Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  divcnvlin Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem divcnvlin 35163
Description: Limit of the ratio of two linear functions. (Contributed by Scott Fenton, 17-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
divcnvlin.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
divcnvlin.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
divcnvlin.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
divcnvlin.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„€)
divcnvlin.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
divcnvlin.6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((π‘˜ + 𝐴) / (π‘˜ + 𝐡)))
Assertion
Ref Expression
divcnvlin (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 1)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝐡,π‘˜   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑉(π‘˜)
Proof of Theorem divcnvlin
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nncn 12216 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„‚)
21adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„‚)
3 divcnvlin.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4 divcnvlin.4 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„€)
54zcnd 12663 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
63, 5subcld 11567 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„‚)
76adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„‚)
8 nnne0 12242 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š β‰  0)
98adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š β‰  0)
102, 7, 2, 9divdird 12024 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š) = ((π‘š / π‘š) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š)))
112, 9dividd 11984 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘š / π‘š) = 1)
1211oveq1d 7416 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘š / π‘š) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š)) = (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š)))
1310, 12eqtrd 2764 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š) = (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š)))
1413mpteq2dva 5238 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) = (π‘š ∈ β„• ↦ (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š))))
15 nnuz 12861 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
16 1zzd 12589 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
17 divcnv 15795 . . . . . 6 ((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„‚ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š)) ⇝ 0)
186, 17syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š)) ⇝ 0)
19 1cnd 11205 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
20 nnex 12214 . . . . . . 7 β„• ∈ V
2120mptex 7216 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„• ↦ (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š))) ∈ V
2221a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š))) ∈ V)
237, 2, 9divcld 11986 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š) ∈ β„‚)
2423fmpttd 7106 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š)):β„•βŸΆβ„‚)
2524ffvelcdmda 7076 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
26 oveq2 7409 . . . . . . . . 9 (π‘š = π‘˜ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘˜))
2726oveq2d 7417 . . . . . . . 8 (π‘š = π‘˜ β†’ (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š)) = (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘˜)))
28 eqid 2724 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• ↦ (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š))) = (π‘š ∈ β„• ↦ (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š)))
29 ovex 7434 . . . . . . . 8 (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘˜)) ∈ V
3027, 28, 29fvmpt 6988 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š)))β€˜π‘˜) = (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘˜)))
31 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š)) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š))
32 ovex 7434 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘˜) ∈ V
3326, 31, 32fvmpt 6988 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š))β€˜π‘˜) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘˜))
3433oveq2d 7417 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 + ((π‘š ∈ β„• ↦ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š))β€˜π‘˜)) = (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘˜)))
3530, 34eqtr4d 2767 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š)))β€˜π‘˜) = (1 + ((π‘š ∈ β„• ↦ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š))β€˜π‘˜)))
3635adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š)))β€˜π‘˜) = (1 + ((π‘š ∈ β„• ↦ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š))β€˜π‘˜)))
3715, 16, 18, 19, 22, 25, 36climaddc2 15576 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ (1 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / π‘š))) ⇝ (1 + 0))
3814, 37eqbrtrd 5160 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) ⇝ (1 + 0))
39 nnssz 12576 . . . . . . 7 β„• βŠ† β„€
40 resmpt 6027 . . . . . . 7 (β„• βŠ† β„€ β†’ ((π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) β†Ύ β„•) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . 6 ((π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) β†Ύ β„•) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š))
4215reseq2i 5968 . . . . . 6 ((π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) β†Ύ β„•) = ((π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜1))
4341, 42eqtr3i 2754 . . . . 5 (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) = ((π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜1))
44 1p0e1 12332 . . . . 5 (1 + 0) = 1
4543, 44breq12i 5147 . . . 4 ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) ⇝ (1 + 0) ↔ ((π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜1)) ⇝ 1)
46 1z 12588 . . . . 5 1 ∈ β„€
47 zex 12563 . . . . . 6 β„€ ∈ V
4847mptex 7216 . . . . 5 (π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) ∈ V
49 climres 15515 . . . . 5 ((1 ∈ β„€ ∧ (π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) ∈ V) β†’ (((π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜1)) ⇝ 1 ↔ (π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) ⇝ 1))
5046, 48, 49mp2an 689 . . . 4 (((π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜1)) ⇝ 1 ↔ (π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) ⇝ 1)
5145, 50bitri 275 . . 3 ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) ⇝ (1 + 0) ↔ (π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) ⇝ 1)
5238, 51sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) ⇝ 1)
53 divcnvlin.1 . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
54 divcnvlin.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
55 divcnvlin.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
5648a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) ∈ V)
57 eluzelz 12828 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
5857, 53eleq2s 2843 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ β„€)
5958zcnd 12663 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
6059adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
614adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
6261zcnd 12663 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
633adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6460, 62, 63ppncand 11607 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ + 𝐡) + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) = (π‘˜ + 𝐴))
6564oveq1d 7416 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((π‘˜ + 𝐡) + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / (π‘˜ + 𝐡)) = ((π‘˜ + 𝐴) / (π‘˜ + 𝐡)))
6658adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
6766, 61zaddcld 12666 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘˜ + 𝐡) ∈ β„€)
68 oveq1 7408 . . . . . . 7 (π‘š = (π‘˜ + 𝐡) β†’ (π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) = ((π‘˜ + 𝐡) + (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
69 id 22 . . . . . . 7 (π‘š = (π‘˜ + 𝐡) β†’ π‘š = (π‘˜ + 𝐡))
7068, 69oveq12d 7419 . . . . . 6 (π‘š = (π‘˜ + 𝐡) β†’ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š) = (((π‘˜ + 𝐡) + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / (π‘˜ + 𝐡)))
71 eqid 2724 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) = (π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š))
72 ovex 7434 . . . . . 6 (((π‘˜ + 𝐡) + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / (π‘˜ + 𝐡)) ∈ V
7370, 71, 72fvmpt 6988 . . . . 5 ((π‘˜ + 𝐡) ∈ β„€ β†’ ((π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š))β€˜(π‘˜ + 𝐡)) = (((π‘˜ + 𝐡) + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / (π‘˜ + 𝐡)))
7467, 73syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š))β€˜(π‘˜ + 𝐡)) = (((π‘˜ + 𝐡) + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / (π‘˜ + 𝐡)))
75 divcnvlin.6 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((π‘˜ + 𝐴) / (π‘˜ + 𝐡)))
7665, 74, 753eqtr4d 2774 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š))β€˜(π‘˜ + 𝐡)) = (πΉβ€˜π‘˜))
7753, 54, 4, 55, 56, 76climshft2 15522 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ 1 ↔ (π‘š ∈ β„€ ↦ ((π‘š + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) / π‘š)) ⇝ 1))
7852, 77mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  Vcvv 3466   βŠ† wss 3940   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221   β†Ύ cres 5668  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  β„‚cc 11103  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„•cn 12208  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818   ⇝ cli 15424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-pm 8818  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429
This theorem is referenced by:  faclimlem2  35175  faclim2  35179
  Copyright terms: Public domain W3C validator