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Theorem sge0xaddlem2 42585
Description: The extended addition of two generalized sums of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0xaddlem2.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0xaddlem2.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0xaddlem2.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
sge0xaddlem2.sb (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
sge0xaddlem2.sc (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
sge0xaddlem2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0xaddlem2
Dummy variables 𝑒 𝑗 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1908 . . 3 𝑘𝜑
2 sge0xaddlem2.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
3 0xr 10680 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
43a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
5 pnfxr 10687 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
7 rge0ssre 12837 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
8 sge0xaddlem2.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
97, 8sseldi 3968 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
10 sge0xaddlem2.c . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
117, 10sseldi 3968 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
129, 11readdcld 10662 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
1312rexrd 10683 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*)
14 icossicc 12817 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
1514, 8sseldi 3968 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
16 xrge0ge0 41483 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐵)
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
1814, 10sseldi 3968 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
19 xrge0ge0 41483 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐶)
2018, 19syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
219, 11, 17, 20addge0d 11208 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ (𝐵 + 𝐶))
2212ltpnfd 12509 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 + 𝐶) < +∞)
234, 6, 13, 21, 22elicod 12780 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ (0[,)+∞))
241, 2, 23sge0revalmpt 42529 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ))
25 rexadd 12618 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
269, 11, 25syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
2726mpteq2dva 5157 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)))
2827fveq2d 6670 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))))
29 sge0xaddlem2.sb . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
30 sge0xaddlem2.sc . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
31 rexadd 12618 . . . 4 (((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))))
3229, 30, 31syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))))
331, 2, 8sge0revalmpt 42529 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ))
341, 2, 10sge0revalmpt 42529 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < ))
3533, 34oveq12d 7169 . . 3 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) = (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )))
3633eqcomd 2831 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) = (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)))
3736, 29eqeltrd 2917 . . . . . 6 (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
3834, 30eqeltrrd 2918 . . . . . 6 (𝜑 → sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
3937, 38readdcld 10662 . . . . 5 (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )) ∈ ℝ)
4039rexrd 10683 . . . 4 (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
41 elinel2 4176 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
4241adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
43 simpll 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝜑)
44 elpwinss 41179 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥𝐴)
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥𝐴)
46 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝑥)
4745, 46sseldd 3971 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝐴)
4847adantll 710 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝐴)
4943, 48, 9syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
5043, 48, 11syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐶 ∈ ℝ)
5149, 50readdcld 10662 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
5242, 51fsumrecl 15084 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
5352rexrd 10683 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*)
5453ralrimiva 3186 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*)
55 eqid 2825 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶))
5655rnmptss 6881 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ*)
5754, 56syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ*)
58 supxrcl 12701 . . . . 5 (ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5957, 58syl 17 . . . 4 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6035eqcomd 2831 . . . . . . 7 (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))))
6160adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))))
62 nfv 1908 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑𝑒 ∈ ℝ+)
632adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝐴𝑉)
6415adantlr 711 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
65 rphalfcl 12409 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ ℝ+ → (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
6665adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
6729adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
6862, 63, 64, 66, 67sge0ltfirpmpt2 42577 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)))
6918adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
7030adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
7162, 63, 69, 66, 70sge0ltfirpmpt2 42577 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)))
72713ad2ant1 1127 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)))
73633ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → 𝐴𝑉)
74733ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝐴𝑉)
75 simpl1l 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑗𝐴) → 𝜑)
76753ad2antl1 1179 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑗𝐴) → 𝜑)
77 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗𝐴)
78 nfv 1908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(𝜑𝑗𝐴)
79 nfcsb1v 3910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
8079nfel1 2998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ (0[,)+∞)
8178, 80nfim 1890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ (0[,)+∞))
82 eleq1w 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐴𝑗𝐴))
8382anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑗𝐴)))
84 csbeq1a 3900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
8584eleq1d 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
8683, 85imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
8781, 86, 8chvar 2409 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ (0[,)+∞))
8876, 77, 87syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ (0[,)+∞))
89 nfcsb1v 3910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶
9089nfel1 2998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,)+∞)
9178, 90nfim 1890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,)+∞))
92 csbeq1a 3900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑗𝐶 = 𝑗 / 𝑘𝐶)
