HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdsldmd1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdsldmd1i 32218
Description: Preservation of the dual modular pair property in the one-to-one onto mapping between the two sublattices in Lemma 1.3 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 29-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdslmd.1 𝐴C
mdslmd.2 𝐵C
mdslmd.3 𝐶C
mdslmd.4 𝐷C
Assertion
Ref Expression
mdsldmd1i (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))) → (𝐶 𝑀* 𝐷 ↔ (𝐶𝐵) 𝑀* (𝐷𝐵)))

Proof of Theorem mdsldmd1i
StepHypRef Expression
1 mdslmd.1 . . . . 5 𝐴C
2 mdslmd.2 . . . . 5 𝐵C
3 mddmd 32188 . . . . 5 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀* (⊥‘𝐵)))
41, 2, 3mp2an 690 . . . 4 (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀* (⊥‘𝐵))
5 dmdmd 32187 . . . . 5 ((𝐵C𝐴C ) → (𝐵 𝑀* 𝐴 ↔ (⊥‘𝐵) 𝑀 (⊥‘𝐴)))
62, 1, 5mp2an 690 . . . 4 (𝐵 𝑀* 𝐴 ↔ (⊥‘𝐵) 𝑀 (⊥‘𝐴))
74, 6anbi12ci 627 . . 3 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ↔ ((⊥‘𝐵) 𝑀 (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐴) 𝑀* (⊥‘𝐵)))
8 mdslmd.3 . . . . . . 7 𝐶C
9 mdslmd.4 . . . . . . 7 𝐷C
108, 9chincli 31347 . . . . . 6 (𝐶𝐷) ∈ C
111, 10chsscon3i 31348 . . . . 5 (𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ↔ (⊥‘(𝐶𝐷)) ⊆ (⊥‘𝐴))
128, 9chdmm1i 31364 . . . . . 6 (⊥‘(𝐶𝐷)) = ((⊥‘𝐶) ∨ (⊥‘𝐷))
1312sseq1i 4005 . . . . 5 ((⊥‘(𝐶𝐷)) ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ ((⊥‘𝐶) ∨ (⊥‘𝐷)) ⊆ (⊥‘𝐴))
1411, 13bitri 274 . . . 4 (𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ↔ ((⊥‘𝐶) ∨ (⊥‘𝐷)) ⊆ (⊥‘𝐴))
158, 9chjcli 31344 . . . . . 6 (𝐶 𝐷) ∈ C
161, 2chjcli 31344 . . . . . 6 (𝐴 𝐵) ∈ C
1715, 16chsscon3i 31348 . . . . 5 ((𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ (⊥‘(𝐴 𝐵)) ⊆ (⊥‘(𝐶 𝐷)))
181, 2chdmj1i 31368 . . . . . . 7 (⊥‘(𝐴 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))
19 incom 4199 . . . . . . 7 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))
2018, 19eqtri 2753 . . . . . 6 (⊥‘(𝐴 𝐵)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))
218, 9chdmj1i 31368 . . . . . 6 (⊥‘(𝐶 𝐷)) = ((⊥‘𝐶) ∩ (⊥‘𝐷))
2220, 21sseq12i 4007 . . . . 5 ((⊥‘(𝐴 𝐵)) ⊆ (⊥‘(𝐶 𝐷)) ↔ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ ((⊥‘𝐶) ∩ (⊥‘𝐷)))
2317, 22bitri 274 . . . 4 ((𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ ((⊥‘𝐶) ∩ (⊥‘𝐷)))
2414, 23anbi12ci 627 . . 3 ((𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ ((⊥‘𝐶) ∩ (⊥‘𝐷)) ∧ ((⊥‘𝐶) ∨ (⊥‘𝐷)) ⊆ (⊥‘𝐴)))
252choccli 31194 . . . 4 (⊥‘𝐵) ∈ C
261choccli 31194 . . . 4 (⊥‘𝐴) ∈ C
278choccli 31194 . . . 4 (⊥‘𝐶) ∈ C
289choccli 31194 . . . 4 (⊥‘𝐷) ∈ C
2925, 26, 27, 28mdslmd2i 32217 . . 3 ((((⊥‘𝐵) 𝑀 (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐴) 𝑀* (⊥‘𝐵)) ∧ (((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ ((⊥‘𝐶) ∩ (⊥‘𝐷)) ∧ ((⊥‘𝐶) ∨ (⊥‘𝐷)) ⊆ (⊥‘𝐴))) → ((⊥‘𝐶) 𝑀 (⊥‘𝐷) ↔ ((⊥‘𝐶) ∨ (⊥‘𝐵)) 𝑀 ((⊥‘𝐷) ∨ (⊥‘𝐵))))
307, 24, 29syl2anb 596 . 2 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((⊥‘𝐶) 𝑀 (⊥‘𝐷) ↔ ((⊥‘𝐶) ∨ (⊥‘𝐵)) 𝑀 ((⊥‘𝐷) ∨ (⊥‘𝐵))))
31 dmdmd 32187 . . 3 ((𝐶C𝐷C ) → (𝐶 𝑀* 𝐷 ↔ (⊥‘𝐶) 𝑀 (⊥‘𝐷)))
328, 9, 31mp2an 690 . 2 (𝐶 𝑀* 𝐷 ↔ (⊥‘𝐶) 𝑀 (⊥‘𝐷))
338, 2chincli 31347 . . . 4 (𝐶𝐵) ∈ C
