Theorem domunfican 9306

Description: A finite set union cancellation law for dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domunfican	⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)) → ((𝐴 ∪ 𝑋) ≼ (𝐵 ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))

Proof of Theorem domunfican

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 9023	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝐵)
2		bren 8976	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)
3	1, 2	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)
4		ssid 3953	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
5		sseq1 3956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑎 ⊆ 𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
6	5	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑎 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)))
7	6	anbi1d 643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = ∅ → (((𝑎 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)) ↔ ((∅ ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))))
8		uneq1 4108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑎 ∪ 𝑋) = (∅ ∪ 𝑋))
9		imaeq2 6048	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑓 “ 𝑎) = (𝑓 “ ∅))
10	9	uneq1d 4114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑓 “ 𝑎) ∪ 𝑌) = ((𝑓 “ ∅) ∪ 𝑌))
11	8, 10	breq12d 5116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑎 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝑎) ∪ 𝑌) ↔ (∅ ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ ∅) ∪ 𝑌)))
12	11	bibi1d 346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = ∅ → (((𝑎 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝑎) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌) ↔ ((∅ ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ ∅) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌)))
13	7, 12	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((((𝑎 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)) → ((𝑎 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝑎) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌)) ↔ (((∅ ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)) → ((∅ ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ ∅) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))))
14		sseq1 3956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑏 ⊆ 𝐴))
15	14	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ↔ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)))
16	15	anbi1d 643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝑎 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)) ↔ ((𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))))
17		uneq1 4108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ∪ 𝑋) = (𝑏 ∪ 𝑋))
18		imaeq2 6048	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑓 “ 𝑎) = (𝑓 “ 𝑏))
19	18	uneq1d 4114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑓 “ 𝑎) ∪ 𝑌) = ((𝑓 “ 𝑏) ∪ 𝑌))
20	17, 19	breq12d 5116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝑎) ∪ 𝑌) ↔ (𝑏 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝑏) ∪ 𝑌)))
21	20	bibi1d 346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝑎 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝑎) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌) ↔ ((𝑏 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝑏) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌)))
22	16, 21	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((((𝑎 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)) → ((𝑎 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝑎) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌)) ↔ (((𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)) → ((𝑏 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝑏) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))))
23		sseq1 3956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑎 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴))
24	23	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑎 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ↔ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)))
25	24	anbi1d 643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (((𝑎 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)) ↔ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))))
26		uneq1 4108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑎 ∪ 𝑋) = ((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋))
27		imaeq2 6048	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑓 “ 𝑎) = (𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})))
28	27	uneq1d 4114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑓 “ 𝑎) ∪ 𝑌) = ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌))
29	26, 28	breq12d 5116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑎 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝑎) ∪ 𝑌) ↔ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌)))
30	29	bibi1d 346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (((𝑎 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝑎) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌) ↔ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌)))
