Theorem upgrwlkcompim 30021

Description: Implications for the properties of the components of a walk in a pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jun-2018.) (Revised by AV, 14-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrwlkcompim.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrwlkcompim.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrwlkcompim.1	⊢ 𝐹 = (1st ‘𝑊)
upgrwlkcompim.2	⊢ 𝑃 = (2nd ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
upgrwlkcompim	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑊 ∈ (Walks‘𝐺)) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem upgrwlkcompim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkcpr 30007	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (Walks‘𝐺) ↔ (1st ‘𝑊)(Walks‘𝐺)(2nd ‘𝑊))
2		upgrwlkcompim.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (1st ‘𝑊)
3		upgrwlkcompim.2	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (2nd ‘𝑊)
4	2, 3	breq12i 5120	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (1st ‘𝑊)(Walks‘𝐺)(2nd ‘𝑊))
5	1, 4	bitr4i 281	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (Walks‘𝐺) ↔ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
6		upgrwlkcompim.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		upgrwlkcompim.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8	6, 7	upgriswlk 30019	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
9	8	biimpd 232	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
10	5, 9	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑊 ∈ (Walks‘𝐺) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
11	10	imp 412	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑊 ∈ (Walks‘𝐺)) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  {cpr 4593   class class class wbr 5111  dom cdm 5663  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  1^st c1st 7986  2^nd c2nd 7987  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114  ...cfz 13546  ..^cfzo 13694  ♯chash 14379  Word cword 14563  Vtxcvtx 29375  iEdgciedg 29376  UPGraphcupgr 29459  Walkscwlks 29975

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-uz 12874  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-hash 14380  df-word 14564  df-edg 29427  df-uhgr 29437  df-upgr 29461  df-wlks 29978

This theorem is used by:  uspgr2wlkeq  30024  upgrclwlkcompim  30159