Theorem ltneg 11142

Description: Negative of both sides of 'less than'. Theorem I.23 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ltneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))

Proof of Theorem ltneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10645	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		ltsub2 11139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (0 − 𝐵) < (0 − 𝐴)))
3	1, 2	mp3an3 1446	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (0 − 𝐵) < (0 − 𝐴)))
4		df-neg 10875	. . 3 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
5		df-neg 10875	. . 3 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
6	4, 5	breq12i 5077	. 2 ⊢ (-𝐵 < -𝐴 ↔ (0 − 𝐵) < (0 − 𝐴))
7	3, 6	syl6bbr 291	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  0cc0 10539   < clt 10677   − cmin 10872  -cneg 10873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875

This theorem is referenced by:  ltnegcon1  11143  ltnegcon2  11144  lt0neg1  11148  lt0neg2  11149  ltord2  11171  leord2  11172  eqord2  11173  ltnegi  11186  ltnegd  11220  infm3  11602  negiso  11623  rebtwnz  12350  xltnegi  12612  iooneg  12860  logcj  25191  logcnlem3  25229  asinneg  25466  ltflcei  34882