31	25, 30	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((((𝑎 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)) → ((𝑎 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝑎) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌)) ↔ ((((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)) → (((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))))
32		sseq1 3956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐴))
33	32	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)))
34	33	anbi1d 643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑎 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)) ↔ ((𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))))
35		uneq1 4108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ∪ 𝑋) = (𝐴 ∪ 𝑋))
36		imaeq2 6048	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑓 “ 𝑎) = (𝑓 “ 𝐴))
37	36	uneq1d 4114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑓 “ 𝑎) ∪ 𝑌) = ((𝑓 “ 𝐴) ∪ 𝑌))
38	35, 37	breq12d 5116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝑎) ∪ 𝑌) ↔ (𝐴 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝐴) ∪ 𝑌)))
39	38	bibi1d 346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑎 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝑎) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌) ↔ ((𝐴 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝐴) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌)))
40	34, 39	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((((𝑎 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)) → ((𝑎 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝑎) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌)) ↔ (((𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)) → ((𝐴 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝐴) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))))
41		uncom 4105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∪ 𝑋) = (𝑋 ∪ ∅)
42		un0 4344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∪ ∅) = 𝑋
43	41, 42	eqtri 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∪ 𝑋) = 𝑋
44		ima0 6075	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 “ ∅) = ∅
45	44	uneq1i 4111	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 “ ∅) ∪ 𝑌) = (∅ ∪ 𝑌)
46		uncom 4105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∅ ∪ 𝑌) = (𝑌 ∪ ∅)
47		un0 4344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∪ ∅) = 𝑌
48	46, 47	eqtri 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∪ 𝑌) = 𝑌
49	45, 48	eqtri 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 “ ∅) ∪ 𝑌) = 𝑌
50	43, 49	breq12i 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∅ ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ ∅) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌)
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∅ ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)) → ((∅ ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ ∅) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))
52		ssun1 4124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
53		sstr2 3938	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 → 𝑏 ⊆ 𝐴))
54	52, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 → 𝑏 ⊆ 𝐴)
55	54	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
56	55	anim1i 627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)) → ((𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)))
57	56	imim1i 64	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)) → ((𝑏 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝑏) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌)) → ((((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)) → ((𝑏 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝑏) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌)))
58		uncom 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ∪ {𝑐}) = ({𝑐} ∪ 𝑏)
59	58	uneq1i 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) = (({𝑐} ∪ 𝑏) ∪ 𝑋)
60		unass 4118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (({𝑐} ∪ 𝑏) ∪ 𝑋) = ({𝑐} ∪ (𝑏 ∪ 𝑋))
61	59, 60	eqtri 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) = ({𝑐} ∪ (𝑏 ∪ 𝑋))
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) = ({𝑐} ∪ (𝑏 ∪ 𝑋)))
63		imaundi 6141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) = ((𝑓 “ 𝑏) ∪ (𝑓 “ {𝑐}))
64		simprlr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))) → 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)
65		f1ofn 6823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓 Fn 𝐴)
66	64, 65	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))) → 𝑓 Fn 𝐴)
67		ssun2 4125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ {𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
68		sstr2 3938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ({𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 → {𝑐} ⊆ 𝐴))
69	67, 68	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 → {𝑐} ⊆ 𝐴)
70		vex 3455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝑐 ∈ V
71	70	snss 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ {𝑐} ⊆ 𝐴)
72	69, 71	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 → 𝑐 ∈ 𝐴)
73	72	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝑐 ∈ 𝐴)
74	73	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))) → 𝑐 ∈ 𝐴)
75		fnsnfv 6962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑓 Fn 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → {(𝑓‘𝑐)} = (𝑓 “ {𝑐}))
