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Theorem domunfican 8775
Description: A finite set union cancellation law for dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
domunfican (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅)) → ((𝐴𝑋) ≼ (𝐵𝑌) ↔ 𝑋𝑌))

Proof of Theorem domunfican
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensym 8541 . . . 4 (𝐵𝐴𝐴𝐵)
2 bren 8501 . . . 4 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
31, 2sylib 221 . . 3 (𝐵𝐴 → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
4 ssid 3973 . . . . . . . 8 𝐴𝐴
5 sseq1 3976 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = ∅ → (𝑎𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
65anbi1d 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = ∅ → ((𝑎𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ↔ (∅ ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)))
76anbi1d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = ∅ → (((𝑎𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅)) ↔ ((∅ ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))))
8 uneq1 4116 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = ∅ → (𝑎𝑋) = (∅ ∪ 𝑋))
9 imaeq2 5906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = ∅ → (𝑓𝑎) = (𝑓 “ ∅))
109uneq1d 4122 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = ∅ → ((𝑓𝑎) ∪ 𝑌) = ((𝑓 “ ∅) ∪ 𝑌))
118, 10breq12d 5060 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = ∅ → ((𝑎𝑋) ≼ ((𝑓𝑎) ∪ 𝑌) ↔ (∅ ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ ∅) ∪ 𝑌)))
1211bibi1d 347 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = ∅ → (((𝑎𝑋) ≼ ((𝑓𝑎) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌) ↔ ((∅ ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ ∅) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌)))
137, 12imbi12d 348 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = ∅ → ((((𝑎𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅)) → ((𝑎𝑋) ≼ ((𝑓𝑎) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌)) ↔ (((∅ ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅)) → ((∅ ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ ∅) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌))))
14 sseq1 3976 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎𝐴𝑏𝐴))
1514anbi1d 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ↔ (𝑏𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)))
1615anbi1d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑏 → (((𝑎𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅)) ↔ ((𝑏𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))))
17 uneq1 4116 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎𝑋) = (𝑏𝑋))
18 imaeq2 5906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑏 → (𝑓𝑎) = (𝑓𝑏))
1918uneq1d 4122 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑓𝑎) ∪ 𝑌) = ((𝑓𝑏) ∪ 𝑌))
2017, 19breq12d 5060 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎𝑋) ≼ ((𝑓𝑎) ∪ 𝑌) ↔ (𝑏𝑋) ≼ ((𝑓𝑏) ∪ 𝑌)))
2120bibi1d 347 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑏 → (((𝑎𝑋) ≼ ((𝑓𝑎) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌) ↔ ((𝑏𝑋) ≼ ((𝑓𝑏) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌)))
2216, 21imbi12d 348 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑏 → ((((𝑎𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅)) → ((𝑎𝑋) ≼ ((𝑓𝑎) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌)) ↔ (((𝑏𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅)) → ((𝑏𝑋) ≼ ((𝑓𝑏) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌))))
23 sseq1 3976 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑎𝐴 ↔ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴))
2423anbi1d 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑎𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ↔ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)))
2524anbi1d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (((𝑎𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅)) ↔ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))))
26 uneq1 4116 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑎𝑋) = ((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋))
27 imaeq2 5906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑓𝑎) = (𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})))
2827uneq1d 4122 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑓𝑎) ∪ 𝑌) = ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌))
2926, 28breq12d 5060 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑎𝑋) ≼ ((𝑓𝑎) ∪ 𝑌) ↔ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌)))
3029bibi1d 347 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (((𝑎𝑋) ≼ ((𝑓𝑎) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌) ↔ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌)))
