Theorem le2sqi 14161

Description: The square function on nonnegative reals is nondecreasing. (Contributed by NM, 12-Sep-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt2sq.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
le2sqi	⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2)))

Proof of Theorem le2sqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt2sq.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3	1, 2	le2msqi 12134	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐵)))
4	1	recni 11235	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
5	4	sqvali 14151	. . 3 ⊢ (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴)
6	2	recni 11235	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
7	6	sqvali 14151	. . 3 ⊢ (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵)
8	5, 7	breq12i 5157	. 2 ⊢ ((𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2) ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐵))
9	3, 8	bitr4di 289	1 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  ℝcr 11115  0cc0 11116   · cmul 11121   ≤ cle 11256  2c2 12274  ↑cexp 14034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-seq 13974  df-exp 14035

This theorem is referenced by:  nn0le2msqi  14234  pjdifnormii  31369  nmopcoadji  31787  abs2sqlei  35127