Theorem omecl 46549

Description: The outer measure of a set is a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omecl.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omecl.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omecl.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omecl	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem omecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omecl.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		omecl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
3	1, 2	omef 46542	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
4		omecl.ss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
5	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ dom 𝑂)
6	1	dmexd 7833	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 ∈ V)
7	6	uniexd 7675	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑂 ∈ V)
8	5, 7	eqeltrd 2831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
9	8, 4	ssexd 5260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
10		elpwg 4550	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
12	4, 11	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑋)
13	3, 12	ffvelcdmd 7018	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  𝒫 cpw 4547  ∪ cuni 4856  dom cdm 5614  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  +∞cpnf 11143  [,]cicc 13248  OutMeascome 46535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ome 46536

This theorem is referenced by:  caragen0  46552  omexrcl  46553  caragenunidm  46554  omessre  46556  caragenuncllem  46558  caragendifcl  46560  omeunle  46562  omeiunle  46563  omeiunltfirp  46565  carageniuncllem2  46568  carageniuncl  46569  caratheodorylem1  46572  caratheodorylem2  46573  omege0  46579