Theorem divcnvlin 33604

Description: Limit of the ratio of two linear functions. (Contributed by Scott Fenton, 17-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcnvlin.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
divcnvlin.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
divcnvlin.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcnvlin.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
divcnvlin.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
divcnvlin.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = ((𝑘 + 𝐴) / (𝑘 + 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
divcnvlin	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 1)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem divcnvlin

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 11911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
2	1	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
3		divcnvlin.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		divcnvlin.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	3, 5	subcld 11262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
8		nnne0 11937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
9	8	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
10	2, 7, 2, 9	divdird 11719	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚) = ((𝑚 / 𝑚) + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)))
11	2, 9	dividd 11679	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 / 𝑚) = 1)
12	11	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 / 𝑚) + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)) = (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)))
13	10, 12	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚) = (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)))
14	13	mpteq2dva 5170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))))
15		nnuz 12550	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16		1zzd 12281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
17		divcnv 15493	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)) ⇝ 0)
18	6, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)) ⇝ 0)
19		1cnd 10901	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
20		nnex 11909	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
21	20	mptex 7081	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))) ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))) ∈ V)
23	7, 2, 9	divcld 11681	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚) ∈ ℂ)
24	23	fmpttd 6971	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)):ℕ⟶ℂ)
25	24	ffvelrnda 6943	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))‘𝑘) ∈ ℂ)
26		oveq2 7263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚) = ((𝐴 − 𝐵) / 𝑘))
27	26	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)) = (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑘)))
28		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)))
29		ovex 7288	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑘)) ∈ V
30	27, 28, 29	fvmpt 6857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)))‘𝑘) = (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑘)))
31		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))
32		ovex 7288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑘) ∈ V
33	26, 31, 32	fvmpt 6857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))‘𝑘) = ((𝐴 − 𝐵) / 𝑘))
34	33	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))‘𝑘)) = (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑘)))
35	30, 34	eqtr4d 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)))‘𝑘) = (1 + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))‘𝑘)))
36	35	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)))‘𝑘) = (1 + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))‘𝑘)))
37	15, 16, 18, 19, 22, 25, 36	climaddc2 15273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))) ⇝ (1 + 0))
38	14, 37	eqbrtrd 5092	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ (1 + 0))
39		nnssz 12270	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
40		resmpt 5934	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)))
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚))
42	15	reseq2i 5877	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ ℕ) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1))
43	41, 42	eqtr3i 2768	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1))
44		1p0e1 12027	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
45	43, 44	breq12i 5079	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ (1 + 0) ↔ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 1)
46		1z 12280	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
47		zex 12258	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
48	47	mptex 7081	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ∈ V
49		climres 15212	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ∈ V) → (((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 1 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1))
50	46, 48, 49	mp2an 688	. . . 4 ⊢ (((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 1 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1)
51	45, 50	bitri 274	. . 3 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ (1 + 0) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1)
52	38, 51	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1)
53		divcnvlin.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
54		divcnvlin.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
55		divcnvlin.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
56	48	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ∈ V)
57		eluzelz 12521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
58	57, 53	eleq2s 2857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
59	58	zcnd 12356	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℂ)
60	59	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℂ)
61	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℤ)
62	61	zcnd 12356	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
63	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
64	60, 62, 63	ppncand 11302	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (𝑘 + 𝐴))
65	64	oveq1d 7270	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)) = ((𝑘 + 𝐴) / (𝑘 + 𝐵)))
66	58	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
67	66, 61	zaddcld 12359	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ)
68		oveq1 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → (𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝑘 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)))
69		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → 𝑚 = (𝑘 + 𝐵))
70	68, 69	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚) = (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)))
71		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚))
72		ovex 7288	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)) ∈ V
73	70, 71, 72	fvmpt 6857	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)))
74	67, 73	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)))
75		divcnvlin.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = ((𝑘 + 𝐴) / (𝑘 + 𝐵)))
76	65, 74, 75	3eqtr4d 2788	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐹‘𝑘))
77	53, 54, 4, 55, 56, 76	climshft2 15219	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1))
78	52, 77	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   ↾ cres 5582  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   − cmin 11135   / cdiv 11562  ℕcn 11903  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511   ⇝ cli 15121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126

This theorem is referenced by:  faclimlem2  33616  faclim2  33620