Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  divcnvlin Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem divcnvlin 34691
Description: Limit of the ratio of two linear functions. (Contributed by Scott Fenton, 17-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
divcnvlin.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
divcnvlin.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
divcnvlin.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
divcnvlin.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„€)
divcnvlin.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
divcnvlin.6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((π‘˜ + 𝐴) / (π‘˜ + 𝐡)))
Assertion
Ref Expression
divcnvlin (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 1)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝐡,π‘˜   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑉(π‘˜)
Proof of Theorem divcnvlin
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nncn 12217 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„‚)
21adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„‚)
3 divcnvlin.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4 divcnvlin.4 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„€)
54zcnd 12664 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
63, 5subcld 11568 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„‚)
76adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„‚)
8 nnne0 12243 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š β‰  0)
98adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š β‰  0)
102, 7, 2, 9divdird 12025 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š) = ((π‘š / π‘š) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š)))
112, 9dividd 11985 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘š / π‘š) = 1)
1211oveq1d 7421 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘š / π‘š) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š)) = (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š)))
1310, 12eqtrd 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š) = (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š)))
1413mpteq2dva 5248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) = (π‘š ∈ β„• ↦ (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š))))
15 nnuz 12862 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
16 1zzd 12590 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
17 divcnv 15796 . . . . . 6 ((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„‚ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š)) ⇝ 0)
186, 17syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š)) ⇝ 0)
19 1cnd 11206 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
20 nnex 12215 . . . . . . 7 β„• ∈ V
2120mptex 7222 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„• ↦ (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š))) ∈ V
2221a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š))) ∈ V)
237, 2, 9divcld 11987 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š) ∈ β„‚)
2423fmpttd 7112 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š)):β„•βŸΆβ„‚)
2524ffvelcdmda 7084 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
26 oveq2 7414 . . . . . . . . 9 (π‘š = π‘˜ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘˜))
2726oveq2d 7422 . . . . . . . 8 (π‘š = π‘˜ β†’ (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š)) = (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘˜)))
28 eqid 2733 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• ↦ (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š))) = (π‘š ∈ β„• ↦ (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š)))
29 ovex 7439 . . . . . . . 8 (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘˜)) ∈ V
3027, 28, 29fvmpt 6996 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š)))β€˜π‘˜) = (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘˜)))
31 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š)) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š))
32 ovex 7439 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘˜) ∈ V
3326, 31, 32fvmpt 6996 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š))β€˜π‘˜) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘˜))
3433oveq2d 7422 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 + ((π‘š ∈ β„• ↦ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š))β€˜π‘˜)) = (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘˜)))
3530, 34eqtr4d 2776 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š)))β€˜π‘˜) = (1 + ((π‘š ∈ β„• ↦ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š))β€˜π‘˜)))
3635adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š)))β€˜π‘˜) = (1 + ((π‘š ∈ β„• ↦ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š))β€˜π‘˜)))
3715, 16, 18, 19, 22, 25, 36climaddc2 15577 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š))) ⇝ (1 + 0))
3814, 37eqbrtrd 5170 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) ⇝ (1 + 0))
39 nnssz 12577 . . . . . . 7 β„• βŠ† β„€
40 resmpt 6036 . . . . . . 7 (β„• βŠ† β„€ β†’ ((π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) β†Ύ β„•) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . 6 ((π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) β†Ύ β„•) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š))
4215reseq2i 5977 . . . . . 6 ((π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) β†Ύ β„•) = ((π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜1))
4341, 42eqtr3i 2763 . . . . 5 (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) = ((π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜1))
44 1p0e1 12333 . . . . 5 (1 + 0) = 1
4543, 44breq12i 5157 . . . 4 ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) ⇝ (1 + 0) ↔ ((π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜1)) ⇝ 1)
46 1z 12589 . . . . 5 1 ∈ β„€
47 zex 12564 . . . . . 6 β„€ ∈ V
4847mptex 7222 . . . . 5 (π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) ∈ V
49 climres 15516 . . . . 5 ((1 ∈ β„€ ∧ (π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) ∈ V) β†’ (((π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜1)) ⇝ 1 ↔ (π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) ⇝ 1))
5046, 48, 49mp2an 691 . . . 4 (((π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜1)) ⇝ 1 ↔ (π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) ⇝ 1)
5145, 50bitri 275 . . 3 ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) ⇝ (1 + 0) ↔ (π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) ⇝ 1)
5238, 51sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) ⇝ 1)
53 divcnvlin.1 . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
54 divcnvlin.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
55 divcnvlin.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
5648a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) ∈ V)
57 eluzelz 12829 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
5857, 53eleq2s 2852 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ β„€)
5958zcnd 12664 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
6059adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
614adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
6261zcnd 12664 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
633adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6460, 62, 63ppncand 11608 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ + 𝐡) + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) = (π‘˜ + 𝐴))
6564oveq1d 7421 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((π‘˜ + 𝐡) + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / (π‘˜ + 𝐡)) = ((π‘˜ + 𝐴) / (π‘˜ + 𝐡)))
6658adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
6766, 61zaddcld 12667 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘˜ + 𝐡) ∈ β„€)
68 oveq1 7413 . . . . . . 7 (π‘š = (π‘˜ + 𝐡) β†’ (π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) = ((π‘˜ + 𝐡) + (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
69 id 22 . . . . . . 7 (π‘š = (π‘˜ + 𝐡) β†’ π‘š = (π‘˜ + 𝐡))
7068, 69oveq12d 7424 . . . . . 6 (π‘š = (π‘˜ + 𝐡) β†’ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š) = (((π‘˜ + 𝐡) + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / (π‘˜ + 𝐡)))
71 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) = (π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š))
72 ovex 7439 . . . . . 6 (((π‘˜ + 𝐡) + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / (π‘˜ + 𝐡)) ∈ V
7370, 71, 72fvmpt 6996 . . . . 5 ((π‘˜ + 𝐡) ∈ β„€ β†’ ((π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š))β€˜(π‘˜ + 𝐡)) = (((π‘˜ + 𝐡) + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / (π‘˜ + 𝐡)))
7467, 73syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š))β€˜(π‘˜ + 𝐡)) = (((π‘˜ + 𝐡) + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / (π‘˜ + 𝐡)))
75 divcnvlin.6 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((π‘˜ + 𝐴) / (π‘˜ + 𝐡)))
7665, 74, 753eqtr4d 2783 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š))β€˜(π‘˜ + 𝐡)) = (πΉβ€˜π‘˜))
7753, 54, 4, 55, 56, 76climshft2 15523 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ 1 ↔ (π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) ⇝ 1))
7852, 77mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   βˆ’ cmin 11441   / cdiv 11868  β„•cn 12209  β„€cz 12555  β„€β‰₯cuz 12819   ⇝ cli 15425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-rlim 15430
This theorem is referenced by:  faclimlem2  34703  faclim2  34707
  Copyright terms: Public domain W3C validator