9392eleq1d 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,)+∞)))
9483, 93imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,)+∞))))
9591, 94, 10chvar 2409 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,)+∞))
9676, 77, 95syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,)+∞))
97 simp11r 1279 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑒 ∈ ℝ+)
98 simp12 1198 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
99 elpwinss 41179 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑢𝐴)
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑢𝐴)
101 elinel2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ Fin)
1021013ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → 𝑢 ∈ Fin)
1031023ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑢 ∈ Fin)
104 simp2 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
105 elpwinss 41179 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑣𝐴)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑣𝐴)
107 elinel2 4176 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑣 ∈ Fin)
1081073ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝑣 ∈ Fin)
109 simp13 1199 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)))
110 nfcv 2981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗𝐵
111110, 79, 84cbvmpt 5163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)
112111fveq2i 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵))
113 nfcv 2981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗𝑢
114 nfcv 2981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘𝑢
11584, 113, 114, 110, 79cbvsum 15045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Σ𝑘𝑢 𝐵 = Σ𝑗𝑢 𝑗 / 𝑘𝐵
116115oveq1i 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)) = (Σ𝑗𝑢 𝑗 / 𝑘𝐵 + (𝑒 / 2))
117112, 116breq12i 5071 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)) ↔ (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)) < (Σ𝑗𝑢 𝑗 / 𝑘𝐵 + (𝑒 / 2)))
118117biimpi 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)) → (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)) < (Σ𝑗𝑢 𝑗 / 𝑘𝐵 + (𝑒 / 2)))
119109, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)) < (Σ𝑗𝑢 𝑗 / 𝑘𝐵 + (𝑒 / 2)))
120 simp3 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)))
121 nfcv 2981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗𝐶
122121, 89, 92cbvmpt 5163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶)
123122fveq2i 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶))
124 nfcv 2981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗𝑣
125 nfcv 2981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘𝑣
12692, 124, 125, 121, 89cbvsum 15045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Σ𝑘𝑣 𝐶 = Σ𝑗𝑣 𝑗 / 𝑘𝐶
127126oveq1i 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)) = (Σ𝑗𝑣 𝑗 / 𝑘𝐶 + (𝑒 / 2))
128123, 127breq12i 5071 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)) ↔ (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶)) < (Σ𝑗𝑣 𝑗 / 𝑘𝐶 + (𝑒 / 2)))
129128biimpi 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)) → (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶)) < (Σ𝑗𝑣 𝑗 / 𝑘𝐶 + (𝑒 / 2)))
130120, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶)) < (Σ𝑗𝑣 𝑗 / 𝑘𝐶 + (𝑒 / 2)))
131 simp11l 1278 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → 𝜑)
13284, 92oveq12d 7169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 + 𝐶) = (𝑗 / 𝑘𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐶))
133 nfcv 2981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑗𝑥
134 nfcv 2981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘𝑥
135 nfcv 2981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑗(𝐵 + 𝐶)
136 nfcv 2981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘 +
13779, 136, 89nfov 7181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘(𝑗 / 𝑘𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐶)
138132, 133, 134, 135, 137cbvsum 15045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶) = Σ𝑗𝑥 (𝑗 / 𝑘𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐶)
139138mpteq2i 5154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗𝑥 (𝑗 / 𝑘𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐶))
140139rneqi 5805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗𝑥 (𝑗 / 𝑘𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐶))
141140supeq1i 8903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗𝑥 (𝑗 / 𝑘𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐶)), ℝ*, < )
142141eqcomi 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗𝑥 (𝑗 / 𝑘𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐶)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < )
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗𝑥 (𝑗 / 𝑘𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐶)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ))
144143, 24eqtr4d 2863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗𝑥 (𝑗 / 𝑘𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐶)), ℝ*, < ) = (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))))
145 ge0xaddcl 12843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
14615, 18, 145syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
14726, 146eqeltrrd 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
1481, 2, 147sge0clmpt 42576 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ (0[,]+∞))
149144, 148eqeltrd 2917 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗𝑥 (𝑗 / 𝑘𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐶)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
150131, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗𝑥 (𝑗 / 𝑘𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐶)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
151112, 29eqeltrrid 2922 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)) ∈ ℝ)
152131, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)) ∈ ℝ)
153123, 30eqeltrrid 2922 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶)) ∈ ℝ)
154131, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶)) ∈ ℝ)
15574, 88, 96, 97, 100, 103, 106, 108, 119, 130, 150, 152, 154sge0xaddlem1 42584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → ((Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)) + (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗𝑥 (𝑗 / 𝑘𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝑒))
156112, 123oveq12i 7163 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) = ((Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)) + (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶)))
157141oveq1i 7161 . . . . . . . . . . . . . 14 (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝑒) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗𝑥 (𝑗 / 𝑘𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝑒)
158156, 157breq12i 5071 . . . . . . . . . . . . 13 (((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝑒) ↔ ((Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)) + (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑗𝑥 (𝑗 / 𝑘𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝑒))
159155, 158sylibr 235 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2))) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝑒))
1601593exp 1113 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → (𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝑒))))
161160rexlimdv 3287 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑣 𝐶 + (𝑒 / 2)) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝑒)))
