-uni 4801 df-int 4839 df-iun 4883 df-br 5031 df-opab 5093 df-mpt 5111 df-tr 5137 df-id 5425 df-eprel 5430 df-po 5438 df-so 5439 df-fr 5478 df-se 5479 df-we 5480 df-xp 5525 df-rel 5526 df-cnv 5527 df-co 5528 df-dm 5529 df-rn 5530 df-res 5531 df-ima 5532 df-pred 6116 df-ord 6162 df-on 6163 df-lim 6164 df-suc 6165 df-iota 6283 df-fun 6326 df-fn 6327 df-f 6328 df-f1 6329 df-fo 6330 df-f1o 6331 df-fv 6332 df-isom 6333 df-riota 7093 df-ov 7138 df-oprab 7139 df-mpo 7140 df-om 7561 df-1st 7671 df-2nd 7672 df-wrecs 7930 df-recs 7991 df-rdg 8029 df-1o 8085 df-oadd 8089 df-er 8272 df-en 8493 df-dom 8494 df-sdom 8495 df-fin 8496 df-sup 8890 df-inf 8891 df-oi 8958 df-card 9352 df-pnf 10666 df-mnf 10667 df-xr 10668 df-ltxr 10669 df-le 10670 df-sub 10861 df-neg 10862 df-div 11287 df-nn 11626 df-2 11688 df-3 11689 df-n0 11886 df-z 11970 df-uz 12232 df-q 12337 df-rp 12378 df-xadd 12496 df-ico 12732 df-icc 12733 df-fz 12886 df-fzo 13029 df-seq 13365 df-exp 13426 df-hash 13687 df-cj 14450 df-re 14451 df-im 14452 df-sqrt 14586 df-abs 14587 df-clim 14837 df-sum 15035 df-sumge0 43002

This theorem is referenced by: sge0xadd 43074

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