Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  divcnvlin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcnvlin 32212
Description: Limit of the ratio of two linear functions. (Contributed by Scott Fenton, 17-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
divcnvlin.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
divcnvlin.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
divcnvlin.3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcnvlin.4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
divcnvlin.5 (𝜑𝐹𝑉)
divcnvlin.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = ((𝑘 + 𝐴) / (𝑘 + 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
divcnvlin (𝜑𝐹 ⇝ 1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem divcnvlin
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nncn 11383 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
21adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
3 divcnvlin.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4 divcnvlin.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
54zcnd 11835 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
63, 5subcld 10734 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
76adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
8 nnne0 11410 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
98adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
102, 7, 2, 9divdird 11189 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚) = ((𝑚 / 𝑚) + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))
112, 9dividd 11149 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 / 𝑚) = 1)
1211oveq1d 6937 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 / 𝑚) + ((𝐴𝐵) / 𝑚)) = (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))
1310, 12eqtrd 2814 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚) = (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))
1413mpteq2dva 4979 . . . 4 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚))))
15 nnuz 12029 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
16 1zzd 11760 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
17 divcnv 14989 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∈ ℂ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚)) ⇝ 0)
186, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚)) ⇝ 0)
19 1cnd 10371 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
20 nnex 11381 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
2120mptex 6758 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚))) ∈ V
2221a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚))) ∈ V)
237, 2, 9divcld 11151 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐵) / 𝑚) ∈ ℂ)
2423fmpttd 6649 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚)):ℕ⟶ℂ)
2524ffvelrnda 6623 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))‘𝑘) ∈ ℂ)
26 oveq2 6930 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐴𝐵) / 𝑚) = ((𝐴𝐵) / 𝑘))
2726oveq2d 6938 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)) = (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑘)))
28 eqid 2778 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))
29 ovex 6954 . . . . . . . 8 (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑘)) ∈ V
3027, 28, 29fvmpt 6542 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))‘𝑘) = (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑘)))
31 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))
32 ovex 6954 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) / 𝑘) ∈ V
3326, 31, 32fvmpt 6542 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))‘𝑘) = ((𝐴𝐵) / 𝑘))
3433oveq2d 6938 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (1 + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))‘𝑘)) = (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑘)))
3530, 34eqtr4d 2817 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))‘𝑘) = (1 + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))‘𝑘)))
3635adantl 475 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))‘𝑘) = (1 + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))‘𝑘)))
3715, 16, 18, 19, 22, 25, 36climaddc2 14774 . . . 4 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚))) ⇝ (1 + 0))
3814, 37eqbrtrd 4908 . . 3 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ (1 + 0))
39 nnssz 11748 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℤ
40 resmpt 5699 . . . . . . 7 (ℕ ⊆ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚))
4215reseq2i 5639 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ ℕ) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1))
4341, 42eqtr3i 2804 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1))
44 1p0e1 11506 . . . . 5 (1 + 0) = 1
4543, 44breq12i 4895 . . . 4 ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ (1 + 0) ↔ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 1)
46 1z 11759 . . . . 5 1 ∈ ℤ
47 zex 11737 . . . . . 6 ℤ ∈ V
4847mptex 6758 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ∈ V
49 climres 14714 . . . . 5 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ∈ V) → (((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 1 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1))
5046, 48, 49mp2an 682 . . . 4 (((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 1 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1)
5145, 50bitri 267 . . 3 ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ (1 + 0) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1)
5238, 51sylib 210 . 2 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1)
53 divcnvlin.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
54 divcnvlin.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
55 divcnvlin.5 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
5648a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ∈ V)
57 eluzelz 12002 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
5857, 53eleq2s 2877 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
5958zcnd 11835 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℂ)
6059adantl 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℂ)
614adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℤ)
6261zcnd 11835 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
633adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
6460, 62, 63ppncand 10774 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) = (𝑘 + 𝐴))
6564oveq1d 6937 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)) = ((𝑘 + 𝐴) / (𝑘 + 𝐵)))
6658adantl 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
6766, 61zaddcld 11838 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ)
68 oveq1 6929 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → (𝑚 + (𝐴𝐵)) = ((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)))
69 id 22 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → 𝑚 = (𝑘 + 𝐵))
7068, 69oveq12d 6940 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚) = (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)))
71 eqid 2778 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚))
72 ovex 6954 . . . . . 6 (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)) ∈ V
7370, 71, 72fvmpt 6542 . . . . 5 ((𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)))
7467, 73syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)))
75 divcnvlin.6 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = ((𝑘 + 𝐴) / (𝑘 + 𝐵)))
7665, 74, 753eqtr4d 2824 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐹𝑘))
7753, 54, 4, 55, 56, 76climshft2 14721 . 2 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1))
7852, 77mpbird 249 1 (𝜑𝐹 ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  Vcvv 3398  wss 3792   class class class wbr 4886  cmpt 4965  cres 5357  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275  cmin 10606   / cdiv 11032  cn 11374  cz 11728  cuz 11992  cli 14623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-rlim 14628
This theorem is referenced by:  faclimlem2  32224  faclim2  32228
  Copyright terms: Public domain W3C validator