Theorem fsumlessf 46862

Description: A shorter sum of nonnegative terms is smaller than a longer one. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumlessf.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fsumge0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
fsumless.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fsumlessf	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumlessf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumge0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fsumlessf.k	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		nfv 1949	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
4	2, 3	nfan 1934	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
5		nfcsb1v 3875	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
6	5	nfel1 2942	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ
7	4, 6	nfim 1931	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
8		eleq1w 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
9	8	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
10		csbeq1a 3865	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
11	10	eleq1d 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ))
12	9, 11	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)))
13		fsumge0.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	7, 12, 13	chvarfv 2280	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
15		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘0
16		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 ≤
17	15, 16, 5	nfbr 5158	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘0 ≤ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
18	4, 17	nfim 1931	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
19	10	breq2d 5120	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
20	9, 19	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)))
21		fsumge0.l	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
22	18, 20, 21	chvarfv 2280	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
23		fsumless.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
24	1, 14, 22, 23	fsumless 16007	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝐶 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ≤ Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
25		nfcv 2926	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
26	10, 25, 5	cbvsum 15906	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 = Σ𝑗 ∈ 𝐶 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
27	10, 25, 5	cbvsum 15906	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
28	26, 27	breq12i 5117	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ Σ𝑗 ∈ 𝐶 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ≤ Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
29	24, 28	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2147  ⦋csb 3851   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5108  Fincfn 9011  ℝcr 11238  0cc0 11239   ≤ cle 11383  Σcsu 15897

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-ico 13522  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-sum 15898

This theorem is used by:  sge0uzfsumgt  47727  sge0reuz  47730