Theorem mdsldmd1i 32218

Description: Preservation of the dual modular pair property in the one-to-one onto mapping between the two sublattices in Lemma 1.3 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 29-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdslmd.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdslmd.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mdslmd.3	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
mdslmd.4	⊢ 𝐷 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
mdsldmd1i	⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷) ∧ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝐶 𝑀ℋ* 𝐷 ↔ (𝐶 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ* (𝐷 ∩ 𝐵)))

Proof of Theorem mdsldmd1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdslmd.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		mdslmd.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3		mddmd 32188	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀ℋ* (⊥‘𝐵)))
4	1, 2, 3	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀ℋ* (⊥‘𝐵))
5		dmdmd 32187	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ↔ (⊥‘𝐵) 𝑀ℋ (⊥‘𝐴)))
6	2, 1, 5	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ↔ (⊥‘𝐵) 𝑀ℋ (⊥‘𝐴))
7	4, 6	anbi12ci 627	. . 3 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ↔ ((⊥‘𝐵) 𝑀ℋ (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐴) 𝑀ℋ* (⊥‘𝐵)))
8		mdslmd.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
9		mdslmd.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
10	8, 9	chincli 31347	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐷) ∈ Cℋ
11	1, 10	chsscon3i 31348	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷) ↔ (⊥‘(𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (⊥‘𝐴))
12	8, 9	chdmm1i 31364	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐶 ∩ 𝐷)) = ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (⊥‘𝐷))
13	12	sseq1i 4005	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘(𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (⊥‘𝐷)) ⊆ (⊥‘𝐴))
14	11, 13	bitri 274	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷) ↔ ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (⊥‘𝐷)) ⊆ (⊥‘𝐴))
15	8, 9	chjcli 31344	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ∈ Cℋ
16	1, 2	chjcli 31344	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
17	15, 16	chsscon3i 31348	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (⊥‘(𝐶 ∨ℋ 𝐷)))
18	1, 2	chdmj1i 31368	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))
19		incom 4199	. . . . . . 7 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))
20	18, 19	eqtri 2753	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))
21	8, 9	chdmj1i 31368	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐶 ∨ℋ 𝐷)) = ((⊥‘𝐶) ∩ (⊥‘𝐷))
22	20, 21	sseq12i 4007	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (⊥‘(𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ↔ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ ((⊥‘𝐶) ∩ (⊥‘𝐷)))
23	17, 22	bitri 274	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ ((⊥‘𝐶) ∩ (⊥‘𝐷)))
24	14, 23	anbi12ci 627	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷) ∧ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ ((⊥‘𝐶) ∩ (⊥‘𝐷)) ∧ ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (⊥‘𝐷)) ⊆ (⊥‘𝐴)))
25	2	choccli 31194	. . . 4 ⊢ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ
26	1	choccli 31194	. . . 4 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
27	8	choccli 31194	. . . 4 ⊢ (⊥‘𝐶) ∈ Cℋ
28	9	choccli 31194	. . . 4 ⊢ (⊥‘𝐷) ∈ Cℋ
29	25, 26, 27, 28	mdslmd2i 32217	. . 3 ⊢ ((((⊥‘𝐵) 𝑀ℋ (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐴) 𝑀ℋ* (⊥‘𝐵)) ∧ (((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ ((⊥‘𝐶) ∩ (⊥‘𝐷)) ∧ ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (⊥‘𝐷)) ⊆ (⊥‘𝐴))) → ((⊥‘𝐶) 𝑀ℋ (⊥‘𝐷) ↔ ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) 𝑀ℋ ((⊥‘𝐷) ∨ℋ (⊥‘𝐵))))
30	7, 24, 29	syl2anb 596	. 2 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷) ∧ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((⊥‘𝐶) 𝑀ℋ (⊥‘𝐷) ↔ ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) 𝑀ℋ ((⊥‘𝐷) ∨ℋ (⊥‘𝐵))))
31		dmdmd 32187	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) → (𝐶 𝑀ℋ* 𝐷 ↔ (⊥‘𝐶) 𝑀ℋ (⊥‘𝐷)))
32	8, 9, 31	mp2an 690	. 2 ⊢ (𝐶 𝑀ℋ* 𝐷 ↔ (⊥‘𝐶) 𝑀ℋ (⊥‘𝐷))
33	8, 2	chincli 31347	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
34	9, 2	chincli 31347	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
35		dmdmd 32187	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ (𝐷 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ) → ((𝐶 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ* (𝐷 ∩ 𝐵) ↔ (⊥‘(𝐶 ∩ 𝐵)) 𝑀ℋ (⊥‘(𝐷 ∩ 𝐵))))
36	33, 34, 35	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ* (𝐷 ∩ 𝐵) ↔ (⊥‘(𝐶 ∩ 𝐵)) 𝑀ℋ (⊥‘(𝐷 ∩ 𝐵)))
37	8, 2	chdmm1i 31364	. . . 4 ⊢ (⊥‘(𝐶 ∩ 𝐵)) = ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (⊥‘𝐵))
38	9, 2	chdmm1i 31364	. . . 4 ⊢ (⊥‘(𝐷 ∩ 𝐵)) = ((⊥‘𝐷) ∨ℋ (⊥‘𝐵))
39	37, 38	breq12i 5158	. . 3 ⊢ ((⊥‘(𝐶 ∩ 𝐵)) 𝑀ℋ (⊥‘(𝐷 ∩ 𝐵)) ↔ ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) 𝑀ℋ ((⊥‘𝐷) ∨ℋ (⊥‘𝐵)))
40	36, 39	bitri 274	. 2 ⊢ ((𝐶 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ* (𝐷 ∩ 𝐵) ↔ ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) 𝑀ℋ ((⊥‘𝐷) ∨ℋ (⊥‘𝐵)))
41	30, 32, 40	3bitr4g 313	1 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷) ∧ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝐶 𝑀ℋ* 𝐷 ↔ (𝐶 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ* (𝐷 ∩ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   C_ℋ cch 30816  ⊥cort 30817   ∨_ℋ chj 30820   𝑀_ℋ cmd 30853   𝑀_ℋ^* cdmd 30854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9671  ax-cc 10465  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223  ax-addf 11224  ax-mulf 11225  ax-hilex 30886  ax-hfvadd 30887  ax-hvcom 30888  ax-hvass 30889  ax-hv0cl 30890  ax-hvaddid 30891  ax-hfvmul 30892  ax-hvmulid 30893  ax-hvmulass 30894  ax-hvdistr1 30895  ax-hvdistr2 30896  ax-hvmul0 30897  ax-hfi 30966  ax-his1 30969  ax-his2 30970  ax-his3 30971  ax-his4 30972  ax-hcompl 31089

