Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgrwlkcompim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgrwlkcompim 27476
 Description: Implications for the properties of the components of a walk in a pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jun-2018.) (Revised by AV, 14-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
upgrwlkcompim.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrwlkcompim.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrwlkcompim.1 𝐹 = (1st𝑊)
upgrwlkcompim.2 𝑃 = (2nd𝑊)
Assertion
Ref Expression
upgrwlkcompim ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑊 ∈ (Walks‘𝐺)) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem upgrwlkcompim
StepHypRef Expression
1 wlkcpr 27462 . . . 4 (𝑊 ∈ (Walks‘𝐺) ↔ (1st𝑊)(Walks‘𝐺)(2nd𝑊))
2 upgrwlkcompim.1 . . . . 5 𝐹 = (1st𝑊)
3 upgrwlkcompim.2 . . . . 5 𝑃 = (2nd𝑊)
42, 3breq12i 5043 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (1st𝑊)(Walks‘𝐺)(2nd𝑊))
51, 4bitr4i 281 . . 3 (𝑊 ∈ (Walks‘𝐺) ↔ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
6 upgrwlkcompim.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7 upgrwlkcompim.i . . . . 5 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
86, 7upgriswlk 27474 . . . 4 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
98biimpd 232 . . 3 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
105, 9syl5bi 245 . 2 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑊 ∈ (Walks‘𝐺) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
1110imp 410 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑊 ∈ (Walks‘𝐺)) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  {cpr 4530   class class class wbr 5034  dom cdm 5523  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  1st c1st 7682  2nd c2nd 7683  0cc0 10544  1c1 10545   + caddc 10547  ...cfz 12905  ..^cfzo 13048  ♯chash 13706  Word cword 13877  Vtxcvtx 26833  iEdgciedg 26834  UPGraphcupgr 26917  Walkscwlks 27430 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-2o 8104  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-pm 8410  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-n0 11904  df-xnn0 11976  df-z 11990  df-uz 12252  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-hash 13707  df-word 13878  df-edg 26885  df-uhgr 26895  df-upgr 26919  df-wlks 27433 This theorem is referenced by:  uspgr2wlkeq  27479  upgrclwlkcompim  27614
 Copyright terms: Public domain W3C validator