MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdimlem6 28243
Description: Lemma for axlowdim 28257. Show that three points are non-colinear. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem6.1 𝐴 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))
axlowdimlem6.2 𝐡 = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))
axlowdimlem6.3 𝐢 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ Β¬ (𝐴 Btwn ⟨𝐡, 𝐢⟩ ∨ 𝐡 Btwn ⟨𝐢, 𝐴⟩ ∨ 𝐢 Btwn ⟨𝐴, 𝐡⟩))

Proof of Theorem axlowdimlem6
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 12595 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 ∈ β„€)
2 eluzelz 12834 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3 2nn 12287 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„•
4 uznnssnn 12881 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ β„• β†’ (β„€β‰₯β€˜2) βŠ† β„•)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (β„€β‰₯β€˜2) βŠ† β„•
6 nnuz 12867 . . . . . . . . . 10 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
75, 6sseqtri 4018 . . . . . . . . 9 (β„€β‰₯β€˜2) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
87sseli 3978 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
9 eluzle 12837 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 1 ≀ 𝑁)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 ≀ 𝑁)
11 1re 11216 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
1211leidi 11750 . . . . . . 7 1 ≀ 1
1310, 12jctil 520 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (1 ≀ 1 ∧ 1 ≀ 𝑁))
14 elfz4 13496 . . . . . 6 (((1 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) ∧ (1 ≀ 1 ∧ 1 ≀ 𝑁)) β†’ 1 ∈ (1...𝑁))
151, 2, 1, 13, 14syl31anc 1373 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 ∈ (1...𝑁))
16 eluzel2 12829 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ∈ β„€)
17 eluzle 12837 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ≀ 𝑁)
18 1le2 12423 . . . . . . 7 1 ≀ 2
1917, 18jctil 520 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (1 ≀ 2 ∧ 2 ≀ 𝑁))
20 elfz4 13496 . . . . . 6 (((1 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€) ∧ (1 ≀ 2 ∧ 2 ≀ 𝑁)) β†’ 2 ∈ (1...𝑁))
211, 2, 16, 19, 20syl31anc 1373 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ∈ (1...𝑁))
22 ax-1ne0 11181 . . . . . . 7 1 β‰  0
23 1t1e1 12376 . . . . . . . 8 (1 Β· 1) = 1
24 0cn 11208 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„‚
2524mul01i 11406 . . . . . . . 8 (0 Β· 0) = 0
2623, 25neeq12i 3007 . . . . . . 7 ((1 Β· 1) β‰  (0 Β· 0) ↔ 1 β‰  0)
2722, 26mpbir 230 . . . . . 6 (1 Β· 1) β‰  (0 Β· 0)
28 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 1 β†’ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) = (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜1))
29 0re 11218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
3011, 29axlowdimlem4 28241 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩}:(1...2)βŸΆβ„
31 ffn 6717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩}:(1...2)βŸΆβ„ β†’ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} Fn (1...2))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} Fn (1...2)
33 axlowdimlem1 28238 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3...𝑁) Γ— {0}):(3...𝑁)βŸΆβ„
34 ffn 6717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((3...𝑁) Γ— {0}):(3...𝑁)βŸΆβ„ β†’ ((3...𝑁) Γ— {0}) Fn (3...𝑁))
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3...𝑁) Γ— {0}) Fn (3...𝑁)
36 axlowdimlem2 28239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1...2) ∩ (3...𝑁)) = βˆ…
37 1z 12594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ β„€
38 2z 12596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ β„€
3937, 38, 373pm3.2i 1339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€)
4012, 18pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ≀ 1 ∧ 1 ≀ 2)
41 elfz4 13496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) ∧ (1 ≀ 1 ∧ 1 ≀ 2)) β†’ 1 ∈ (1...2))
4239, 40, 41mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ (1...2)
4336, 42pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1...2) ∩ (3...𝑁)) = βˆ… ∧ 1 ∈ (1...2))
44 fvun1 6982 . . . . . . . . . . . . . 14 (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} Fn (1...2) ∧ ((3...𝑁) Γ— {0}) Fn (3...𝑁) ∧ (((1...2) ∩ (3...𝑁)) = βˆ… ∧ 1 ∈ (1...2))) β†’ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜1) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩}β€˜1))
4532, 35, 43, 44mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . 13 (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜1) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩}β€˜1)
46 1ne2 12422 . . . . . . . . . . . . . 14 1 β‰  2
47 1ex 11212 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ V
4847, 47fvpr1 7193 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 β‰  2 β†’ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩}β€˜1) = 1)
4946, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩}β€˜1) = 1
5045, 49eqtri 2760 . . . . . . . . . . . 12 (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜1) = 1
5128, 50eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 1 β†’ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) = 1)
52 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 1 β†’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) = (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜1))
5329, 29axlowdimlem4 28241 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}:(1...2)βŸΆβ„