3125, 30imbi12d 348 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((((𝑎𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅)) → ((𝑎𝑋) ≼ ((𝑓𝑎) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌)) ↔ ((((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅)) → (((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌))))
32 sseq1 3976 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝐴𝐴𝐴))
3332anbi1d 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ↔ (𝐴𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)))
3433anbi1d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝐴 → (((𝑎𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅)) ↔ ((𝐴𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))))
35 uneq1 4116 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝑋) = (𝐴𝑋))
36 imaeq2 5906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝐴 → (𝑓𝑎) = (𝑓𝐴))
3736uneq1d 4122 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑓𝑎) ∪ 𝑌) = ((𝑓𝐴) ∪ 𝑌))
3835, 37breq12d 5060 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎𝑋) ≼ ((𝑓𝑎) ∪ 𝑌) ↔ (𝐴𝑋) ≼ ((𝑓𝐴) ∪ 𝑌)))
3938bibi1d 347 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝐴 → (((𝑎𝑋) ≼ ((𝑓𝑎) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌) ↔ ((𝐴𝑋) ≼ ((𝑓𝐴) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌)))
4034, 39imbi12d 348 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝐴 → ((((𝑎𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅)) → ((𝑎𝑋) ≼ ((𝑓𝑎) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌)) ↔ (((𝐴𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅)) → ((𝐴𝑋) ≼ ((𝑓𝐴) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌))))
41 uncom 4113 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∪ 𝑋) = (𝑋 ∪ ∅)
42 un0 4325 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∪ ∅) = 𝑋
4341, 42eqtri 2847 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∪ 𝑋) = 𝑋
44 ima0 5926 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 “ ∅) = ∅
4544uneq1i 4119 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 “ ∅) ∪ 𝑌) = (∅ ∪ 𝑌)
46 uncom 4113 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ ∪ 𝑌) = (𝑌 ∪ ∅)
47 un0 4325 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌 ∪ ∅) = 𝑌
4846, 47eqtri 2847 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∪ 𝑌) = 𝑌
4945, 48eqtri 2847 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 “ ∅) ∪ 𝑌) = 𝑌
5043, 49breq12i 5056 . . . . . . . . . . 11 ((∅ ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ ∅) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌)
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((∅ ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅)) → ((∅ ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ ∅) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌))
52 ssun1 4132 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
53 sstr2 3958 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑏𝐴))
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑏𝐴)
5554anim1i 617 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝑏𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵))
5655anim1i 617 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅)) → ((𝑏𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅)))
5756imim1i 63 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅)) → ((𝑏𝑋) ≼ ((𝑓𝑏) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌)) → ((((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅)) → ((𝑏𝑋) ≼ ((𝑓𝑏) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌)))
58 uncom 4113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 ∪ {𝑐}) = ({𝑐} ∪ 𝑏)
5958uneq1i 4119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) = (({𝑐} ∪ 𝑏) ∪ 𝑋)
60 unass 4126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({𝑐} ∪ 𝑏) ∪ 𝑋) = ({𝑐} ∪ (𝑏𝑋))
6159, 60eqtri 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) = ({𝑐} ∪ (𝑏𝑋))
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) = ({𝑐} ∪ (𝑏𝑋)))
63 imaundi 5989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) = ((𝑓𝑏) ∪ (𝑓 “ {𝑐}))
64 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))) → 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
65 f1ofn 6597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓 Fn 𝐴)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))) → 𝑓 Fn 𝐴)
67 ssun2 4133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 {𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
68 sstr2 3958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ({𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 → {𝑐} ⊆ 𝐴))
