Theorem fsumlessf 43118

Description: A shorter sum of nonnegative terms is smaller than a longer one. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumlessf.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fsumge0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
fsumless.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fsumlessf	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumlessf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumge0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fsumlessf.k	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
4	2, 3	nfan 1902	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
5		nfcsb1v 3857	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
6	5	nfel1 2923	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ
7	4, 6	nfim 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
8		eleq1w 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
9	8	anbi2d 629	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
10		csbeq1a 3846	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
11	10	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ))
12	9, 11	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)))
13		fsumge0.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	7, 12, 13	chvarfv 2233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
15		nfcv 2907	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘0
16		nfcv 2907	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 ≤
17	15, 16, 5	nfbr 5121	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘0 ≤ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
18	4, 17	nfim 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
19	10	breq2d 5086	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
20	9, 19	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)))
21		fsumge0.l	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
22	18, 20, 21	chvarfv 2233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
23		fsumless.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
24	1, 14, 22, 23	fsumless 15508	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝐶 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ≤ Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
25		nfcv 2907	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
26		nfcv 2907	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
27		nfcv 2907	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
28	10, 25, 26, 27, 5	cbvsum 15407	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 = Σ𝑗 ∈ 𝐶 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
29		nfcv 2907	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
30		nfcv 2907	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
31	10, 29, 30, 27, 5	cbvsum 15407	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
32	28, 31	breq12i 5083	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ Σ𝑗 ∈ 𝐶 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ≤ Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
33	24, 32	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2106  ⦋csb 3832   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  Fincfn 8733  ℝcr 10870  0cc0 10871   ≤ cle 11010  Σcsu 15397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398

This theorem is referenced by:  sge0uzfsumgt  43982  sge0reuz  43985