54 ffn 6717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}:(1...2)βŸΆβ„ β†’ {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} Fn (1...2))
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} Fn (1...2)
56 fvun1 6982 . . . . . . . . . . . . . 14 (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} Fn (1...2) ∧ ((3...𝑁) Γ— {0}) Fn (3...𝑁) ∧ (((1...2) ∩ (3...𝑁)) = βˆ… ∧ 1 ∈ (1...2))) β†’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}β€˜1))
5755, 35, 43, 56mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . 13 (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}β€˜1)
5829elexi 3493 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ V
5947, 58fvpr1 7193 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 β‰  2 β†’ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}β€˜1) = 0)
6046, 59ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}β€˜1) = 0
6157, 60eqtri 2760 . . . . . . . . . . . 12 (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜1) = 0
6252, 61eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 1 β†’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) = 0)
6351, 62oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 1 β†’ ((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–)) = (1 βˆ’ 0))
64 1m0e1 12335 . . . . . . . . . 10 (1 βˆ’ 0) = 1
6563, 64eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 β†’ ((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–)) = 1)
6665oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 β†’ (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—))) = (1 Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—))))
67 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 1 β†’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) = (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜1))
6829, 11axlowdimlem4 28241 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩}:(1...2)βŸΆβ„
69 ffn 6717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩}:(1...2)βŸΆβ„ β†’ {⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} Fn (1...2))
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 {⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} Fn (1...2)
71 fvun1 6982 . . . . . . . . . . . . . 14 (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} Fn (1...2) ∧ ((3...𝑁) Γ— {0}) Fn (3...𝑁) ∧ (((1...2) ∩ (3...𝑁)) = βˆ… ∧ 1 ∈ (1...2))) β†’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩}β€˜1))
7270, 35, 43, 71mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . 13 (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩}β€˜1)
7347, 58fvpr1 7193 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 β‰  2 β†’ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩}β€˜1) = 0)
7446, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩}β€˜1) = 0
7572, 74eqtri 2760 . . . . . . . . . . . 12 (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜1) = 0
7667, 75eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 1 β†’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) = 0)
7776, 62oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 1 β†’ ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–)) = (0 βˆ’ 0))
78 0m0e0 12334 . . . . . . . . . 10 (0 βˆ’ 0) = 0
7977, 78eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 β†’ ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–)) = 0)
8079oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 β†’ (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–))) = (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) Β· 0))
8166, 80neeq12d 3002 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 β†’ ((((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—))) β‰  (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–))) ↔ (1 Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—))) β‰  (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) Β· 0)))
82 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 2 β†’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) = (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜2))
8337, 38, 383pm3.2i 1339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€)
84 2re 12288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
8584leidi 11750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ≀ 2
8618, 85pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ≀ 2 ∧ 2 ≀ 2)
87 elfz4 13496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€) ∧ (1 ≀ 2 ∧ 2 ≀ 2)) β†’ 2 ∈ (1...2))
8883, 86, 87mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ (1...2)
8936, 88pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1...2) ∩ (3...𝑁)) = βˆ… ∧ 2 ∈ (1...2))
90 fvun1 6982 . . . . . . . . . . . . . 14 (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} Fn (1...2) ∧ ((3...𝑁) Γ— {0}) Fn (3...𝑁) ∧ (((1...2) ∩ (3...𝑁)) = βˆ… ∧ 2 ∈ (1...2))) β†’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩}β€˜2))
9170, 35, 89, 90mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . 13 (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩}β€˜2)
9238elexi 3493 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ V
9392, 47fvpr2 7195 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 β‰  2 β†’ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩}β€˜2) = 1)
9446, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩}β€˜2) = 1
9591, 94eqtri 2760 . . . . . . . . . . . 12 (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜2) = 1