349, 2chincli 31347 . . . 4 (𝐷𝐵) ∈ C
35 dmdmd 32187 . . . 4 (((𝐶𝐵) ∈ C ∧ (𝐷𝐵) ∈ C ) → ((𝐶𝐵) 𝑀* (𝐷𝐵) ↔ (⊥‘(𝐶𝐵)) 𝑀 (⊥‘(𝐷𝐵))))
3633, 34, 35mp2an 690 . . 3 ((𝐶𝐵) 𝑀* (𝐷𝐵) ↔ (⊥‘(𝐶𝐵)) 𝑀 (⊥‘(𝐷𝐵)))
378, 2chdmm1i 31364 . . . 4 (⊥‘(𝐶𝐵)) = ((⊥‘𝐶) ∨ (⊥‘𝐵))
389, 2chdmm1i 31364 . . . 4 (⊥‘(𝐷𝐵)) = ((⊥‘𝐷) ∨ (⊥‘𝐵))
3937, 38breq12i 5158 . . 3 ((⊥‘(𝐶𝐵)) 𝑀 (⊥‘(𝐷𝐵)) ↔ ((⊥‘𝐶) ∨ (⊥‘𝐵)) 𝑀 ((⊥‘𝐷) ∨ (⊥‘𝐵)))
4036, 39bitri 274 . 2 ((𝐶𝐵) 𝑀* (𝐷𝐵) ↔ ((⊥‘𝐶) ∨ (⊥‘𝐵)) 𝑀 ((⊥‘𝐷) ∨ (⊥‘𝐵)))
4130, 32, 403bitr4g 313 1 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))) → (𝐶 𝑀* 𝐷 ↔ (𝐶𝐵) 𝑀* (𝐷𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wcel 2098  cin 3943  wss 3944   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419   C cch 30816  cort 30817   chj 30820   𝑀 cmd 30853   𝑀* cdmd 30854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9671  ax-cc 10465  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223  ax-addf 11224  ax-mulf 11225  ax-hilex 30886  ax-hfvadd 30887  ax-hvcom 30888  ax-hvass 30889  ax-hv0cl 30890  ax-hvaddid 30891  ax-hfvmul 30892  ax-hvmulid 30893  ax-hvmulass 30894  ax-hvdistr1 30895  ax-hvdistr2 30896  ax-hvmul0 30897  ax-hfi 30966  ax-his1 30969  ax-his2 30970  ax-his3 30971  ax-his4 30972  ax-hcompl 31089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9393  df-fi 9441  df-sup 9472  df-inf 9473  df-oi 9540  df-card 9969  df-acn 9972  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13798  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14331  df-cj 15087  df-re 15088  df-im 15089  df-sqrt 15223  df-abs 15224  df-clim 15473  df-rlim 15474  df-sum 15674  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17189  df-ress 17218  df-plusg 17254  df-mulr 17255  df-starv 17256  df-sca 17257  df-vsca 17258  df-ip 17259  df-tset 17260  df-ple 17261  df-ds 17263  df-unif 17264  df-hom 17265  df-cco 17266  df-rest 17412  df-topn 17413  df-0g 17431  df-gsum 17432  df-topgen 17433  df-pt 17434  df-prds 17437  df-xrs 17492  df-qtop 17497  df-imas 17498  df-xps 17500  df-mre 17574  df-mrc 17575  df-acs 17577  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18749  df-mulg 19037  df-cntz 19285  df-cmn 19754  df-psmet 21293  df-xmet 21294  df-met 21295  df-bl 21296  df-mopn 21297  df-fbas 21298  df-fg 21299  df-cnfld 21302  df-top 22845  df-topon 22862  df-topsp 22884  df-bases 22898  df-cld 22972  df-ntr 22973  df-cls 22974  df-nei 23051  df-cn 23180  df-cnp 23181  df-lm 23182  df-haus 23268  df-tx 23515  df-hmeo 23708  df-fil 23799  df-fm 23891  df-flim 23892  df-flf 23893  df-xms 24275  df-ms 24276  df-tms 24277  df-cfil 25232  df-cau 25233  df-cmet 25234  df-grpo 30380  df-gid 30381  df-ginv 30382  df-gdiv 30383  df-ablo 30432  df-vc 30446  df-nv 30479  df-va 30482  df-ba 30483  df-sm 30484  df-0v 30485  df-vs 30486  df-nmcv 30487  df-ims 30488  df-dip 30588  df-ssp 30609  df-ph 30700  df-cbn 30750  df-hnorm 30855  df-hba 30856  df-hvsub 30858  df-hlim 30859  df-hcau 30860  df-sh 31094  df-ch 31108  df-oc 31139  df-ch0 31140  df-shs 31195  df-chj 31197  df-md 32167  df-dmd 32168
This theorem is referenced by:  dmdcompli  32317
  Copyright terms: Public domain W3C validator