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 → {𝑐} ⊆ 𝐴)
70 vex 3482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑐 ∈ V
7170snss 4699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐𝐴 ↔ {𝑐} ⊆ 𝐴)
7269, 71sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑐𝐴)
7372adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝑐𝐴)
7473ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))) → 𝑐𝐴)
75 fnsnfv 6724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑓 Fn 𝐴𝑐𝐴) → {(𝑓𝑐)} = (𝑓 “ {𝑐}))
7666, 74, 75syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))) → {(𝑓𝑐)} = (𝑓 “ {𝑐}))
7776eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))) → (𝑓 “ {𝑐}) = {(𝑓𝑐)})
7877uneq2d 4123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))) → ((𝑓𝑏) ∪ (𝑓 “ {𝑐})) = ((𝑓𝑏) ∪ {(𝑓𝑐)}))
7963, 78syl5eq 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))) → (𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) = ((𝑓𝑏) ∪ {(𝑓𝑐)}))
8079uneq1d 4122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))) → ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌) = (((𝑓𝑏) ∪ {(𝑓𝑐)}) ∪ 𝑌))
81 uncom 4113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓𝑏) ∪ {(𝑓𝑐)}) = ({(𝑓𝑐)} ∪ (𝑓𝑏))
8281uneq1i 4119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓𝑏) ∪ {(𝑓𝑐)}) ∪ 𝑌) = (({(𝑓𝑐)} ∪ (𝑓𝑏)) ∪ 𝑌)
83 unass 4126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({(𝑓𝑐)} ∪ (𝑓𝑏)) ∪ 𝑌) = ({(𝑓𝑐)} ∪ ((𝑓𝑏) ∪ 𝑌))
8482, 83eqtri 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓𝑏) ∪ {(𝑓𝑐)}) ∪ 𝑌) = ({(𝑓𝑐)} ∪ ((𝑓𝑏) ∪ 𝑌))
8580, 84syl6eq 2875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))) → ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌) = ({(𝑓𝑐)} ∪ ((𝑓𝑏) ∪ 𝑌)))
8662, 85breq12d 5060 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))) → (((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌) ↔ ({𝑐} ∪ (𝑏𝑋)) ≼ ({(𝑓𝑐)} ∪ ((𝑓𝑏) ∪ 𝑌))))
87 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))) → ¬ 𝑐𝑏)
88 incom 4161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋𝐴) = (𝐴𝑋)
89 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))) → (𝐴𝑋) = ∅)
9088, 89syl5eq 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))) → (𝑋𝐴) = ∅)
91 minel 4396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑐𝐴 ∧ (𝑋𝐴) = ∅) → ¬ 𝑐𝑋)
9274, 90, 91syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))) → ¬ 𝑐𝑋)
93 ioran 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ (𝑐𝑏𝑐𝑋) ↔ (¬ 𝑐𝑏 ∧ ¬ 𝑐𝑋))
94 elun 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ (𝑏𝑋) ↔ (𝑐𝑏𝑐𝑋))
9593, 94xchnxbir 336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑐 ∈ (𝑏𝑋) ↔ (¬ 𝑐𝑏 ∧ ¬ 𝑐𝑋))
9687, 92, 95sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))) → ¬ 𝑐 ∈ (𝑏𝑋))
97 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)) → ¬ 𝑐𝑏)
98 f1of1 6595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴1-1𝐵)
9998adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝑓:𝐴1-1𝐵)
10054adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝑏𝐴)
101 f1elima 7003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑐𝐴𝑏𝐴) → ((𝑓𝑐) ∈ (𝑓𝑏) ↔ 𝑐𝑏))
10299, 73, 100, 101syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → ((𝑓𝑐) ∈ (𝑓𝑏) ↔ 𝑐𝑏))
103102biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → ((𝑓𝑐) ∈ (𝑓𝑏) → 𝑐𝑏))
104103adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)) → ((𝑓𝑐) ∈ (𝑓𝑏) → 𝑐𝑏))
10597, 104mtod 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)) → ¬ (𝑓𝑐) ∈ (𝑓𝑏))
106105adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))) → ¬ (𝑓𝑐) ∈ (𝑓𝑏))
107 f1of 6596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴𝐵)
10864, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))) → 𝑓:𝐴𝐵)
109108, 74ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))) → (𝑓𝑐) ∈ 𝐵)
110 incom 4161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑌𝐵) = (𝐵𝑌)
111 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))) → (𝐵𝑌) = ∅)
112110, 111syl5eq 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))) → (𝑌𝐵) = ∅)
113 minel 4396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓𝑐) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌𝐵) = ∅) → ¬ (𝑓𝑐) ∈ 𝑌)
114109, 112, 113syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))) → ¬ (𝑓𝑐) ∈ 𝑌)
115 ioran 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ ((𝑓𝑐) ∈ (𝑓𝑏) ∨ (𝑓𝑐) ∈ 𝑌) ↔ (¬ (𝑓𝑐) ∈ (𝑓𝑏) ∧ ¬ (𝑓𝑐) ∈ 𝑌))
116 elun 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓𝑐) ∈ ((𝑓𝑏) ∪ 𝑌) ↔ ((𝑓𝑐) ∈ (𝑓𝑏) ∨ (𝑓𝑐) ∈ 𝑌))
117115, 116xchnxbir 336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ (𝑓𝑐) ∈ ((𝑓𝑏) ∪ 𝑌) ↔ (¬ (𝑓𝑐) ∈ (𝑓𝑏) ∧ ¬ (𝑓𝑐) ∈ 𝑌))
118106, 114, 117sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))) → ¬ (𝑓𝑐) ∈ ((𝑓𝑏) ∪ 𝑌))
119 fvex 6664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓𝑐) ∈ V