9682, 95eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 2 β†’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) = 1)
97 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 2 β†’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) = (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜2))
98 fvun1 6982 . . . . . . . . . . . . . 14 (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} Fn (1...2) ∧ ((3...𝑁) Γ— {0}) Fn (3...𝑁) ∧ (((1...2) ∩ (3...𝑁)) = βˆ… ∧ 2 ∈ (1...2))) β†’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}β€˜2))
9955, 35, 89, 98mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . 13 (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}β€˜2)
10092, 58fvpr2 7195 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 β‰  2 β†’ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}β€˜2) = 0)
10146, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}β€˜2) = 0
10299, 101eqtri 2760 . . . . . . . . . . . 12 (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜2) = 0
10397, 102eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 2 β†’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) = 0)
10496, 103oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 2 β†’ ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) = (1 βˆ’ 0))
105104, 64eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 2 β†’ ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) = 1)
106105oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (𝑗 = 2 β†’ (1 Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—))) = (1 Β· 1))
107 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 2 β†’ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) = (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜2))
108 fvun1 6982 . . . . . . . . . . . . . 14 (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} Fn (1...2) ∧ ((3...𝑁) Γ— {0}) Fn (3...𝑁) ∧ (((1...2) ∩ (3...𝑁)) = βˆ… ∧ 2 ∈ (1...2))) β†’ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜2) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩}β€˜2))
10932, 35, 89, 108mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . 13 (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜2) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩}β€˜2)
11092, 58fvpr2 7195 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 β‰  2 β†’ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩}β€˜2) = 0)
11146, 110ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩}β€˜2) = 0
112109, 111eqtri 2760 . . . . . . . . . . . 12 (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜2) = 0
113107, 112eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 2 β†’ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) = 0)
114113, 103oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 2 β†’ ((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) = (0 βˆ’ 0))
115114, 78eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 2 β†’ ((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) = 0)
116115oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (𝑗 = 2 β†’ (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) Β· 0) = (0 Β· 0))
117106, 116neeq12d 3002 . . . . . . 7 (𝑗 = 2 β†’ ((1 Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—))) β‰  (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) Β· 0) ↔ (1 Β· 1) β‰  (0 Β· 0)))
11881, 117rspc2ev 3624 . . . . . 6 ((1 ∈ (1...𝑁) ∧ 2 ∈ (1...𝑁) ∧ (1 Β· 1) β‰  (0 Β· 0)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑁)βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑁)(((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—))) β‰  (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–))))
11927, 118mp3an3 1450 . . . . 5 ((1 ∈ (1...𝑁) ∧ 2 ∈ (1...𝑁)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑁)βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑁)(((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—))) β‰  (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–))))
12015, 21, 119syl2anc 584 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑁)βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑁)(((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—))) β‰  (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–))))
121 df-ne 2941 . . . . . . . 8 ((((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—))) β‰  (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–))) ↔ Β¬ (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—))) = (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–))))
122121rexbii 3094 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑁)(((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—))) β‰  (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–))) ↔ βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑁) Β¬ (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—))) = (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–))))
123 rexnal 3100 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑁) Β¬ (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—))) = (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–))) ↔ Β¬ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑁)(((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—))) = (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–))))
