Theorem mdsldmd1i 32350

Description: Preservation of the dual modular pair property in the one-to-one onto mapping between the two sublattices in Lemma 1.3 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 29-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdslmd.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdslmd.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mdslmd.3	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
mdslmd.4	⊢ 𝐷 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
mdsldmd1i	⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷) ∧ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝐶 𝑀ℋ* 𝐷 ↔ (𝐶 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ* (𝐷 ∩ 𝐵)))

Proof of Theorem mdsldmd1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdslmd.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		mdslmd.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3		mddmd 32320	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀ℋ* (⊥‘𝐵)))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀ℋ* (⊥‘𝐵))
5		dmdmd 32319	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ↔ (⊥‘𝐵) 𝑀ℋ (⊥‘𝐴)))
6	2, 1, 5	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ↔ (⊥‘𝐵) 𝑀ℋ (⊥‘𝐴))
7	4, 6	anbi12ci 629	. . 3 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ↔ ((⊥‘𝐵) 𝑀ℋ (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐴) 𝑀ℋ* (⊥‘𝐵)))
8		mdslmd.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
9		mdslmd.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
10	8, 9	chincli 31479	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐷) ∈ Cℋ
11	1, 10	chsscon3i 31480	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷) ↔ (⊥‘(𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (⊥‘𝐴))
12	8, 9	chdmm1i 31496	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐶 ∩ 𝐷)) = ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (⊥‘𝐷))
13	12	sseq1i 4012	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘(𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (⊥‘𝐷)) ⊆ (⊥‘𝐴))
14	11, 13	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷) ↔ ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (⊥‘𝐷)) ⊆ (⊥‘𝐴))
15	8, 9	chjcli 31476	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ∈ Cℋ
16	1, 2	chjcli 31476	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
17	15, 16	chsscon3i 31480	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (⊥‘(𝐶 ∨ℋ 𝐷)))
18	1, 2	chdmj1i 31500	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))
19		incom 4209	. . . . . . 7 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))
20	18, 19	eqtri 2765	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))
21	8, 9	chdmj1i 31500	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐶 ∨ℋ 𝐷)) = ((⊥‘𝐶) ∩ (⊥‘𝐷))
22	20, 21	sseq12i 4014	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (⊥‘(𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ↔ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ ((⊥‘𝐶) ∩ (⊥‘𝐷)))
23	17, 22	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ ((⊥‘𝐶) ∩ (⊥‘𝐷)))
24	14, 23	anbi12ci 629	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷) ∧ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ ((⊥‘𝐶) ∩ (⊥‘𝐷)) ∧ ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (⊥‘𝐷)) ⊆ (⊥‘𝐴)))
25	2	choccli 31326	. . . 4 ⊢ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ
26	1	choccli 31326	. . . 4 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
27	8	choccli 31326	. . . 4 ⊢ (⊥‘𝐶) ∈ Cℋ
28	9	choccli 31326	. . . 4 ⊢ (⊥‘𝐷) ∈ Cℋ
29	25, 26, 27, 28	mdslmd2i 32349	. . 3 ⊢ ((((⊥‘𝐵) 𝑀ℋ (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐴) 𝑀ℋ* (⊥‘𝐵)) ∧ (((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ ((⊥‘𝐶) ∩ (⊥‘𝐷)) ∧ ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (⊥‘𝐷)) ⊆ (⊥‘𝐴))) → ((⊥‘𝐶) 𝑀ℋ (⊥‘𝐷) ↔ ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) 𝑀ℋ ((⊥‘𝐷) ∨ℋ (⊥‘𝐵))))
30	7, 24, 29	syl2anb 598	. 2 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷) ∧ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((⊥‘𝐶) 𝑀ℋ (⊥‘𝐷) ↔ ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) 𝑀ℋ ((⊥‘𝐷) ∨ℋ (⊥‘𝐵))))
31		dmdmd 32319	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) → (𝐶 𝑀ℋ* 𝐷 ↔ (⊥‘𝐶) 𝑀ℋ (⊥‘𝐷)))
32	8, 9, 31	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐶 𝑀ℋ* 𝐷 ↔ (⊥‘𝐶) 𝑀ℋ (⊥‘𝐷))
33	8, 2	chincli 31479	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
34	9, 2	chincli 31479	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
35		dmdmd 32319	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ (𝐷 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ) → ((𝐶 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ* (𝐷 ∩ 𝐵) ↔ (⊥‘(𝐶 ∩ 𝐵)) 𝑀ℋ (⊥‘(𝐷 ∩ 𝐵))))
36	33, 34, 35	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ* (𝐷 ∩ 𝐵) ↔ (⊥‘(𝐶 ∩ 𝐵)) 𝑀ℋ (⊥‘(𝐷 ∩ 𝐵)))
37	8, 2	chdmm1i 31496	. . . 4 ⊢ (⊥‘(𝐶 ∩ 𝐵)) = ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (⊥‘𝐵))
38	9, 2	chdmm1i 31496	. . . 4 ⊢ (⊥‘(𝐷 ∩ 𝐵)) = ((⊥‘𝐷) ∨ℋ (⊥‘𝐵))
39	37, 38	breq12i 5152	. . 3 ⊢ ((⊥‘(𝐶 ∩ 𝐵)) 𝑀ℋ (⊥‘(𝐷 ∩ 𝐵)) ↔ ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) 𝑀ℋ ((⊥‘𝐷) ∨ℋ (⊥‘𝐵)))
40	36, 39	bitri 275	. 2 ⊢ ((𝐶 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ* (𝐷 ∩ 𝐵) ↔ ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) 𝑀ℋ ((⊥‘𝐷) ∨ℋ (⊥‘𝐵)))
41	30, 32, 40	3bitr4g 314	1 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷) ∧ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝐶 𝑀ℋ* 𝐷 ↔ (𝐶 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ* (𝐷 ∩ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   C_ℋ cch 30948  ⊥cort 30949   ∨_ℋ chj 30952   𝑀_ℋ cmd 30985   𝑀_ℋ^* cdmd 30986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104  ax-hcompl 31221

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-lm 23237  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cfil 25289  df-cau 25290  df-cmet 25291  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-dip 30720  df-ssp 30741  df-ph 30832  df-cbn 30882  df-hnorm 30987  df-hba 30988  df-hvsub 30990  df-hlim 30991  df-hcau 30992  df-sh 31226  df-ch 31240  df-oc 31271  df-ch0 31272  df-shs 31327  df-chj 31329  df-md 32299  df-dmd 32300

This theorem is referenced by:  dmdcompli  32449