76	66, 74, 75	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))) → {(𝑓‘𝑐)} = (𝑓 “ {𝑐}))
77	76	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))) → (𝑓 “ {𝑐}) = {(𝑓‘𝑐)})
78	77	uneq2d 4115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))) → ((𝑓 “ 𝑏) ∪ (𝑓 “ {𝑐})) = ((𝑓 “ 𝑏) ∪ {(𝑓‘𝑐)}))
79	63, 78	eqtrid 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))) → (𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) = ((𝑓 “ 𝑏) ∪ {(𝑓‘𝑐)}))
80	79	uneq1d 4114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))) → ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌) = (((𝑓 “ 𝑏) ∪ {(𝑓‘𝑐)}) ∪ 𝑌))
81		uncom 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓 “ 𝑏) ∪ {(𝑓‘𝑐)}) = ({(𝑓‘𝑐)} ∪ (𝑓 “ 𝑏))
82	81	uneq1i 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑓 “ 𝑏) ∪ {(𝑓‘𝑐)}) ∪ 𝑌) = (({(𝑓‘𝑐)} ∪ (𝑓 “ 𝑏)) ∪ 𝑌)
83		unass 4118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (({(𝑓‘𝑐)} ∪ (𝑓 “ 𝑏)) ∪ 𝑌) = ({(𝑓‘𝑐)} ∪ ((𝑓 “ 𝑏) ∪ 𝑌))
84	82, 83	eqtri 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑓 “ 𝑏) ∪ {(𝑓‘𝑐)}) ∪ 𝑌) = ({(𝑓‘𝑐)} ∪ ((𝑓 “ 𝑏) ∪ 𝑌))
85	80, 84	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))) → ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌) = ({(𝑓‘𝑐)} ∪ ((𝑓 “ 𝑏) ∪ 𝑌)))
86	62, 85	breq12d 5116	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))) → (((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌) ↔ ({𝑐} ∪ (𝑏 ∪ 𝑋)) ≼ ({(𝑓‘𝑐)} ∪ ((𝑓 “ 𝑏) ∪ 𝑌))))
87		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))) → ¬ 𝑐 ∈ 𝑏)
88		incom 4155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝑋)
89		simprrl 793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))) → (𝐴 ∩ 𝑋) = ∅)
90	88, 89	eqtrid 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))) → (𝑋 ∩ 𝐴) = ∅)
91		minel 4419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∩ 𝐴) = ∅) → ¬ 𝑐 ∈ 𝑋)
92	74, 90, 91	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))) → ¬ 𝑐 ∈ 𝑋)
93		ioran 999	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ (𝑐 ∈ 𝑏 ∨ 𝑐 ∈ 𝑋) ↔ (¬ 𝑐 ∈ 𝑏 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑋))
94		elun 4100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 ∈ (𝑏 ∪ 𝑋) ↔ (𝑐 ∈ 𝑏 ∨ 𝑐 ∈ 𝑋))
95	93, 94	xchnxbir 336	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ 𝑋) ↔ (¬ 𝑐 ∈ 𝑏 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑋))
96	87, 92, 95	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))) → ¬ 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ 𝑋))
97		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)) → ¬ 𝑐 ∈ 𝑏)
98		f1of1 6821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
99	98	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
100	54	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
101		f1elima 7265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → ((𝑓‘𝑐) ∈ (𝑓 “ 𝑏) ↔ 𝑐 ∈ 𝑏))
102	99, 73, 100, 101	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → ((𝑓‘𝑐) ∈ (𝑓 “ 𝑏) ↔ 𝑐 ∈ 𝑏))
103	102	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → ((𝑓‘𝑐) ∈ (𝑓 “ 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝑏))
104	103	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)) → ((𝑓‘𝑐) ∈ (𝑓 “ 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝑏))
105	97, 104	mtod 201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)) → ¬ (𝑓‘𝑐) ∈ (𝑓 “ 𝑏))
106	105	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))) → ¬ (𝑓‘𝑐) ∈ (𝑓 “ 𝑏))
107		f1of 6822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
108	64, 107	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))) → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
109	108, 74	ffvelcdmd 7083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))) → (𝑓‘𝑐) ∈ 𝐵)
110		incom 4155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑌 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝑌)
111		simprrr 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))) → (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)
112	110, 111	eqtrid 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))) → (𝑌 ∩ 𝐵) = ∅)
113		minel 4419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑓‘𝑐) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∩ 𝐵) = ∅) → ¬ (𝑓‘𝑐) ∈ 𝑌)
114	109, 112, 113	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))) → ¬ (𝑓‘𝑐) ∈ 𝑌)
115		ioran 999	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ ((𝑓‘𝑐) ∈ (𝑓 “ 𝑏) ∨ (𝑓‘𝑐) ∈ 𝑌) ↔ (¬ (𝑓‘𝑐) ∈ (𝑓 “ 𝑏) ∧ ¬ (𝑓‘𝑐) ∈ 𝑌))
116		elun 4100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓‘𝑐) ∈ ((𝑓 “ 𝑏) ∪ 𝑌) ↔ ((𝑓‘𝑐) ∈ (𝑓 “ 𝑏) ∨ (𝑓‘𝑐) ∈ 𝑌))
117	115, 116	xchnxbir 336	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ (𝑓‘𝑐) ∈ ((𝑓 “ 𝑏) ∪ 𝑌) ↔ (¬ (𝑓‘𝑐) ∈ (𝑓 “ 𝑏) ∧ ¬ (𝑓‘𝑐) ∈ 𝑌))
118	106, 114, 117	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))) → ¬ (𝑓‘𝑐) ∈ ((𝑓 “ 𝑏) ∪ 𝑌))
119		fvex 6896	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓‘𝑐) ∈ V
120	70, 119	domunsncan 9089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ 𝑋) ∧ ¬ (𝑓‘𝑐) ∈ ((𝑓 “ 𝑏) ∪ 𝑌)) → (({𝑐} ∪ (𝑏 ∪ 𝑋)) ≼ ({(𝑓‘𝑐)} ∪ ((𝑓 “ 𝑏) ∪ 𝑌)) ↔ (𝑏 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝑏) ∪ 𝑌)))
121	96, 118, 120	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))) → (({𝑐} ∪ (𝑏 ∪ 𝑋)) ≼ ({(𝑓‘𝑐)} ∪ ((𝑓 “ 𝑏) ∪ 𝑌)) ↔ (𝑏 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝑏) ∪ 𝑌)))
