HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdsldmd1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdsldmd1i 30022
Description: Preservation of the dual modular pair property in the one-to-one onto mapping between the two sublattices in Lemma 1.3 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 29-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdslmd.1 𝐴C
mdslmd.2 𝐵C
mdslmd.3 𝐶C
mdslmd.4 𝐷C
Assertion
Ref Expression
mdsldmd1i (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))) → (𝐶 𝑀* 𝐷 ↔ (𝐶𝐵) 𝑀* (𝐷𝐵)))

Proof of Theorem mdsldmd1i
StepHypRef Expression
1 mdslmd.1 . . . . 5 𝐴C
2 mdslmd.2 . . . . 5 𝐵C
3 mddmd 29992 . . . . 5 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀* (⊥‘𝐵)))
41, 2, 3mp2an 688 . . . 4 (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀* (⊥‘𝐵))
5 dmdmd 29991 . . . . 5 ((𝐵C𝐴C ) → (𝐵 𝑀* 𝐴 ↔ (⊥‘𝐵) 𝑀 (⊥‘𝐴)))
62, 1, 5mp2an 688 . . . 4 (𝐵 𝑀* 𝐴 ↔ (⊥‘𝐵) 𝑀 (⊥‘𝐴))
74, 6anbi12ci 627 . . 3 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ↔ ((⊥‘𝐵) 𝑀 (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐴) 𝑀* (⊥‘𝐵)))
8 mdslmd.3 . . . . . . 7 𝐶C
9 mdslmd.4 . . . . . . 7 𝐷C
108, 9chincli 29151 . . . . . 6 (𝐶𝐷) ∈ C
111, 10chsscon3i 29152 . . . . 5 (𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ↔ (⊥‘(𝐶𝐷)) ⊆ (⊥‘𝐴))
128, 9chdmm1i 29168 . . . . . 6 (⊥‘(𝐶𝐷)) = ((⊥‘𝐶) ∨ (⊥‘𝐷))
1312sseq1i 3999 . . . . 5 ((⊥‘(𝐶𝐷)) ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ ((⊥‘𝐶) ∨ (⊥‘𝐷)) ⊆ (⊥‘𝐴))
1411, 13bitri 276 . . . 4 (𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ↔ ((⊥‘𝐶) ∨ (⊥‘𝐷)) ⊆ (⊥‘𝐴))
158, 9chjcli 29148 . . . . . 6 (𝐶 𝐷) ∈ C
161, 2chjcli 29148 . . . . . 6 (𝐴 𝐵) ∈ C
1715, 16chsscon3i 29152 . . . . 5 ((𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ (⊥‘(𝐴 𝐵)) ⊆ (⊥‘(𝐶 𝐷)))
181, 2chdmj1i 29172 . . . . . . 7 (⊥‘(𝐴 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))
19 incom 4182 . . . . . . 7 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))
2018, 19eqtri 2849 . . . . . 6 (⊥‘(𝐴 𝐵)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))
218, 9chdmj1i 29172 . . . . . 6 (⊥‘(𝐶 𝐷)) = ((⊥‘𝐶) ∩ (⊥‘𝐷))
2220, 21sseq12i 4001 . . . . 5 ((⊥‘(𝐴 𝐵)) ⊆ (⊥‘(𝐶 𝐷)) ↔ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ ((⊥‘𝐶) ∩ (⊥‘𝐷)))
2317, 22bitri 276 . . . 4 ((𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ ((⊥‘𝐶) ∩ (⊥‘𝐷)))
2414, 23anbi12ci 627 . . 3 ((𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ ((⊥‘𝐶) ∩ (⊥‘𝐷)) ∧ ((⊥‘𝐶) ∨ (⊥‘𝐷)) ⊆ (⊥‘𝐴)))
252choccli 28998 . . . 4 (⊥‘𝐵) ∈ C
261choccli 28998 . . . 4 (⊥‘𝐴) ∈ C
278choccli 28998 . . . 4 (⊥‘𝐶) ∈ C
289choccli 28998 . . . 4 (⊥‘𝐷) ∈ C
