Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumlessf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumlessf 43825
Description: A shorter sum of nonnegative terms is smaller than a longer one. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumlessf.k 𝑘𝜑
fsumge0.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.l ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
fsumless.c (𝜑𝐶𝐴)
Assertion
Ref Expression
fsumlessf (𝜑 → Σ𝑘𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumlessf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumge0.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 fsumlessf.k . . . . . 6 𝑘𝜑
3 nfv 1918 . . . . . 6 𝑘 𝑗𝐴
42, 3nfan 1903 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗𝐴)
5 nfcsb1v 3881 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
65nfel1 2924 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ
74, 6nfim 1900 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
8 eleq1w 2821 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐴𝑗𝐴))
98anbi2d 630 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑗𝐴)))
10 csbeq1a 3870 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
1110eleq1d 2823 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
129, 11imbi12d 345 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)))
13 fsumge0.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
147, 12, 13chvarfv 2234 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
15 nfcv 2908 . . . . . 6 𝑘0
16 nfcv 2908 . . . . . 6 𝑘
1715, 16, 5nfbr 5153 . . . . 5 𝑘0 ≤ 𝑗 / 𝑘𝐵
184, 17nfim 1900 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 0 ≤ 𝑗 / 𝑘𝐵)
1910breq2d 5118 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ 𝑗 / 𝑘𝐵))
209, 19imbi12d 345 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 0 ≤ 𝑗 / 𝑘𝐵)))
21 fsumge0.l . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
2218, 20, 21chvarfv 2234 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 0 ≤ 𝑗 / 𝑘𝐵)
23 fsumless.c . . 3 (𝜑𝐶𝐴)
241, 14, 22, 23fsumless 15682 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝐶 𝑗 / 𝑘𝐵 ≤ Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵)
25 nfcv 2908 . . . 4 𝑗𝐶
26 nfcv 2908 . . . 4 𝑘𝐶
27 nfcv 2908 . . . 4 𝑗𝐵
2810, 25, 26, 27, 5cbvsum 15581 . . 3 Σ𝑘𝐶 𝐵 = Σ𝑗𝐶 𝑗 / 𝑘𝐵
29 nfcv 2908 . . . 4 𝑗𝐴
30 nfcv 2908 . . . 4 𝑘𝐴
3110, 29, 30, 27, 5cbvsum 15581 . . 3 Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵
3228, 31breq12i 5115 . 2 𝑘𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵 ↔ Σ𝑗𝐶 𝑗 / 𝑘𝐵 ≤ Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵)
3324, 32sylibr 233 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  csb 3856  wss 3911   class class class wbr 5106  Fincfn 8884  cr 11051  0cc0 11052  cle 11191  Σcsu 15571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-oi 9447  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-ico 13271  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572
This theorem is referenced by:  sge0uzfsumgt  44692  sge0reuz  44695
  Copyright terms: Public domain W3C validator