122	86, 121	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))) → (((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌) ↔ (𝑏 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝑏) ∪ 𝑌)))
123		bitr 817	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌) ↔ (𝑏 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝑏) ∪ 𝑌)) ∧ ((𝑏 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝑏) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌)) → (((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))
124	123	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌) ↔ (𝑏 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝑏) ∪ 𝑌)) → (((𝑏 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝑏) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌) → (((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌)))
125	122, 124	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅))) → (((𝑏 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝑏) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌) → (((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌)))
126	125	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) → ((((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)) → (((𝑏 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝑏) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌) → (((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))))
127	126	a2d 30	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) → (((((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)) → ((𝑏 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝑏) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌)) → ((((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)) → (((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))))
128	57, 127	syl5 35	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) → ((((𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)) → ((𝑏 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝑏) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌)) → ((((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)) → (((𝑏 ∪ {𝑐}) ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ (𝑏 ∪ {𝑐})) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))))
129	13, 22, 31, 40, 51, 128	findcard2s 9174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (((𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)) → ((𝐴 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝐴) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌)))
130	129	expd 421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → (((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅) → ((𝐴 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝐴) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))))
131	4, 130	mpani 709	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅) → ((𝐴 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝐴) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))))
132	131	3imp 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)) → ((𝐴 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝐴) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))
133		f1ofo 6830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓:𝐴–onto→𝐵)
134		foima 6799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (𝑓 “ 𝐴) = 𝐵)
135	133, 134	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝑓 “ 𝐴) = 𝐵)
136	135	uneq1d 4114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ((𝑓 “ 𝐴) ∪ 𝑌) = (𝐵 ∪ 𝑌))
137	136	breq2d 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ((𝐴 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝐴) ∪ 𝑌) ↔ (𝐴 ∪ 𝑋) ≼ (𝐵 ∪ 𝑌)))
138	137	bibi1d 346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (((𝐴 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝐴) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌) ↔ ((𝐴 ∪ 𝑋) ≼ (𝐵 ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌)))
139	138	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)) → (((𝐴 ∪ 𝑋) ≼ ((𝑓 “ 𝐴) ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌) ↔ ((𝐴 ∪ 𝑋) ≼ (𝐵 ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌)))
140	132, 139	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)) → ((𝐴 ∪ 𝑋) ≼ (𝐵 ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))
141	140	3exp 1137	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅) → ((𝐴 ∪ 𝑋) ≼ (𝐵 ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))))
142	141	exlimdv 1966	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅) → ((𝐴 ∪ 𝑋) ≼ (𝐵 ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))))
143	3, 142	syl5 35	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ≈ 𝐴 → (((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅) → ((𝐴 ∪ 𝑋) ≼ (𝐵 ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))))
144	143	imp31 423	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝑋) = ∅ ∧ (𝐵 ∩ 𝑌) = ∅)) → ((𝐴 ∪ 𝑋) ≼ (𝐵 ∪ 𝑌) ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103   “ cima 5654   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  –1-1→wf1 6534  –onto→wfo 6535  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537   ≈ cen 8963   ≼ cdom 8964  Fincfn 8966

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7876  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-fin 8970

This theorem is used by:  marypha1lem  9418