124122, 123bitri 274 . . . . . 6 (βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑁)(((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—))) β‰  (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–))) ↔ Β¬ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑁)(((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—))) = (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–))))
125124rexbii 3094 . . . . 5 (βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑁)βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑁)(((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—))) β‰  (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–))) ↔ βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑁) Β¬ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑁)(((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—))) = (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–))))
126 rexnal 3100 . . . . 5 (βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑁) Β¬ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑁)(((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—))) = (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–))) ↔ Β¬ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘— ∈ (1...𝑁)(((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—))) = (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–))))
127125, 126bitri 274 . . . 4 (βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑁)βˆƒπ‘— ∈ (1...𝑁)(((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—))) β‰  (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–))) ↔ Β¬ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘— ∈ (1...𝑁)(((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—))) = (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–))))
128120, 127sylib 217 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ Β¬ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘— ∈ (1...𝑁)(((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—))) = (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–))))
12929, 29axlowdimlem5 28242 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})) ∈ (π”Όβ€˜π‘))
13011, 29axlowdimlem5 28242 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})) ∈ (π”Όβ€˜π‘))
13129, 11axlowdimlem5 28242 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})) ∈ (π”Όβ€˜π‘))
132 colinearalg 28206 . . . 4 ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})) ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})) ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})) ∈ (π”Όβ€˜π‘)) β†’ ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))⟩ ∨ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))⟩ ∨ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))⟩) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘— ∈ (1...𝑁)(((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—))) = (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–)))))
133129, 130, 131, 132syl3anc 1371 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))⟩ ∨ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))⟩ ∨ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))⟩) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘— ∈ (1...𝑁)(((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—))) = (((({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘—)) Β· ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–) βˆ’ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))β€˜π‘–)))))
134128, 133mtbird 324 . 2 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ Β¬ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))⟩ ∨ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))⟩ ∨ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))⟩))
135 axlowdimlem6.1 . . . 4 𝐴 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))
136 axlowdimlem6.2 . . . . 5 𝐡 = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))
137 axlowdimlem6.3 . . . . 5 𝐢 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))
138136, 137opeq12i 4878 . . . 4 ⟨𝐡, 𝐢⟩ = ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))⟩
139135, 138breq12i 5157 . . 3 (𝐴 Btwn ⟨𝐡, 𝐢⟩ ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))⟩)
140137, 135opeq12i 4878 . . . 4 ⟨𝐢, 𝐴⟩ = ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))⟩
141136, 140breq12i 5157 . . 3 (𝐡 Btwn ⟨𝐢, 𝐴⟩ ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))⟩)
142135, 136opeq12i 4878 . . . 4 ⟨𝐴, 𝐡⟩ = ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))⟩
143137, 142breq12i 5157 . . 3 (𝐢 Btwn ⟨𝐴, 𝐡⟩ ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))⟩)
144139, 141, 1433orbi123i 1156 . 2 ((𝐴 Btwn ⟨𝐡, 𝐢⟩ ∨ 𝐡 Btwn ⟨𝐢, 𝐴⟩ ∨ 𝐢 Btwn ⟨𝐴, 𝐡⟩) ↔ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))⟩ ∨ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))⟩ ∨ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} βˆͺ ((3...𝑁) Γ— {0}))⟩))
145134, 144sylnibr 328 1 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ Β¬ (𝐴 Btwn ⟨𝐡, 𝐢⟩ ∨ 𝐡 Btwn ⟨𝐢, 𝐴⟩ ∨ 𝐢 Btwn ⟨𝐴, 𝐡⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628  {cpr 4630  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446  β„•cn 12214  2c2 12269  3c3 12270  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  ...cfz 13486  π”Όcee 28184   Btwn cbtwn 28185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-icc 13333  df-fz 13487  df-seq 13969  df-exp 14030  df-ee 28187  df-btwn 28188
This theorem is referenced by:  axlowdim2  28256  axlowdim  28257
  Copyright terms: Public domain W3C validator