Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumlessf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumlessf 42387
 Description: A shorter sum of nonnegative terms is smaller than a longer one. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumlessf.k 𝑘𝜑
fsumge0.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.l ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
fsumless.c (𝜑𝐶𝐴)
Assertion
Ref Expression
fsumlessf (𝜑 → Σ𝑘𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumlessf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumge0.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 fsumlessf.k . . . . . 6 𝑘𝜑
3 nfv 1915 . . . . . 6 𝑘 𝑗𝐴
42, 3nfan 1900 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗𝐴)
5 nfcsb1v 3854 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
65nfel1 2971 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ
74, 6nfim 1897 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
8 eleq1w 2872 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐴𝑗𝐴))
98anbi2d 631 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑗𝐴)))
10 csbeq1a 3844 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
1110eleq1d 2874 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
129, 11imbi12d 348 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)))
13 fsumge0.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
147, 12, 13chvarfv 2240 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
15 nfcv 2955 . . . . . 6 𝑘0
16 nfcv 2955 . . . . . 6 𝑘
1715, 16, 5nfbr 5081 . . . . 5 𝑘0 ≤ 𝑗 / 𝑘𝐵
184, 17nfim 1897 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 0 ≤ 𝑗 / 𝑘𝐵)
1910breq2d 5046 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ 𝑗 / 𝑘𝐵))
209, 19imbi12d 348 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 0 ≤ 𝑗 / 𝑘𝐵)))
21 fsumge0.l . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
2218, 20, 21chvarfv 2240 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 0 ≤ 𝑗 / 𝑘𝐵)
23 fsumless.c . . 3 (𝜑𝐶𝐴)
241, 14, 22, 23fsumless 15163 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝐶 𝑗 / 𝑘𝐵 ≤ Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵)
25 nfcv 2955 . . . 4 𝑗𝐶
26 nfcv 2955 . . . 4 𝑘𝐶
27 nfcv 2955 . . . 4 𝑗𝐵
2810, 25, 26, 27, 5cbvsum 15064 . . 3 Σ𝑘𝐶 𝐵 = Σ𝑗𝐶 𝑗 / 𝑘𝐵
29 nfcv 2955 . . . 4 𝑗𝐴
30 nfcv 2955 . . . 4 𝑘𝐴
3110, 29, 30, 27, 5cbvsum 15064 . . 3 Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵
3228, 31breq12i 5043 . 2 𝑘𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵 ↔ Σ𝑗𝐶 𝑗 / 𝑘𝐵 ≤ Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵)
3324, 32sylibr 237 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  ⦋csb 3830   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5034  Fincfn 8510  ℝcr 10543  0cc0 10544   ≤ cle 10683  Σcsu 15054 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-inf2 9106  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-rp 12398  df-ico 12752  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-seq 13385  df-exp 13446  df-hash 13707  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-clim 14857  df-sum 15055 This theorem is referenced by:  sge0uzfsumgt  43251  sge0reuz  43254
 Copyright terms: Public domain W3C validator