Theorem fsumlessf 46150

Description: A shorter sum of nonnegative terms is smaller than a longer one. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumlessf.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fsumge0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
fsumless.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fsumlessf	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumlessf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumge0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fsumlessf.k	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		nfv 1934	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
4	2, 3	nfan 1919	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
5		nfcsb1v 3876	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
6	5	nfel1 2940	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ
7	4, 6	nfim 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
8		eleq1w 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
9	8	anbi2d 639	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
10		csbeq1a 3866	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
11	10	eleq1d 2847	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ))
12	9, 11	imbi12d 346	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)))
13		fsumge0.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	7, 12, 13	chvarfv 2275	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
15		nfcv 2924	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘0
16		nfcv 2924	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 ≤
17	15, 16, 5	nfbr 5147	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘0 ≤ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
18	4, 17	nfim 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
19	10	breq2d 5112	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
20	9, 19	imbi12d 346	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)))
21		fsumge0.l	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
22	18, 20, 21	chvarfv 2275	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
23		fsumless.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
24	1, 14, 22, 23	fsumless 15824	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝐶 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ≤ Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
25		nfcv 2924	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
26	10, 25, 5	cbvsum 15722	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 = Σ𝑗 ∈ 𝐶 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
27	10, 25, 5	cbvsum 15722	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
28	26, 27	breq12i 5109	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ Σ𝑗 ∈ 𝐶 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ≤ Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
29	24, 28	sylibr 236	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560  Ⅎwnf 1803   ∈ wcel 2142  ⦋csb 3852   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5100  Fincfn 8927  ℝcr 11072  0cc0 11073   ≤ cle 11217  Σcsu 15713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-ico 13355  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-clim 15515  df-sum 15714

This theorem is referenced by:  sge0uzfsumgt  47015  sge0reuz  47018