Theorem divcnvlin 36238

Description: Limit of the ratio of two linear functions. (Contributed by Scott Fenton, 17-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcnvlin.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
divcnvlin.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
divcnvlin.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcnvlin.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
divcnvlin.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
divcnvlin.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = ((𝑘 + 𝐴) / (𝑘 + 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
divcnvlin	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 1)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem divcnvlin

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 12252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
2	1	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
3		divcnvlin.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		divcnvlin.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12712	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	3, 5	subcld 11580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
7	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
8		nnne0 12281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
9	8	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
10	2, 7, 2, 9	divdird 12040	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚) = ((𝑚 / 𝑚) + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)))
11	2, 9	dividd 12000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 / 𝑚) = 1)
12	11	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 / 𝑚) + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)) = (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)))
13	10, 12	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚) = (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)))
14	13	mpteq2dva 5206	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))))
15		nnuz 12912	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16		1zzd 12636	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
17		divcnv 15925	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)) ⇝ 0)
18	6, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)) ⇝ 0)
19		1cnd 11213	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
20		nnex 12250	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
21	20	mptex 7225	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))) ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))) ∈ V)
23	7, 2, 9	divcld 12002	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚) ∈ ℂ)
24	23	fmpttd 7114	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)):ℕ⟶ℂ)
25	24	ffvelcdmda 7083	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))‘𝑘) ∈ ℂ)
26		oveq2 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚) = ((𝐴 − 𝐵) / 𝑘))
27	26	oveq2d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)) = (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑘)))
28		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)))
29		ovex 7449	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑘)) ∈ V
30	27, 28, 29	fvmpt 6993	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)))‘𝑘) = (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑘)))
31		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))
32		ovex 7449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑘) ∈ V
33	26, 31, 32	fvmpt 6993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))‘𝑘) = ((𝐴 − 𝐵) / 𝑘))
34	33	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))‘𝑘)) = (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑘)))
35	30, 34	eqtr4d 2803	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)))‘𝑘) = (1 + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))‘𝑘)))
36	35	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚)))‘𝑘) = (1 + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))‘𝑘)))
37	15, 16, 18, 19, 22, 25, 36	climaddc2 15706	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 + ((𝐴 − 𝐵) / 𝑚))) ⇝ (1 + 0))
38	14, 37	eqbrtrd 5135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ (1 + 0))
39		nnssz 12624	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
40		resmpt 6041	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)))
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚))
42	15	reseq2i 5977	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ ℕ) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1))
43	41, 42	eqtr3i 2790	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1))
44		1p0e1 12374	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
45	43, 44	breq12i 5120	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ (1 + 0) ↔ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 1)
46		1z 12635	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
47		zex 12611	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
48	47	mptex 7225	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ∈ V
49		climres 15645	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ∈ V) → (((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 1 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1))
50	46, 48, 49	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 1 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1)
51	45, 50	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ (1 + 0) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1)
52	38, 51	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1)
53		divcnvlin.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
54		divcnvlin.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
55		divcnvlin.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
56	48	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ∈ V)
57		eluzelz 12883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
58	57, 53	eleq2s 2883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
59	58	zcnd 12712	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℂ)
60	59	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℂ)
61	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℤ)
62	61	zcnd 12712	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
63	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
64	60, 62, 63	ppncand 11620	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (𝑘 + 𝐴))
65	64	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)) = ((𝑘 + 𝐴) / (𝑘 + 𝐵)))
66	58	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
67	66, 61	zaddcld 12715	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ)
68		oveq1 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → (𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝑘 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)))
69		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → 𝑚 = (𝑘 + 𝐵))
70	68, 69	oveq12d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚) = (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)))
71		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚))
72		ovex 7449	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)) ∈ V
73	70, 71, 72	fvmpt 6993	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)))
74	67, 73	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (((𝑘 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / (𝑘 + 𝐵)))
75		divcnvlin.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = ((𝑘 + 𝐴) / (𝑘 + 𝐵)))
76	65, 74, 75	3eqtr4d 2810	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐹‘𝑘))
77	53, 54, 4, 55, 56, 76	climshft2 15652	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ ((𝑚 + (𝐴 − 𝐵)) / 𝑚)) ⇝ 1))
78	52, 77	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   ↾ cres 5665  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   − cmin 11452   / cdiv 11882  ℕcn 12244  ℤcz 12602  ℤ_≥cuz 12873   ⇝ cli 15554

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-rp 13028  df-fl 13838  df-seq 14051  df-exp 14111  df-shft 15123  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-clim 15558  df-rlim 15559

This theorem is used by:  faclimlem2  36249  faclim2  36253