16272, 161mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2))) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝑒))
1631623exp 1113 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝑒))))
164163rexlimdv 3287 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑢 𝐵 + (𝑒 / 2)) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝑒)))
16568, 164mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝑒))
16661, 165eqbrtrd 5084 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝑒))
16740, 59, 166xrlexaddrp 41488 . . . 4 (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ))
16824eqcomd 2831 . . . . 5 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))))
16943, 48, 23syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → (𝐵 + 𝐶) ∈ (0[,)+∞))
17042, 169sge0fsummpt 42541 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑥 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶))
17149recnd 10661 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐵 ∈ ℂ)
17250recnd 10661 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐶 ∈ ℂ)
17342, 171, 172fsumadd 15089 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶) = (Σ𝑘𝑥 𝐵 + Σ𝑘𝑥 𝐶))
174170, 173eqtrd 2860 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑥 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = (Σ𝑘𝑥 𝐵 + Σ𝑘𝑥 𝐶))
17542, 49fsumrecl 15084 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℝ)
17642, 50fsumrecl 15084 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐶 ∈ ℝ)
17737adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
17838adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
179 elinel2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
180179adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
181 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝜑)
182 elpwinss 41179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
183182adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑦𝐴)
184 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝑦)
185183, 184sseldd 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
186185adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
187181, 186, 9syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
188180, 187fsumrecl 15084 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℝ)
189188rexrd 10683 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℝ*)
190189ralrimiva 3186 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℝ*)
191 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵)
192191rnmptss 6881 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℝ* → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ⊆ ℝ*)
193190, 192syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ⊆ ℝ*)
194193adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ⊆ ℝ*)
195 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
196 eqidd 2826 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝑥 𝐵)
197 sumeq1 15038 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → Σ𝑘𝑦 𝐵 = Σ𝑘𝑥 𝐵)
198197rspceeqv 3641 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝑥 𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝐵)
199195, 196, 198syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝐵)
200175elexd 3519 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ∈ V)
201191, 199, 200elrnmptd 41308 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵))
202 supxrub 12710 . . . . . . . . . 10 ((ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ⊆ ℝ* ∧ Σ𝑘𝑥 𝐵 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ≤ sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ))
203194, 201, 202syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ≤ sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ))
204 nfv 1908 . . . . . . . . . . . 12 𝑧𝜑
205 eqid 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶)
206 elinel2 4176 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
207206adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
208 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑧) → 𝜑)
209 elpwinss 41179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧𝐴)
210209adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑧) → 𝑧𝐴)
211 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑧) → 𝑘𝑧)
212210, 211sseldd 3971 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑧) → 𝑘𝐴)
213212adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑧) → 𝑘𝐴)
214208, 213, 11syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑧) → 𝐶 ∈ ℝ)
215207, 214fsumrecl 15084 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑧 𝐶 ∈ ℝ)
216215rexrd 10683 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑧 𝐶 ∈ ℝ*)
217204, 205, 216rnmptssd 41326 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶) ⊆ ℝ*)
218217adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶) ⊆ ℝ*)
219 eqidd 2826 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐶 = Σ𝑘𝑥 𝐶)
220 sumeq1 15038 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑥 → Σ𝑘𝑧 𝐶 = Σ𝑘𝑥 𝐶)
221220rspceeqv 3641 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ Σ𝑘𝑥 𝐶 = Σ𝑘𝑥 𝐶) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘𝑥 𝐶 = Σ𝑘𝑧 𝐶)
222195, 219, 221syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘𝑥 𝐶 = Σ𝑘𝑧 𝐶)
223176elexd 3519 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐶 ∈ V)
224205, 222, 223elrnmptd 41308 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐶 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶))
225 supxrub 12710 . . . . . . . . . 10 ((ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶) ⊆ ℝ* ∧ Σ𝑘𝑥 𝐶 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶)) → Σ𝑘𝑥 𝐶 ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < ))
226218, 224, 225syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐶 ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < ))
227175, 176, 177, 178, 203, 226le2addd 11251 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ𝑘𝑥 𝐵 + Σ𝑘𝑥 𝐶) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )))
228174, 227eqbrtrd 5084 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑥 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )))
229228ralrimiva 3186 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘𝑥 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )))
2301, 2, 147, 40sge0lefimpt 42574 . . . . . 6 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘𝑥 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < ))))
231229, 230mpbird 258 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )))
232168, 231eqbrtrd 5084 . . . 4 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ≤ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )))
23340, 59, 167, 232xrletrid 12541 . . 3 (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ))
23432, 35, 2333eqtrd 2864 . 2 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ))
23524, 28, 2343eqtr4d 2870 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3142  wrex 3143  Vcvv 3499  csb 3886  cin 3938  wss 3939  𝒫 cpw 4541   class class class wbr 5062  cmpt 5142  ran crn 5554  cfv 6351  (class class class)co 7151  Fincfn 8501  supcsup 8896  cr 10528  0cc0 10529   + caddc 10532  +∞cpnf 10664  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668   / cdiv 11289  2c2 11684  +crp 12382   +𝑒 cxad 12498  [,)cico 12733  [,]cicc 12734  Σcsu 15035  Σ^csumge0 42513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xadd 12501  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-sum 15036  df-sumge0 42514
This theorem is referenced by:  sge0xadd  42586
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