2925, 26, 27, 28mdslmd2i 30021 . . 3 ((((⊥‘𝐵) 𝑀 (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐴) 𝑀* (⊥‘𝐵)) ∧ (((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ ((⊥‘𝐶) ∩ (⊥‘𝐷)) ∧ ((⊥‘𝐶) ∨ (⊥‘𝐷)) ⊆ (⊥‘𝐴))) → ((⊥‘𝐶) 𝑀 (⊥‘𝐷) ↔ ((⊥‘𝐶) ∨ (⊥‘𝐵)) 𝑀 ((⊥‘𝐷) ∨ (⊥‘𝐵))))
307, 24, 29syl2anb 597 . 2 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((⊥‘𝐶) 𝑀 (⊥‘𝐷) ↔ ((⊥‘𝐶) ∨ (⊥‘𝐵)) 𝑀 ((⊥‘𝐷) ∨ (⊥‘𝐵))))
31 dmdmd 29991 . . 3 ((𝐶C𝐷C ) → (𝐶 𝑀* 𝐷 ↔ (⊥‘𝐶) 𝑀 (⊥‘𝐷)))
328, 9, 31mp2an 688 . 2 (𝐶 𝑀* 𝐷 ↔ (⊥‘𝐶) 𝑀 (⊥‘𝐷))
338, 2chincli 29151 . . . 4 (𝐶𝐵) ∈ C
349, 2chincli 29151 . . . 4 (𝐷𝐵) ∈ C
35 dmdmd 29991 . . . 4 (((𝐶𝐵) ∈ C ∧ (𝐷𝐵) ∈ C ) → ((𝐶𝐵) 𝑀* (𝐷𝐵) ↔ (⊥‘(𝐶𝐵)) 𝑀 (⊥‘(𝐷𝐵))))
3633, 34, 35mp2an 688 . . 3 ((𝐶𝐵) 𝑀* (𝐷𝐵) ↔ (⊥‘(𝐶𝐵)) 𝑀 (⊥‘(𝐷𝐵)))
378, 2chdmm1i 29168 . . . 4 (⊥‘(𝐶𝐵)) = ((⊥‘𝐶) ∨ (⊥‘𝐵))
389, 2chdmm1i 29168 . . . 4 (⊥‘(𝐷𝐵)) = ((⊥‘𝐷) ∨ (⊥‘𝐵))
3937, 38breq12i 5072 . . 3 ((⊥‘(𝐶𝐵)) 𝑀 (⊥‘(𝐷𝐵)) ↔ ((⊥‘𝐶) ∨ (⊥‘𝐵)) 𝑀 ((⊥‘𝐷) ∨ (⊥‘𝐵)))
4036, 39bitri 276 . 2 ((𝐶𝐵) 𝑀* (𝐷𝐵) ↔ ((⊥‘𝐶) ∨ (⊥‘𝐵)) 𝑀 ((⊥‘𝐷) ∨ (⊥‘𝐵)))
4130, 32, 403bitr4g 315 1 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))) → (𝐶 𝑀* 𝐷 ↔ (𝐶𝐵) 𝑀* (𝐷𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2107  cin 3939  wss 3940   class class class wbr 5063  cfv 6352  (class class class)co 7148   C cch 28620  cort 28621   chj 28624   𝑀 cmd 28657   𝑀* cdmd 28658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606  ax-hilex 28690  ax-hfvadd 28691  ax-hvcom 28692  ax-hvass 28693  ax-hv0cl 28694  ax-hvaddid 28695  ax-hfvmul 28696  ax-hvmulid 28697  ax-hvmulass 28698  ax-hvdistr1 28699  ax-hvdistr2 28700  ax-hvmul0 28701  ax-hfi 28770  ax-his1 28773  ax-his2 28774  ax-his3 28775  ax-his4 28776  ax-hcompl 28893
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-omul 8098  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-acn 9360  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-fbas 20458  df-fg 20459  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cld 21543  df-ntr 21544  df-cls 21545  df-nei 21622  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-lm 21753  df-haus 21839  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-fil 22370  df-fm 22462  df-flim 22463  df-flf 22464  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847  df-cfil 23773  df-cau 23774  df-cmet 23775  df-grpo 28184  df-gid 28185  df-ginv 28186  df-gdiv 28187  df-ablo 28236  df-vc 28250  df-nv 28283  df-va 28286  df-ba 28287  df-sm 28288  df-0v 28289  df-vs 28290  df-nmcv 28291  df-ims 28292  df-dip 28392  df-ssp 28413  df-ph 28504  df-cbn 28554  df-hnorm 28659  df-hba 28660  df-hvsub 28662  df-hlim 28663  df-hcau 28664  df-sh 28898  df-ch 28912  df-oc 28943  df-ch0 28944  df-shs 28999  df-chj 29001  df-md 29971  df-dmd 29972
This theorem is referenced by:  dmdcompli  30121
  Copyright terms: Public domain W3C validator