Theorem omecl 47275

Description: The outer measure of a set is a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omecl.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omecl.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omecl.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omecl	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem omecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omecl.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		omecl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
3	1, 2	omef 47268	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
4		omecl.ss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
5	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ dom 𝑂)
6	1	dmexd 7906	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 ∈ V)
7	6	uniexd 7750	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑂 ∈ V)
8	5, 7	eqeltrd 2865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
9	8, 4	ssexd 5297	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
10		elpwg 4567	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
12	4, 11	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑋)
13	3, 12	ffvelcdmd 7084	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4564  ∪ cuni 4874  dom cdm 5663  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11115  +∞cpnf 11255  [,]cicc 13391  OutMeascome 47261

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ome 47262

This theorem is used by:  caragen0  47278  omexrcl  47279  caragenunidm  47280  omessre  47282  caragenuncllem  47284  caragendifcl  47286  omeunle  47288  omeiunle  47289  omeiunltfirp  47291  carageniuncllem2  47294  carageniuncl  47295  caratheodorylem1  47298  caratheodorylem2  47299  omege0  47305