Theorem ltneg 11711

Description: Negative of both sides of 'less than'. Theorem I.23 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ltneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))

Proof of Theorem ltneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11213	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		ltsub2 11708	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (0 − 𝐵) < (0 − 𝐴)))
3	1, 2	mp3an3 1451	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (0 − 𝐵) < (0 − 𝐴)))
4		df-neg 11444	. . 3 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
5		df-neg 11444	. . 3 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
6	4, 5	breq12i 5157	. 2 ⊢ (-𝐵 < -𝐴 ↔ (0 − 𝐵) < (0 − 𝐴))
7	3, 6	bitr4di 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5148  (class class class)co 7406  ℝcr 11106  0cc0 11107   < clt 11245   − cmin 11441  -cneg 11442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444

This theorem is referenced by:  ltnegcon1  11712  ltnegcon2  11713  lt0neg1  11717  lt0neg2  11718  ltord2  11740  leord2  11741  eqord2  11742  ltnegi  11755  ltnegd  11789  infm3  12170  negiso  12191  rebtwnz  12928  xltnegi  13192  iooneg  13445  logcj  26106  logcnlem3  26144  asinneg  26381  ltflcei  36465