Theorem divcnvlin 36706

Description: Limit of the ratio of two linear functions. (Contributed by Scott Fenton, 17-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcnvlin.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
divcnvlin.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
divcnvlin.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcnvlin.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
divcnvlin.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
divcnvlin.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = ((𝑘 + 𝐴) / (𝑘 + 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
divcnvlin	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 1)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem divcnvlin

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 12381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
2	1	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
3		divcnvlin.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		divcnvlin.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	3, 5	subcld 11706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
7	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
8		nnne0 12410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
9	8	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
10	2, 7, 2, 9	divdird 12169	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚) = ((𝑚 / 𝑚) + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)))
11	2, 9	dividd 12129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 / 𝑚) = 1)
12	11	oveq1d 7464	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 / 𝑚) + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)) = (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)))
13	10, 12	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚) = (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)))
14	13	mpteq2dva 5202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))))
15		nnuz 13042	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16		1zzd 12765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
17		divcnv 16063	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)) ⇝ 0)
18	6, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)) ⇝ 0)
19		1cnd 11339	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
20		nnex 12379	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
21	20	mptex 7258	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))) ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))) ∈ V)
23	7, 2, 9	divcld 12131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚) ∈ ℂ)
24	23	fmpttd 7145	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)):ℕ⟶ℂ)
25	24	ffvelcdmda 7114	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))‘𝑘) ∈ ℂ)
26		oveq2 7457	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚) = ((𝐴 − 𝐵) / 𝑘))
27	26	oveq2d 7465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)) = (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑘)))
28		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)))
29		ovex 7482	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑘)) ∈ V
30	27, 28, 29	fvmpt 7022	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)))‘𝑘) = (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑘)))
31		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))
32		ovex 7482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑘) ∈ V
33	26, 31, 32	fvmpt 7022	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))‘𝑘) = ((𝐴 − 𝐵) / 𝑘))
34	33	oveq2d 7465	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))‘𝑘)) = (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑘)))
35	30, 34	eqtr4d 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)))‘𝑘) = (1 + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))‘𝑘)))
36	35	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)))‘𝑘) = (1 + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))‘𝑘)))
37	15, 16, 18, 19, 22, 25, 36	climaddc2 15844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))) ⇝ (1 + 0))
38	14, 37	eqbrtrd 5131	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ (1 + 0))
39		nnssz 12753	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
40		resmpt 6045	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)))
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚))
42	15	reseq2i 5981	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ ℕ) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1))
43	41, 42	eqtr3i 2788	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1))
44		1p0e1 12503	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
45	43, 44	breq12i 5115	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ (1 + 0) ↔ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 1)
46		1z 12764	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
47		zex 12740	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
48	47	mptex 7258	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ∈ V
49		climres 15783	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ∈ V) → (((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 1 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1))
50	46, 48, 49	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 1 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1)
51	45, 50	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ (1 + 0) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1)
52	38, 51	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1)
53		divcnvlin.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
54		divcnvlin.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
55		divcnvlin.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
56	48	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ∈ V)
57		eluzelz 13013	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
58	57, 53	eleq2s 2882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
59	58	zcnd 12842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℂ)
60	59	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℂ)
61	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℤ)
62	61	zcnd 12842	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
63	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
64	60, 62, 63	ppncand 11746	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (𝑘 + 𝐴))
65	64	oveq1d 7464	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)) = ((𝑘 + 𝐴) / (𝑘 + 𝐵)))
66	58	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
67	66, 61	zaddcld 12845	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ)
68		oveq1 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → (𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝑘 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)))
69		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → 𝑚 = (𝑘 + 𝐵))
70	68, 69	oveq12d 7467	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚) = (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)))
71		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚))
72		ovex 7482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)) ∈ V
73	70, 71, 72	fvmpt 7022	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)))
74	67, 73	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)))
75		divcnvlin.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = ((𝑘 + 𝐴) / (𝑘 + 𝐵)))
76	65, 74, 75	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐹‘𝑘))
77	53, 54, 4, 55, 56, 76	climshft2 15790	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1))
78	52, 77	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190   ↾ cres 5658  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℂcc 11235  0cc0 11237  1c1 11238   + caddc 11240   − cmin 11578   / cdiv 12011  ℕcn 12373  ℤcz 12731  ℤ_≥cuz 13003   ⇝ cli 15692

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-pm 8886  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-sup 9469  df-inf 9470  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-rp 13159  df-fl 13970  df-seq 14183  df-exp 14243  df-shft 15261  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-clim 15696  df-rlim 15697

This theorem is used by:  faclimlem2  36717  faclim2  36721