Theorem fsumlessf 46184

Description: A shorter sum of nonnegative terms is smaller than a longer one. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumlessf.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fsumge0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
fsumless.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fsumlessf	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumlessf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumge0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fsumlessf.k	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		nfv 1941	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
4	2, 3	nfan 1926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
5		nfcsb1v 3885	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
6	5	nfel1 2947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ
7	4, 6	nfim 1923	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
8		eleq1w 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
9	8	anbi2d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
10		csbeq1a 3875	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
11	10	eleq1d 2854	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ))
12	9, 11	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)))
13		fsumge0.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	7, 12, 13	chvarfv 2282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
15		nfcv 2931	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘0
16		nfcv 2931	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 ≤
17	15, 16, 5	nfbr 5162	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘0 ≤ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
18	4, 17	nfim 1923	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
19	10	breq2d 5125	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
20	9, 19	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)))
21		fsumge0.l	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
22	18, 20, 21	chvarfv 2282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
23		fsumless.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
24	1, 14, 22, 23	fsumless 15847	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝐶 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ≤ Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
25		nfcv 2931	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
26	10, 25, 5	cbvsum 15745	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 = Σ𝑗 ∈ 𝐶 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
27	10, 25, 5	cbvsum 15745	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
28	26, 27	breq12i 5122	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ Σ𝑗 ∈ 𝐶 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ≤ Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
29	24, 28	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567  Ⅎwnf 1810   ∈ wcel 2149  ⦋csb 3861   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113  Fincfn 8942  ℝcr 11098  0cc0 11099   ≤ cle 11243  Σcsu 15736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-ico 13377  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-clim 15538  df-sum 15737

This theorem is referenced by:  sge0uzfsumgt  47049  sge0reuz  47052