Theorem omecl 41654

Description: The outer measure of a set is a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omecl.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omecl.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omecl.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omecl	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem omecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omecl.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		omecl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
3	1, 2	omef 41647	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
4		omecl.ss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
5	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ dom 𝑂)
6	1	dmexd 7379	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 ∈ V)
7		uniexg 7234	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑂 ∈ V → ∪ dom 𝑂 ∈ V)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑂 ∈ V)
9	5, 8	eqeltrd 2859	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
10	9, 4	ssexd 5044	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
11		elpwg 4387	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
13	4, 12	mpbird 249	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑋)
14	3, 13	ffvelrnd 6626	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398   ⊆ wss 3792  𝒫 cpw 4379  ∪ cuni 4673  dom cdm 5357  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  0cc0 10274  +∞cpnf 10410  [,]cicc 12494  OutMeascome 41640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pr 5140  ax-un 7228

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-fv 6145  df-ome 41641

This theorem is referenced by:  caragen0  41657  omexrcl  41658  caragenunidm  41659  omessre  41661  caragenuncllem  41663  caragendifcl  41665  omeunle  41667  omeiunle  41668  omeiunltfirp  41670  carageniuncllem2  41673  carageniuncl  41674  caratheodorylem1  41677  caratheodorylem2  41678  omege0  41684