12070, 119domunsncan 8600 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ 𝑐 ∈ (𝑏𝑋) ∧ ¬ (𝑓𝑐) ∈ ((𝑓𝑏) ∪ 𝑌)) → (({𝑐} ∪ (𝑏𝑋)) ≼ ({(𝑓𝑐)} ∪ ((𝑓𝑏) ∪ 𝑌)) ↔ (𝑏𝑋) ≼ ((𝑓𝑏) ∪ 𝑌)))
12196, 118, 120syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))) → (({𝑐} ∪ (𝑏𝑋)) ≼ ({(𝑓𝑐)} ∪ ((𝑓𝑏) ∪ 𝑌)) ↔ (𝑏𝑋) ≼ ((𝑓𝑏) ∪ 𝑌)))
12286, 121bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))) → (((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌) ↔ (𝑏𝑋) ≼ ((𝑓𝑏) ∪ 𝑌)))
123 bitr 804 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌) ↔ (𝑏𝑋) ≼ ((𝑓𝑏) ∪ 𝑌)) ∧ ((𝑏𝑋) ≼ ((𝑓𝑏) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌)) → (((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌))
124123ex 416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌) ↔ (𝑏𝑋) ≼ ((𝑓𝑏) ∪ 𝑌)) → (((𝑏𝑋) ≼ ((𝑓𝑏) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌) → (((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌)))
125122, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅))) → (((𝑏𝑋) ≼ ((𝑓𝑏) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌) → (((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌)))
126125ex 416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) → ((((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅)) → (((𝑏𝑋) ≼ ((𝑓𝑏) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌) → (((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌))))
127126a2d 29 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) → (((((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅)) → ((𝑏𝑋) ≼ ((𝑓𝑏) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌)) → ((((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅)) → (((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌))))
12857, 127syl5 34 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) → ((((𝑏𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅)) → ((𝑏𝑋) ≼ ((𝑓𝑏) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌)) → ((((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅)) → (((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌))))
12913, 22, 31, 40, 51, 128findcard2s 8743 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → (((𝐴𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅)) → ((𝐴𝑋) ≼ ((𝑓𝐴) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌)))
130129expd 419 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → (((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅) → ((𝐴𝑋) ≼ ((𝑓𝐴) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌))))
1314, 130mpani 695 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅) → ((𝐴𝑋) ≼ ((𝑓𝐴) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌))))
1321313imp 1108 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅)) → ((𝐴𝑋) ≼ ((𝑓𝐴) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌))
133 f1ofo 6603 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴onto𝐵)
134 foima 6576 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (𝑓𝐴) = 𝐵)
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑓𝐴) = 𝐵)
136135uneq1d 4122 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → ((𝑓𝐴) ∪ 𝑌) = (𝐵𝑌))
137136breq2d 5059 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → ((𝐴𝑋) ≼ ((𝑓𝐴) ∪ 𝑌) ↔ (𝐴𝑋) ≼ (𝐵𝑌)))
138137bibi1d 347 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (((𝐴𝑋) ≼ ((𝑓𝐴) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌) ↔ ((𝐴𝑋) ≼ (𝐵𝑌) ↔ 𝑋𝑌)))
1391383ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅)) → (((𝐴𝑋) ≼ ((𝑓𝐴) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋𝑌) ↔ ((𝐴𝑋) ≼ (𝐵𝑌) ↔ 𝑋𝑌)))
140132, 139mpbid 235 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅)) → ((𝐴𝑋) ≼ (𝐵𝑌) ↔ 𝑋𝑌))
1411403exp 1116 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅) → ((𝐴𝑋) ≼ (𝐵𝑌) ↔ 𝑋𝑌))))
142141exlimdv 1935 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅) → ((𝐴𝑋) ≼ (𝐵𝑌) ↔ 𝑋𝑌))))
1433, 142syl5 34 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴 → (((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅) → ((𝐴𝑋) ≼ (𝐵𝑌) ↔ 𝑋𝑌))))
144143imp31 421 1 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ ((𝐴𝑋) = ∅ ∧ (𝐵𝑌) = ∅)) → ((𝐴𝑋) ≼ (𝐵𝑌) ↔ 𝑋𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  cun 3916  cin 3917  wss 3918  c0 4274  {csn 4548   class class class wbr 5047  cima 5539   Fn wfn 6331  wf 6332  1-1wf1 6333  ontowfo 6334  1-1-ontowf1o 6335  cfv 6336  cen 8489  cdom 8490  Fincfn 8492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-br 5048  df-opab 5110  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-om 7564  df-1o 8085  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-fin 8496
This theorem is referenced by:  marypha1lem  8881
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