Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  divcnvlin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcnvlin 34305
Description: Limit of the ratio of two linear functions. (Contributed by Scott Fenton, 17-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
divcnvlin.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
divcnvlin.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
divcnvlin.3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcnvlin.4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
divcnvlin.5 (𝜑𝐹𝑉)
divcnvlin.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = ((𝑘 + 𝐴) / (𝑘 + 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
divcnvlin (𝜑𝐹 ⇝ 1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem divcnvlin
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nncn 12161 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
21adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
3 divcnvlin.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4 divcnvlin.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
54zcnd 12608 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
63, 5subcld 11512 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
76adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
8 nnne0 12187 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
98adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
102, 7, 2, 9divdird 11969 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚) = ((𝑚 / 𝑚) + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))
112, 9dividd 11929 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 / 𝑚) = 1)
1211oveq1d 7372 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 / 𝑚) + ((𝐴𝐵) / 𝑚)) = (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))
1310, 12eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚) = (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))
1413mpteq2dva 5205 . . . 4 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚))))
15 nnuz 12806 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
16 1zzd 12534 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
17 divcnv 15738 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∈ ℂ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚)) ⇝ 0)
186, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚)) ⇝ 0)
19 1cnd 11150 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
20 nnex 12159 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
2120mptex 7173 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚))) ∈ V
2221a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚))) ∈ V)
237, 2, 9divcld 11931 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐵) / 𝑚) ∈ ℂ)
2423fmpttd 7063 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚)):ℕ⟶ℂ)
2524ffvelcdmda 7035 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))‘𝑘) ∈ ℂ)
26 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐴𝐵) / 𝑚) = ((𝐴𝐵) / 𝑘))
2726oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)) = (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑘)))
28 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))
29 ovex 7390 . . . . . . . 8 (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑘)) ∈ V
3027, 28, 29fvmpt 6948 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))‘𝑘) = (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑘)))
31 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))
32 ovex 7390 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) / 𝑘) ∈ V
3326, 31, 32fvmpt 6948 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))‘𝑘) = ((𝐴𝐵) / 𝑘))
3433oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (1 + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))‘𝑘)) = (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑘)))
3530, 34eqtr4d 2779 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))‘𝑘) = (1 + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))‘𝑘)))
3635adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))‘𝑘) = (1 + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))‘𝑘)))
3715, 16, 18, 19, 22, 25, 36climaddc2 15518 . . . 4 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚))) ⇝ (1 + 0))
3814, 37eqbrtrd 5127 . . 3 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ (1 + 0))
39 nnssz 12521 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℤ
40 resmpt 5991 . . . . . . 7 (ℕ ⊆ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚))
4215reseq2i 5934 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ ℕ) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1))
4341, 42eqtr3i 2766 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1))
44 1p0e1 12277 . . . . 5 (1 + 0) = 1
4543, 44breq12i 5114 . . . 4 ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ (1 + 0) ↔ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 1)
46 1z 12533 . . . . 5 1 ∈ ℤ
47 zex 12508 . . . . . 6 ℤ ∈ V
4847mptex 7173 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ∈ V
49 climres 15457 . . . . 5 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ∈ V) → (((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 1 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1))
5046, 48, 49mp2an 690 . . . 4 (((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 1 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1)
5145, 50bitri 274 . . 3 ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ (1 + 0) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1)
5238, 51sylib 217 . 2 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1)
53 divcnvlin.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
54 divcnvlin.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
55 divcnvlin.5 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
5648a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ∈ V)
57 eluzelz 12773 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
5857, 53eleq2s 2856 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
5958zcnd 12608 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℂ)
6059adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℂ)
614adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℤ)
6261zcnd 12608 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
633adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
6460, 62, 63ppncand 11552 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) = (𝑘 + 𝐴))
6564oveq1d 7372 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)) = ((𝑘 + 𝐴) / (𝑘 + 𝐵)))
6658adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
6766, 61zaddcld 12611 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ)
68 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → (𝑚 + (𝐴𝐵)) = ((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)))
69 id 22 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → 𝑚 = (𝑘 + 𝐵))
7068, 69oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚) = (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)))
71 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚))
72 ovex 7390 . . . . . 6 (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)) ∈ V
7370, 71, 72fvmpt 6948 . . . . 5 ((𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)))
7467, 73syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)))
75 divcnvlin.6 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = ((𝑘 + 𝐴) / (𝑘 + 𝐵)))
7665, 74, 753eqtr4d 2786 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐹𝑘))
7753, 54, 4, 55, 56, 76climshft2 15464 . 2 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1))
7852, 77mpbird 256 1 (𝜑𝐹 ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cres 5635  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  cz 12499  cuz 12763  cli 15366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371
This theorem is referenced by:  faclimlem2  34317  faclim2  34321
  Copyright terms: Public domain W3C validator