Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  divcnvlin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcnvlin 35733
Description: Limit of the ratio of two linear functions. (Contributed by Scott Fenton, 17-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
divcnvlin.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
divcnvlin.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
divcnvlin.3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcnvlin.4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
divcnvlin.5 (𝜑𝐹𝑉)
divcnvlin.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = ((𝑘 + 𝐴) / (𝑘 + 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
divcnvlin (𝜑𝐹 ⇝ 1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem divcnvlin
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nncn 12274 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
21adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
3 divcnvlin.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4 divcnvlin.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
54zcnd 12723 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
63, 5subcld 11620 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
76adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
8 nnne0 12300 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
98adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
102, 7, 2, 9divdird 12081 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚) = ((𝑚 / 𝑚) + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))
112, 9dividd 12041 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 / 𝑚) = 1)
1211oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 / 𝑚) + ((𝐴𝐵) / 𝑚)) = (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))
1310, 12eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚) = (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))
1413mpteq2dva 5242 . . . 4 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚))))
15 nnuz 12921 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
16 1zzd 12648 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
17 divcnv 15889 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∈ ℂ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚)) ⇝ 0)
186, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚)) ⇝ 0)
19 1cnd 11256 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
20 nnex 12272 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
2120mptex 7243 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚))) ∈ V
2221a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚))) ∈ V)
237, 2, 9divcld 12043 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐵) / 𝑚) ∈ ℂ)
2423fmpttd 7135 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚)):ℕ⟶ℂ)
2524ffvelcdmda 7104 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))‘𝑘) ∈ ℂ)
26 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐴𝐵) / 𝑚) = ((𝐴𝐵) / 𝑘))
2726oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)) = (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑘)))
28 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))
29 ovex 7464 . . . . . . . 8 (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑘)) ∈ V
3027, 28, 29fvmpt 7016 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))‘𝑘) = (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑘)))
31 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))
32 ovex 7464 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) / 𝑘) ∈ V
3326, 31, 32fvmpt 7016 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))‘𝑘) = ((𝐴𝐵) / 𝑘))
3433oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (1 + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))‘𝑘)) = (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑘)))
3530, 34eqtr4d 2780 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))‘𝑘) = (1 + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))‘𝑘)))
3635adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚)))‘𝑘) = (1 + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝐵) / 𝑚))‘𝑘)))
3715, 16, 18, 19, 22, 25, 36climaddc2 15672 . . . 4 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴𝐵) / 𝑚))) ⇝ (1 + 0))
3814, 37eqbrtrd 5165 . . 3 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ (1 + 0))
39 nnssz 12635 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℤ
40 resmpt 6055 . . . . . . 7 (ℕ ⊆ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚))
4215reseq2i 5994 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ ℕ) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1))
4341, 42eqtr3i 2767 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1))
44 1p0e1 12390 . . . . 5 (1 + 0) = 1
4543, 44breq12i 5152 . . . 4 ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ (1 + 0) ↔ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 1)
46 1z 12647 . . . . 5 1 ∈ ℤ
47 zex 12622 . . . . . 6 ℤ ∈ V
4847mptex 7243 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ∈ V
49 climres 15611 . . . . 5 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ∈ V) → (((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 1 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1))
5046, 48, 49mp2an 692 . . . 4 (((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 1 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1)
5145, 50bitri 275 . . 3 ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ (1 + 0) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1)
5238, 51sylib 218 . 2 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1)
53 divcnvlin.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
54 divcnvlin.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
55 divcnvlin.5 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
5648a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ∈ V)
57 eluzelz 12888 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
5857, 53eleq2s 2859 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
5958zcnd 12723 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℂ)
6059adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℂ)
614adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℤ)
6261zcnd 12723 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
633adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
6460, 62, 63ppncand 11660 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) = (𝑘 + 𝐴))
6564oveq1d 7446 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)) = ((𝑘 + 𝐴) / (𝑘 + 𝐵)))
6658adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
6766, 61zaddcld 12726 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ)
68 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → (𝑚 + (𝐴𝐵)) = ((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)))
69 id 22 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → 𝑚 = (𝑘 + 𝐵))
7068, 69oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚) = (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)))
71 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚))
72 ovex 7464 . . . . . 6 (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)) ∈ V
7370, 71, 72fvmpt 7016 . . . . 5 ((𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)))
7467, 73syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)))
75 divcnvlin.6 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = ((𝑘 + 𝐴) / (𝑘 + 𝐵)))
7665, 74, 753eqtr4d 2787 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐹𝑘))
7753, 54, 4, 55, 56, 76climshft2 15618 . 2 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1))
7852, 77mpbird 257 1 (𝜑𝐹 ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cres 5687  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  cz 12613  cuz 12878  cli 15520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525
This theorem is referenced by:  faclimlem2  35744  faclim2  35748
  Copyright terms: Public domain W3C validator