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9393  df-fi 9441  df-sup 9472  df-inf 9473  df-oi 9540  df-card 9969  df-acn 9972  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13798  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14331  df-cj 15087  df-re 15088  df-im 15089  df-sqrt 15223  df-abs 15224  df-clim 15473  df-rlim 15474  df-sum 15674  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17189  df-ress 17218  df-plusg 17254  df-mulr 17255  df-starv 17256  df-sca 17257  df-vsca 17258  df-ip 17259  df-tset 17260  df-ple 17261  df-ds 17263  df-unif 17264  df-hom 17265  df-cco 17266  df-rest 17412  df-topn 17413  df-0g 17431  df-gsum 17432  df-topgen 17433  df-pt 17434  df-prds 17437  df-xrs 17492  df-qtop 17497  df-imas 17498  df-xps 17500  df-mre 17574  df-mrc 17575  df-acs 17577  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18749  df-mulg 19037  df-cntz 19285  df-cmn 19754  df-psmet 21293  df-xmet 21294  df-met 21295  df-bl 21296  df-mopn 21297  df-fbas 21298  df-fg 21299  df-cnfld 21302  df-top 22845  df-topon 22862  df-topsp 22884  df-bases 22898  df-cld 22972  df-ntr 22973  df-cls 22974  df-nei 23051  df-cn 23180  df-cnp 23181  df-lm 23182  df-haus 23268  df-tx 23515  df-hmeo 23708  df-fil 23799  df-fm 23891  df-flim 23892  df-flf 23893  df-xms 24275  df-ms 24276  df-tms 24277  df-cfil 25232  df-cau 25233  df-cmet 25234  df-grpo 30380  df-gid 30381  df-ginv 30382  df-gdiv 30383  df-ablo 30432  df-vc 30446  df-nv 30479  df-va 30482  df-ba 30483  df-sm 30484  df-0v 30485  df-vs 30486  df-nmcv 30487  df-ims 30488  df-dip 30588  df-ssp 30609  df-ph 30700  df-cbn 30750  df-hnorm 30855  df-hba 30856  df-hvsub 30858  df-hlim 30859  df-hcau 30860  df-sh 31094  df-ch 31108  df-oc 31139  df-ch0 31140  df-shs 31195  df-chj 31197  df-md 32167  df-dmd 32168

This theorem is referenced by:  dmdcompli  32317