Theorem divcnvlin 35927

Description: Limit of the ratio of two linear functions. (Contributed by Scott Fenton, 17-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcnvlin.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
divcnvlin.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
divcnvlin.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcnvlin.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
divcnvlin.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
divcnvlin.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = ((𝑘 + 𝐴) / (𝑘 + 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
divcnvlin	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 1)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem divcnvlin

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 12153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
2	1	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
3		divcnvlin.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		divcnvlin.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	3, 5	subcld 11492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
8		nnne0 12179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
9	8	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
10	2, 7, 2, 9	divdird 11955	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚) = ((𝑚 / 𝑚) + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)))
11	2, 9	dividd 11915	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 / 𝑚) = 1)
12	11	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 / 𝑚) + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)) = (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)))
13	10, 12	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚) = (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)))
14	13	mpteq2dva 5191	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))))
15		nnuz 12790	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16		1zzd 12522	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
17		divcnv 15776	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)) ⇝ 0)
18	6, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)) ⇝ 0)
19		1cnd 11127	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
20		nnex 12151	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
21	20	mptex 7169	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))) ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))) ∈ V)
23	7, 2, 9	divcld 11917	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚) ∈ ℂ)
24	23	fmpttd 7060	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)):ℕ⟶ℂ)
25	24	ffvelcdmda 7029	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))‘𝑘) ∈ ℂ)
26		oveq2 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚) = ((𝐴 − 𝐵) / 𝑘))
27	26	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)) = (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑘)))
28		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)))
29		ovex 7391	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑘)) ∈ V
30	27, 28, 29	fvmpt 6941	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)))‘𝑘) = (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑘)))
31		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))
32		ovex 7391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑘) ∈ V
33	26, 31, 32	fvmpt 6941	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))‘𝑘) = ((𝐴 − 𝐵) / 𝑘))
34	33	oveq2d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))‘𝑘)) = (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑘)))
35	30, 34	eqtr4d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)))‘𝑘) = (1 + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))‘𝑘)))
36	35	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)))‘𝑘) = (1 + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))‘𝑘)))
37	15, 16, 18, 19, 22, 25, 36	climaddc2 15559	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))) ⇝ (1 + 0))
38	14, 37	eqbrtrd 5120	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ (1 + 0))
39		nnssz 12510	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
40		resmpt 5996	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)))
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚))
42	15	reseq2i 5935	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ ℕ) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1))
43	41, 42	eqtr3i 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1))
44		1p0e1 12264	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
45	43, 44	breq12i 5107	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ (1 + 0) ↔ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 1)
46		1z 12521	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
47		zex 12497	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
48	47	mptex 7169	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ∈ V
49		climres 15498	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ∈ V) → (((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 1 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1))
50	46, 48, 49	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 1 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1)
51	45, 50	bitri 275	. . 3 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ (1 + 0) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1)
52	38, 51	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1)
53		divcnvlin.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
54		divcnvlin.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
55		divcnvlin.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
56	48	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ∈ V)
57		eluzelz 12761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
58	57, 53	eleq2s 2854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
59	58	zcnd 12597	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℂ)
60	59	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℂ)
61	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℤ)
62	61	zcnd 12597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
63	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
64	60, 62, 63	ppncand 11532	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (𝑘 + 𝐴))
65	64	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)) = ((𝑘 + 𝐴) / (𝑘 + 𝐵)))
66	58	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
67	66, 61	zaddcld 12600	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ)
68		oveq1 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → (𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝑘 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)))
69		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → 𝑚 = (𝑘 + 𝐵))
70	68, 69	oveq12d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚) = (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)))
71		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚))
72		ovex 7391	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)) ∈ V
73	70, 71, 72	fvmpt 6941	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)))
74	67, 73	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)))
75		divcnvlin.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = ((𝑘 + 𝐴) / (𝑘 + 𝐵)))
76	65, 74, 75	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐹‘𝑘))
77	53, 54, 4, 55, 56, 76	climshft2 15505	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1))
78	52, 77	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   − cmin 11364   / cdiv 11794  ℕcn 12145  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751   ⇝ cli 15407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-rlim 15412

This theorem is referenced by:  faclimlem2  35938  faclim2  35942