Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carageneld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carageneld 45795
Description: Membership in the Caratheodory's construction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carageneld.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
carageneld.x 𝑋 = βˆͺ dom 𝑂
carageneld.s 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
carageneld.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑋)
carageneld.a ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) = (π‘‚β€˜π‘Ž))
Assertion
Ref Expression
carageneld (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐸,π‘Ž   𝑂,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘Ž)   𝑋(π‘Ž)

Proof of Theorem carageneld
StepHypRef Expression
1 carageneld.e . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑋)
2 carageneld.x . . . . 5 𝑋 = βˆͺ dom 𝑂
32pweqi 4613 . . . 4 𝒫 𝑋 = 𝒫 βˆͺ dom 𝑂
41, 3eleqtrdi 2837 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂)
5 simpl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ πœ‘)
63eleq2i 2819 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ↔ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂)
76bicomi 223 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ↔ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋)
87biimpi 215 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 β†’ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋)
98adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋)
10 carageneld.a . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) = (π‘‚β€˜π‘Ž))
115, 9, 10syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) = (π‘‚β€˜π‘Ž))
1211ralrimiva 3140 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) = (π‘‚β€˜π‘Ž))
134, 12jca 511 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) = (π‘‚β€˜π‘Ž)))
14 carageneld.o . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
15 carageneld.s . . 3 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
1614, 15caragenel 45788 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ 𝑆 ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) = (π‘‚β€˜π‘Ž))))
1713, 16mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βˆ– cdif 3940   ∩ cin 3942  π’« cpw 4597  βˆͺ cuni 4902  dom cdm 5669  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   +𝑒 cxad 13096  OutMeascome 45782  CaraGenccaragen 45784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7408  df-caragen 45785
This theorem is referenced by:  caragen0  45799  caragenunidm  45801  caragenuncl  45806  caragendifcl  45807  carageniuncl  45816  caragenel2d  45825
  Copyright terms: Public domain W3C validator